Compilação de Calculo II Engenharia Civil 2015

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1 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
Professor William Mascia Resende 
 
 
 
 
 
COMPILAÇÃO PARA CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ITAJUBÁ 
2015 
 
2 
 
Professor William Mascia Resende 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compilação para Cálculo II 
 
 
 
 
 
Apostila referente à disciplina de Cálculo II, 
do curso de Engenharia Civil do Centro 
Universitário de Itajubá. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Itajubá 
2015 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico esta compilação a todos os alunos que 
tiveram o ímpeto de agregar mais uma etapa na sua 
vida: “Um diploma de um curso superior na área de 
engenharia”, que apesar das dificuldades da união 
dos primordiais vínculos: trabalho, estudo e família, 
fazem ainda mais valorizar esta batalha! Agradeço 
aos alunos que ajudaram a identificar erros das 
versões anteriores a esta compilação. 
 
4 
 
RESUMO: 
A finalidade desta compilação tem com principal objetivo, ajudar a melhoria do 
aprendizado de cálculo II, e suas aplicações no cotidiano do curso de engenharia. Para 
conseguir este objetivo foram introduzidos novos tópicos, com uma linguagem 
academicamente simples com exemplos familiares do cotidiano. Sabe-se que o Cálculo, 
também chamado de Cálculo Infinitesimal, nasce no fim do século XVII, com os trabalhos de 
Newton e Leibniz. Os assuntos foram desenvolvidos sistematicamente por intermédio de 
exemplos resolvidos e questões propostas com respostas. Alguns teoremas foram 
demostrados rigorosamente. Para que este aprendizado consiga a eficácia necessária, os 
assuntos pertinentes ao ensino básico – leia-se: Ensino médio – tenha uma base 
satisfatória, principalmente com referencia a: fatoração, trigonometria e trigonometria. Foram 
utilizados todos os livros que constam na bibliografia principal, assim como alguns livros da 
bibliografia secundaria. 
Palavras-chave: Cálculo. Matemática. Engenharia. 
 
5 
 
Índice 
 
I - Derivadas – Revisão................................................................................. Página 6 
II – Diferencial ............................................................................................. Página 10 
III - Antiderivadas ou Integrais indefinidas ............................................... Página 16 
IV - Método da substituição ou Mudança de Variável .................................. Página 19 
V - Equação Diferencial ........................................................................... Página 30 
VI - Áreas de Regiões do Plano pelo Método do Fracionamento ................ Página 33 
VII - Notação Sigma – Definição .................................................................. Página 37 
VIII - Área sob o gráfico de uma função ....................................................... Página 41 
IX - Integrais que envolvem Produtos de Potências de Senos e Cossenos. Página 46 
X - Integrais por Substituição Trigonométrica .............................................. Página 50 
XI – Integrais por partes ............................................................................... Página 53 
XII - Integrais de funções racionais por frações parciais – caso linear......... Página 57 
XII - Integrais Impróprias com limites infinitos .............................................. Página 60 
Referencias Biliográficas............................................................................... Página 65 
Anexo............................................................................................................. Página 66 
 
 
 
6 
 
I. Derivadas - revisão. 
As notações derivadas mais usadas para representar a derivada de uma função 
y = f(x) são: 
𝑓´(𝑥) = 𝐷𝑥𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓(𝑥)) =
𝑑(𝑓(𝑥))
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦´ 
Onde a derivada, por definição é: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma das fórmulas mais usadas em derivadas é a da derivada de funções do tipo 
variável elevada a expoente, ou seja, 
𝑦 = 𝑥𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑦´ = 𝑛. 𝑥𝑛−1. 
E o expoente n pode ser qualquer número positivo, negativo, inteiro ou fracionário. 
Se y é uma função diferenciável de u e se u é uma função diferenciável de x, então y é 
uma função diferenciável de x – regra da cadeia, ou seja: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Exemplo: 
Se f(x) = x³, então sua derivada será f´(x)=3.x², pois aplicando a definição, temos: 
𝑓´(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(𝑥 + ∆𝑥)3 − 𝑥3
∆𝑥
 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥³ + 3. 𝑥². ∆𝑥 + 3. 𝑥. ∆𝑥2 + ∆𝑥3 − 𝑥³
∆𝑥
 
𝑓´(𝑥) = lim∆𝑥→0
∆𝑥(3.𝑥².+3.𝑥.∆𝑥1+∆𝑥2)
∆𝑥
= lim∆𝑥→0(3. 𝑥².+3. 𝑥. ∆𝑥
1 + ∆𝑥2) = 3. 𝑥² 
Reta secante Reta tangente 
Figura 1 
7 
 
Exercícios Propostos: 
 
1) Calcule f´(x) para a função dada usando a definição 
a) f(x) = x²+4.x 
b) 𝑓(𝑥) =
2
𝑥
 
c) 𝑠 = 
3
𝑡−1
,
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=? 
d) 
𝑑
𝑑𝑢
(√1 − 9𝑢²) 
 
2) Usando a regra da cadeia Calcule as derivadas (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) das seguintes funções: 
a) 𝑦 = (𝑥2 + 5𝑥)100 
b) 𝑦 = 
1
(3.𝑥−1)4
 
c) 𝑦 = (2. 𝑥² − 5. 𝑥 + 1)−7 
d) 𝑦 = (𝑥³ + 2)15 
 
Derivada do produto 
𝒅(𝒖.𝒗)
𝒅𝒙
= 𝒗. 𝒖´ + 𝒖. 𝒗´ 
 Exemplo: 
𝑑
𝑑𝑥
[(3. 𝑥² + 1). (7. 𝑥³ + 𝑥)] = (7. 𝑥³ + 𝑥). (6. 𝑥) + (3. 𝑥² + 1). (21. 𝑥² + 1) 
 
Derivada do Quociente 
𝒅
𝒅𝒙
(
𝒖
𝒗
) =
𝒗.𝒖´−𝒖.𝒗´
𝒗²
 
 Exemplo: 
𝑑
𝑑𝑥
[
(3. 𝑥² + 1)
(7. 𝑥³ + 𝑥)
] =
(7. 𝑥³ + 𝑥). (6. 𝑥) − (3. 𝑥² + 1). (21. 𝑥² + 1)
(7. 𝑥³ + 𝑥)2
 
Outros tipos de derivadas de funções são as de funções do tipo exponencial, 
logarítmica, trigonométrica, etc. 
Função Exponencial 
Seja 𝑦 = 𝑎𝑢 e a sua derivada é 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢´ ln(𝑎) . 𝑎𝑢. 
Exemplo: 
𝑦 = 2𝑥
5+2.𝑥2+5, 𝑠𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑟á: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (5. 𝑥4 + 4. 𝑥). ln(2) . 2𝑥
5+2.𝑥²+5 
 
8 
 
Caso particular: 
Se a base for o número de neper (e), temos: 
𝑦 = 𝑒𝑢 e a sua derivada é 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢´. 𝑒𝑢. 
Exemplo: 
𝑦 = 𝑒𝑥
5+2.𝑥²+5 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (5. 𝑥4 + 4. 𝑥). 𝑒𝑥
5+2.𝑥²+5 
Função logarítmica 
Seja o logaritmo não natural, de base (“a”), ou seja: 
𝑦 = log𝑎 𝑢 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑢´
𝑢. ln (𝑎)
 
Exemplo: 
𝑦 = log10(𝑥³ − 2) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3. 𝑥²
(𝑥³ − 2). ln (10)
 
Caso particular: 
Se a base for o número de neper (e), temos: 
𝑦 = ln(𝑢) = log𝑒 𝑢 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑢´
𝑢
. 
Exemplo: 
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥³ − 2) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3. 𝑥²
(𝑥³ − 2)
 
Algumas Funções trigonométricas 
i. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos(𝑢) . 𝑢´ 
Exemplo: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥³ + 5. 𝑥) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos(2𝑥³ + 5. 𝑥) . (6𝑥² + 5) 
 
ii. 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑢) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −sen(𝑢) . 𝑢´ 
Exemplo: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(−2𝑥³ + 5) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −sen(−2𝑥³ + 5) . (−6𝑥²) 
iii. 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑢) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= sec²(𝑢) . 𝑢´ 
Exemplo: 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥−2) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= sec²(𝑥−2) . (−2𝑥−3) 
iv. 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡(𝑢) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −csc²(𝑢) . 𝑢´ 
Exemplo: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡(𝑥−1) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −csc²(𝑥−1) . (−𝑥−2) 
v. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑢) =
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= sec(𝑢) . tan(𝑢) . 𝑢´ 
Exemplo: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(2𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= sec(2𝑥) . tan(2𝑥) . 29 
 
vi. 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐(𝑢) =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −csc(𝑢) . cot(𝑢) . 𝑢´ 
Exemplo: 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐(−3𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −csc(−3𝑥) . cot(−3𝑥) . (−3) 
vii. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑢) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑢´
√1−𝑢²
 
Exemplo: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥²) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2.𝑥
𝑥².√1−(𝑙𝑛𝑥2)²
=
2
𝑥.√1−(𝑙𝑛𝑥2)²
 
viii. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑢) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑢´
√1−𝑢²
 
Exemplo: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥²) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2.𝑥
√1−(𝑥2)²
 
ix. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑢´
1+𝑢²
 
Exemplo: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥³) →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3.𝑥²
1+𝑥³
 
Exercícios Propostos: 
3) Aplicando as regras básicas, calcule a diferenciação de cada função: 
a) 𝑦 = 𝑥5 − 7. 𝑥3 + 1 
b) 𝑦 =
3
𝑥²
+
4
𝑥
 
c) 𝑦 = (𝑥² + 3. 𝑥). (𝑥³ − 9. 𝑥) 
d) 𝑦 =
3.𝑥²+7
𝑥²−1
 
e) 𝑓(𝑥) = 5. 𝑠𝑒𝑛(7𝑥) 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(3𝑥) 
g) 𝑓(𝑥) = 5. 𝑐𝑜𝑠(7𝑥) 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4(3𝑥) 
i) 𝑓(𝑥) = 5. 𝑡𝑎𝑛(7𝑥) 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛4(3𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 7) 
l) 𝑓(𝑥) = ln(𝑐𝑜𝑠3𝑥) 
m) 𝑓(𝑥) = e𝑥
2+7 
n) 𝑦 = 35𝑥 . 24𝑥² 
 
Gabarito: 
1) a) f´(x) = 2x +4 b) -2.x-2 c) -3.(t-1)-2 d) -9u.(1-9u²)-1/2 
2) a) 100.(x²+5x)99.(2x+5) b) -12.(3x-1)-5 c) -7.(4x-5).(2x²-5x+1)-8 
d) 15.(3x²).(x³+2)14 
3) a) 5x4-21x² b) -6x-3-4x-2 c) (2x+3).(x³-9x)+(x²+3x).(3x²-9) 
d) 
(6𝑥).(𝑥2−1)−(3𝑥2+7).(2𝑥)
(𝑥2−1)²
 e) 35.cos(7x) f) 12.sen³(3x).cos(3x) g) -35.sen(7x) 
h) -12.cos³(3x).sen (3x) i) 35.sec²(7x) j) 12.tan³(3x).sec²(3x) k) 
2𝑥
𝑥2+7
 
l) 
−3𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
cos3𝑡
= −3𝑡𝑎𝑔(3𝑡) m) 2x . e𝑥
2+7 n) 35𝑥. 24𝑥². (5. ln 3 + 8𝑥. ln 2) 
 
 
10 
 
II. Diferencial. 
Seja f uma função e sejam x e y variáveis relacionadas por y = f(x). Então a diferencial 
dx é uma quantidade que pode tomar qualquer valor em IR. Se x é um número qualquer do 
domínio de f para o qual f´(x) existe, a diferencial de dy é definida por: 
𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 
Onde x está no domínio de f´ e x é um incremento arbitrário de x. 
Exemplo: 
 Se y = f(x) = 3.x²-2.x+1, ache dy. 
Solução: 
f´(x) = 6.x-2, assim dy = (6.x-2) dx. 
Observe a distinção entre a diferencial dx da variável independente x e a diferencial dy 
da variável dependente y. Visto que dx pode assumir qualquer valor. O valor de dy 
depende de x e dx (sem mencionar f). Assim, no exemplo acima, quando x =1 e dx = 
0,002, temos dy = (6-2).(0,002) = 0,008. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 2, dá a dy uma interceptação geométrica e compara-lo com y . Aqui, 
suponhamos que f é diferencial em x1, tomamos dx = x, e apresentamos x como um 
incremento no valor de x de x1 até x1 + x. 
Assim dy é a variação correspondente no valor de y de f(x1) até f(x1 + x), como se 
pode ver percorrendo o gráfico de f. Contudo, desde f´(x1) é o coeficiente angular da reta 
tangente ao gráfico de f em (x1, f(x1)), segue-se que dy = f´( x1) dx dá o incremento 
correspondente no valor de y, determinado seguindo-se a direção da reta tangente. 
 
ERRO 
Figura 2 
 
11 
 
Da figura 2, está claro que dy é uma boa aproximação para y, desde que dx = x e 
que x seja suficientemente pequeno. Uma afirmação precisa e a prova de que dy  y se 
dx = x e x é “pequeno” podem ser dadas usando-se o teorema de aproximação linear. 
 
Exemplo: 
1. Seja y = f(x) = 3.x²-2.x+4 e faça x1 = 1, dx = x = 0,02. 
 
a) Calcule y = f(x1+x) - f(x1) exatamente, 
b) Faça uma estimativa de y usando dy = f´(x1) dx e 
c) Determine o erro y – dy cometido nessa aproximação. 
 
Solução 
 
a) f(x1)= f(1) = 3.1²-2.1+4 = 5, f(x1+x) = f(1+0,02) = 3.(1,02)² - 2.(1,02) +4 = 
5,0812; então, 
y = f(x1+x) - f(x1)=5,0812 – 5 = 0,0812 
b) Como: f´(x) = 6.x-2; temos: 
 dy = f´(x1) dx = f´(1).dx = [6.1-2].(0,02)=0,08 
c) O erro y – dy = 0,0812 – 0,08 = 0,0012 
 
2. Use diferenciais para estimar √35. 
Solução: 
Seja 𝑦 = √𝑥 e seja y a variação no valor de y, causado pelo decréscimo de x de 36 
para 35. Tome dx = x= 35 – 36 = -1. Assim √35 = √36 + ∆𝑦 = 6 + ∆𝑦. Desde que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑(√𝑥)
𝑑𝑥
=
1
2.√𝑥
, segue-se, quando x = 36, teremos: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2. √36
=
1
12
 
Assim, 
∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. ∆𝑥 =
1
12
. (−1) = −
1
12
 
 Então √35 = 6 + ∆𝑦 ≈ 6 −
1
12
= 5,916 
 
 
12 
 
3. O raio de uma esfera de aço mede 1,5 cm e sabe-se que o erro cometido na 
sua medição não excede 0,1 cm. O volume da esfera é calculado a partir da medida de seu 
raio usando-se a fórmula 𝑉 =
4
3
. 𝜋. 𝑟³. Estime o erro possível no cálculo do volume, com o 
uso de diferencial. 
 
Solução: 
O valor real do raio é 1,5 + r, onde r é o erro de medida. Sabemos que esse erro é 
inferior a 0,1 cm, ou seja |∆𝑟| ≤ 0,1. O valor verdadeiro do volume é 𝑉 =
4
3
. 𝜋. (1,5 + ∆𝑟)³, 
enquanto o valor do volume calculado do raio medido é 𝑉 =
4
3
. 𝜋. (1,5)³. 
A diferença ∆𝑉 =
4
3
. 𝜋. (1,5 + ∆𝑟)³ −
4
3
. 𝜋. (1,5)3, que representa o erro no cálculo do 
volume. Colocamos dr = r e estimamos V por dV como se segue. Observe que: 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
=
𝑑
𝑑𝑟
(
4
3
. 𝜋. 𝑟³) = 4. 𝜋. 𝑟² 
Consequentemente: 
∆𝑉 ≈ 𝑑𝑉 =
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑟 =
𝑑𝑉
𝑑𝑟
∆𝑟 = (4. 𝜋. 𝑟2). ∆𝑟 = 4. 𝜋. (1,5)2. ∆𝑟 = 9. 𝜋. ∆𝑟 
Portanto: |∆𝑉| ≈ |9. 𝜋. ∆𝑟| = 9. 𝜋|∆𝑟| ≤ 9. 𝜋. (0,1) = 0,9. 𝜋 ∴ |∆𝑉| ≈ 2,8 𝑐𝑚³ 
 
 
13 
 
Fórmulas envolvendo diferênciais 
 Desde que 𝑑𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥, segue-se que todas as fórmulas que dão a derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 podem 
ser convertidas em uma fórmula que dá a diferencial dy simplesmente multiplicando a 
derivada pela diferencial dx. Por exemplo se 𝑦 = 𝑢 + 𝑣, então 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
, portanto 
𝑑𝑦 = (
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣, isto é 
 𝑑(𝑢 + 𝑣) = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣. Observe a tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Seja y = 47x³-21x²+3.x-1, ache dy. 
 
Solução: 
dy = 141.x² dx- 42 x dx – 3.x -2 dx ou dy=(141.x² - 42 x – 3.x -2)dx 
 
Tabela 1 – Derivadas x Diferenciais 
 
14 
 
 
2. Seja 𝑦 = √3 − 𝑥5, ache dy 
Solução: 
𝑑𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
[(3 − 𝑥5)
1
2] =
−5𝑥4
2.√3 − 𝑥5
𝑑𝑥 
3. Sejam x e y funções de uma terceira variável z e suponha que x³+4.x².y+y³ = 2. Ache 
a relação entre dx e dy. 
Solução: 
Diferenciando em ambos os lados da equação temos: 
𝑑(𝑥3 + 4. 𝑥2𝑦 + 𝑦3) = 𝑑(2) 
𝑑(𝑥3) + 𝑑(4. 𝑥2𝑦) + 𝑑(𝑦3) = 0 
3. 𝑥²𝑑𝑥 + 8𝑥𝑦𝑑𝑥 + 4. 𝑥². 𝑑𝑦 + 3𝑦². 𝑑𝑦 = 0 
(3. 𝑥² + 8𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (4. 𝑥² + 3𝑦²). 𝑑𝑦 = 0 
−(3. 𝑥² + 8𝑥𝑦)𝑑𝑥 = (4. 𝑥² + 3𝑦²). 𝑑𝑦 
Exercícios 
1. Nos problemas abaixo, faça dx igual a um dado de x e use o valor indicado de x1 
para calcular: 
(a) y = f(x1+x) - f(x1); 
(b) dy = f´(x1) dx 
(c) y-dy. 
1.1 f é definida por y = 3.x²+1, x1 =1 e x = 0,1 
1.2 f é definida por y = -2.x²+4x+1, x1 =2 e x = 0,4 
1.3 f é definida por 𝑦 =
9
√𝑥
, x1 =9 e x = -1. 
 
2. Nos problemas abaixo, ache dy em termos de x e dx. 
 
a. y = 5 – 4x + x³ 
b. 𝑦 = √9 − 3. 𝑥² 
c. 𝑦 = √
𝑥−3
𝑥+3
 
 
 
15 
 
 
3. Use as diferenciais para aproximar cada expansão: 
a. √101 
b. √17
4
 
c. 
1
√10
 
 
4. Ache a relação entre dx e dy, “tomando diferenciais” em ambos os lados de cada 
equação. 
a. x²+y²=36 
b. 9.x²-16y²=144 
c. √𝑥
3 = 2 − √𝑦
3 
 
5. A altura de certo cone circular reto é constante e igual a 2 metros. Se o raio de sua 
baseé aumentado de 100 cm para 105 cm, ache o crescimento aproximado no 
volume do cone, com o uso de diferencial. 
 
Gabarito: 
1.1 (a) 0,63; (b) 0,6 e (c) 0,03 
1.2 (a) -1,92; (b) -1,6 e (c) -0,32 
1.3 (a) 
9√2−12
4
≈ 0,18; (b) 1/6 e (c) 
27√2−38
12
≈ 0,015 
2.a) (-4+3.x²)dx b) 
−3𝑥
√9−3.𝑥²
dx c) 3. (𝑥 + 3)−
3
2. (𝑥 − 3)−1/2dx 
3.a) 
201
20
 b) 
65
32
 c) 
17
54
 
4. a) xdx+ydy=0 b) 9xdx-16ydy=0 c) 𝑥−2/3𝑑𝑥 + 𝑦−2/3𝑑𝑦 = 0 
5. 0,21 m³ 
 
 
16 
 
III. Antiderivadas ou Integrais indefinidas. 
Na matemática aplicada ocorre frequentemente conhecermos a derivada de uma 
função e desejamos encontrar a própria função. Um físico que conhece a velocidade de uma 
partícula pode desejar saber sua posição em um dado instante. Um engenheiro que pode 
medir a taxa de variação segundo a qual a água está escoando de um tanque quer saber a 
quantidade escoada durante certo período de tempo. Um biólogo que conhece a taxa 
segundo a qual uma população de bactérias está crescendo pode querer deduzir qual o 
tamanho da população em certo momento do futuro. Em cada caso, o problema é encontrar 
uma função F cuja derivada é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é chamada 
uma antiderivada de f. 
Definição: Uma função F é chamada um antiderivada de f sobre um intervalo I se F’(x)=f(x) 
para todo x em I 
Teorema: Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a antiderivada mais geral 
de f em I é: 
F(x) + C 
onde C é uma constante arbitrária. 
Notação para antiderivadas 
 As antiderivadas são tradicionalmente escritas usando um simbolismo especial que 
algumas vantagens da notação de Leibniz para derivas e que, de fato, foi usado pelo próprio 
Leibniz. O simbolismo pode ser compreendido pensando-se na diferencial dy como uma 
“porção infinitesimal de y” e imaginado que y é a soma de todos esses infinitos. Leibniz usou 
uma letra S estilizada, escrita na forma: , para tais “somatórios”, tal que 𝑦 = ∫𝑑𝑦, deve 
simbolizar a ideia de que “y é a soma de todas suas diferenciais individuais” de forma a ter 
quantidade inteira ou completa, como expresso por 𝑦 = ∫𝑑𝑦, deve ser convenientemente 
chamado de integração ao invés de somatório. 
 Agora suponha que g é a antiderivada de f, tal que g´= f. Se tomarmos y = g(x), então 
dy = g´(x) dx = f(x) dx, talque: 
𝑦 = ∫𝑑𝑦 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑖𝑠𝑡𝑜 é 𝑔(𝑥) = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
 Se C é uma camada constante qualquer, então g(x) + C é também uma antiderivada 
de f. portanto, damos a seguinte definição. 
 
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) + 𝐶 
 
 
17 
 
Por exemplo, encontre uma antiderivada de f(x) = x². Lembrando a regra da potência, 
se F(x) = 1/3 x³ , então F’(x) = x² = f(x). Mas a função G(x) = 1/3 x² +100 também satisfaz 
G’(x) = x² = f(x). Consequentemente, ambas F e G são antiderivadas de f. Na verdade, 
qualquer função da forma H(x) = 1/3 x³ + C, onde C é uma constante, é uma antiderivada 
de f. 
 
 Regras Básicas para antidiferenciação . 
I. 𝐷𝑥 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 
II. ∫𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 
III. ∫𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
IV. ∫𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, para n Q-{-1} 
V. ∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑎 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 – Regra da homogeneidade, se a é uma constante. 
VI. ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 =∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 – Regra da adição. 
VII. ∫[𝑎1𝑓(𝑥) + 𝑎2𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 =𝑎1 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑎2 ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 – Regra da linearidade - se a1 e a2 
são constantes. 
VIII. Regra Geral da Linearidade, se a1, a2, ...,am 
∫[𝑎1𝑓1(𝑥) + 𝑎2𝑓2(𝑥) + ⋯+ 𝑎𝑚𝑓𝑚(𝑥)]𝑑𝑥 =𝑎1∫𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑎2∫𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 +⋯+ 𝑎𝑚∫𝑓𝑚(𝑥)𝑑𝑥 
Estas regras básicas valem em qualquer conjunto escolhido de números I desde que 
as funções envolvidas tenham antiderivadas em I. 
 
Exemplos: Calcular as antiderivadas dadas: 
a. ∫(5x + √x − 7)dx 
Solução: 
∫(5𝑥 + √𝑥 − 7)𝑑𝑥 = ∫5𝑥 𝑑𝑥 +∫√𝑥 𝑑𝑥 − ∫7𝑑𝑥 (𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑑𝑖çã𝑜) 
∫(5𝑥 + √𝑥 − 7)𝑑𝑥 = 5∫𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝑥1/2 𝑑𝑥 − 7∫𝑑𝑥 (𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒) 
∫(5𝑥 + √𝑥 − 7)𝑑𝑥 = 5(
𝑥1+1
1 + 1
+ 𝐶1) + (
𝑥
1
2+1
1
2 + 1
+ 𝐶2)− 7(𝑥 + 𝐶3) (𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎) 
∫(5𝑥 + √𝑥 − 7)𝑑𝑥 =
5
2
𝑥² +
2
3
𝑥
3
2 − 7𝑥+5𝐶1 + 𝐶2−7𝐶3⏟ 
𝐶
 
∫(5𝑥 + √𝑥 − 7)𝑑𝑥 =
5
2
𝑥² +
2
3
𝑥
3
2 − 7𝑥 + 𝐶 
 
 
18 
 
b. ∫
𝑥4+3.𝑥²+5
𝑥²
𝑑𝑥 
Solução: 
∫
𝑥4 + 3. 𝑥² + 5
𝑥²
𝑑𝑥 = ∫(
𝑥4
𝑥²
+
3. 𝑥²
𝑥²
+
5
𝑥²
)𝑑𝑥 = ∫(𝑥² + 3 + 5. 𝑥−2)𝑑𝑥 
∫
𝑥4 + 3. 𝑥2 + 5
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫𝑥2𝑑𝑥 +∫3𝑑𝑥 +∫5. 𝑥−2𝑑𝑥 = 
∫
𝑥4 + 3. 𝑥2 + 5
𝑥2
𝑑𝑥 = (
𝑥2+1
2 + 1
+ 𝐶1) + 3. (𝑥 + 𝐶2) + 5. (
𝑥−2+1
−2+ 1
+ 𝐶3) 
∫
𝑥4 + 3. 𝑥² + 5
𝑥²
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 3. 𝑥 + 5.
𝑥−1
−1
+ (𝐶1 + 3. 𝐶2 + 5𝐶3) 
∴ ∫
𝑥4 + 3. 𝑥² + 5
𝑥²
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 3. 𝑥 − 5. 𝑥−1 + (𝐶) 
c. ∫(𝑦. √𝑦
3 + 1)
2
𝑑𝑦 
Solução: 
∫(𝑦. √𝑦
3 + 1)
2
𝑑𝑦 = ∫(√𝑦4
3
+ 1)
2
𝑑𝑦 = ∫(𝑦
4
3 + 1)
2
𝑑𝑦 = ∫(𝑦
8
3 + 2. 𝑦
4
3 + 1)𝑑𝑦 
∫(𝑦. √𝑦
3 + 1)
2
𝑑𝑦 = ∫𝑦
8
3𝑑𝑦 + 2∫𝑦
4
3 𝑑𝑦 + ∫1𝑑𝑦 = 
∫(𝑦. √𝑦
3 + 1)
2
𝑑𝑦 = (
𝑦
8
3+1
8
3 + 1
+ 𝐶1)+ 2. (
𝑦
4
3+1
4
3 + 1
+ 𝐶2)+ 1. (𝑦 + 𝐶3) 
∫(𝑦. √𝑦
3 + 1)
2
𝑑𝑦 = (
𝑦
11
3
11
3
) + 2. (
𝑦
7
3
7
3
+ 𝐶2)+ 𝑦 + 𝐶3 =
3
11
. 𝑦
11
3 +
6
7
𝑦
7
3 + 𝑦 + 𝐶 
∴ ∫(𝑦. √𝑦
3 + 1)
2
𝑑𝑦 =
3
11
. 𝑦
11
3 +
6
7
𝑦
7
3 + 𝑦 + 𝐶 
 
 
19 
 
IV. Método da substituição ou Mudança de Variável 
 
Este método consiste em transformar algumas integrais em integrais mais simples 
através da substituição de certas funções por uma variável auxiliar, imagine o seguinte 
problema: 
 
Calcule ∫(3𝑥 − 2)8𝑑𝑥 
 
 Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (3x-2)8 e em 
seguida integrar o integrando, membro a membro. Alternativamente, é possível fazendo uma 
mudança de variáveis, não seria muito interessante se tivéssemos uma expressão do tipo
duu
8
? E o que faremos a seguir: 
Fazendo a substituição u = 3x –2 , e derivando implicitamente temos: 
 du = 3 dx 

3
du
dx 
 
E substituindo na integral original teremos: 
 
dxx 
8)23(
 = 
3
8 duu
 = 
duu
8
3
1
 = 
C
u

27
9 , substituindo u por 3x –2 , temos: 
dxx 
8)23(
 = 
.
27
)23( 9
C
x


 
Exemplos: 
a) 
dxxxx 42 )65).(52( 
: 
Solução: 
 A pergunta que surge agora é a seguinte: qual função irá substituir por u? A 
resposta, é que iremos substituir por u a função cuja derivada esta multiplicando a outra 
função da integral, portanto, neste problema, faremos a seguinte substituição: 
u = x2 –5x+6 

 du = (2x – 5) dx , substituindo na integral teremos: 
C
u
duudxxxx   5
)65).(52(
5
442
 , e substituindo u por (x2 –5x+6) temos: 
C
xx
dxxxx 

 5
)65(
)65).(52(
52
42
 
 
 
20 
 
b) ∫√7𝑥 + 2𝑑𝑥 
 
Solução: 
 
∫√7𝑥 + 2 𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 7𝑥 + 2, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 = 7. 𝑑𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫√7𝑥 + 2 𝑑𝑥 = (
1
7
)∫√7𝑥 + 2 (7). 𝑑𝑥 =
1
7
∫√𝑢 𝑑𝑢 =
1
7
(
𝑢
1
2+1
1
2 + 1
+ 𝐶) =
1
7
(
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶) 
∫√7𝑥 + 2 𝑑𝑥 ==
1
7
(
2
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶) 
∫√7𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
2
21
𝑢
3
2 +
1
7
𝐶1⏟
𝐶
, 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 7𝑥 + 2, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
∴ ∫√7𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
2
21
(7𝑥 + 2)
3
2 + 𝐶 
𝑐) ∫
𝑥²
(𝑥³ + 4)5
𝑑𝑥 
 
Solução: 
 
∫
𝑥²
(𝑥³ + 4)5
𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑥³ + 4, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 = 3. 𝑥²𝑑𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:∫
𝑥²
(𝑥³ + 4)5
𝑑𝑥 =
1
3
∫
3. 𝑥²
(𝑥³ + 4)5
𝑑𝑥 =
1
3
∫
1
(𝑢)5
𝑑𝑢 =
1
3
∫𝑢−5𝑑𝑢 =
1
3
(
𝑢−5+1
−5+ 1
+ 𝐶1) 
∫
𝑥²
(𝑥³ + 4)5
𝑑𝑥 =
1
3
(
𝑢−4
−4
) +
1
3
𝐶1 = −
1
12
(𝑥3 + 4)−4 + 𝐶 
∴ ∫
𝑥²
(𝑥³ + 4)5
𝑑𝑥 = −
1
12
(𝑥3 + 4)−4 + 𝐶 
 
 
21 
 
𝑑) ∫𝑥²√3 − 2𝑥 𝑑𝑥 
Solução: 
 
∫𝑥²√3 − 2𝑥 𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 3 − 2𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 = −2𝑑𝑥 𝑒 𝑥 =
3 − 𝑢
2
, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫𝑥2. √3 − 2𝑥𝑑𝑥 =
1
−2
∫𝑥2. √3 − 2𝑥(−2)𝑑𝑥 =
1
−2
∫(
3 − 𝑢
2
)
2
√𝑢 𝑑𝑢 
∫𝑥²√3 − 2𝑥 𝑑𝑥 ==
1
−2
∫(
9 − 6𝑢 + 𝑢²
4
) 𝑢
1
2 𝑑𝑢 
∫𝑥²√3 − 2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
8
∫(9𝑢
1
2 − 6𝑢
3
2 + 𝑢
5
2 ) 𝑑𝑢 = −
1
8
 (
9. 𝑢
1
2+1
1
2 + 1
−
6. 𝑢
3
2+1
3
2 + 1
+
𝑢
5
2+1
5
2 + 1
+ 𝐶1) 
∫𝑥²√3 − 2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
8
 (
9. 𝑢
3
2
3
2
−
6. 𝑢
5
2
5
2
+
𝑢
7
2
7
2
+ 𝐶1) = −
1
8
 (6. 𝑢
3
2 −
12
5
𝑢
5
2 +
2. 𝑢
7
2
7
+ 𝐶1) 
∫𝑥²√3 − 2𝑥 𝑑𝑥 = −
6. 𝑢
3
2
8
+
12
40
𝑢
5
2 −
2. 𝑢
7
2
56
−
1
8
𝐶1 = −
3. 𝑢
3
2
4
+
3
10
𝑢
5
2 −
1. 𝑢
7
2
28
+ 𝐶 
∴ ∫𝑥²√3 − 2𝑥 𝑑𝑥 = −
3. (3 − 2𝑥)
3
2
4
+
3
10
(3 − 2𝑥)
5
2 −
(3 − 2𝑥)
7
2
28
+ 𝐶 
 
𝑒) ∫
𝑡
√𝑡 + 5
 𝑑𝑡 
Solução: 
 
∫
𝑡
√𝑡 + 5
 𝑑𝑡 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = √𝑡 + 5, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 =
1
2
. (𝑡 + 5)−
1
2 𝑒 𝑡 = 𝑢² − 5 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫
𝑡
√𝑡 + 5
 𝑑𝑡 = 2.∫
𝑡
√𝑡 + 5
 
1
2
𝑑𝑡 = 2.∫(𝑢² − 5) 𝑑𝑢 = 2. (
𝑢2+1
2 + 1
− 5.
𝑢0+1
0 + 1
+ 𝐶1) 
∫
𝑡
√𝑡 + 5
 𝑑𝑡 =
2. 𝑢3
3
− 10. 𝑢 + 2𝐶1 =
2. (√𝑡 + 5)
3
3
− 10. √𝑡 + 5 + 𝐶 
∴ ∫
𝑡
√𝑡 + 5
 𝑑𝑡 =
2. (√𝑡 + 5)
3
3
− 10.√𝑡 + 5 + 𝐶 
 
 
22 
 
Exercícios 
1. Use as regras básicas para antidiferenciação para calcular cada integral indefinida. 
𝑎) ∫(3. 𝑥² − 4. 𝑥 − 5)𝑑𝑥 
𝑏) ∫(2. 𝑥³ − 4. 𝑥2 − 5𝑥 + 6)𝑑𝑥 
𝑐) ∫(
𝑥³ − 1
𝑥 − 1
)𝑑𝑥 
𝑑) ∫ (𝑡² + 3𝑡 +
1
𝑡²
) 𝑑𝑡 
𝑒) ∫(
25𝑥³ − 1
√𝑥
)𝑑𝑥 
 
2. Ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas para antidiferenciação. 
𝑎) ∫(4𝑥 + 3)4𝑑𝑥 , 𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑢 = 4𝑥 + 3 
𝑏) ∫𝑥.√4. 𝑥² + 15 𝑑𝑥 , 𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑢 = 4𝑥² + 15 
𝑐) ∫
𝑠 𝑑𝑠
√5𝑠² + 16
3
, 𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑢 = 5𝑠² + 16 
𝑑) ∫ (1 − 𝑥
3
2)
5
3
√𝑥 𝑑𝑥 , 𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑢 = 1 − 𝑥
3
2 
𝑒) ∫
𝑥²𝑑𝑥
(4. 𝑥³ + 1)7
 
𝑓) ∫(5𝑡² + 1)√5𝑡³ + 3𝑡 − 2
4
 𝑑𝑡 
𝑔) ∫
2𝑥² − 1
(6𝑥³ − 9𝑥 + 1)
3
2
𝑑𝑥 
ℎ) ∫𝑥. √5 − 𝑥 𝑑𝑥, 
𝑖) ∫
𝑡 𝑑𝑡
√𝑡 + 1
 
𝑗) ∫
𝑡² 𝑑𝑡
√𝑡 + 4
 
 
3. Calcule ∫ x². √5x − 1 dx por dois métodos e compare suas sespostas: 
a. Use a substituição u = 5x – 1 
b. Use a substituição u = √5x − 1 
Gabarito: 
1. a) x³-2x²-5x+C b) 
𝑥4
2
−
4𝑥3
3
−
5𝑥2
2
+ 6𝑥 + 𝐶 c) 
𝑥3
3
+
𝑥²
2
+ 𝑥 + 𝐶 
d) 
𝑡³
3
+
3𝑡²
2
−
1
𝑡
+ 𝐶 e) 
50𝑥
7
2
7
− 2. 𝑥
1
2 + 𝐶 
2. a) 
(4𝑥+3)5
20
+ 𝐶 b) 
(4𝑥²+15)
3
2
12
+ 𝐶 c) 
3
20
(5𝑠² + 16)
2
3 + 𝐶 
d) −
1
4
(1 − 𝑥
3
2)
8
3
+ 𝐶 e) 
−1
72(4𝑥³+1)6
+ 𝐶 f) 
4
15
(5𝑡³ + 3𝑡 − 2)
5
4 + 𝐶 
 
 
23 
 
g) 
−2
9√6𝑥³−9𝑥+1
+ 𝐶 h) 
2
5
(5 − 𝑥)
5
2 −
10
3
(5 − 𝑥)
3
2 + 𝐶 
 i) 
2
3
(𝑡 + 1)
3
2 − 2. (𝑡 + 1)
1
2 + 𝐶 j) 
2
5
(𝑡 + 4)
5
2 −
16
3
(𝑡 + 4)
3
2 + 32(𝑡 + 4)
1
2 + 𝐶 
3. 
2
125
[
1
7
(5𝑥 − 1)
7
2 +
2
5
(5𝑥 − 1)
5
2 +
1
3
(5𝑥 − 1)
3
2] + 𝐶 
 
 Outras integrais indefinidas. 
 
Sabendo-se que: 
𝐷𝑥 𝑙𝑛 𝑢 =
1
𝑢
. 𝐷𝑥𝑢 → 𝐷𝑥 ln 𝑥 =
1
𝑥
. 𝐷𝑥𝑥⏟
1
=
1
𝑥
∴ 𝐷𝑥 ln 𝑥 =
1
𝑥
 
Segue dai, que: 
∫𝐷𝑥 ln 𝑥 = ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 ∴ ln 𝑥 = ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 
Ou seja: 
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 =
{
 
 
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶, 𝑠𝑒 𝑛 ≠ −1
ln|𝑢| + 𝐶, 𝑠𝑒 𝑛 = −1
 
Exemplo: 
𝑎) ∫
𝑥
𝑥² + 7
𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑥² + 7, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑢 = 2. 𝑥 𝑑𝑥 
Solução: 
∫
𝑥
𝑥² + 7
𝑑𝑥 =
1
2
.∫
1
𝑥² + 7
2. 𝑥. 𝑑𝑥 =
1
2
.∫
1
𝑢
𝑑𝑢 =
1
2
ln|𝑢| + 𝐶 =
1
2
ln|𝑥² + 7| + 𝐶 
 
𝑏) ∫
(ln 𝑥)2
𝑥
𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝑢 =
1
𝑥
 𝑑𝑥 
Solução: 
∫
(ln 𝑥)2
𝑥
𝑑𝑥 = ∫𝑢² 𝑑𝑢 =
𝑢³
3
+ 𝐶 =
(ln 𝑥)³
3
+ 𝐶 
A fórmula de diferenciação: 𝐷𝑥𝑏
𝑥 = 𝑏𝑥 . ln 𝑏, no leva a uma fórmula de integração 
correspondente da seguinte maneira: 
𝐷𝑥𝑏
𝑥 = 𝑏𝑥. ln 𝑏 
∫𝐷𝑥𝑏
𝑥 = ∫𝑏𝑥 . ln 𝑏 𝑑𝑥 → 𝑏𝑥 = ln𝑏∫𝑏𝑥 𝑑𝑥 →
𝑏𝑥
ln 𝑏
= ∫𝑏𝑥 𝑑𝑥 
Ou seja: 
 
 
24 
 
 
∫𝑏𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏𝑥
ln 𝑏
+ 𝐶 
Exemplos: 
𝑐) ∫7𝑥𝑑𝑥 
Solução: 
∫7𝑥𝑑𝑥 =
7𝑥
ln 7
+ 𝐶 
𝑑) ∫5𝑠𝑒𝑛 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑢 = 2. cos 2𝑥 𝑑𝑥 
Solução: 
∫5𝑠𝑒𝑛 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫5𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2. cos 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫5𝑢𝑑𝑢 =
5𝑠𝑒𝑛 2𝑥
2. ln 5
 
 
Observação: Como a derivada da função exponencial é a sua própria derivada, isto é: 
 
𝐷𝑥𝑒
𝑥 = 𝑒𝑥 . ln 𝑒 = 𝑒𝑥 
Sua integração será: 
∫𝑒𝑢𝑑𝑥 = 𝑒𝑢 + 𝐶 
As fórmulas para integrais indefinidas trigonométricas, podem ser obtidas invertendo-
se as suas respectivas derivadas, ou seja: 
𝑖) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −cos𝑢 + 𝐶 
𝑖𝑖) ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 
𝑖𝑖𝑖) ∫ 𝑠𝑒𝑐² 𝑢 𝑑𝑢 = tan𝑢 + 𝐶 
𝑖𝑣)∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐² 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝐶 
𝑣) ∫ sec 𝑢 tan𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶 
𝑣𝑖) ∫ cosec𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = −cosec 𝑢 + 𝐶 
 
Exemplos: 
𝑒) ∫ 𝑠𝑒𝑛 9𝑥 𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 9𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑢 = 9 𝑑𝑥 
Solução: 
∫𝑠𝑒𝑛 9𝑥 𝑑𝑥 =
1
9
∫𝑠𝑒𝑛 9𝑥 (9𝑑𝑥) =
1
9
∫𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
9
cos 𝑢 + 𝐶 = −
1
9
cos 9𝑥 + 𝐶 
 
 
25 
 
𝑓) ∫
cos√𝑥
√𝑥
 𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = √𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
2. √𝑥
 
Solução: 
∫
cos√𝑥
√𝑥
 𝑑𝑥 = 2.∫ cos√𝑥
 𝑑𝑥
2.√𝑥
= 2.∫ cos𝑢 𝑑𝑢 = 2. (𝑠𝑒𝑛 𝑢) + 𝐶 = 2. (𝑠𝑒𝑛√𝑥 ) + 𝐶 
∴ ∫
cos√𝑥
√𝑥
 𝑑𝑥 = 2. (𝑠𝑒𝑛√𝑥 ) + 𝐶 
𝑔) ∫ 𝑥² cosec²(5𝑥³) 𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 5𝑥³, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑢 = 15𝑥² 𝑑𝑥 
Solução: 
∫𝑥2cosec
2(5𝑥3)𝑑𝑥 =
1
15
∫cosec2(5𝑥3) (15𝑥2𝑑𝑥) =
1
15
∫cosec2(𝑢) 𝑑𝑢 
∫𝑥² cosec²(5𝑥³) 𝑑𝑥 =
1
15
. (−𝑐𝑜𝑡𝑔𝑢) + 𝐶 
∴ ∫𝑥² cosec²(5𝑥³) 𝑑𝑥 = −
1
15
𝑐𝑜𝑡𝑔 5𝑥3 + 𝑐 
 
ℎ) ∫ sec² (4𝑥 −
𝜋
9
) 𝑑𝑥 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 4𝑥 −
𝜋
9
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑥 
Solução: 
∫sec2 (4𝑥 −
𝜋
9
) 𝑑𝑥 =
1
4
∫sec2 (4𝑥 −
𝜋
9
) .4 𝑑𝑥 =
1
4
∫sec2(𝑢) . 𝑑𝑢 =
1
4
. tan 𝑢 + 𝐶 
∴ ∫sec² (4𝑥 −
𝜋
9
) 𝑑𝑥 =
1
4
. tan (4𝑥 −
𝜋
9
) + 𝐶 
Observação: 
∫tan𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos𝑥
 𝑑𝑥, 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
∫tan𝑥 𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 𝑑𝑥 = −∫
−𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
cos 𝑥
= −∫
𝑑𝑢
𝑢
= −𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 
∴ ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 == −𝑙𝑛|cos 𝑥| + 𝐶 
Portanto temos: 
𝑣𝑖𝑖) ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑙𝑛|cos 𝑥| + 𝐶 
Analogamente temos: 
𝑣𝑖𝑖𝑖) ∫ cotan𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑥| + 𝐶 
 
 
26 
 
Exercícios: 
1) Calcule a integral dos itens: 
𝑎) ∫
𝑑𝑥
7 + 5𝑥
 
𝑏) ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 2) ln(𝑥 + 2)
 
𝑐) ∫
𝑑𝑥
𝑥 + 1
 
𝑑) ∫𝑒3𝑥𝑑𝑥 
𝑒) ∫ 𝑒−4𝑥+5𝑑𝑥 
𝑓) ∫𝑥𝑒5𝑥²𝑑𝑥 
𝑔) ∫ 35𝑥𝑑𝑥 
ℎ) ∫7𝑥
4+4.𝑥³. (𝑥³ + 3𝑥²)𝑑𝑥 
𝑖) ∫
2
ln(
1
𝑥
)
𝑥
𝑑𝑥 (𝑑𝑖𝑐𝑎: 𝑢 = 𝑙𝑛 (
1𝑥
)) 
 
2) Calcule a integral dos itens: 
𝑎) ∫(2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3. cos 𝑥)𝑑𝑥 
𝑏) ∫2 𝑠𝑒𝑛 35𝑥 𝑑𝑥 
𝑐) ∫3. 𝑐𝑜𝑠(8𝑥 − 1) 𝑑𝑥 
𝑑) ∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛² 3𝑥
 
𝑒) ∫ sec² 11𝑥 𝑑𝑥 
𝑓) ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥. (tan 𝑥 + sec 𝑥)𝑑𝑥 
𝑔) ∫ sec(2𝑥 + 1) tan(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 
ℎ) ∫− cosec (
𝑥
5
) . cotan (
𝑥
5
) 𝑑𝑥 
 
3) Calcule a integral utilizando, inicialmente, a substituição dada. 
 
𝑎) ∫ cos 𝑥. cos(𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑏) ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
(2 + cos𝑥)2
𝑑𝑥; 𝑢 = 2 + cos 𝑥 
𝑐) ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos³ 𝑥
𝑑𝑥; 𝑢 = cos𝑥 
𝑑) ∫
sec² 𝑥
(3 + 2. tan 𝑥)³
𝑑𝑥 
𝑒) ∫ sec² 3𝑥 tan 3𝑥 𝑑𝑥 (𝑑𝑖𝑐𝑎: 𝑢 = sec3𝑥) 
𝑓) ∫ x³sec(10𝑥4) tan(10𝑥4) 𝑑𝑥 
4) a) calcule ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 utilizando a substituição u = sen x; 
b) calcule ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 utilizando a identidade sen x.cos x = ½ sen 2x; 
c) mostre que as respostas dos itens (a) e (b) são consistentes entre si. 
 
 
27 
 
 
5) Calcule as integrais 
𝑎) ∫
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
3 + 5. cos 2𝑥
𝑑𝑥 
𝑏) ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
9 + cos 𝑥
𝑑𝑥 
Gabarito: 
1.𝑎) 
1
5
. 𝑙𝑛|7 + 5𝑥| + 𝐶 𝑏) 𝑙𝑛|𝑙𝑛(𝑥 + 2)| + 𝐶 𝑐) 𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶 𝑑) 
𝑒3𝑥
3
+ 𝐶 
𝑒) 
−𝑒−4𝑥+5
4
+ 𝐶 f) 
𝑒5𝑥²
10
+ 𝐶 𝑔) 
35𝑥
5 𝑙𝑛 3
+ 𝐶 ℎ) 
7𝑥
4+4𝑥³
4.𝑙𝑛 7
+ 𝐶 𝑖) 
−2−𝑙𝑛𝑥
𝑙𝑛 2
+ 𝐶 
2. a) -2.cos x + 3 sen x + C b) −
2
35
𝑐𝑜𝑠 35𝑥 + 𝐶 c) 
3
8
𝑠𝑒𝑛 (8𝑥 − 1) + 𝐶 
d) −
1
3
𝑐𝑜𝑡 3𝑥 + 𝐶 e) 
1
11
 𝑡𝑔 11𝑥 + 𝐶 f) sec x + tg x + C 𝑔) 
𝑠𝑒𝑐 (2𝑥+1)
2
+ 𝐶 
h) 5𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (
𝑥
5
) + 𝐶 
3. a) sen(sen x) + C b) 
1
2+𝑐𝑜𝑠 𝑥
+ 𝐶 c)
1
2 𝑐𝑜𝑠² 𝑥
+ 𝐶 d) 
−1
4.(3+2𝑡𝑔 𝑥)²
+ 𝐶 
e) 
1
6
 𝑠𝑒𝑐² 3𝑥 + 𝐶 f) 
1
40
𝑠𝑒𝑐(10𝑥4) + 𝐶 
4. a) 
𝑠𝑒𝑛² 𝑥
2
+ 𝐶 b) 
−𝑐𝑜𝑠 2𝑥
4
+ 𝐶 c) as respostas são idênticas, pois 𝑠𝑒𝑛²𝑥 =
1−𝑐𝑜𝑠 2𝑥
2
 
5. 𝑎) 
−𝑙𝑛|3+5𝑐𝑜𝑠2𝑥|
10
+ 𝐶 𝑏) − 𝑙𝑛|9 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥| + 𝐶 
 
 
28 
 
V. Equação Diferencial 
 
Definição. Existe uma grande variedade de situações nas quais se deseja determinar 
uma quantidade variável a partir de um seu coeficiente de variação: se se quer calcular a 
posição de um ponto móvel, conhecendo, além da posição inicial e do tempo decorrido, a sua 
velocidade ou aceleração; no caso da determinação da quantidade de carga armazenada 
num circuito RLC, através de uma corrente elétrica no circuito, no caso de uma substância 
radioativa que se desintegra, com coeficiente de variação conhecido, determinar a quantidade 
de substancia remanescente ao fim de um dado tempo, conhecida a quantidade inicial, etc. 
Em exemplos como estes se procura determinar uma função desconhecida por meio de uma 
equação que envolve pelo menos uma derivada da função o a determinar. Tal equação tem o 
nome de Equação Diferencial. 
Se a função desconhecida é uma função real de variável real, as derivadas que 
aparecem na equação diferencial são derivadas usuais e a equação é chamada equação 
diferencial ordinária (se a função desconhecida é função de mais de uma variável, as 
derivadas que aparecem são derivadas parciais e a equação diferencial é chamada equação 
com derivadas parciais). Os exemplos mais simples de equações diferenciais ordinárias são 
as equações do tipo y´ = f(x), em que para obter a solução basta achar a primitiva da função f. 
Neste capítulo serão estudados somente alguns tipos muito simples de equações diferenciais 
ordinárias. 
 Solução de uma equação diferencial 
Uma solução, num intervalo I de , de uma dada equação diferencial é uma função, 
definida em I ; que transforme a equação numa identidade, isto é, que verifique a equação em 
todos os pontos x  I: Chama-se solução geral de uma equação diferencial, num intervalo I, 
ao conjunto de todas as suas soluções em I: 
∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) + 𝐶 
Neste sentido y = g(x) + C, representa a solução completa da equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) no intervalo I, desde que g seja uma antiderivada de f. 
As circunstâncias que dão origem as equações diferencias estão frequentemente 
vinculadas a condições adicionais chamadas condições de contorno, condições 
marginais, condições inicias ou condições limite, sobre as variáveis envolvidas. 
Exemplo: 
Ache a solução completa das equações diferenciais dadas, e então determine a 
solução particular satisfazendo as condições inicias indicadas: 
𝑎) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 6𝑥² −
1
𝑥2
+ 3; 𝑦 = 10 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1 
Solução: 
A solução completa é dada por: 
𝑑𝑦 = (6𝑥² −
1
𝑥2
+ 3)𝑑𝑥 ↔ ∫𝑑𝑦 = ∫(6𝑥² −
1
𝑥2
+ 3)𝑑𝑥 ↔ 𝑦 = 6.∫𝑥² 𝑑𝑥 − ∫𝑥−2𝑑𝑥 + 3∫𝑑𝑥 ↔ 
 
 
29 
 
𝑦 = 6.
𝑥³
3
−
𝑥−1
−1
+ 3𝑥 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 2. 𝑥3 +
1
𝑥
+ 3𝑥 + 𝐶 
A solução na condição de cotorno será: 
Partindo da solução completa: 
𝑦 = 2. 𝑥3 +
1
𝑥
+ 3𝑥 + 𝐶 
Temos que para x = 1  y = 10, tem-se: 
𝑦 = 2. 𝑥3 +
1
𝑥
+ 3𝑥 + 𝐶 ↔ 𝟏𝟎 = 2. 𝟏³ +
1
𝟏
+ 3. 𝟏 + 𝐶 ∴ 𝑐 = 4 
Portanto a solução na condição de contorno fica: 
𝑦 = 2. 𝑥3 +
1
𝑥
+ 3𝑥 + 4 
𝑏) 𝑑𝑦 = 𝑥√𝑥² + 5𝑑𝑥; 𝑦 = 8 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 2 
Solução: 
A solução completa é dada por: 
𝑑𝑦 = 𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥 ↔ ∫𝑑𝑦 = ∫𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥 , 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑥2 + 5, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑢
= 2𝑥 𝑑𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑐𝑎: 
𝑦 =
1
2
∫√𝑥2 + 5 2𝑥𝑑𝑥 =
1
2
∫√𝑢 𝑑𝑢 =
1
2
∫𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
1
2
𝑢
3
2
3
2
=
1
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 + 𝐶 
𝑦 = 
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 + 𝐶 
A solução na condição de cotorno será: 
Partindo da solução completa: 
𝑦 = 
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 + 𝐶 
Temos que para x = 2  y = 8, tem-se: 
𝑦 = 
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 + 𝐶 ↔ 𝟖 = 
1
3
. (𝟐² + 5)
3
2 + 𝐶 ∴ 𝑐 = −1 
Portanto a solução na condição de contorno fica: 
𝑦 = 
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 − 1 
 
30 
 
c) Resolver a equação diferencial y´ = 4x²y², com a condição de contorno x = 1 quando y = −1. 
Solução: 
Identificando que 𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, temos: 
𝑦´ = 4𝑥²𝑦² ↔
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥²𝑦² ↔
𝑑𝑦
𝑦²
= 4𝑥²𝑑𝑥 ↔ ∫
𝑑𝑦
𝑦²
= ∫4𝑥²𝑑𝑥 
𝑦−1
−1
+ 𝐶1 = 4.
𝑥³
3
+ 4. 𝐶2 ↔
−1
𝑦
= 4.
𝑥³
3
+ 4. 𝐶2 − 𝐶1⏟ 
𝐶𝑜
= 4.
𝑥³
3
+ 𝐶𝑜 ↔
−1
𝑦
=.
4𝑥³ + 3𝐶𝑜
3
 
𝑦 =
−3
4𝑥³ + 𝐶
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶 = 3𝐶𝑜 
A solução na condição de cotorno fica: 
Partindo da solução completa 
𝑦 =
−3
4𝑥³ + 𝐶
 
Temos que para x = 1  y = -1 tem-se: 
𝑦 =
−3
4𝑥³ + 𝐶
↔ −𝟏 = 
−3
4. (𝟏)3 + 𝐶
 ∴ 𝑐 = −1 
Portanto a solução na condição de contorno fica: 
𝑦 =
−3
4𝑥³ − 1
 
d) Ache a solução geral da equação diferencial x dx + y dy = 0 
Solução: 
x dx = −y dy ↔ ∫x dx = ∫−y dy ↔
𝑥2
2
+ 𝐶1 = −
𝑦2
2
+ 𝐶2 ↔
𝑥2
2
+
𝑦2
2
+ 𝐶2 − 𝐶1⏟ 
𝐶𝑜
= 0 
𝑥2
2
+
𝑦2
2
+ 𝐶𝑜 = 0 ↔ 𝑥² + 𝑦² = −2𝐶𝑜 ∴ 𝑥² + 𝑦² = 𝐶 
 
 
31 
 
Exercícios: 
1. Determine a solução geral de cada equação diferencial: 
𝑎) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 5. 𝑥4 + 3. 𝑥² + 1 𝑏) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 20. 𝑥3 − 6. 𝑥2 + 17 𝑐) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
6
𝑥²
+ 15. 𝑥² + 10 
𝑑) 𝑦´ =
(𝑥² − 4)2
2𝑥²
 𝑒) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= √7𝑥³ 𝑓) 𝑑𝑦 = (5𝑡 + 12)³𝑑𝑡 
𝑔) 𝑦´ = 𝑥(𝑥² − 3)4 ℎ) √𝑥³ + 7𝑑𝑦 = 𝑥² 𝑑𝑥 𝑖) √2𝑥 + 1𝑑𝑦 = 𝑦² 𝑑𝑥 
𝑗) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥. √𝑦4 + 7
3
5. 𝑦³
 
2. Determine a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição inicial: 
𝑎) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 5 − 3𝑥; 𝑦 = 4 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0. 
𝑏) 
𝑑𝑦𝑑𝑡
= 𝑡³ +
1
𝑡²
; 𝑦 = 1 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = −2. 
𝑐) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3. 𝑥² + 𝑥; 𝑦 = −2 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1. 
𝑑) 𝑦´ = √𝑥; 𝑦 = 5 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 4. 
𝑒) 
𝑑𝑥
𝑦
=
𝑑𝑦
2 − 𝑥
3
2
; 𝑦 = 2 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 9 
Gabarito: 
1) 𝑎) 𝑦 = 𝑥5 + 𝑥³ + 𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝑦 = 5𝑥4 − 2𝑥3 + 17𝑥 + 𝐶 𝑐)𝑦 = −
6
𝑥
+ 5. 𝑥³ + 10𝑥 + 𝐶 
𝑑)𝑦 = 
𝑥3
6
− 4𝑥 −
8
𝑥
+ 𝐶 𝑒) 𝑦 =
2√7
5
𝑥
5
2 + 𝐶 𝑓) 𝑦 = 
(5𝑡 + 12)4
20
+ 𝐶 
𝑔) 𝑦 = 
(𝑥2 − 3)5
10
+ 𝐶 ℎ) 𝑦 = 
2
3
√𝑥3 + 7 + 𝐶 𝑖 ) 𝑦 = 
−1
√2𝑥 + 1 + 𝐶
 
𝑗) 15. (𝑦4 + 7)
2
3 = 4𝑥² + 𝐶 
2) 𝑎) 𝑦 = 5𝑥 −
3
2
𝑥2 + 4 𝑏) 𝑦 = 
𝑡4
4
−
1
𝑡
−
7
2
 𝑐)𝑦 = 𝑥³ +
𝑥2
2
−
7
2
 𝑑) 𝑦 = 
2
3
𝑥
3
2 −
1
3
 
𝑒) 20𝑥 − 4. 𝑥
5
2 = 5𝑦2 − 812 
 
32 
 
 
VI. Áreas de Regiões do Plano pelo Método do Fracionamento 
Uma das mais importantes aplicações de antidiferenciação é determinar a área de 
regiões no plano. O método do fracionamento é uma é uma técnica para determinar as áreas 
de regiões planas. Dada uma dessas regiões, tome um eixo de referência conveniente, 
digamos S. Em cada ponto ao longo deste eixo, construa uma reta perpendicular 
interceptando a região em um segmento de reta de comprimento l. Note que l é uma função 
de s. Suponha que toda região se situe entre a perpendicular em s = a e a perpendicular em s 
= b, conforme figura abaixo. Denote por A a área da porção da região entre as 
perpendiculares em a e s. Evidentemente, A é uma função de s e A = 0 quando s = a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto de vista “infinitesimal” – conforme figura abaixo - permite-nos formar uma 
equação diferencial para A. Se s é aumentada por uma “quantidade infinitesimal” ds, então A 
cresce de uma “quantidade infinitesimal” correspondente dA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que dA é virtualmente a área do pequeno retângulo de comprimento l e largura 
ds; isto é. dA = 𝑙.ds. Portanto, A pode ser obtida resolvendo-se a equação diferencial dA = 
𝑙.ds sujeita à condição de contorno A = 0 quando s = a. O valor de A quando s = b é a área 
procurada. 
 
Figura 3 
Figura 4 
 
33 
 
Exemplos: 
Determinar a área da região dada pelo método do fracionamento. 
 
1. Um triângulo com base 5 metros e altura 8 m. 
Solução: 
Na figura abaixo, tomamos o eixo de referência s perpendicular à base do triângulo 
com a origem no nível da base, de modo que dA = 𝑙.ds. Na figura os dois triângulos são 
semelhantes, portanto: 
𝑙
8 − 𝑠
=
5
8
∴ 𝑙 = 
5
8
. (8 − 𝑠) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para s = 8 metros, temos: 
𝐴 = 5. (8) −
5. (8)2
16
= 20 𝑚2 ∴ 𝐴 = 20 𝑚² 
Que pode ser obtida pela fórmula trivial, de área de triângulos: 
𝐴 =
𝑏𝑎𝑠𝑒. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
=
(5 𝑚). (8 𝑚)
2
= 20 𝑚² 
2. A região no plano xy limitada inferiormente pela parábola y = x² e superiormente pela 
reta horizontal y = 4. 
 
 
Solução: 
 
 
𝐴 = ∫ 𝑙. 𝑑𝑠 = ∫
5
8
. (8 − 𝑠). 𝑑𝑠 =
5
8
.∫(8 − 𝑠). 𝑑𝑠 =
5
8
. (8. 𝑠 −
𝑠2
2
+ 𝐶) 
𝐴 = ∫ 𝑙. 𝑑𝑠 = 5. 𝑠 −
5. 𝑠2
16
+ 𝐶 
𝐴 = 5. 𝑠 −
5. 𝑠2
16
+ 0 ∴ 𝐴 = 5. 𝑠 −
5. 𝑠2
16
 
A equação diferencial dA = l.ds, pode ser agora ser resolvida para obtermos: 
 
 
Na situação de contorno de que A = 0 para s = 0, temos que C = 0. 
Portanto: 
 
Figura 5 
Figura 6 
 
34 
 
 
Na figura, tomamos o eixo y, como eixo de referência para o método de fracionamento. 
De modo que dA = 𝑙.ds. Nesta figura, 𝑙 = 2x = x – (-x), onde x > 0 e (x;y) está situado no 
gráfico de y = x². Portanto 𝑥 = √𝑦 𝑒 𝑙 = 2𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑙 = 2.√𝑦, 𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 
𝐴 = ∫ 𝑙. 𝑑𝑠 = ∫2.√𝑦. 𝑑𝑠 = 2.∫√𝑦. 𝑑𝑠 = 2.∫𝑦
1
2. 𝑑𝑠 = 2.
𝑦
1
2+1
1
2 + 1
+ 𝐶 =
4
3
. 𝑦
3
2 + 𝐶 
Na situação de contorno de que A = 0 para s = 0, temos que C = 0. 
Portanto: 
𝐴 =
4
3
. 𝑦
3
2 + 𝐶 ∴ 𝐴 =
4
3
. 𝑦
3
2 
Para y = 4 temos: 
𝐴 =
4
3
. (4)
3
2 =
32
3
 [𝑢.𝑚. ] 
3. A região no primeiro quadrante do plano xy limitada superiormente pela parábola y = 
x², inferiormente pelo eixo x, e à direita pela reta vertical x = 2. 
Solução: 
Usamos o método de fracionamento. Tomando o eixo x como eixo de 
referência. Aqui, a equação diferencial dA = 𝑙.dx, onde, pela figura 
𝑙 = 𝑦 = 𝑥². Assim: 
𝐴 = ∫ 𝑙. 𝑑𝑥 = ∫𝑥². 𝑑𝑥 =
𝑥³
3
+ 𝐶 
Na situação de contorno de que A = 0 para s = 0, temos que 
C = 0:𝐴 =
𝑥³
3
+ 0 ∴ 𝐴 =
𝑥³
3
 
 Para x = 2, temos: 
𝐴 =
2³
3
=
8
3
 [𝑢.𝑚. ] 
4. A região xy entre a curva 𝑦 = √𝑥 e a curva y = x³. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 
Figura 8 
 
35 
 
a) b) c) 
d) e) 
Eixo de 
Referência. 
0 
4 
2 
Eixo de 
Referência. 
0 
4 
2 
Eixo de 
Referência. 
0 
4 
2 
Eixo de 
Referência. 
0 
4 
2 
Eixo de 
Referência. 
0 
4 
2 
s 
s 
s s s 
A região em questão é mostrada na figura. Se tomarmos o eixo x como eixo de 
referência para método de fracionamento, então dA = 𝑙.dx. Desde que 𝑙 = √𝑥 − 𝑥³, segue-se 
que: 
𝐴 = ∫ 𝑙. 𝑑𝑥 = ∫(√𝑥 − 𝑥³). 𝑑𝑥 = ∫√𝑥. 𝑑𝑥 − ∫𝑥³. 𝑑𝑥 =
𝑥3/2
3/2
+ 𝐶1 −
𝑥4
4
+ 𝐶2 =
2
3
𝑥3/2 −
𝑥4
4
+ 𝐶 
 
Na situação de contorno de que A = 0 para s = 0, temos que C = 0, portanto temos: 
 
𝐴 =
2
3
𝑥3/2 −
𝑥4
4
+ 0 ∴ 𝐴 =
2
3
𝑥3/2 −
𝑥4
4
 
Para x= 1, temos: 
𝐴 =
2
3
(1)3/2 −
(1)4
4
=
5
12
 [𝑢.𝑚. ] 
 
Exercícios: 
1. Determine a área da região hachurada nas figuras de 9 a 13 pelo método de 
fracionamento, usando o eixo indicado com eixo de referência. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule a área da região dada pelo método de fracionamento usando o eixo dado 
como eixo de referência. 
 
a) A região entre x = y²-4 e x = 2 – y². Tome o eixo y como eixo de referência. 
b) A região entre y²=1 - x e y = x +5. Tome o eixo y como eixo de referência. 
c) A região entre y= 4-x² e y = x²-2. Tome o eixo x como eixo de referência. 
d) A região entre y= x² e y = 2x. Tome o eixo x como eixo de referência. 
e) A região entre y= x² e x = y². Tome o eixo x como eixo de referência. 
f) A região entre y= 4-x² e y = -2. Tome o eixo x como eixo de referência. 
 
Figura 9 
Figura 10 
Figura 11 
Figura 12 
Figura 13 
 
36 
 
 
GABARITO: 
 
1) a) 8 [u.m] b) 8 [u.m] c) 4 [u.m] d) 4 [u.m] e) 4 [u.m] 
2) 𝑎)8√3 [u.m. ] 𝑏) 
125
6
 [u.m] 𝑐)8√3 [u.m] d) 
4
3
[𝑢.𝑚] 𝑒) 
1
3
[𝑢.𝑚] 𝑓) 8√6 [𝑢.𝑚] 
VII. Notação Sigma – Definição. 
 
Para facilitar somas de um grande número de parcelas iremos introduzir a notação 
sigma. Esta notação envolve o uso do símbolo o sigma maiúsculo do alfabeto grego, que 
corresponde ao nosso S. Agora daremos alguns exemplos da notação sigma. 
∑𝑖² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55
5
𝑖=1
 
∑(3𝑖 + 2) = [3. (−2) + 2] + [3. (−1) + 2] + [3. (0) + 2] + [3. (1) + 2] + [3. (2) + 2]
2
𝑖=−2
= 10 
∑𝑖³ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +⋯+ 𝑛³
𝑛
𝑗=1
 
∑
1
𝑘
=
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
8
𝑘=3
 
 
Temos agora a seguinte definição formal para sigma. 
 
∑𝐹(𝑖)
𝑛
𝑖=𝑚
= 𝐹(𝑚) + 𝐹(𝑚 + 1) + 𝐹(𝑚 + 2) +⋯ .+ + 𝐹(𝑛) 
onde m e n são inteiros, e m ≤ n. 
 
O lado direito da fórmula acima consiste da soma de (n - m + 1) termos, o primeiro dos 
quais é obtido substituindo-sei por m em F(i), o segundo substituindo-se i por (m + 1) em F(i), 
e assim por diante, até que o último termo seja obtido substituindo-se i por n em F(i). O 
número m é chamado de limite inferior da soma, e n é chamado limite superior. O símbolo i é 
chamado o índice do somatório. É um símbolo “arbitrário”, pois qualquer outra letra poderia 
ser usada para esse propósito. Por exemplo, 
 
 
37 
 
∑𝑘² = 3² + 4² + 5²,
5
𝑘=3
 é 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: ∑𝑖² = 3² + 4² + 5²,
5
𝑖=3
 
 As seguintes propriedades da notação sigma são úteis e podem ser demonstradas. 
𝑃1:∑𝑐 = 𝑐. 𝑛
𝑛
𝑖=1
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟. 
Exemplo: 
 
𝑎) ∑𝑘
10
𝑖=1
= 𝑘. 10 
𝑏) ∑𝑘
10
𝑖=2
= 𝑘. 9 
 
𝑃2:∑𝑐. 𝐹(𝑖) = 𝑐.∑𝐹(𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟. 
Exemplo: 
𝑐) ∑𝑘. 𝑖
7
𝑖=4
= 𝑘.∑𝑖
7
𝑖=4
= 𝑘. (4 + 5 + 6 + 7) = 22. 𝑘 
 
𝑃3:∑[𝐹(𝑖) + 𝐺(𝑖)] =
𝑛
𝑖=1
∑𝐹(𝑖)
𝑛
𝑖=1
+∑𝐺(𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
Exemplo: 
𝑑) ∑ (𝑖 +
1
𝑖
)
3
𝑖=−2
= ∑ 𝑖
3
𝑖=−2
+ ∑
1
𝑖
3
𝑖=−2
 
 
𝑃4:∑[𝐹(𝑖) − 𝐹(𝑖 − 1)] =
𝑛
𝑖=1
𝐹(𝑛) − 𝐹(0) 
Exemplo: 
𝑒)∑(3𝑖 − 3𝑖−1)
𝑛
𝑖=1
= 3𝑛 + 30 
 
 
38 
 
 
𝑃5:∑𝑖 =
𝑛
𝑖=1
𝑛. (𝑛 + 1)
2
 
Exemplo: 
𝑓)∑𝑖
20
𝑖=1
= 
20. (20 + 1)
2
= 210 
 
𝑃6:∑𝑖² =
𝑛
𝑖=1
𝑛. (𝑛 + 1). (2. 𝑛 + 1)
6
 
Exemplo: 
𝑔)∑𝑖²
20
𝑖=1
= 
20. (20 + 1). (2.20 + 1)
6
= 2.870 
 
P7:∑ i³=
n
i=1
n².(n+1)²
4
 
Exemplo: 
ℎ)∑𝑖³
20
𝑖=1
= 
20². (20 + 1)²
4
= 44.100 
 
P8:∑(𝐴 + 𝑐. 𝑖)
n
i=0
= (𝑛 + 1). (𝐴 +
𝑛. 𝐶
2
) ; 𝐴 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝐶 ≠ 1 
Exemplo: 
𝑖)∑(1 + 2𝑖)
99
𝑖=0
= (99 + 1). (1 +
99.2
2
) = 10.000 
 
P9:∑A.𝐶𝑖=A.(
1 − 𝑐𝑛+1
1 − 𝑐
)
n
i=0
; 𝐴 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝐶 ≠ 1 
Exemplo: 
𝑗)∑1. (
1
2
)
𝑖𝑛
𝑖=0
= (1). (
1 − (
1
2)
𝑛+1
1 −
1
2
) = 2 −
1
2𝑛
 
 
 
39 
 
Exercícios: 
1) Nos problemas abaixo, escreva explicitamente cada soma e, a seguir, ache seu valor 
numérico. 
𝑎) ∑(2𝑘 + 1)
6
𝑘=1
 𝑏)∑(2𝑖 − 1)²
6
𝑖=0
 𝑐) ∑
1
𝑘. (𝑘 − 1)
6
𝑘=2
 𝑑) ∑
1
𝑗² + 3
3
𝑗=0
 
 
2) Qual das seguintes alternativas expressa: 1 + 2 + 4+ 8 + 16 + 32 em notação sigma? 
𝑎) ∑2𝑘−1
6
𝑘=1
 𝑏) ∑ 2𝑘
5
𝑘=0
 𝑐) ∑ 2𝑘+1
4
𝑘=−1
 𝑑) ∑ 2𝑘
5
𝑘=−1
 𝑒) ∑ 2𝑘−1
5
𝑘=−1
 
 
3) Determine cada soma usando as propriedades do somatório. 
𝑎) ∑(2𝑘 + 3)
50
𝑘=1
 𝑏) ∑ 5𝑘
100
𝑘=1
 𝑐) ∑ 𝑘. (𝑘 + 1)
𝑛
𝑘=1
 𝑑)∑ 𝑘²
𝑛−1
𝑘=1
 𝑒) ∑(𝑘 − 1)
𝑛
𝑘=1
² 
 
4) Suponha que 
∑𝑏𝑘
𝑛
𝑘=1
= 6 𝑒 ∑ 𝑎𝑘
𝑛
𝑘=1
= 0 
Determine os valores de: 
𝑎) ∑3. 𝑎𝑘
𝑛
𝑘=1
 𝑏) ∑
𝑏𝑘
6
𝑛
𝑘=1
 𝑐) ∑(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘)
𝑛
𝑘=1
 𝑑)∑(𝑎𝑘 − 𝑏𝑘)
𝑛
𝑘=1
 𝑒) ∑(𝑏𝑘 − 2. 𝑎𝑘)
𝑛
𝑘=1
 
 
Gabarito: 
1 a) 48 b) 287 c) 
5
6
 d) 
17
21
 
2) A,B e C. 
3 a) 2.700 b) 
5101−1
4
 c) 
𝑛.(𝑛+1).(𝑛+2)
3
 d) ) 
(𝑛−1).𝑛.(2𝑛−1)
6
 e) 
(𝑛−1).𝑛.(2𝑛−1)
6
 
4) a) 0 b) 1 c) 6 d) -6 e) 6 
 
40 
 
VIII. Área sob o gráfico de uma função 
O matemático grego Arquimedes (287 – 212 A.C.) utilizou o denominado método de 
exaustão para determinar a quadratura da parábola. O método, cujo desenvolvimento foi 
creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.), consiste em exaurir ou esgotar a região, cuja área se 
quer determinar, por meio de outras áreas já conhecidas. 
 Vejamos agora como definir e calcular a área de uma região limitada por uma função f, 
contínua em um intervalo [a,b]. 
 
 
 
 
 
 A B A B 
Se dividirmos o intervalo [a,b] em n partes e construirmos retângulos. Quanto maior for 
o número n, mais próxima da área da figura será a soma das áreas dos retângulos. 
O limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, é, por 
definição, a área da figura dada. 
Na figura abaixo, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais a x e construímos os 
retângulos com base igual a x e altura igual a f (x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = (b-a) / n 
 a x x1 x x2 x x3 b X 
y 
f(x3) 
f(x2) 
f(x1) 
f(x) 
Figura 14 Figura 15 
Figura 16 
 
41 
 
A área da figura é definida como limite da soma das áreas desses retângulos, quando 
n tende a infinito, isto é: 
Á𝑟𝑒𝑎 = lim
𝑛→∞
[𝑓(𝑥1). ∆𝑥 + 𝑓(𝑥2). ∆𝑥 + 𝑓(𝑥3). ∆𝑥 +⋯+ 𝑓(𝑥𝑛). ∆𝑥] 𝑜𝑢 Á𝑟𝑒𝑎 = lim
𝑛→∞
[∑𝑓(𝑥𝑘). ∆𝑥
𝑛
𝑘=1
] 
 A figura acima dá o significado geométrico desta soma se f(x)  0 e também mostra 
que esta soma é uma boa aproximação da área determinada pelo gráfico de f, pelo eixo x e 
pelas ordenadas x = a e x = b. 
 Sendo f (xn).x a área do retângulo de base x (ou dx) e altura f (xn), cabe destacar 
que quanto mais retângulos tivermos menor será x e quanto melhor for a posição de xn, 
melhor será a aproximação entre a área sob a curva e suas outras delimitações. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
n = 2 n = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = 8 n = 40 
 
                 





















x
y
 
                 





















x
y
 
            















x
y
 
        










x
y
Figura 17 
Figura 18 
Figura 19 Figura 20 
 
42 
 
Definição: 
 A integral definida de f, desde a até b é 
lim
𝑛→∞
[∑𝑓(𝑥𝑘). ∆𝑥
𝑛
𝑘=1
] 
Simbolicamente fica : 
∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
[∑𝑓(𝑥𝑘). ∆𝑥
𝑛
𝑘=1
] 
 
 Teorema Fundamental do Cálculo 
 Consideremos f(x) uma função definida num intervalo [a, b]. Suponhamos que exista 
uma função F(x), definida e derivável nesse intervalo, tal que F’(x) = f(x), para todo x  [a, b]. 
Então, temos: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹( 𝑎), 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓. 
Exemplo: 
Calcular: 
∫ 𝑥²
1
0
𝑑𝑥 
Solução: 
Uma primitiva de f(x) = x2 é, como vimos, F(x) = 
3
x 3
. Assim: 
∫ 𝑥²
1
0
𝑑𝑥 = [
𝑥³
3
]
0
1
= (
1
3
−
0
3
) =
1
3
 
CÁLCULO DE ÁREAS 
Com a integral definida podemos calcular áreas. Isso ficou mostrado pelas 
considerações feitas anteriormente. Podemos então considerar 4 casos do uso da integral 
definida para calcular áreas : 
 
 
43 
 
1.º caso 
2.º caso 
3.º caso 
 
 X 
y 
a b X 
y 
A área está toda acima do eixo x ou seja f(x)  0 para todo x  [a, b] , então: 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área está todaabaixo do eixo x ou seja f(x)  0 para todo x  [a, b] , então 
𝐴 = |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
| 
 
 
 
 
 
 
A área está abaixo e acima do eixo x, ou seja f(x)  0 e f(x)  0 para todo x  [a, 
b]. Então se calcula a(s) raiz(es) de f(x) e se estas estão no interior do intervalo 
de integração teremos: 
𝐴 = |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥1
𝑎
| + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑥1
 
 X1 é a raiz da f(x) neste exemplo. 
 
 
F : [a, b]  R , e f(x)  0  x  [a, b]. 
F : [a, b]  R, e f(x)  0  x  [a, b]. 
F : [a, b]  R, e f(x) assume valores positivos, negativos e nulos para todo x  [a, b]. 
 
 a x1 b x 
y 
Figura 21 
Figura 22 
Figura 23 
 
44 
 
4.º caso A região cuja área queremos calcular, está situada entre duas curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Calcule as integrais definidas abaixo: 
a) 

2
1
4dxx6
 
b) 

 
2
1
34 dx)x8x5(
 
c) 

2
0
dx)x2sen(
 
d) 
 





2
2
2
3
dx1x7x2
3
x
 
e) 
 
4
0
dx)1x2(
 
f) 
 
2
1
dx)1x6(
 
g) 
 
2
1
3 dx)x1(x
 
2. Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x = 5. 
3. Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às 
abcissas x = 0 e x = 2. 
4. Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções
xy 
 ; y = 0 e a reta x = 4 
5. Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1. 
6. Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1]. 
7. Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . 
Gabarito:1) a) 
5
198
 b) 
24
37
 c) 0 d)- 6,667 e) 8,667 f) 8 g) 
10
81
. 
2) 
..
6
129
au
 3) 
.a.u
3
8
 4) 
.a.u
3
16
 5) 
..
5
116
au
. 6) 
.a.u
3
16
 7) 
..
6
55
au
. 
Como se vê, f(x)  g(x),  x  [a, b], logo f(x) – g(x)  0. 
Portanto, a função F(x) = f(x) – g(x) encaixa–se no 1.º caso: 
 x 
 a b 
 f(x) 
g(x) 
 
 g(x) 
y 
 
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Figura 24 
 
45 
 
IX. Integrais que envolvem Trigonometria 
 
a) Produtos de Potências de Senos e Co-senos. 
a.1) Integrais da forma ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥 
Caso 1: No mínimo um dos expoentes m, n é um número inteiro impar positivo. 
Dica: Use a relação fundamental sen²x + cos²x =1. 
Exemplo: 
∫𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥). 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥, 
 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = cos𝑥 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥, 
𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫(1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥). 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −∫(1 − 𝑢2). 𝑑𝑢 = −(𝑢 −
𝑢3
3
) + 𝐶 = −cos 𝑥 +
1
3
. 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶 
Exercícios: 
1) ∫ 𝑠𝑒𝑛²𝑥. 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 
2) ∫
𝑠𝑒𝑛³𝑥
√cos 𝑥
 𝑑𝑥 
 
Caso 2: Ambos os expoentes m e n são inteiros pares não negativos. 
Dica: Use a relação de arcos duplos 
𝑠𝑒𝑛²𝑥 =
1
2
(1 − cos 2𝑥) 𝑒 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 
1
2
(1 + cos 2𝑥) 
Exemplo: 
∫𝑐𝑜𝑠²𝑘𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 
1
2
(1 + cos 2𝑘𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 
1
2
𝑑𝑥 +
1
2
∫cos 2𝑘𝑥 𝑑𝑥 
∫𝑐𝑜𝑠²𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
2
+
1
2
∫ cos2𝑘𝑥 𝑑𝑥, 
𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 2𝑘𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑢 = 2𝑘 𝑑𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
 
46 
 
∫𝑐𝑜𝑠²𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
2
+
1
2
∫ cos2𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
2
+
1
2.2𝑘
∫cos 𝑢 𝑑𝑢 
∫𝑐𝑜𝑠²𝑘𝑥 𝑑𝑥 ==
𝑥
2
+
1
2.2𝑘
(𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶) ∴ ∫𝑐𝑜𝑠²𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
2
+
𝑠𝑒𝑛 2𝑘𝑥
4𝑘
+ 𝐶 
 
Exercícios: 
3) ∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 
4) ∫ 𝑠𝑒𝑛42𝑥 𝑐𝑜𝑠²2𝑥 𝑑𝑥 
 
a.2) Integrais envolvendo os produtos: 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥. cos𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑜𝑢 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥. sen𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑜𝑢 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥. cos𝑛𝑥 𝑑𝑥 
Dica: Use a transformações trigonométricas de soma em produto. 
𝑖 ) 𝑠𝑒𝑛 𝑠. cos 𝑡 = 
1
2
𝑠𝑒𝑛 (𝑠 + 𝑡) + 
1
2
𝑠𝑒𝑛 (𝑠 − 𝑡) 
𝑖𝑖 ) 𝑠𝑒𝑛 𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 = 
1
2
𝑐𝑜𝑠 (𝑠 − 𝑡) − 
1
2
𝑐𝑜𝑠 (𝑠 + 𝑡) 
𝑖𝑖𝑖 ) 𝑐𝑜𝑠 𝑠. cos 𝑡 = 
1
2
𝑐𝑜𝑠(𝑠 − 𝑡) + 
1
2
𝑐𝑜𝑠 (𝑠 + 𝑡) 
 
Exemplo: 
∫𝑠𝑒𝑛 3𝑥 . cos 4𝑥 𝑑𝑥 = ∫[
1
2
𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 + 4𝑥) + 
1
2
𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 4𝑥)] 𝑑𝑥 
∫𝑠𝑒𝑛 3𝑥 . cos 4𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
.∫[𝑠𝑒𝑛 (7𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (−𝑥)] 𝑑𝑥 
∫𝑠𝑒𝑛 3𝑥 . cos 4𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
.∫[𝑠𝑒𝑛 (7𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (−𝑥)] 𝑑𝑥 
∴ ∫𝑠𝑒𝑛 3𝑥 . cos 4𝑥 𝑑𝑥 = −
cos 7𝑥
14
+
cos𝑥
2
+ 𝐶 
 
 
47 
 
 
Exercícios: 
5) ∫ 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 
6) ∫ 𝑠𝑒𝑛 7𝑢 𝑠𝑒𝑛 3𝑢 𝑑𝑢 
7) ∫ 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 
 
Gabarito: 
1) 
1
3
𝑠𝑒𝑛³𝑥 −
2
5
𝑠𝑒𝑛5𝑥 +
1
7
𝑠𝑒𝑛7𝑥 + 𝐶 2) 
2
5
(cos 𝑥)
5
2 − 2. √cos 𝑥 + 𝐶 
3) 
3𝑥
8
−
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
4
+
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
32
+ 𝐶 4) 
𝑥
16
−
𝑠𝑒𝑛 8𝑥
128
−
𝑠𝑒𝑛³ 4𝑥
96
 + 𝐶 
5) − 
1
14
cos 7𝑥 − 
1
6
cos 3𝑥 + 𝐶 6) 
1
8
𝑠𝑒𝑛 4𝑢 −
1
20
𝑠𝑒𝑛 10𝑢 + 𝐶 
7) 
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
1
14
𝑠𝑒𝑛 7𝑥 + 𝐶 
b) Integrais que envolvem Produtos de Potências de funções Trigonométricas Diferentes 
de Senos e Cossenos. 
 
b.1) Integrais da forma ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑚𝑥 . 𝑡𝑔𝑛𝑥 𝑑𝑥 
Se o integrando é uma potencia par de sec x, o fator sec²x, tende escrever o restante em termos 
de tg x. Faça a substituição u = tg x, lembre-se da identidade: 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧²𝐱 = 𝐬𝐞𝐜²𝐱. 
Exemplo: 
∫𝑡𝑎𝑛3𝑥. 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 
Solução: 
∫𝑡𝑎𝑛3𝑥. 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑑𝑥 = ∫𝑡𝑎𝑛3𝑥. (1 + 𝑡𝑎𝑛²𝑥). 𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑑𝑥 
∫𝑡𝑎𝑛3𝑥. 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑡𝑎𝑛3𝑥 + 𝑡𝑎𝑛5𝑥). 𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑑𝑥, 
 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑡𝑔 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
 
 
48 
 
∫𝑡𝑎𝑛3𝑥. 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑢3 + 𝑢5). 𝑑𝑢 =
𝑢4
4
+
𝑢6
6
+ 𝐶 =
𝑡𝑎𝑛4𝑥
4
+
𝑡𝑎𝑛6𝑥
6
+ 𝐶 
∴ ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥. 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 =
𝑡𝑎𝑛4𝑥
4
+
𝑡𝑎𝑛6𝑥
6
+ 𝐶 
Exercícios: 
1) ∫ 𝑠𝑒𝑐43𝑥 𝑑𝑥 
2) ∫ 𝑡𝑎𝑛32𝑥 𝑑𝑥 
3) ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥. 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 
b.2) Integrais da forma ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑚𝑥 . 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛𝑥 𝑑𝑥 
Se o integrando é uma potencia par de cosec x, o fator cosec²x, tende escrever o restante em 
termos de cotg x. Faça a substituição u = cotg x, lembre-se da identidade: 
𝟏 + 𝐜𝐨𝐭𝐠²𝐱 = 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜²𝐱. 
Exemplo: 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 
Solução: 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑡𝑔4𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥. (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥)𝑑𝑥 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥)2. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥. (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥) 𝑑𝑥 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1)2. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥. (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥)𝑑𝑥, 
 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥; 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥. 𝑑𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = −∫(𝑢2 − 1)2. 𝑢2. 𝑑𝑢 = −∫(𝑢4 − 2. 𝑢2 + 1). 𝑢2. 𝑑𝑢 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = −∫(𝑢6 − 2. 𝑢4 + 𝑢2)𝑑𝑢 = 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑢7
7
+
2. 𝑢5
5
−
𝑢3
3
+ 𝐶 
∴ ∫𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐7𝑥
7
+
2. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐5𝑥
5
−
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥
3
+ 𝐶 
 
 
49 
 
Exercícios: 
4) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐43𝑡 𝑑𝑡 
5) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔44𝑥 𝑑𝑥 
6) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔3𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 
 
Gabarito: 
1) 
tan3𝑥
3
+
𝑡𝑎𝑛33𝑥
9
+ 𝐶 2) 
𝑡𝑎𝑛22𝑥
4
−
1
2
ln|sec 2𝑥| + 𝐶 𝑜𝑢 
𝑡𝑎𝑛22𝑥
4
+
1
2
ln|cos 2𝑥| + 𝐶 
3) 
tan3 𝑥
3
+
tan5 𝑥
5
+ 𝐶 4) 
−1
3
(cot 3𝑡 +
𝑐𝑜𝑡33𝑡3
) + 𝐶 5) −
𝑐𝑜𝑡³4𝑥
12
+
1
4
𝑐𝑜𝑡4𝑥 + 𝑥 + 𝐶 
6) −
1
7
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐7𝑥 +
1
5
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐5𝑥 + 𝐶 
 
X. Integrais por Substituição Trigonométrica. 
Usaremos substituições trigonométricas para lidar com integrais envolvendo expressões tais 
como: √𝑎² − 𝑢²,√𝑎² + 𝑢² 𝑒 √𝑢² − 𝑎², onde a é uma constante positiva. 
 Sendo para a expressão: √𝑎² − 𝑢², temos: 
𝑢 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒 √𝑎² − 𝑢² = a. cos 𝜃, como na figura: 
 
 
 
 
 Sendo para a expressão: √𝑎² + 𝑢², temos: 
𝑢 = 𝑎. 𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝑒 √𝑎² + 𝑢² = a. sec𝜃, como na figura: 
 
 
 
 
Figura 25 
Figura 26 
 
50 
 
 Sendo para a expressão: √𝑢² − 𝑎², temos: 
𝑢 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑒 √𝑢² − 𝑎² = a. tan 𝜃, como na figura: 
 
 
 
 
Exemplos: 
Calcule: 
𝑎) ∫
𝑥²𝑑𝑥
(4 − 𝑥²)
3
2
 
Solução: 
Fazendo x = 2.sen, com dx = 2 cos d e 4-4sen²=4.(1-sen²)=4.cos². 
∫
𝑥2𝑑𝑥
(4 − 𝑥2)
3
2
= ∫
(2𝑠𝑒𝑛𝜃)2. (2. 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃)
(4𝑐𝑜𝑠²𝜃)
3
2
= ∫
4. 𝑠𝑒𝑛2𝜃. (2. 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃)
√43. 𝑐𝑜𝑠³𝜃
= ∫
8. 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃
8. 𝑐𝑜𝑠²𝜃
 
∫
𝑥²𝑑𝑥
(4 − 𝑥²)
3
2
= ∫𝑡𝑔²𝜃 𝑑𝜃 
∫
𝑥²𝑑𝑥
(4 − 𝑥²)
3
2
= ∫(𝑠𝑒𝑐²𝜃 − 1) 𝑑𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝜃 + 𝐶 
Na figura temos: 𝑡𝑔 𝜃 =
𝑥
√4−𝑥²
 𝑒 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫
𝑥²𝑑𝑥
(4 − 𝑥²)
3
2
=
𝑥
√4 − 𝑥²
− 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
+ 𝐶 
 
Figura 27 
Figura 28 
 
51 
 
 
𝑏) ∫
𝑑𝑥
𝑥²√𝑥² + 9
 
Solução: Fazendo x = 3.tg, com dx = 3 sec² d e x²+9 = 9.tg²+9 = 9.(1-tg²) = 9.sec². 
∫
𝑑𝑥
𝑥2√𝑥
2+9
= ∫
3. 𝑠𝑒𝑐²𝜃 𝑑𝜃
(3𝑡𝑔𝜃)2√9𝑠𝑒𝑐²𝜃
= ∫
3. 𝑠𝑒𝑐²𝜃 𝑑𝜃
9. 𝑡𝑔²𝜃. 3. 𝑠𝑒𝑐𝜃
=
1
9
∫
𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃
𝑡𝑔2𝜃
 
∫
𝑑𝑥
𝑥²√𝑥² + 9
=
1
9
∫
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑛²𝜃
 
 
Fazendo u = sen; du = cos d 
 
∫
𝑑𝑥
𝑥2√𝑥
2+9
=
1
9
∫
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃⏞ 
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛²𝜃⏟ 
𝑢²
=
1
9
∫
𝑑𝑢
𝑢2
= −
1
9𝑢
+ 𝐶 = −
1
9𝑠𝑒𝑛𝜃
+ 𝐶 = −
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃
9
+ 𝐶 
∴ ∫
𝑑𝑥
𝑥²√𝑥² + 9
= −
√𝑥² + 9
9𝑥
+ 𝐶 
𝑐) ∫
𝑑𝑡
𝑡³√𝑡² − 25
 
Solução: Fazendo t = 5.sec, com dt = 5 sec tg d e t²-25 =25.sec²-25=25.(sec² - 1) = 
25.tg². 
∫
𝑑𝑡
𝑡3√𝑡
2−25
= ∫
5sec 𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃
(5 sec𝜃)3. √25. 𝑡𝑔2𝜃
= ∫
5 sec𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃
125 sec3 𝜃 . 5. 𝑡𝑔𝜃
=
1
125
∫
𝑑𝜃
sec2 𝜃
 
∫
𝑑𝑡
𝑡³√𝑡² − 25
=
1
125
∫𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑑𝜃 
∫
𝑑𝑡
𝑡3√𝑡
2−25
=
1
125
∫𝑐𝑜𝑠²𝜃 𝑑𝜃 =
1
125
∫ [
1
2
. (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)] 𝑑𝜃 
∫
𝑑𝑡
𝑡³√𝑡² − 25
=
1
250
∫(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃) 𝑑𝜃 
∫
𝑑𝑡
𝑡3√𝑡
2−25
=
1
250
(𝜃 +
𝑠𝑒𝑛2𝜃
2
) + 𝐶 =
1
250
(𝜃 +
2. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃
2
) + 𝐶 
 
Figura 29 
 
52 
 
∫
𝑑𝑡
𝑡³√𝑡² − 25
=
1
250
(𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝐶 
Da figura ao lado temos: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
𝑡
5
) ; 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
√𝑡²−25
𝑡
𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
5
𝑡
, portanto: 
∫
𝑑𝑡
𝑡³√𝑡² − 25
=
1
250
(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
𝑡
5
) +
5√𝑡² − 25
𝑡²
) + 𝐶 
 
 
Exercícios: 
 
𝑎) ∫
√4 − 𝑥²
𝑥²
𝑑𝑥 𝑏) ∫
1
𝑥.√25𝑥² + 16
𝑑𝑥 𝑐) ∫
𝑑𝑥
𝑥³. √𝑥² − 𝑎²
 
𝑑) ∫
√7 − 4𝑡²
𝑡4
𝑑𝑡 𝑒)∫
𝑑𝑡
𝑡. √𝑡² + 5
 𝑓) ∫
𝑑𝑡
(9𝑡² − 4)
1
2
 
𝑔) ∫
𝑑𝑥
𝑥²√16 − 𝑥²
 ℎ) ∫
𝑑𝑡
𝑡4. (4 − 𝑡²)
1
2
 𝑖)∫
𝑥²
(4 − 9𝑥²)
1
2
𝑑𝑥 
𝑗) ∫
𝑡
√𝑡² − 𝑎²
𝑑𝑡 𝑘) ∫
𝑑𝑥
𝑥²√1 + 𝑥²
 𝑙)∫
7𝑥³
(4𝑥² + 9)
3
2
𝑑𝑥 
Gabarito: 
C
x
axx
a
arcsen
cC
x
x
bC
x
x
a 




















².50
²²
250
)
5
416²25
 ln 
4
1
)
2
x
sen arc 
4
)
2
 
𝑑) −
(√7 − 4𝑡2)
3
21. 𝑡3
+ 𝐶 𝑒) 
1
√5
ln [
√𝑡2 + 5 − √5
𝑡
] + 𝐶 𝑓) 
1
3
. ln [
3𝑡 + √9𝑡2 − 4
2
] + 𝐶 
𝑔) 
−√16 − 𝑥2
16𝑥
+ 𝐶 ℎ) −
1
16
. [
1
3
. (
√4 − 𝑡2
𝑡
)
3
+
√4 − 𝑡2
𝑡
] + 𝐶 
𝑖) 
2
27
. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥
2
) − 3𝑥.
√4 − 9𝑥2
4
+ 𝐶 𝑗) √𝑡2 − 𝑎2 + 𝐶 
𝑘) 
−√𝑥² + 1
𝑥
+ 𝐶 𝑙) 
7
8
. (
2𝑥² + 9
√4𝑥² + 9
) + 𝐶 
 
Figura 30 
 
53 
 
XI. Integrais por partes. 
Na realidade toda regra ou técnica de diferenciação por de ser invertida, dando origem a uma 
regra ou técnica de integração correspondente. Por exemplo, a técnica de integração pela troca 
de variáveis é essencialmente a inversão da regra da cadeia para diferenciação. Nesta seção 
estudamos uma técnica de integração chamada integração por partes, que resulta da inversão da 
regra do produto para diferenciação. 
De acordo coma regra do produto tem: 
(𝑓. 𝑔)´ = 𝑓´. 𝑔 + 𝑓. 𝑔´ 
A função f.g é uma antiderivada de f´g+f.g´, isto é: 
∫[𝑓´(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔´(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝐶 
 Desenvolvendo vem: 
∫[𝑓´(𝑥). 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 + ∫[𝑓(𝑥). 𝑔´(𝑥)]𝑑𝑥
⏟ 
∗
= 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝐶 
Isolando-se * temos: 
∫𝑓(𝑥)⏟
𝒖
. 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥⏟ 
𝒅𝒗
= 𝑓(𝑥)⏟
𝒖
. 𝑔(𝑥)⏟
𝒗
−∫𝑔(𝑥)⏟
𝒗
. 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥⏟ 
𝒅𝒖
 
Chamando u = f(x) e du = f´(x) dx 
 v = g(x) e dv = g´(x) dx 
Temos a forma padrão da integral por partes: 
∫𝒖.𝒅𝒗 = 𝒖. 𝒗 − ∫𝒗 𝒅𝒖 
Exemplo: 
𝑎) ∫𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 
Solução: 
∫𝑥⏟
𝑢
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
, 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒖 = 𝒙 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝑒 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. (− 𝑐𝑜𝑠 𝑥) − ∫−𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + ∫𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = −𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪 
 
𝑏) ∫𝑥 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 𝑑𝑥 
Solução: 
∫𝑥⏟
𝑢
 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
, 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒖 = 𝒙, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝑒 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒄²𝒙 𝒅𝒙, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝒗 = 𝒕𝒈 𝒙, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫𝑥 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑡𝑔𝑥 − ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥⏟ 
− ln|cos𝑥|
= 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 + ln|cos 𝑥| 
 
54 
 
Para a integral definida temos: 
∫ 𝒖.𝒅𝒗
𝒃
𝒂
= (𝒖. 𝒗 −∫𝒗 𝒅𝒖) |
𝒃
 
𝒂
= (𝒖. 𝒗) |
𝒃
 
𝒂
−∫ 𝒗. 𝒅𝒖
𝒃
𝒂
 
 Exemplo: 
𝑐) ∫𝑥² . ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑒
1
 
Solução: 
∫𝑥2⏟
𝑢
 ln 𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
𝑒
1
, 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝒅𝒖 =
𝒅𝒙
𝒙
 𝑒 𝒅𝒗 = 𝒙𝟐𝒅𝒙, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝒗 =
𝒙𝟑
𝟑
, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫ 𝑥²𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑒
1
= (𝑙𝑛 𝑥.
𝑥3
3
− ∫
𝑥3
3
 
𝑑𝑥
𝑥
) |
𝑒
 
1
= (𝑙𝑛 𝑥.
𝑥3
3
) |
𝑒
 
1
−
1
3
∫ 𝑥2. 𝑑𝑥
𝑒
1
= 𝑙𝑛 𝑒.
𝑒3
3
− 𝑙𝑛 1.
13
3
−
1
3
(
𝑥³
3
)
1
𝑒
 
∫ 𝑥²𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑒
1
= 1.
𝑒3
3
− 0.
13
3
−
1
3
[
𝑒3
3
−
13
3
] =
𝑒3
3
−
𝑒3
9
+
1
9
=
𝟐𝒆𝟑 + 𝟏
𝟗
 
∫ 𝒙²𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙
𝒆
𝟏
=
𝟐𝒆𝟑 + 𝟏
𝟗
 
 Integrações sucessivas por partes: 
𝑑) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒:∫𝑥² 𝑒2𝑥𝑑𝑥 
∫𝑥²⏟
𝑢
𝑒2𝑥𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
, 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒖 = 𝒙², 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣 =
1
2
𝑒2𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫𝑥² 𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥².
1
2
𝑒2𝑥 −∫
1
2
𝑒2𝑥2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥². 𝑒2𝑥
2
− ∫𝑒2𝑥𝑥 𝑑𝑥
⏟ 
∗∗
 
Da equação **, temos: 
∫𝑥⏟
𝑢
. 𝑒2𝑥𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
, 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑒 𝑑𝑣 =𝑒2𝑥𝑑𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣 = 
𝑒2𝑥
2
, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫𝑒2𝑥𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥.
𝑒2𝑥
2
− ∫
𝑒2𝑥
2
𝑑𝑥 =
𝑥. 𝑒2𝑥
2
−
𝑒2𝑥
4
+ 𝐶 
Voltando na equação principal temos: 
∫𝑥² 𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥².
1
2
𝑒2𝑥 −∫
1
2
𝑒2𝑥2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2. 𝑒2𝑥
2
− (
𝑥. 𝑒2𝑥
2
−
𝑒2𝑥
4
+ 𝐶)
⏟ 
∗∗
=
𝒙𝟐. 𝒆𝟐𝒙
𝟐
−
𝒙. 𝒆𝟐𝒙
𝟐
+
𝒆𝟐𝒙
𝟒
+ 𝑪 
∫𝒙² 𝒆𝟐𝒙𝒅𝒙 =
𝒙𝟐. 𝒆𝟐𝒙
𝟐
−
𝒙. 𝒆𝟐𝒙
𝟐
+
𝒆𝟐𝒙
𝟒
+ 𝑪 
 
 
55 
 
𝑒) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
Solução: 
∫𝑒𝑥⏟
𝑢
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
, 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑒𝑥 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
⏟ 
∗∗∗
+ 𝐶 
Aparentemente, não vale a pena aplicar a regra da integração por partes, mas observando a 
equação ***, temos: 
∫𝑒𝑥⏟
𝑢
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑣
, 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑒𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
∫𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥. (−𝑐𝑜𝑠 𝑥) − ∫−𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 = −𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + ∫𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
Voltando para equação principal temos: 
∫𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − (−𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + ∫𝑒𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥)
⏟ 
∗∗∗
+ 𝐶 
∫𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − ∫𝒆𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪 
Observe que o primeiro e o último termo são opostos, em lados opostos da igualdade, dai temos: 
∫𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 + ∫𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 
𝟐.∫𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 
∫𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 =
𝑒𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝑥
2
+ 𝐶 
∴ ∫𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒𝑥. (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2
+ 𝐶 
Exercícios: 
1) ∫𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 
2) ∫ sec³ 𝑥 𝑑𝑥 
3) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 
4) ∫𝑒𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
5) ∫ cos² 𝑥 𝑑𝑥 
6) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
1
 
7)∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
1
0
 
8)∫𝑥². 𝑒𝑥𝑑𝑥 
9) ∫ 𝑥 𝑒2𝑥 𝑑𝑥
2
0
 
10) ∫ 𝑒−𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
57 
 
Gabarito: 
1) x sen x + cos x +C 2) 
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥
2
+
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑥+𝑡𝑔 𝑥|
2
+ 𝐶 3) x. ln x – x + C 
4)  
C
xsenx


2
cosex
 5) 
𝑥
2
+
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
4
+ 𝐶 6) 
𝑡²
2
𝑙𝑛 𝑡 −
𝑡2
4
+
1
4
 7) 1 
8) 𝑥². 𝑒𝑥 − 2. 𝑒𝑥 + 2. 𝑒𝑥 + 𝐶 9) 
3.𝑒4+1
4
 10) 
Csenxxe x  )(cos.
2
1
 
 
XII. Integrais de funções racionais por frações parciais – caso linear. 
Seja uma função h(x), definida por: 
ℎ(𝑥) = 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄(𝑥) ≠ 0 
 
 onde: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝑓(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
 
ℎ(𝑥) = 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑄(𝑥). 𝑓(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑄(𝑥). 𝑓(𝑥)
𝑄(𝑥)
+
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝑓(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
Então: 
∫ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
⏞ 
ℎ(𝑥)
𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 
1º Caso: Em que o denominador pode ser fatorado em termos lineares distintos. 
𝑎) ∫
5𝑥 − 4
(𝑥 − 2). (𝑥 + 1)
𝑑𝑥 =⏟
∗
∫
2
𝑥 − 2
𝑑𝑥 + ∫
3
𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ln|(𝑥 − 2)2. (𝑥 + 1)3| + 𝐶 
 
Usando a técnica cobrir/descartar, temos: 
∗ 
5𝑥 − 4
(𝑥 − 2). (𝑥 + 1)
=
𝐴
𝑥 − 2
+
𝐵
𝑥 + 1
. 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ 
𝐴 =
5𝑥 − 4
(𝑥 + 1)
=
5(2) − 4
(2 + 1)
=
6
3
= 2 𝑒 𝐵 =
5𝑥 − 4
(𝑥 − 2)
=
5(−1) − 4
(−1 − 2)
=
−9
−3
= 3 
 
 
58 
 
𝑏) ∫
3𝑥 − 5
𝑥² − 𝑥 − 2⏟ 
∗
𝑑𝑥 = ∫
3𝑥 − 5
(𝑥 − 2). (𝑥 + 1)
𝑑𝑥 =⏟
∗∗
∫
1
3
𝑥 − 2
𝑑𝑥 + ∫
8
3
𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ln |(𝑥 − 2)
1
3. (𝑥 + 1)
8
3| + 𝐶 
∗ 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑜 2 𝑔𝑟𝑎𝑢: 𝑎. 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2) 
Onde x1 e x2 são raízes da equação do 2º grau equivalentes. 
Portanto temos: 
∗ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 1. (𝑥 − 2). (𝑥 + 1) 
Usando a técnica cobrir/descartar, temos: 
∗∗ 
3𝑥 − 5
(𝑥 − 2). (𝑥 + 1)
=
𝐴
𝑥 − 2
+
𝐵
𝑥 + 1
. 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ 
𝐴 =
3𝑥 − 5
(𝑥 + 1)
=
3. (2) − 5
(2 + 1)
=
1
3
 𝑒 𝐵 =
3𝑥 − 5
(𝑥 − 2)
=
3. (−1) − 5
(−1 − 2)
=
−8
−3
=
8
3
 
 
𝑐) ∫
5𝑥3 − 6𝑥2 − 68𝑥 − 16
𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥⏟ 
∗
𝑑𝑥 = ∫5 𝑑𝑥 + ∫
4𝑥2 − 28𝑥 − 16
𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥⏟ 
∗∗
𝑑𝑥 = ∫5 𝑑𝑥 + ∫
4𝑥2 − 28𝑥 − 16
𝑥. (𝑥 − 4). (𝑥 + 2)
𝑑𝑥 =⏟
∗∗∗
 
= 5𝑥 + 𝑐 + ∫
2
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
14
3
𝑥−4
𝑑𝑥 + ∫
−
8
3
𝑥+2
𝑑𝑥 = 5𝑥 + ln |
𝑥².(𝑥+2)
14
3
(𝑥−4)
8
3
| + 𝐶 
* 
 
 
onde: 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝑓(𝑥) + 𝑅(𝑥) ⇒ 5𝑥3 − 6𝑥2 − 68𝑥 − 16 = (𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥). 5 + 4𝑥2 − 28𝑥 − 16 
ℎ(𝑥) = 
5𝑥3 − 6𝑥2 − 68𝑥 − 16
𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥
=
(𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥). 5 + 4𝑥2 − 28𝑥 − 16
𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥
 
ℎ(𝑥) =
(𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥). 5
𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥
+
4𝑥2 − 28𝑥 − 16
𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥
= 5 +
4𝑥2 − 28𝑥 − 16
𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥
 
∗∗ 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑜 2 𝑔𝑟𝑎𝑢, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
Portanto temos: 
 𝑥3 − 2𝑥2 − 8𝑥 = 𝑥. (𝑥2 − 2𝑥 − 8) = 𝑥. (𝑥 + 2). (𝑥 − 4) 
 
 
59 
 
Usando a técnica cobrir/descartar, temos: 
∗∗∗ 
4𝑥2 − 28𝑥 − 16
𝑥. (𝑥 + 2). (𝑥 − 4)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 + 2
+
𝐶
𝑥 − 4
. 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ 
𝐴 =
4𝑥2 − 28𝑥 − 16
(𝑥 + 2). (𝑥 − 4)
=
4(0)2 − 28. (0) − 16
(0 + 2). (0 − 4)
=
−16
−8
= 2 
 𝐵 =
4𝑥2 − 28𝑥 − 16
𝑥. (𝑥 − 4)
=
4. (−2)² − 28. (−2) − 16
(−2). (−2 − 4)
=
56
12
=
14
3
 
𝐶 =
4𝑥2 − 28𝑥 − 16
𝑥. (𝑥 + 2)
=
4. (4)² − 28. (4) − 16
(4). (4 + 2)
=
−64
24
=
−8
3
 
 
2º Caso: Em que o denominador pode ser fatorado em termos nem todos distintos. 
 ∫
3𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥. (𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 =⏟
∗
∫[
2
𝑥
+
1
𝑥 + 1
+
−1
(𝑥 + 1)2
] 𝑑𝑥 = ∫
2
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 − ∫
1
(𝑥 + 1)2
𝑑𝑥
⏟ 
∗∗
= 
= 2. ln 𝑥 + ln|𝑥 + 1| +
1
𝑥 + 1
+ 𝐶 
Usando a técnica cobrir/descartar, temos: 
∗ 
3𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥. (𝑥 + 1)2
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 + 1
+
𝐶
(𝑥 + 1)2
. 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ 
𝐴 =
3𝑥2 + 4𝑥 + 2
(𝑥 + 1)2
=
3. (0)2 + 4. (0) + 2
(0 + 1)2
= 2 
 𝐶 =
3𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥
=
3(−1)2 + 4. (−1) + 2
−1
= −1 
O coeficiente B, não pode ser calculado desta forma (divisão por zero), então temos: 
3𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥. (𝑥 + 1)2
=
2
𝑥
+
𝐵
𝑥 + 1
+
−1
(𝑥 + 1)2
 
Multiplicando ambos os lados por 𝑥. (𝑥 + 1)2, temos: 
3𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2. (𝑥 + 1)2 +𝐵. 𝑥. (𝑥 + 1) − 𝑥 
Sendo então: 
𝟑𝑥2 + 𝟒𝑥 + 2 = (𝟐 + 𝑩). 𝑥2 + (𝟑 + 𝑩). 𝑥 + 2 
Por comparação temo que 3 = 2 + B ou 4 = 3 + B, ou seja: B = 1. 
 
 
60 
 
Exercícios: 
𝑎) ∫
𝑥 + 1
𝑥. (𝑥 − 2)
𝑑𝑥 𝑏) ∫
𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 − 20
𝑥2 + 3𝑥 − 10
𝑑𝑥 𝑐) ∫
𝑥³ + 5𝑥² − 𝑥 − 22
𝑥² + 3𝑥 − 10
𝑑𝑥 
𝑑)∫
2𝑥 + 1
𝑥³ + 𝑥² − 2𝑥
𝑑𝑥 𝑒) ∫
𝑑𝑥
𝑥³ − 𝑥
 𝑓) ∫
𝑥²𝑑𝑥
𝑥² − 𝑥 − 6
 
 
Gabarito: 
𝑎) ln(
|𝑥 − 2|
3
2
|𝑥|
1
2
)+ 𝐶 𝑏) 
𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝐶 𝑐) 
𝑥2
2
+ 2𝑥 + ln |(𝑥 + 5)
17
7 . (𝑥 − 2)
4
7| + 𝐶 
𝑑) ln (
|𝑥 − 1|
√|𝑥. (𝑥 + 2)|
) + 𝐶 𝑒) ln (
√|𝑥² − 1|
|𝑥|
) + 𝐶 𝑓) 𝑥 + ln |
(𝑥 − 3)
9
5
(𝑥 + 2)
4
5
| + 𝐶 
 
XIII. Integrais Impróprias com limites infinitos. 
Através da integral definida, obtivemos as áreas de regiões do plano. Convém lembrar 
que tais regiões tinha que ser limitadas. Se quisermos, calcular a área de regiões limitadas, 
teremos que utilizar as integrais “impróprias”.