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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Cornélio Procópio 
Diretoria de Graduação e Educação Profissional 
Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática 
 
 
 
 
 
ENGENHARIAS 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE PRÉ-CÁLCULO PARA OS ALUNOS 
INGRESSANTES NOS CURSOS DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
 Profª. Me. Gabriela Castro S. Cavalheiro
 
 
 
 
 
 
CORNÉLIO PROCÓPIO 
2012 
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .
 
Gabriela Castro Silva Cavalheiro
 
 1 
 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
O desenvolvimento científico e tecnológico do 
homem nos últimos séculos, é uma consequência 
natural da descoberta da contagem (forma de 
expressar os números). 
Mesmo desconhecendo a ideia de coleção, o 
homem primitivo já usava a ideia de números, para 
determinar “quantos” animais possuía, “quantas” 
pessoas viviam na tribo, etc.. 
Assim, pela necessidade de contagem, surgiu o 
primeiro conjunto numérico, denominado conjunto 
dos números naturais. 
 
a) Conjunto dos Números Naturais: Quando 
contamos os elementos de um conjunto, o 
resultado é número natural. 
N = { 0, 1, 2, 3, .....} 
 
Do conjunto N, obtemos o subconjunto N
*
: 
N
*
= { 1, 2, 3, 4, ...} 
 
De modo geral, o asterisco indica que o zero foi 
excluído do conjunto mencionado. 
 
b) Conjunto dos Números Inteiros: A 
necessidade de calcular a diferença entre dois 
números naturais, em que o primeiro é menor 
que o segundo, deu origem aos números 
inteiros. 
Z = { ....  3,  2, 1, 0 , 1, 2, 3, ....} 
 
SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE Z : 
a) Conjunto dos inteiros não- nulos. 
Z
*
= {...3, 2, 1, 1, 2, 3, ...} 
 
b) Conjunto dos inteiros não- negativos. 
Z+ = { 0 , 1, 2, 3, 4, ....} 
 
c) Conjunto dos inteiros não-positivos. 
Z  = { ...., 4,  3,  2, 1, 0} 
 
d) Conjunto dos inteiros positivos. 
*
Z = { 1, 2, 3, 4, 5, ....} 
 
e) Conjunto dos inteiros negativos. 
*
 Z  = {...., 4,  3,  2, 1} 
 
O conjunto N também é um subconjunto de Z, pois 
N = Z+ = { 0 , 1, 2, 3, 4, ....}. 
 
c) Conjunto dos Números Racionais: A 
necessidade de calcular o quociente entre dois 
números naturais quaisquer a e b ( 0b  ) 
deu origem aos números fracionários. 
 
Q =






 *Z q e Z p que em ,
q
p
x/x 
 
Assim: 
a) Todo número natural é racional. 
Exemplo: .....
2
6
1
3
3  
 
b) Todo número inteiro é racional 
Exemplo: .....
2
8
1
4
4 



 
 
c) Toda dízima periódica é racional. 
Exemplos: 0,333.. .= 
3
1
 
 2,555... = 
9
23
 
 
d) Todo número decimal exato é 
racional. 
Exemplos: 
0,5 = ....
4
2
2
1
 
 2,43 = ...
200
486
100
243




 
 
Portanto, os conjuntos dos números naturais e 
dos inteiros são subconjuntos dos números 
racionais. 
 
 
d) Conjunto dos Irracionais: Toda raiz não-
exata, bem como todo número decimal 
não-exato e não-periódico é um número 
Irracional (Q’) 
Exemplos: 
a) ....414213,12  
b) .....141592,3 
c) e = 2, 71828..... 
d) ....154434,2103  
Observamos que tais números, não podem ser 
escritos na forma de fração. 
 
 
 
 
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 2 
 
e) Conjunto dos números Reais: Chamamos 
número real todo nº Racional ou Irracional, ou 
seja, o conjunto dos nºs reais ( R) é a reunião 
do conjunto dos números racionais (Q) com o 
conjunto dos números irracionais (
'Q ), isto é: 
R=Q  'Q . 
É óbvio que: QZN  e 'Q  . 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Um número não é real quando ocorrem dois 
casos: 
a) divisão por zero; 
b) raiz de índice par e radicando negativo. 
 
 
1.1 INTERVALOS REAIS 
 
Intervalos Limitados (os dois extremos do 
intervalo são finitos) 
 
a) fechados : 
na reta: 
 
 3 7 
colchetes: [ 3 , 7 ] 
 
desigualdades:  7x3/x  
 
 
b) abertos: 
na reta: 
 
 
 3 7 
colchetes: ] 3 , 7 [ ou   7 ,3 
 
desigualdades:  7x3/x  
 
 
c) mistos: 
na reta: 
 
3 7 
 
colchetes: [ 3 , 7 [ ou   7 ,3 
desigualdades:  7x3/x  
 
 
na reta: 
 
 3 7 
colchetes: ] 3 , 7 ] ou   7 ,3 
desigualdades:  7x3/x  
 
 
 
 
Intervalo Ilimitado: (quando pelo menos um 
dos extremos não é finito) 
 
a) 
na reta: 
 
 7 
 
colchetes: [ ,7 [  ou   +,7  
desigualdades:  7x/x  
 
 
b) 
na reta: 
 
 3 
 
colchetes:     ,-3- ou 3,  
desigualdades:  3x/x  
 
 
c) 
na reta: 
 
 3 8 
 
colchetes: [ ,8 [ [ 3,]  
desigualdades:  8xou 3x/x  
 
 
N 
2. Z 
1. Q 'Q 
R 
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 3 
 
1.2 OPERAÇÕES COM INTERVALOS 
1.2.1 Intersecção: 
Sejam A e B dois intervalos reais. Chama-se 
BA o conjunto formado pelos elementos x tal 
que x  A e x  B. 
Em símbolos: 
 
 Bx e Ax/xBA  
 
 
 
Exemplos 
Resolva as seguintes operações 
   
   
   
   
    + ,2 3 , )e
 8x4/x 4x/x )d
 3 ,2 2 ,2 )c
 2 , 4 ,1 )b
 8 ,3 5 ,2 )a





 
 
1.2.2 União: 
Sejam A e B dois intervalos reais. Chama-se 
BA o conjunto formado pelos elementos x tal 
que x  A ou x  B. 
Em símbolos: 
 
 Bxou Ax/xBA  
 
 
 
Exemplos 
Resolva as seguintes operações 
 
   
   
 
   
    2 ,1 3 , )e
 8x4/x 4x/x )d
 5 ,
2
3
 2 ,2 )c
 2 , 4 ,1 )b
 8 ,3 5 ,2 )a











 
 
 
1.2.3 Diferença: 
Sejam A e B dois intervalos reais. Chama-se 
AB o conjunto formado pelos elementos x tal 
que x  A e x  B. 
Em símbolos: 
 
 } B xeA x / Sx {BA  . 
 
O evento diferença é formado pelos pontos 
amostrais que pertencem unicamente a A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Note que A  B  B  A. 
 
Exemplos 
Seja A = ]3 ,( e B = ) ,1[  , determine 
A  B. 
 
 
Exercícios 
1. Construa um diagrama contendo os 
conjuntos N, Z, Q, Q
*
 e  e cite os seguintes 
números: 
3,123 ;
2
4
 4,123....; 2,1313...; 0;;3 ;
8
3
 ;4 ;2 3
 
2. Represente cada intervalo na reta real e 
represente na notação de desigualdades: 
 
 
 
  5 ,5 e)
 3,+- d)
 ] 2 , ] )c
 5 ,2 b)
 1 ,4 )a




 
 
3. Represente cada conjunto numérico com a 
notação de intervalos, e na reta real: 
   
   3x0/xd) 4x3/xc)
 2x/xb) 4x/x)a


 
 
 
 
 
 
S A 
B 
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 4 
 
4. Dados os intervalos: 
A=[ 3, 2 ]; B=]1, 1 ]; C=[2,4] e D=]0,3[ , 
efetue as seguintes operações: 
   DCBA e) C)BA( d)
 DA c) CA b) CB )a


 
 
5. Considerando os seguintes intervalos: 
   
    2 ,2 =D e 3 ,0 C
 + ,3 B e 2 , A


 
efetue as operações: 
 
)DC()CB)(d C)BA)(c
CBb) BA)a


 
 
6. Efetue as seguintes operações: 
 
 
   
   
   
  2 ,
2
9
 ,1 )e
 ,0 2 , )d
 
3
4
 ,0 
5
2
 ,1 c)
 3 ,1 2 ,0 )b
 3 ,1 2 ,0 )a























 
 
 
Respostas 
4. 
 
 2 ,2)b
1 ,1)a


 
 
 
 3 ,1)e
2 ,2)d
0 ,3)c



 
 
5. 
   
   3 ,0)d 3 ,0)c
0 ,3)b 2 ,3)a 
 
 
6. 
   
   2,0) 5/ 2 ,0)
2 ,1) 2 ,1)
dc
ba
 
 2 ,1)e  
 
 
 
 
 
2. NÚMEROS RACIONAIS 
Chamamos de número racional a todo número 
que pode ser representado na forma 
b
a
 ( fração 
com a e b inteiros e b  0). 
 
Exemplos 
8 ;
100
17
 ;0 ;2 ;
3
5
 ;
3
4
 
 
Verificamos que os números naturais e 
inteiros, pertencem ao conjunto dos números 
racionais. 
2.1 FRAÇÕES EQUIVALENTES 
A possibilidade de representar qualquer fração 
por outra equivalente permite-nos facilitar os 
cálculos necessários. 
 
As frações 
8
4
 e 
6
3
;
4
2
;
2
1
 representam a 
mesma quantidade do todo referência. Elas são 
equivalentes, e podemos escrever: 
8
4
6
3
4
2
2
1
 
 
Quando duas frações são equivalentes, os seus 
termos estão relacionados pela multiplicação 
ou pela divisão. 
 
Exemplos 
 
 
  2 
12
8
6
4
)
5por dividimos
2
1
10
5
)b 
 4 
8
4
2
1
)
pormosmultiplicac
pormosmultiplicaa



 
2.2 O INVERSO DE UM NÚMERO 
RACIONAL 
Consideremos os números 
4
1
 e 
3
2
;5;2

 
Seus respectivos inversos são: 
4
1
 de inverso o é 4
3
2- de inverso o é 
2
3
5- de inverso o é 
5
1
 2, de inverso o é 
2
1


 
 
 
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 5 
 
2.3 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Para somar ou subtrair frações, é preciso que elas 
possuam o mesmo denominador. 
Se as frações possuem o mesmo denominador, 
basta somar ou subtrair os numeradores. 
Se as frações possuem denominadores diferentes, 
primeiramente devemos reduzi-las ao mesmo 
denominador, usando para isso, a regra prática do 
m.m.c. 
 
Exemplos 
 
60
73
60
124540
5
1
4
3
3
2
)a 

 
2.4 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 
O produto de duas ou mais frações é uma nova 
fração onde: 
i) o numerador é o produto dos numeradores 
ii) o denominador é o produto dos denominadores 
Entretanto, devemos atenção às regras de sinais: 
Lembrando: 
 
 
 
Exemplos 
Efetue as operações: 





 















10
2
8
3
.
5
4
)
7
2
.
4
3
)
3
1
.
4
1
)
c
b
a
 
2.5 DIVISÃO DE FRAÇÕES 
Conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo 
inverso da segunda fração 
 
Exemplos 
  




 



45
10
9
)d
2
9
1
)c
12
5
8
3
)b
5
4
5
2
)a
 
  
2
1
4)e 
3. NÚMEROS DECIMAIS 
No século XVI, na Europa ocidental, surgiu 
uma nova maneira de fazer cálculos sem 
precisar usar frações. Era um jeito mais rápido 
e simples que os mercadores ambulantes 
encontraram para contar. Hoje utilizamos essa 
notação em diversos momentos do nosso dia-a-
dia. 
 
Exemplos 
a) o preço de um abacaxi: R$1,79 a unidade 
b) a extensão do rio amazonas é superior à 6,5 
mil quilômetros. 
 
Esses números, em cuja representação aparece 
uma vírgula, indicam as frações na forma 
decimal. Por isso eles são conhecidos como 
números decimais. 
 
Os Algarismos à esquerda da vírgula 
constituem a parte inteira , e os que estão à 
direita, constituem a parte decimal . 
1,23 
 
 
 
parte 
inteira 
do número 
 
3.1 TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO 
PARA DECIMAL 
Para se escrever uma fração decimal sob forma 
de numeração decimal, escreve-se o seu 
numerador e separa-se com uma vírgula (a 
partir da direita), tantos algarismos quantos são 
os zeros do denominador. 
 
Exemplos 
milésimos) 5 e inteiros 8( 005,8 
1.000
8.005
milésimos) décimos 29( 0029,0 
1.0000
29
)centésimos 58 e inteiros 32( 58,32 
100
258.3



 
 
 
 


)).(( )).((
)).(( )).((
 
2 décimos 
3 centésimos 
 
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 6 
 
3.2 TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL 
PARA FRAÇÃO 
Um número decimal é igual a fração que se obtém, 
escrevendo para numerador o número sem a 
vírgula e para denominador o número 1 seguido de 
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte 
decimal. 
 
Exemplos 
19 25 1
1,9 0,25
10 100 4
1
0,001
1000
  

 
3.3 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL 
O número decimal não altera seu valor quando se 
acrescentam ou se suprimem zeros à direita do seu 
último algarismo significativo. 
 
Por exemplo: 
2,7 = 2,70 = 2,700 = 2,7000 = . . . 
 
3.4 POTÊNCIAS DE 10 
Para facilitar a escrita de números que contém 
muitos algarismos, dos quais grande parte deles 
são zeros, podemos usar as potências de 10. 
 
Exemplos 
a) 1 bilhão = 1 000 000 000 = 10
9
 
b) 1 centésimo de milésimo = 
0,00001= 510
510
1
0000.10
1  
c) 1000= 
d) 0,001= 
e) 0,01 = 
f) O diâmetro do sol é de aproximadamente 
 1 390 000 km. Este número pode ser escrito mais 
simplificado como mostramos a seguir: 
1 390 000 = 139*10 000 = 139*10
4
 
 
Exemplos 
Escreva os números que aparecem abaixo usando 
potências de 10 
a) a velocidade da luz é de, aproximadamente, 
300 000 000 m/s. 
b) há vírus cuja espessura é de, aproximadamente, 
0,0006mm. 
c) a população da China em 2001 era de, 
aproximadamente, 1300000000 de habitantes. 
 
d) o raio de um átomo é de, aproximadamente, 
0,00000000005 mm . 
 
e) 5,6 milhões de panfletos de imóveis são 
distribuídos por fim de semana. 
 
f) 6,2 bilhões 
3.5 NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Cientistas,astrônomos, biólogos, químicos e 
outros profissionais, costumas trabalhar com 
números muito “grandes” ou muito“ 
pequenos”, isto é, com muitos algarismos. Para 
tornar essa escrita mais simples, foi criada a 
notação científica, que usa as potências de 10. 
 
CARACTERÍSTICAS 
Um número escrito na notação científica deve 
ter as seguintes características: 
 
 Deve ser escrito como um produto de 
dois fatores; 
 Um dos fatores deve ser um número 
entre 1 e 10 
 O outro fator deve ser uma potência de 
10 
 
Observe estes números escritos em notação 
científica: 
 
Exemplos 
a) Plutão é o planeta que fica mais distante do 
Sol, e a distância média entre eles é de 5 910 
000 000 km. 
Em notação científica temos: 5,91 * 10
9 
 
b) Uma molécula chega a ter um diâmetro de 
0,0000018 mm. 
Em notação científica temos: 1,8*10
-6
 
 
Exemplos 
Escreva os números abaixo em notação 
científica: 
a) diâmetro do Sol: 1 390 000 km 
b) comprimento de uma célula do olho: 
0,0045cm 
 
Exemplos 
Escreva os números abaixo em escrita decimal 
comum 
a) 1,23 * 10
4 
b)1,75 * 10
-3
 
 
 
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 7 
 
Exercícios 
 
1. Calcule: 
9
5
)a de 18 
5
4
)b de R$ 135,00 
8
1
)c de 576 
11
2
)d de 121 
100
3
)e de R$ 4.000,00 
6
5
)f de 96 
 
2. Efetue as seguintes operações 
3
2
7
3
1)d 
3
2
5
3
2)c
5
1
.
4
3
2
3
)b 
2
1
.
3
2
4
3
)a








 
 
5
2
.
6
5
)h 
2
4
3
)g
6
5
3
2
2
1
)f 
3
1
7
3
)e




















 
  


















6
1
9
2
3
1
)j 2
3
2
1)i 
3
2
2
1
)l 
4
1
10
3
)k 























 
  
































2
1
.
2
1
4
3
)p 
5
1
12)o
5
2
8
3
)n 
5
2
1
)m
 
 
3. Escreva os números abaixo em notação 
científica: 
a) 49000 000 000 
b) 0,00000607 
c) 9 000 000 
d) 0,00001 
e) 10 000 000 000 000 
f) 0, 00007 
g) 0, 0000018 
h) 5 910 000 000 
 
4. Escreva os números abaixo em forma de 
escrita decimal comum 




810*5,1)d
510*25,4)c
610*3,3)b
810*5,1)a
 
 
5. O diâmetro de um grão de areia varia entre 
0,0006 m e 0,0021 m. Escreva estes números 
em notação científica. 
 
6. Efetue os cálculos abaixo e coloque o 
resultado em notação científica 





 













 














 






310*5710*965,2)d
310*2,3*310*1,5)c
210*2,1310*6,3)b
110*5*310*7,3)a
 
 
 
Respostas 
1. 
a) 10 b) 108 c) 72 
d) 22 e) 120 f) 80 
 
2. 
a)5/12 b)2/5 c) 11/15 d)7/2 
e)-2/21 f)-1/3 g)9/16 h)-1/3 
i)5/6 j)6 k)-11/20 l)1/64 
m)-1/32 n)-15/16 
o)-4/5 p)-1/2 
 
3. 
a) 4,9 * 10
10
 b)6,07 * 10
-6
 c) 9 * 10 
6
 
d)1 * 10
-5
 e) 1 * 10
13
 f) 7 * 10 
-5 
g) 1,8* 10 
– 6 
h) 5,91 * 10 
9 
 
4. 
a)150 000 000 b) 0,0000033 c)425 000 
 
5. 6*10
-4
 e 2,1 * 10 
–3 
 
6. 
3)1,85 *10 )3 *10
9)1,632 *10 )5,93 *10
a b
c d
 
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
4.1 Reta real
Os nu´meros reais podem ser representados pelo sistema de coordenadas chamado reta real
(ou eixo x) como mostra a figura 1.
Figura 1: Reta real
• O sentido positivo (para a direita) mostra o sentido dos valores crescentes de x. Ja´ o
sentido negativo (para a esquerda) mostra o sentido dos valores decrescentes de x;
• O nu´mero real que corresponde a um determinado ponto na reta e´ chamado de coorde-
nada do ponto
.• O ponto da reta real que corresponde ao zero e´ chamado de origem
.• Os nu´meros a` direita da origem sa˜o positivos e os nu´meros a` esquerda da origem sa˜o
negativos.
A reta real e´ importante porque fornece uma representac¸a˜o conceitualmente perfeita dos
nu´meros reais.
Cada ponto na reta real corresponde a um, e somente a um, nu´mero real e vice-versa
chamado correspondeˆncia biun´ıvoca como mostra a figura 2.
 
4. RETA REAL E ORDEM
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
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Figura 2: Cada ponto na reta real corresponde a um, e somente a um, nu´mero
real
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
4.2 Ordem e intervalos na reta real
Uma propriedade importante dos nu´meros reais e´ que eles sa˜o ordenados: O nu´mero 0 e´
menor que 1, −3 e´ menor que −2, 5, etc.
Indicamos a < b⇔ a estiver a` esquerda de b na reta real.
Exemplo 1:3
4
< 1 como mostra a figura 3.
Figura 3: Gra´fico
Se treˆs nu´meros reais a, x e b esta˜o ordenadas de modo que a < x e x < b, diz-se que x esta´
entre a e b e escreve-se: a < x < b.
O conjunto de todos os nu´meros reais entre a e b e´ chamado de Intervalo aberto entre a
e b e denotado por (a, b).
OBS: Neste caso as extremidades na˜o esta˜o contidos no intervalo.
Os intervalos que incluem as extremidades sa˜o chamados de fechados e denotados por [a, b].
Intervalos da forma [a, b) e (a, b] na˜o sa˜o fechados e nem abertos. A figura 4 mostra os nove
tipos de intervalos na reta real.
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
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Figura 4: Intervalos na reta real
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
5. Valor absoluto e distaˆncia na reta real
5.1 Valor absoluto de um nu´mero real
Definic¸a˜o: O valor absoluto de um nu´mero real a e´:
|a| =
 a, se ;a ≥ 0−a, se a < 0
Pela definic¸a˜o vemos que o valor absoluto de a ∈ R na˜o pode ser negativo.
Exemplo 2:|a| = | − 3| = −(−3) = 3
Propriedades:
(a) |ab| = |a|.|b|;
(b)
∣∣a
b
∣∣ = |a||b| , b 6= 0;
(c) |an| = |a|n;
(d)
√
a2 = |a|.
Exemplo 3:Se a = 2⇒ √22 = √4 = 2 , mas sea = −2⇒√(−2)2 = √4 = 2 .
5.2 Distaˆncia na reta real
Considere dois pontos distintos na reta real como mostra a figura 5
Figura 5: Distaˆncia entre dois pontos
 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
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• A distaˆncia orientada de a ate´ b e´ b− a;
• A distaˆncia orientada de b ate´ a e´ a− b;
• A distaˆncia entre a e b e´ |a− b| ou |b− a|;
Observando a figura 5 vemos que a distaˆncia entre dois pontos na reta real nunca pode ser
negativa. A distaˆncia d entre dois pontos x1 e x2 na reta real e´ dada por
d = |x2 − x1| =
√
(x2 − x1)2
ou seja,
|x2 − x1| = |x1 − x2|pois(x2 − x1)2 = (x1 − x2)2.
Exemplo 4:
A distaˆncia entre −3 e 4 na reta real e´ dada por | − 3− 4| = | − 7| = 7 ou |4− (−3)| = |7| = 7
como mostra a figura 6
Figura 6: Distaˆncia de −3 ate´ 4
A distaˆncia orientada de −3 a 4 e´ 4− (−3) = 7.
A distaˆncia orientada de 4 ate´ −3 e´ −3− 4 = −7.
5.3 Intervalos definidos por valores absolutos
Para entendermos melhor a definic¸a˜o de um intervalo na reta analisaremos o seguinte exem-
plo:
Exemplo 5:Determine o intervalo da reta real que conte´m todos os nu´meros que esta˜o ate´
duas unidades de 3.
Soluc¸a˜o:
Seja x um ponto neste intervalo. E´ preciso determinar todos os x de modo que a distaˆncia
entre x e 3 seja menor ou igual a 2, ou seja
|x− 3| ≤ 2
ou seja x− 3 deve estar entre −2 e 2. Logo escrevemos
 
Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia
 
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−2 ≤ x− 3 ≤ 2
−2 + 3 ≤ x− 3 + 3 ≤ 2 + 3
1 ≤ x ≤ 5
Logo o intervalo [1, 5] como mostra a figura 7
Figura 7: Intervalo
Dois tipos ba´sico de inequac¸o˜es que envolvem valores absolutos:
Suponha a, d ∈ R em que d > 0.
• |x− a| ≤ d⇔ a− d ≤ x ≤ a + d.
As interpretac¸o˜es e os gra´ficos respectivos dos ı´tens acima sa˜o analisados da figura 8
Figura 8: Ana´lise dos intervalos
5.4 Exerc´ıcios
1. Nos exerc´ıcios abaixo, determine (a) a distaˆncia orientada de a ate´ b; (b) a distaˆncia
orientada de b ate´ a; e (c) a distaˆncia entre a e b.
 
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• |x− a| ≥ d⇔ x ≤ a− d ou a + d ≤ x.
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(a) a = 126, b = 75
(b) a = 9, 34, b = −5, 65
(c) a = 16
3
, b = 112
75
(d) a = −126, b = −75
(e) a = −2, 05, b = 4, 25
(f) a = −18
5
, b = 61
15
2. Nos exerc´ıcios, utilize valores absolutos para descrever o intervalo dado (ou par de inter-
valos) na reta real.
(a) [−2, 2]
(b) (−∞,−2) ∪ (2,∞)
(c) [2, 8]
(d) (−∞, 0) ∪ (4,∞)
(e) Todos os nu´meros a menos de treˆs uni-
dades de 5
(f) Todos os nu´meros acima de cinco uni-
dades de 2
(g) y esta´ no ma´ximo a duas unidades de a
(h) y esta´ a menos de h unidades de c.
(i) (−3, 3)
(b) (−∞,−3) ∪ (3,∞)
(c) (−7,−1)
(d) (−∞, 20) ∪ (24,∞)
3. Nos Exerc´ıcios, resolva a inequac¸a˜o e fac¸a o esboc¸o da soluc¸a˜o na reta real.
(a) |x| < 4
(b) |x
2
| > 3
(c) |x− 5| < 2
(d) |x−3
2
| ≥ 5
(e) |10− x| > 4
(f) |9− 2x| < 1
(g) |x− a| ≤ b, b > 0
(h) |3x−a
4
| < 2b, b > 0
(i) |2x| < 6
(j) |3x| > 12
(k) |3x + 1| ≥ 4
(l) |2x + 1| < 5
(m) |25− x| ≥ 20
(n) |1− 2x
3
| < 1
(o) |2x− a| ≥ b, b > 0
(p) |a− 5x
2
| > b, b > 0.
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6. EXPRESSÕES RACIONAIS E RADICAIS 
Exercícios: 
1) Reduza a termos de menor grau: 
2 3 3 2 25 8 3 ( )
) b) )
225 9
x x x a x h x
a c
x a hx
    

 
4 4 3 2 1
) e) 
4 2 2 4 3 22 3 3 1
3 3( )
f )
x y x x x
d
x x y y x x x
x h x
h
   
    
 
 
1 2 2: ) b) )2
5 3
2 2 2 1 2 2) e) f)3 3
2 2 2 2 1
x
R a x ax a c x h
x
x y x
d x xh h
x y x x

  

 
 
  
 
2) Explique por que todo polinômio é também 
uma expressão racional 
R: Uma expressão racional é aquela que pode ser 
escrita como o quociente de dois polinômios. Todo 
polinômio P pode ser escrito como P/1, sendo que 
o numerador e o denominador são polinômios; 
portanto, todo polinômio é igualmente uma 
expressão racional. 
3) Faça as operações indicadas: 
2 3 27 12 6 9
) .
2 3 29 4
2( 3)
( 3)
x x x x x
a
x x x
x
R
x x
   
 



 
2 24 2 2) : ( 3 2 )
22
1
( )
x y
b x xy y
xy y
R
y x y

 



 
1 1
) R
( )
h
c
x h x x x h

 
 
 
2 3 4 2 1
) R
21 1 11
x
d
x x xx

  
  
 
1 3 3
)
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)
1
 R
( 1)( 1)
e
x x x x x x
x x
 
     

 
 
5 3 1
) 
22 2 4
3 27 5 36 12
R
4 16
x
f
x x x
x x x
x

 
  
  


 
3 1 2 5
) 
2 2 2( 4) 4
3 22 5 11 21
R
2 2( 4)
x x
g
x x
x x x
x
 

 
  


 
2 5 42)( 3 2).
3 26 8
2 2 1
x x
h x x
x x x
x x
R
x
  
  
   
 

 
 
4) Escreva cada fração complexas na forma 
de fração simples com termos de menor 
grau: 
2
2 2
) R
2 3
x
y
y xy
a
y y


 
11 1) R
1 1
x x
x xb
x x x
x x

  

 
 
2
3 23 42) R
4 2( 2)(4 )
x xxc
x xx
x

  

 
1 1
1
) Rx ad
x a ax

 

 
 
 
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 15 
 
5) Simplifique: 
2 4 3 5)3( 3) (2 1) 8( 3) (2 1)
2( 3) (2 27)
5(2 1)
a x x x x
x x
R
x
     
 
 

 
2 2( ) 2
) R
2 2( )
x h x x h
b
h x x h
    


 
6) Escreva na notação mais simples para forma 
radical: 
3 4 5 2 2) 20 R 2 5a x y z xy z xz 
33 5 6 2 2) 108 ( ) R 3 ( ) 4b x x y x x y x   
153
) R= 
5 5
xyx
c
y y
 
3 24 62
3) R
2 39
x xy zx
d
yzyz
 
4 6 7 8 24 2 3) 48 R 2 3e x y z xyz x y 
4 2 32 3015
4) R
7 28 2
x yzx
f
y z y z
 
7) Racionalize o denominador: 
32 23 2 4
) R
23 32
x y x yx y
a
xy
 
) R
11
x x x
b
xx



 
2
) R
x h x xh h
c
x hx h
  


 
2 216
) R ( 4 )( 2 )
2
x y
d x y x y
x y

  

 
1
) R
a b
e
a ba b



 
2 3 2
) R
11
x x x
f
xx
  


 
8) Racionalize o numerador: 
) R
1
x x
a
x x x

 
 
) R
2
x h x h
b
x h x xh h
 

  
 
1
) R
x h x
c
h x h x
 

 
 
1 1 1
) R
1 1
x a
d
x a x a
  

   
 
3 3 1
) R
3 32 23
x a
e
x a
x xa a



 
 
1 1
) 
1
R
(
x h x
f
h
x x h x x h




  
 
9) Escreva em notação exponencial: 
3 1 2 3 2) Ra xy x y 
3 2 5 2 3 1 3 5 3) ( ) R ( )b a b x y a b x y   
 
10) Escreva como uma soma ou diferença 
de termos em notação exponencial: 
1 1 2 1 2) R
x
a x x
x
   
3 26 3 1
)
3 56
1 1 14 3 1 3 2 3 5 3
6 2 6
x x x
b
x
R x x x x
  
    
 
11) Escreva como uma única fração de 
termos de menor grau possível. Não 
racionalize os denominadores. 
2
) 2 R
2 2
x
a x
x x
  
 
 
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 16 
 
2
2 1
2 1
)
2 1
1
2 3 2( 1)
x
x
x
b
x
R
x
 




 
2 2 1 2 2( 9) 9
)
2
9
2 2 1 2( 9)
x x x
c
x
R
x x
  



 
12 1 3 2 2 3( 9) 3 (4 )( )( 9) (2 )
3)
2 1 3 2[( 9) ]
2 81
2 4 33( 9)
x x x x
d
x
x
R
x
  




 
 
12) Sejam 4 7 e w 6 5z i i     dois 
números complexos. Calcule: 
) 2 2
) 10 12
) . 11 62
59 22
)
65
2) 18 64
a z w i
b w z i
c w z i
w i
d
z
e w iz i
   
   
 
 

  
 
 
7. EXPOENTES 
7.1.Expoentes naturais: são definidos por: 
. (n fatores de )nx x x x x 
 
Exemplos 
) . . . .a x x x x x 
4 3)5 5 . . . . . . .b x yz x x x x y z z z 
3 3)5 3(2 ) 5 . . .
3.(2 ).(2 ).(2 )
c a b ab a a a b
ab ab ab
  

 
7.2.Expoente zero: 
0 *1 ( )x x   . 
00 não é definido. 
7.3. Expoentes inteiros negativos: são 
definidos por: 
*1 ( )n
n
x x
x
    
*0 (não é definido )n n   
 
Exemplos 
5
5
1
)a x
x
  
3
3
4
)4b y
y
  
3
3
1 1
)5
1255
c    
2
2
1 1
) 4
164
d      
7.4. Expoentes racionais: 
1/ nx , a raiz n-ésima de x, é definida, sendo n 
um inteiro maior que 1, como se segue: 
Se n é ímpar, 
1/ nx é o único número real y 
que elevado à potência n é igual a x. 
Se n é par, então, 
Se 
1/0, nx x é o número real positivo y 
que elevado à potência n é igual a x; 
Se 
1/0, 0nx x  ; 
Se 
1/0, nx x não é um número real. 
 
Exemplos 
1/ 3)8 2a  
1/ 3)( 8) 2b    
1/ 3) 8 2c    
1/ 4)16 2d  
1/ 4)( 16) não é um número reald  
1/ 4) 16 = 2e   
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 17 
 
m
nx é definido por: 
1
( )
m
mn nx x , 
Desde que 
1
nx seja real. 
/
/
1m n
m n
x
x
  
 
Exemplos 
2/3 1/3 2 2)125 (125 ) 5 125  a 
1 1 1 14/3)8
4/3 1/3 4 4 168 (8 ) 2
    b 
(50.000.000)(0,0000000006)
)
3(20.000)
7 10(5x10 )(6x10 )
4 3(2x10 )
330x10 153,75x10
128x10


 

 
c
 
 
5
6)( 64) não é um número real d

 
 
 
7.5. Propriedades para expoentes: Para a e b 
números racionais e x e y números reais (evitando 
raízes pares de números negativos e divisão por 
zero): 
. : a b a b a b a bx x x x x x   
( . ) . : 1/ a a a a b b ax y x y x x x   
.( ) ( : ) :a b a b a a ax x x y x y  
( : ) (y : ) : y :   m m n m m nx y x x y x
 
Observação: 
 
/1/ se é ímpar ou se é par 
 e não é negativo
n nx x n n
x

 
/1/ se é par e não é negativon nx x n x
 
 
 
 
 
Exemplos 
Para x qualquer: 
2 1/ 2)( )a x x 
3 1/ 3)( )b x x 
4 1/ 2 2 2)( )c x x x  
6 1/ 2 3)( )d x x 
 
Exercícios de fixação 
1) Fatore: 
3 3
4 4
3 4
)4(3 2) 3( 5)
3( 5) (3 2) 
 3(3 2) ( 5) ( +18) 
a x x
x x
R x x x



  
  
  
3 2 / 3 2 5 / 3
2 2 / 3
)5 (3 1) 3 (3 1) 
 (3 1) (14 3) 
b x x x x
R x x x
  
  
 
2) Simplifique: 
2) R= 
p q
q
p q
x
a x
x


 
1 2 1 2 4)( ) ( ) R= p p pb x x x  
2
1/n
) R= 
mn
m n
n
x
b x
x

 
 
 
 
 
3) Simplifique sem considerar que as variáveis 
das bases são positivas: 
4 1/4)( ) R= a x x 
2 4 6 1/2 2 3)( y z ) R=y z b x x 
3 6 9 1/3 2 3)( y z ) R=xy c x z 
2 1/2)[ ( ) ] R= d x x h x x h  
4)Escreva em notação científica: 
a)a velocidade da luz é 186.000 
milhas/segundo 
b)o número de segundos em um ano. 
c)a distância que a luz percorre em um ano. 
5) Simplifique: 
2 / 3 3/ 4 5 / 3 1/ 2 3
17 / 3 9 / 4
)3 (2 ) 
 24 y 
a x y x y
R x
 
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 18 
 
2 2 / 3 2 / 3
3/ 4 3 11/12 23/ 9
(8 ) 2
) 
2( )
x y
b R
x y x y
 
2 / 3 2
8 / 3 5 / 3 2 / 3
) ( 3) 
3
c x x x
R x x x
 
  
 
1/ 2 1/ 2 2
1/ 2 1/ 2
)( ) 
 R 2
d x y
x x y y

  
 
1/ 3 1/ 3 2
2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3
)( ) 
 R 2
d x y
x x y y

  
 
 
Exercícios de fixação 
Nos Exercícios de 1 a 8 as bases são assumidas 
como positivas, a menos que seja dito o contrário. 
1)Simplifique: 
2 3 4 3 2 14 9)2(3 ) ( ) 54a x y x y R x y 
5 3 2 7(4 ) 8
) 
4 3 62( )
x y x
b R
xy y
 
2)Simplifique e escreva com expoentes positivos: 
2 3 1
) 
3 3 6
x y
a R
x y xy

 
2 3 2
8 22
3 4 4
( )
) 
( )
x y
b R x y
x y
 

 
2 2 2
4 2 2 4
1
)( ) 
2
c x y R
x x y y
 
 
 
10
5 2 4 3
12
125
)(3 ) (5 ) 
9
x
d x y R
y
    
2 2 2
4 2 2 4
1 2 1
)( ) c x y R
x x y y
    
3 4 6
3
5 3 3
64)( ) 
4
t u t
f R
t u u
  
3) Simplifique: 
1/ 2 1/ 3 5/ 6) a x x R x 
2 / 3 5/8 1/ 24) : b x R x 
4 4 1/ 2 2 2)( ) 1/ y c x y R x  
4 4 1/ 2 4 4)( ) 1/ +y d x y R x  
 
 
4) Fatore: 
4 2 2 2) 3 +2 ( +1)( +2) a x x R x x    
2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3) 6 ( 3)( 2) b x x R x x    
11/ 3 8 / 3 5 / 3
5 / 3
) 7 12 
 ( 3)( 4) 
c x x x
R x x x
 
  
2 3 3)( 2) ( 2) ( 2) ( 3) d x x R x x       
5 3 6 4 5 4)6 3 3 (2 ) e x y x y R x y y x    
 
5) Simplifique: 
0 0 0) ( ) 3a x y x y R    
2
0 5 10
5 3 16
8 9
) 
3 64
x y x
b R
x y y


 
 
 
 
 
3/ 5
2 4
7 6 3 6
32 8
) 
x y
c R
x y x y
 
 
 
 
 
6) Faça as operações indicadas: 
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2)( )( ) a x y x y R x y   
1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3
2 / 3 2 / 3
)( )( ) b x y x y
R x y
 
 
 
1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3)( )( ) c x y x x y y
R x y
  
 
2 / 3 2 / 3 3
2 4 / 3 2 / 3 2 / 3 4 / 3 2
)( ) 
3 3
d x y
R x x y x y y

   
 
7) Coloque em evidência os fatores comuns: 
8 7 7 8 8 8) ( )a x y x y R x y y x       
5/ 3 3 2 / 3 2 5/ 3 2) ( )b x y x y R x y y x    
) R= ( 1)p q p p qc x x x x   
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 19 
 
2 3/ 2 1/ 3)4( 4) (3 5) +
4 / 3 2 1/ 2(3 5) ( 4) 3
1/ 3 2 1/ 2 2R=(3 5) ( 4) (13 15 16)
d x x
x x x
x x x x
 
  
   
 
 
8) Coloque em evidência os fatores comuns: 
5 4 3 5 2) 2 2 (1 2 2 )a x x x R x x x       
2 2 3/ 2 3 2 1/ 2)6 ( 1) + ( 1) (6 ) 
2 2 1/ 2 2 6 ( 1) (2 1)
b x x x x x
R x x x
 
  
 
 
9) Calcule: 
1/ 2 1/ 2)25 16 1/ 20a R    
1/ 2)(25 16) 1/ 3b R  
3/ 4 3/ 4)16 16 65/8c R  
 
10) Simplifique e escreva em notação científica: 
3 12 10)(7,2x10 )(5x10 ) 3,6x10a R  
3 12 15)(7,2x10 ) : (5x10 ) 1,44x10b R  
5 3 3(3x10 )(6x10 ) 10) 8x10
12 2(9x10 )
c R
 


 
11) Há aproximadamente 
236,01x10 átomos de 
Hidrogênio em um grama. Calcule a massa 
aproximada, em grama de um átomo de 
Hidrogênio. 
241,67x10R grama 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. POLINÔMIOS 
8.1 Introdução 
 
Polinômios são funções cuja forma geral 
obedece à expressão: 
0x0a
1x1a
2x2a..
1nx1na
nxna)x(P 


 
onde n  , 0121nn a ,a ,a ....., ,a ,a  são os 
coeficientes e x é a variável. 
 
Exemplos de Polinômios: 
 t20t5t2)t(P)d
 6x2)x(P)c
 1x2x3x)x(P b)
 x20x15x5)x(P)a
53
34
56




 
 
Contra – exemplos: 
 xx4b)P(x)
 3
x
1
x)x(P)a 1

 
 
 
8.2 Grau de um Polinômio 
Seja P(x) um polinômio não nulo. Chamamos 
de grau do polinômio e indicamos por GR(P) 
o maior expoente de x tal que o coeficiente do 
termo onde este expoente aparece seja 
diferente de zero. 
 
Obs. P(x) = 0, não se define o grau do 
polinômio. 
 
Exemplos: Em função das variáveis K, m ou 
n, determine o grau dos seguintes polinômios: 
7x2x3kx)x(P)a 23  
Resolução: 
2 será polinômio dograu o , 0 k Se
3, será polinômio dograu o ,0k Se


 
 
4x5nxkx)x(P)b 23  
Resolução: 
1 será polinômio dograu o , 0n e 0k Se
2. será polinômio dograu o , 0n e 0 k Se
3, será polinômio dograu o ,0k Se



 
 
Não são polinômios 
pois n não pertence 
aos naturais 
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 20 
 
8x)2p(x)3m(nxkx)x(P)c 234  
Resolução: 
1 será pol. dograu o 2 p e 3 m 0, n 0, k Se
2 será pol. dograu o 3m e 0 n , 0 k Se
3 será polinômio dograu o 0,n e 0 k Se
4, será polinômio dograu o ,0k Se




 
8.3. Polinômio Nulo ou Identicamente Nulo 
Quando todos os coeficientes de um polinômio são 
iguais a zero, dizemos que este polinômio é nulo. 
 
0a e 0a,...,0a ,0a0)x(P 011nn   
 
Notação: 0)x(P  
 
 
Exemplos 
1) 0x0x0)x(p 2  
 
2) Determine m , n e k, para os quais os 
polinômios abaixo sejam nulos: 
x)nK(x)2n(mx)x(P)a 23  
Resolução: 
m=0 
n-2=0 logo n = 2 
k+n=0 logo k = -2 
 
234 Kxx)5n(x)2m()x(P)b  
Resolução: 
m+2=0 logo m = -2 
n-5=0 logo n = 5 
k=0 
 
8.4. Polinômios Idênticos 
Dados os polinômios 
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xaxaxa..xaxa)x(P 


 e 
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xbxbxb...xbxb)x(Q 


 
dizemos que P(x) é idêntico a Q(x) se, e somente 
se, 



















00
11
22
2n2n
1n1n
nn
ba
ba
ba
ba
ba
ba
 
 
Notação: )x(Q)x(P  
 
Exemplos 
1) Determinar a ,b e c para que o polinômio 
)2c(x)5b(x)1a()x(P 2  seja nulo. 
Resolução: 
a – 1 = 0a =1 
b – 5 =0b =5 
c – 2 =0c =2 
 
2) Determinar m ,n e p para que o polinômio 
)pn(x)1nm(x)3nm()x(P 2  
seja nulo 
Resolução: 
 1p 0p-1
: temos1 n como (3) 0pn
1n 03-n2
: temos1 equação na dosubstituin
2m 04m2
 
(2) 01nm
)1( 03nm









 
 
8.5. Valor Numérico de um Polinômio 
Os polinômios são funções, desta maneira, 
para cada valor da variável, existe um único 
valor correspondente como resultado. Esse 
resultado é chamado de valor numérico de um 
polinômio. 
 
Exemplo 
Se 1x2xx2)x(P 23  
Temos para x = 3: 
52 13.233.2)3(P 23  
 
De modo geral: Se 
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xaxaxaxaxa)x(P 

 
 
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 21 
 
o valor numérico de P(x) para x = b é: 
 
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n bababababa)b(P 

 
 
8.6. Raiz de um Polinômio 
Dado um polinômio P(x) e um número  , 
dizemos que  é raiz ou zero do polinômio P(x) se 
e somente se P( )=0. 
 
Exemplo 
Dado 6x5x)x(p 2  verifique se os números 
1, 2, 3 são raízes do polinômio. 
 
Resolução: 
 polinômio do raiz é não 1 logo,
261.51)1(p
: temos1 x para 6x5x)x(p
2
2


 
 
 polinômio do raiz é 2 logo,
062.52)2(p
: temos2 x para 6x5x)x(p
2
2


 
 
 polinômio do raiz é 3 logo,
063.53)3(p
: temos3 x para 6x5x)x(p
2
2


 
 
Exercícios de fixação 
01) Calcule m   de modo que o polinômio 
7x5x).1m(x).1m()x(P 2243  
seja do 1° grau em relação a x. R: m 
= 1 
 
02) Determine m  , para que o polinômio 
4x).4m(x).16m()x(P 22  seja de 
grau 2. R: m   
4 
 
03) Calcule os valores de m, p e q para os quais o 
polinômio abaixo seja identicamente nulo: 
)q23(x).2p5(x).1m2()x(P 23 R: 
2
3
q e 
5
2
p ,
2
1
m  
04) Dados cx).1b(x).1a()x(A 2  e 
c3x.bx.a)x(B 2  , calcule a, b e c, 
para que: 0)x(B)x(A  
 R: 
0c e 
2
1
b ,
2
1
a 
 
05) Determine os valores de m, n e p, de modo 
que sejam idênticos os polinômios: 
nx)pn( 
mxx)1p(x)pnm()x(P 2341


 
m2mx5x).7p2(mx2)x(P 232  
 R: m =1, n=2 e p= 
3 
06) Dado o polinômio: 
1xxx4)x(P 23  , calcule: 
a)  2P R: 329  
b)
)0(P
)1(P)1(P 
 R: 10 
c)











 
2
1
P.2
)0(P
3
1
P
 R: 
27
140
 
 
07) Ache o polinômio P(x) do segundo grau em 
x, sabendo que admite 2 como raiz e 
P(1) = 2 e P(3) =4. R: 
2xx)x(P 2  
 
8.7. Operações com Polinômios 
8.7.1 Adição e Subtração 
Para somar ou subtrair polinômios, basta somar 
ou subtrair os coeficientes dos termos 
correspondentes. Assim, dados os polinômios: 
 
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xaxaxa..xaxa)x(P 


 e 
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xbxbxb...xbxb)x(Q 


 
 a soma de P(x) com Q(x) é dada por: 
 
   
  )ba(x.ba... 
x.bax.ba)x(Q)x(P
0011
n
1n1n
n
nn

 
 
 
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 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 22 
 
a subtração é dada por: 
 
   
  )ba(x.ba... 
x.bax.ba)x(Q)x(P
0011
n
1n1n
n
nn

  
 
Obs.: Os polinômios P(x) e Q(x) não precisam ser 
necessariamente do mesmo grau. 
 
Exemplo: Considere os polinômios: 
8x5x2xQ(x)
e 2x3x5x3x5)x(P
23
234


 
Determine P(x) + Q(x) e P(x)  Q(x) 
Resolução: 
 
6x8x3x4x5)x(Q)x(P
8x5x2x 
 2x3x5x3x5)x(Q)x(P
234
23
234



 
 
)8x5x2 x( 
 2x3x5x3x5)x(Q)x(P
23
234


 
10x2x7x2x5)x(Q)x(P
8x5x2 x 
 2x3x5x3x5)x(Q)x(P
234
23
234



 
 
8.7.2 Multiplicação 
Para multiplicar polinômios devemos multiplicar 
cada termo de um polinômio por todos os termos 
do outro, e efetuar a redução dos termos 
semelhantes. 
 
Exemplo 
 
Sejam P(x) e Q(x) do exemplo anterior, então o 
produto será dado por: 
 
16x14 
x59x41x48x24x7x5)x(Q).x(P
16 
x10x42xx24x15 x6x3 
x40x25x105xx24x15 
x6x3x40x25x10x5)x(Q).x(P
)8x5x2(x . 
). 2x3x5x3x5()x(Q).x(P
234567
23234
234534
564567
23
234








 
8.7.3 Divisão de Polinômios 
a) Método da chave( algoritmo de Euclides) 
Dados os polinômios A(x) e D(x) , não nulos, 
dividir A(x) por D(x) é obter os polinômios 
Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes 
condições: 
 
A(x) D (x) 
R(x) Q(x) 
 
Assim: 
 A(x) = D(x).Q(x) + R(x) 
 
R(x) = 0 ou gr ( R) < gr(D) 
 
gr ( Q) = gr(A)  gr(D) 
 
Onde: 
A(x) é o dividendo; 
 D(x) é o divisor; 
Q(x) é o quociente; 
R(x) é o resto. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Calcule o quociente e o resto da divisão da 
A(x) por B(x) dados 
1x32xB(x) 
 8x2x2x3x6)x(A )a
2
245


 
 
 
 8x2x2x3x6 245  
 
1x32x2  
 
345 x3x9x6  
3x3 2x3 x3 4 
8x2x2x3x60 234  
 
 
234 x3x9x6  
 
 8x2xx60
23  
 
 x3x9x6
23  
 
 8x5x80
2  
 
 4x12x8
2  
 
 4x70  
 
Importante: 
Quando R(x) = 0 dizemos que A(x) é divisível 
por D(x). 
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 23 
 
47xR(x) 4x3x3x3)x(Q 23  
 
1xB(x) 
 4x3x)x(A)b
2
23


 
 
2) Determine k, de modo que 3kxx)x(P 3  
seja divisível por B(x) = x1 
 
b) Método dos Coeficientes a Determinar 
(Método de Descartes) 
Já vimos que, na divisão de A(x) por B(x), temos: 
A(x) = D(x).Q(x) + R(x) 
R(x) = 0 ou gr ( R) < gr(D) 
gr ( Q) = gr(A)  gr(D) 
 
Essas relações podem ser usadas como recursos 
para determinarmos os coeficientes de um 
polinômio em uma divisão. 
 
Exemplo 
Determinar o quociente e o resto da divisão de 
2x3x2x)x(A 23  por 1xx)x(B
2  
Resolução: 
O quociente é um polinômio do primeiro grau, 
pois: gr (Q) = gr (A)  gr (B) = 3 2 = 1, logo: 
bax)x(Q  
Como gr (R) < gr (B), sendo o divisor 
1xx)x(B 2  , então gr ( B) = 2 e gr ( R) < 2, 
isto é, o resto tem no máximo, grau 1, assim: 
dcx)x(R  
Como A(x)  B(x).Q(x)+R(x), podemos escrever: 
2x3x2x 23  =  1xx2  .  bax  + cx + d 
Comparando os termos, temos: 











1 d 
5 c 
1b 
1 a 
 
Logo 1x)x(Q  e 1x5)x(R  
 
Exemplos 
1) Determinar K, de modo que 3kxx
3  seja 
divisível por x  1. 
2) Determinar K e m, de modo que 
kxmxx3x 234  seja divisível por 
x3x2  . 
 
8.7.4 Teorema do Resto 
O resto da divisão de P(x) por  ax  é P (a). 
 
 
8.7.5 Teorema de D’Alembert 
Um polinômio P (x) é divisível por  ax  se, 
e somente se, P (a) = 0 . 
 
Exemplos 
1) Determinar K, de modo que o resto da 
divisão de 4kxx3x)x(P 23  por x 2 
seja 10. 
 
2) Calcular a e b, de modo que os polinômios 
b3axx)x(P 2  e bax2x)x(Q 3  
sejam divisíveis por x  1. 
 
8.7.6 Divisão de P(x) por ( ax + b), a  0 
O resto da divisão de P(x) por ( ax + b) é 







a
b
P 
 
Exemplos 
Determinar K, de modo que 
4kxxx)x(P 23  seja divisível por 2x 
+ 1. 
8.7.7 Dispositivo prático de Briot- Ruffini 
Utilizado para determinar o quociente e o resto 
da divisão de um polinômio P(x) por um 
binômio (xa) 
Exemplo 01: Obter o quociente e o resto da 
divisão 
de 3x2x7x3x4x3)x(P 2345  por 
(x 1) 
 
a) Primeiramente devemos dispor os 
coeficientes de P(x) e a raiz de x-1 
conforme abaixo: 
b) 
 
 
 
 
 
 1 3 + 4 +3 7  2 3 
 
 
 
 
Raiz de 
x1 
 
 
 
Coeficientes 
do polinômio 
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 24 
 
c) Abaixa o primeiro coeficiente de p(x), o qual será 
o primeiro coeficiente do quociente. 
 
 
1 3 + 4 +3 -7 - 2 3 
 3 
 
d) Multiplica-se o 1 (a raiz) pelo 3 (primeiro 
coeficiente), o resultado obtido adiciona-se 
com o segundo coeficiente do polinômio, e o 
resultado encontrado será o segundo 
coeficiente do quociente. 
 
 
 1 3 +4 +3 7 2 3 
 3 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Análogo a isso, devemos agora multiplicar o 1 
( raiz) por 7 ( segundo coeficiente do 
quociente ), somar o resultado com 3 ( 
terceiro coeficiente do polinômio e o 
resultado encontrado será o terceiro 
coeficiente do quociente. 
 
 
 1 3 +4 +37 2 3 
 3 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim por diante, e encontraremos o quociente 
e o resto. 
 
 
 
Como o polinômio dado era do grau 5, 
dividindo por um binômio do tipo (x  1) 
abaixaremos um grau. Assim o quociente e o 
resto encontrado será: 
1x3x10x7x3)x(Q 234  
R(x) = 4 
 
Exemplo 2: Divida 
10x4x2x3)x(P 34  por (x - 2), 
determinando o quociente e o resto. 
 
 
Exercícios 
1) Dados os polinômios 
5x10xx2)x(A 23  , 
 4x4x)x(B 3  , C(x) = x3 e D(x)= 
x 2, determine o valor de: 
 
 
)x(C
)x(D.)x(B2)x(A 
 R: 
2xx2  
 
2) Dados os polinômios 
3nxmxx2)x(P 231  e 
3xx)x(P 22  , se P1(x) é divisível por 
P2(x), então m  n é igual a: 
R: 8 
 
3) Dividindo um polinômio P(x) por x 3, 
resulta um resto de 7 e um quociente de x  4. 
Qual é P(x)? 
R: 5x7x
2  
 
4) A divisão de do polinômio P(x) por x a 
fornece quociente 1xxx)x(Q 23  e resto 
P(a) =1. Sabendo-se que P(0) = 15, o valor de a 
é? R: 16 
 
 
1 3 + 4 +3 7  2 3 
 3 7 10 3 1 4 
Soma 
3+4=7 
 
 
 
Multiplica-se 
 1x3=3 
 
 
 
Soma 
7+3=10 
 
 
 
Multiplica-se 
 1x7=7 
 
 
 
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 25 
 
5) Dados os polinômio P(x) e Q(x), onde 
m2x3x3mxP 23  )()( 
e x)3m2(x)2m(x)1m()x(Q 23  
 determine P(x).Q(x) de modo que gr(P+Q) = 1. 
 R: x4x3x4x2xxQxP 2346 )().( 
 
6) Sabendo-se que 


 1x
B
4x
A
4x3x
10x5
2 

, 
calcular A e B. R: A = 2 e B =3 
 
7) Se 
6x
B
4x
A
24x2x
1x
2 





, então 2A + B é 
igual a: R: 
2
3
 
 
8) Um polinômio cbxaxx)x(P 23  que 
satisfaz as condições P(1)= 0, P( x) +P(x) = 0, 
qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)? 
R: P(2) = 6 
 
9) O resto da divisão do polinômio 
xxxxxx)x(P 392781243  por x1 é? 
R: 6 
 
10) Qual é o número real que se deve adicionar a 
,xx2x)x(P 23  para se obter um polinômio 
divisível por x 3? R: a = 12 
 
9 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
 
Equação polinomial ou algébrica é toda equação 
redutível à forma: 
0xaxaxa...xaxa 00
1
1
2
2
1n
1n
n
n 

 
 
Chamamos de zero ou raiz de uma equação 
polinomial P(x) = 0 todo número  tal que 
0)(P  
 
Lembrando que quando um número  é raiz de 
uma equação, o resto é igual a zero. 
 
 
9.1 Resolução de uma Equação Polinomial 
Resolver uma equação polinomial é obter o 
seu conjunto verdade, que é o conjunto de 
todas as suas raízes. 
a equação for do primeiro grau: 
Isolamos a variável através de operações 
elementares. 
Exemplo: 
3x
03x


 
A equação admite uma única solução. 
 
Se a equação for do segundo grau: 
Usaremos a fórmula de Báskara ou as relações 
de Girard para resolver. 
Exemplo: 
02x3x2  
Solução x = 2 e x = 1 
Se a equação for de grau > 2 
Utilizaremos o diapositivo prático de Briot 
Ruffini, para facilitar nosso trabalho, 
primeiramente encontraremos as possíveis 
raízes racionais da equação. 
 
9.2 Teorema das Raízes Racionais 
Dada a equação polinomial com coeficientes 
inteiros: 
 
0xaxaxa...xaxa 00
1
1
2
2
1n
1n
n
n 


 
 
Seja p os divisores de a0 e seja q os divisores 
de an. Os possíveis valores das raízes 
racionais são dados pela razão: Q
q
p
 
 
Exemplo 1 : Encontre as possíveis raízes da 
equação 05x14x23x4
23  . 
 
Temos que: 
p ( divisores de 5) = { 1 ,1, 5, 5} 
q (divisores de 4 ) = { 1, 1, 2, 2, 4, 4} 
 
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 26 
 
Possíveis raízes racionais da equação 







4
5
 ;
2
5
 ;5 ;
4
1
 ;
2
1
 ;1
q
p
 
 
Agora para encontrar as raízes, utilizaremos o 
dispositivo de BriotRuffini, testando as possíveis 
raízes. Lembrando que se for raíz o resto da 
equação será zero. 
 
Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim , as raízes da equação são x = 1, x = ¼ 
e x = 5. 
 
Exemplo 2 : Encontre as possíveis raízes da 
equação 
06x7
3
x  
 
9.3 DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO 
EM FATORES DO 1º GRAU (FATORAÇÃO) 
Se P(x) = 0 é de grau n ( 1n  ) e tem raízes 
n21 ...,,  , então 
P(x) pode ser decomposto em n fatores do 1º grau, 
sendo  1nn  o fator em evidência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Decomponha (fatore) a equação 04x
2  
Como as raízes desta equação são – 2 e 2, 
temos 
0)2x)(2x(
04x2


 
 
2) Decomponha (fatore) a equação 
02x3x2  
Como as raízes desta equação são 1 e 2 , temos 
0)2x)(1x(
02x3x2


 
9.4 RAÍZES MÚLTIPLAS 
As raízes de uma equação polinomial podem 
ser todas distintas, ou não. 
Se uma equação possui duas raízes iguais, a 
raiz terá multiplicidade 2, isto é, será uma raiz 
dupla, se tiver três raízes iguais , a raiz terá 
multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla, e 
assim, sucessivamente. 
 
Se um número  for uma só vez raiz de uma 
equação algébrica, ele será chamado raiz 
simples ou raiz de multiplicidade 1. 
 
Exemplos 
 
1) Determine a multiplicidade das raízes 1, 2 e 
–3 na equação e coloquea na forma fatorada. 
012x44x59x32x2x4x 23456  
 
1 1 4 2 32 59 44 12 
1 1 3 5 27 32 12 0 
1 1 2 7 20 12 0 
1 1 1 8 12 0 
2 1 1 6 0 
2 1 3 0 
3 1 0 
 
Notamos que esta equação tem uma raiz tripla 
igual a 1, uma raiz dupla igual a 2 e uma raiz 
simples igual a –3. 
 
2)Resolva a equação 04x3x
23  
 
 
0)nx)...(2x).(1x.(na
 0x0a
1x1a...
1nx1na
nxna


 
 
 
 4 +23 14 5 
1 4 27 41 36 
1 4 19  5 0 
1/2 4 25 43/2 33/2 
1/4 4 20 0 0 
 5 4 0 
 
 
 
 x = 1 não é raiz da equação 
x =1 é raiz da equação 
x=1/2 não é raiz da equação 
x= ¼ é raiz da equação 
x =  5 é raiz da equação 
 
 
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 27 
 
Exercícios: 
1) Em função das variáveis k, m e n, determine o 
grau de cada polinômio abaixo: 
 
kx)3n(x)4m()x(P)c
px2nx3x)8m()x(P)b
2x3x)1m2()x(P)a
22
23
2



 
2) Determine os valores de m, n e k para os quais o 
polinômio abaixo seja identicamente nulo 
x)2k(nxx)3m()x(P)b
)k23(x)2n5(x)1m2()x(P)a
34
23


 
 
3) Determine os valores de m, n e k para que os 
polinômios A(x) e B(x) sejam idênticos. 
 
x3xB(x) 
 x)2k(x)
2
1
n(x)2m()x(A)b
2x35xB(x) 
 kx)2n(x)3m()x(A)a
3
23
2
2




 
 
4)Dado o polinômio 1xxx4)x(P 23  
calcule: 
 
a) P(2) b) P(1) c) P(0) 
 
5) Entre os números 1, 1, 2, 2, 3 e –3, quais são 
raízes de 12x4x15x5x3x)x(P 2345  
? 
 
6) Divida utilizando o método da chave, D(x) por 
d(x), indicando o quociente e o resto. 
 
1-xd(x) e 1x2xc)D(x)
3xd(x) e 2x35xb)D(x)
1-2xd(x) e 2xx3x2)x(D)a
23
2
23



 
 
7) Divida A(x) por B(x) , utilizando o dispositivo 
de BriotRuffini, indicando o quociente e o resto: 
4 3 2) ( ) 5 2 3 1 
 e B(x) x-2
3 2b)A(x) 2x 1 
 e B(x) x-1
2c)A(x) 5x 3 2 
 e B(x) 3
a A x x x x x
x
x
x
    

  

  
 
 
8) Resolva as seguintes equações e coloqueas 
na forma fatorada: 
0x6x11x6x)f
03x13x13x3)e
01x2xx2)d
04x5x)c
018x3x13x7x)b
010x13x2x)a
3456
23
23
24
234
23






 
 
Respostas dos exercícios 1 ao 8 
1) 
grau primeiro do será polinômio o 
2
1
- m Se
grau. segundo do será polinômio o 
2
1
- m Se)a


 
 
grau 1º do será polinômio o 0 p e 0 n , 8 m Se
grau 2º do será polinômio o 0n e 8 m Se
grau. terceirodo será polinômio o 8 m Se)b



 
 
grau 1º do será polinômio o 3n e 2 m Se
grau. 2º do será polinômio o 2 m Se)c


 
2) 
2 k 0,n ,3m)b
2
3
 k ,
5
2
 n , 
2
1
m)a


 
 
3) 
5k ,
2
1
n 3,b)m
2k 5,n ,2m)a


 
 
4) a) 29 b) –7 c) -1 
 
5)1, -1, 2, -2, -3 
 
 
 
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 28 
 
6) 
0R(x) ,1x2xc)Q(x)
56R(x) , 18-5xb)Q(x)
2 R(x) ,xx)x(Q)a
2
2



 
 
7) 
56R(x) e 18-5xc)Q(x)
0R(x) e 1x2xb)Q(x)
11- R(x) e 5x4x3x)x(Q)a
2
23



 
 
8) 
0)3x)(2x).(1x.()x)(f
0)3x).(1x).(
3
1
x.(3)e
0)1x).(1x).(
2
1
x.(2)d
0)1x)(2x).(1x).(2x)(c
0)2x.()3x).(1x)(b
0)2x).(1x).(5x)(a
3
2






 
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 29 
 
 
9. TRIGONOMETRIA 
 
10.1 ORIGEM DA TRIGONOMETRIA: 
A etimologia da palavra TRIGONOMETRIA significa “ 
medida dos triângulos”, sendo formada pelos radicais gregos tri ( 
três), gonos ( ângulo) e metron ( medir). 
A trigonometria teve origem na antiga Grécia, em 
decorrência dos estudos das relações entre os lados 
e os ângulos de um triângulo, possivelmente com o 
intuito de resolver problemas de navegação, 
agrimensura e astronomia. O astrônomo grego 
Hiparco ( 150 a.C.) construiu a primeira tabela 
trigonométrica, mas o vocábulo Trigonometria foi 
criado em 1595 pelo matemático alemão 
Bartholomaus Pitiscus (15611613). 
 
10.2 ÂNGULO: 
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.3 MEDIDA DE UM ÂNGULO. 
É igual à medida do arco que ele determina sobre 
uma circunferência, cujo centro é o vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.4 RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO: 
Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e 
dois ângulos agudos e complementares. Os lados 
de um triângulo retângulo chamamse catetos e 
hipotenusa. Os catetos são sempre perpendiculares 
e formam um ângulo reto. 
 
 
 
Quando construímos sobre um ângulos agudo 
dois triângulos retângulos, estes serão 
semelhantes e, portanto, terão lados 
proporcionais. 
 
 
Os triângulos ABC e APQ são semelhantes. 
Como seus lados são proporcionais, podemos 
escrever: 
 
Reescrever estas proporções utilizando a 
nomenclatura de catetos e hipotenusa, temos: 
 
 
Estas relações que acabamos de generalizar 
recebem nomes especiais. 
A primeira é chamada seno do ângulo x e 
escrevese: 
 
 
vértice ângulo 
lado 
lado 
B 
A 
0 
 ˆ ABmed AOB med 
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 30 
 
 
cateto oposto
sen x = 
hipotenusa
 
 
 
 
A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escrevese: 
cateto adjacente
cos x = 
hipotenusa
 
 
A terceira é chamada tangente do ângulo x e 
escrevese: 
cateto oposto
tg x = 
cateto adjacente
 
 
 
 
Determinar o diâmetro d da cabeça do parafuso, conforme as 
medidas da figura. 
 
 
 
R: d = 22,44 mm 
 
A torre de Pisa, na Itália, é um campanário cuja construção 
iniciouse em 1174. Devido ao tipo de solo, a torre inclinouse, 
significativamente, desde sua construção. A reta vertical que passa 
pelo centro A de seu terraço superior encontra o solo em um 
ponto B distante 4m do centro C de sua base. Sabendo que a 
distância CA é 56 m, calcule a inclinação )ACˆB( dessa torre, 
em graus. 
 
R:  85º14’ 
 
 
Um observador na margem de um rio, vê o topo de uma 
torre na outra margem segundo um ângulo de 56º. 
Afastandose vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º. 
Calcule a largura do rio. 
 
R: x=17,95 m 
Quebra Cabeça: Quaisquer dois quadrados, 
não importa seus tamanhos relativos, podem 
ser cortados em cinco peças que se juntarão 
novamente para formar um só quadrado maior. 
Os cortes estão ilustrados nos quadrados do 
exemplo abaixo. 
 
 
 
Trace outros dois quadrados. Você sabe onde 
fazer os cortes de modo que depois sejamos 
capazes de remontar as peças num outro 
quadrado? 
 
 
 
 
Exercícios: 
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 Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 31 
 
 
1) Determine os elementos incógnitos: 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
R: a) x =26,75m; b) x =8,76m, y = 7,10m e z 
=5,75m c) x =12,99m e y = 10m 
2) Determine a altura de um painel de 
propaganda situado no topo de um 
edifício, sabendose que o observador está 
situado a 100 m do edifício e pode 
visualizar a base inferior e superior, 
segundo um ângulo de 30º e 45º, 
respectivamente. (R.: 42 m ) 
3) Numa rua horizontal um menino vê o topo 
de um prédio sob um ângulo de 36º. 
Deslocandose 18 m no sentido do prédio, 
passa a avistálo sob um ângulo de 42º. 
Calcular a altura do prédio. (R.: 
66,67 m ou 69,56 m). 
4) Um engenheiro civil que constrói uma 
estrada diz que, em certo trecho, há uma 
“rampa” de 33%. Qual, então, a medida 
aproximada do ângulo de inclinação? ( R.: 
  18º). 
5) Um mastro de 6 m está em cima de uma 
colina de altura d. De um ponto A 
avistamos seu pé sob um ângulo de 60º e 
sua ponta sob 75º. Calcule a altura da 
colina. ( R: 5,19 m ou 5, 22 m). 
6) As posições relativas de uma pista de 
aeroporto e de uma torre de controle de 6,1 
m de altura são ilustradas na figura abaixo. 
A cabeceira da pista está a uma distância 
perpendicular de 100 metros da base da 
torre. Se x é a distância percorrida na pista 
por um avião, expresse a distância d entre 
o avião e a torre de controle comofunção 
de x. 
 
(R:   2d 10037 x ) 
 
7) De um ponto exterior P que está a h 
unidades de um círculo de raio r, traça-se uma 
tangente ao círculo (veja a figura). Seja y a 
distância do ponto P ao ponto de tangência T. 
Expresse y como função de h e r. ( lembre-se 
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 32 
 
 
que se C é o centro do círculo, PT é perpendicular a 
CT.) Se r é o raio da terra e h é a altura de um 
foguete, então podemos deduzir uma fórmula para a 
distância máxima ( à terra) que um astronauta pode 
ver da nave. 
Em particular, se h= 321.800 m e r = 6 436 
000 m, dê uma aproximação para y. 
(R: 2 2 y h hr  2.060 milhões ) 
 
 
 
 
10.5 PONTO MÓVEL SOBRE UMA CURVA 
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se 
um ponto P pertence à curva, dizemos que P é um 
ponto fixo da mesma. Se assumirmos que este 
ponto possa ser deslocado sobre a curva, este 
ponto receberá o nome de ponto móvel. Um ponto 
móvel localizado sobre uma circunferência, 
partindo de um ponto A pode percorrer esta 
circunferência em dois sentidos opostos. Por 
convenção, o sentido antihorário (contrário aos 
ponteiros de um relógio) é adotado como sentido 
positivo. 
 
 
 
 
 
10.6 ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA 
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o 
arco é denominado arco orientado e simplesmente 
pode ser denotado por AB se o sentido de percurso 
for de A para B e BA quando o sentido de 
percurso for de B para A. 
 
Quando não consideramos a orientação dos 
arcos formados por dois pontos A e B sobre 
uma circunferência, temos dois arcos não 
orientados sendo A e B as suas extremidades. 
 
 
 
10.7 MEDIDA DE UM ARCO 
A medida de um arco de circunferência é feita 
por comparação com um outro arco da mesma 
circunferência tomado como a unidade de arco. 
Se u for um arco de comprimento unitário 
(igual a 1), a medida do arco AB , é o número 
de vezes que o arco u cabe no arco AB . 
Na figura abaixo, a medida do arco AB é 5 
vezes a medida do arco u . Denotando a 
medida do arco AB por m( AB ) e a medida do 
arco u por m( u ), temos: 
m( AB ) = 5 m( u ). 
 
 
A medida de um arco de circunferência é a 
mesma em qualquer um dos sentidos. 
 
10.8 UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS 
A unidade de medida de arco do Sistema 
Internacional (SI) é o radiano, mas existem 
outras medidas utilizadas pelos técnicos que são 
o grau e o grado. Este último não é muito 
comum. 
 
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo 
comprimento que o raio da circunferência na 
qual estamos medindo o arco. Assim o arco 
tomado como unidade tem comprimento igual 
ao comprimento do raio ou 1 radiano, que 
denotaremos por 1 rad. 
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 33 
 
 
 
 
 
Lembramos que o comprimento de uma 
circunferência de raio r é dado por 2r. Assim, 
para calcularmos em radianos a medida a de um 
arco de uma volta, fazemos: 
a = 2r/r = 2rad 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 
do arco completo da circunferência na qual 
estamos medindo o arco. 
 
 
 
Exemplos: 
Dividindo a 
circunferência em 
4 e 6 partes 
congruentes, 
temos: 
 
 
O grau comporta ainda os submúltiplos, 
minuto ( ’) e segundo (”) , de forma que: 
1º = 60' e 1' = 60” 
 
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 
do arco completo da circunferência na qual 
estamos medindo o arco. 
 
10.9 ARCOS DE UMA VOLTA 
Se AB é o arco correspondente à volta completa 
de uma circunferência, então: 
 
2 rad = 360º 
Podemos estabelecer os seguintes resultados: 
Desenho 
 
Grau 90º 180º 270º 360º 
Grado 100 200 300 400 
Radiano /2  3/2 2 
 
Obs: 0 graus = 0 grado = 0 radianos 
 
10.10 MUDANÇA DE UNIDADES 
Consideremos um arco AB de medida R em 
radianos, esta medida corresponde a G graus. A 
relação entre estas medidas é obtida pela 
seguinte proporção: 
 
2 rad …………… 360 graus 
R rad …………… G graus 
 
Assim, temos a igualdade R/2 = G/360, ou 
ainda: 
 
a) 
b) 
c) 
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 34 
 
 
180
GR


 
 
Exercícios: 
1) Determinar a medida em radianos dos arcos: 
120º e 300º ( R: rad
8
5
 e rad
3
2 
). 
2) Determinar a medida em graus de um arco de 
medida 1 radiano ( R: 57º19’29”). 
 
 
11 CICLO TRIGONOMÉTRICO 
Considere uma circunferência de raio unitário com 
centro na origem de um sistema cartesiano 
ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será 
tomado como a origem dos arcos orientados nesta 
circunferência e o sentido positivo considerado será 
o antihorário. Assim, chamase círculo 
trigonométrico ou ciclo trigonométrico, ao círculo 
orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do 
sistema de coordenadas cartesianas, conforme 
figura a seguir. 
 
 
 
Os eixos OX e OY decompõem o ciclo 
trigonométrico em quatro quadrantes que são 
enumerados como segue: 
 
2o. quadrante 
abscissa: negativa 
ordenada: positiva 
90º<ângulo<180º 
 
1o. quadrante 
abscissa: positiva 
ordenada: positiva 
0º<ângulo<90º 
3o. quadrante 
abscissa: negativa 
ordenada: 
negativa 
180º<ângulo<270º 
4o. quadrante 
abscissa: positiva 
ordenada: 
negativa 
270º<ângulo<360º 
 
Obs.: Os quadrantes são usados para localizar 
pontos e a caracterização de ângulos 
trigonométricos. Por convenção, os pontos situados 
sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos 
quadrantes. 
 
11.1 ARCOS COM MAIS DE UMA 
VOLTA 
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos 
considerar arcos cujas medidas sejam maiores 
do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel 
parte de um ponto A sobre uma circunferência 
no sentido antihorário e para em um ponto M, 
ele descreve um arco AM . 
 
A medida deste arco (em graus) poderá ser 
menor ou igual a 360º ou ser maior do que 
360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, 
dizemos que este arco está em sua primeira 
determinação. 
 
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a 
circunferência uma ou mais vezes em um 
determinado sentido, antes de parar no ponto 
M, determinando arcos maiores do que 360º ou 
arcos com mais de uma volta. Existe uma 
infinidade de arcos, mas com medidas 
diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja 
extremidade é o ponto M. 
Seja o arco AM cuja primeira determinação 
tenha medida igual a m. Um ponto móvel que 
parte de A e pare em M, pode ter várias 
medidas algébricas, dependendo do percurso. 
 
Se o sentido for o antihorário, o ponto M da 
circunferência trigonométrica será extremidade 
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 35 
 
 
de uma infinidade de arcos positivos de medidas: 
m, m+2, m+4, m+6, ... 
 
Se o sentido for o horário, o ponto M será 
extremidade de uma infinidade de arcos negativos 
de medidas: 
m2, m4, m6, ... 
 
 Generalizando este conceito, se m é a medida da 
primeira determinação positiva do arco AM, 
podemos representar as

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