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Elementos de Equacoes Diferenciais aula 02

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TÓPICO 01: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM – AS LINEARES
Nesta aula abordaremos as equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem – as lineares.
DEFINIÇÃO
Uma EDO de primeira ordem da forma é dita uma 
EQUAÇÃO LINEAR na variável dependente y.
Observação: quando g(x) = 0, a equação é dita ser 
HOMOGÊNEA.
FORMA PADRÃO
Dividindo-se ambos os membros por a1(x) a equação fica: 
.
SOLUÇÃO DA EDO LINEAR
Como estamos em um curso de licenciatura, em vez de fornecer uma 
“fórmula pronta”, vamos argumentar sua construção. Afinal, antes de ser 
licenciatura, o curso é de matemática.
Vamos “pensar” por etapas:
ETAPA 1
Se Q(x) = 0, então ficamos com dy/dx = -P(x)y.
Separando as variáveis, dy/y = -P(x)dx.
Por conseguinte, integrando ambos os membros da igualdade, ln|y| = 
-∫P(x)dx + cte.
Ou seja, (de onde saiu este C?). 
ETAPA 2
Se P(x) = 0, então dy/dx = Q(x).
Organizando, dy = Q(x)dx.
Daí, y = ∫Q(x)dx + cte
ETAPA 3
Juntar as ideias... Ou melhor, as etapas anteriores. Com efeito, 
lembram da definição de solução de EDO? Vide aula anterior!
Tentativas e erros...
Se será que esta é uma solução?
Testar, isto é, derivar e substituir na equação:
ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
AULA 02: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Pela derivada do produto,
Não esquecendo que (eu)’ = eu.u’
Notamos que NÃO SERVE...
ETAPA 4
Fazendo uma “inspeção” notamos que uma escolha mais apropriada é:
Será? Testar.
Mas, qual a motivação? Conforme etapa anterior, apareceu a 
exponencial no lado esquerdo da igualdade. Caso há tivéssemos no lado 
direito da igualdade, a expressão seria simplificada. E por qual motivo 
temos o sinal trocado no expoente? Pensem um pouco mais...
Testando,
Lembrando, à esquerda da igualdade tínhamos um produto. Logo, 
derivada do produto (se estão com dificuldades, recomendo rever regras de 
derivação e integração).
Simplificando, chegamos à equação linear.
EXERCITANDO
1) Resolva a equação y’ + y = x:
SOLUÇÃO
Comparando com y’ + P(x)y = Q(x), temos P(x) = 1 e Q(x) = x.
Assim,
Fica,
Organizando,
Concluam... Lembrando que usaremos integração por partes à 
direita da igualdade.
2) Sendo x > 0, determine solução geral de x.y’ - 4y = x6ex
SOLUÇÃO
Inicialmente, escrever na forma padrão: y’ – (4/x)y = x5ex.
Assim, e∫P(x)dx = e∫(-4/x)dx = e-4.∫(1/x)dx = e-4.lnx = elnx
-4
 = x-4.
Que propriedades dos logaritmos foram utilizadas? Debater no 
fórum!
Daí, ∫ e∫P(x)dxQ(x)dx = ∫x-4 x5exdx = ex(x – 1).
Concluir...
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
TÓPICO 02: REVENDO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Neste tópico discutiremos as EDOs atreladas ao Bernoulli, equações 
exatas e equações homogêneas.
EDOS DE BERNOULLI
DEFINIÇÃO
Jakob Bernoulli [1]
Uma EDO de primeira ordem é dita ser de Bernoulli quando pode ser 
escrita na forma:
Repare que para n = 0 ou n = 1 já sabemos resolver (ou 
não?).
E COMO RESOLVER, NOS OUTROS CASOS? 
Já sabemos que para resolver algumas integrais uma estratégia é fazer 
mudança de variável. Desta feita, seja u = y 1 - n, com n diferente de 0 e 1. Por 
quê? Conforme historiadores da matemática, tentativas e erros consolidaram 
a estratégia a ser utilizada. 
Mas, prestem atenção aos expoentes de y... São “n” e “1”...
Com efeito, derivando ambos os membros da equação u = y 1 - n em 
relação a variável x, temos:
Organizando a escrita:
Substituindo na equação:
Temos:
Multiplicando ambos os membros da igualdade pelo inverso do 
coeficiente de du/dx e fazendo a substituição u = y 1 - n chegamos em:
ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
AULA 02: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
FÓRUM
Para debater no fórum:
(1) O que aconteceria se a substituição fosse u = y n - 1? 
(2) Que estratégias seguir para resolver equação de Bernoullli?
EXEMPLOS
1) Y’ – 2xy = xy³
SOLUÇÃO
Notar que n = 3. Assim, ficamos com u’ + (– 2)(-2)xu = (-2)x .: u’ + 
4xu = - 2x
Comparando com:
Cuja solução é:
 + C
Segue-se:
 + C
De onde:
Por fim:
Como partimos da variável dependente y, devemos deixar a solução 
em função dela. Como u = y-2, segue-se que uy² = 1 .: y² = 1/y. 
CONCLUIR!!!
2) Y’ = 4x-1y + xy1/2
SOLUÇÃO
Reescrevendo: Y’ - 4x-1y = xy1/2
Neste caso, n = ½
Daí, u’ + (1 – ½). - 4x-1u = (1 – ½) x
Ou seja, u’ + 2x-1u = – ½ x
Comparando com:
Cuja solução é:
 + C
Segue-se:
 + C
Lembrar que ∫ (inserindo constantes só no final...)
Organizando,
Ficou fácil... Concluir.
EDOs de Riccati não serão aqui debatidas. Todavia, discutir exemplos 
destas EDOs no fórum.
EDOS EXATAS
DEFINIÇÃO
Uma EDO de primeira ordem do tipo é dita EXATA 
se existir uma função u(x, y) tal que . 
FÓRUM
VERSÃO TEXTUAL
Quando saber que uma EDO é exata?
Enunciarei parcialmente um teorema cujo enunciado completo 
e respectiva demonstração devem ser debatidos no fórum:
 é EXATA se 
E como resolver?
Pensar “ao contrário”!
De ux = M(x,y), vamos integrar ambos os membros da 
igualdade em relação à variável x.
Assim, u = ∫M(x,y)dx + g(y).
Por que apareceu g(y)? Porque ao derivar em relação à variável 
x, y “se comporta” como constante.
Agora, derivar em relação a y a igualdade u = ∫M(x,y)dx + g(y), 
não esquecendo da hipótese... uy = N(x,y).
Vamos aos exemplos para fixar melhor a ideia!
EXEMPLO 3
• 
SOLUÇÃO
Note que M = 2x/y³ e N = (y² - 3x²)/y 4.
Verificando se é exata:
◾ Derivar M em relação a y. Ou seja, x “se comporta” como 
constante: M y = -6xy
-4
◾ Derivar N em relação a x. Ou seja, y “se comporta” como 
constante, antes de derivar, notar que podemos reescrever N = (1/y²) 
– (3x²/y 4): N x = -6xy
-4
De M = 2x/y³ vamos integrar em relação a x:
 = u
Agora, derivar em relação a y: u y = g’(y) 
Igualando com -6xy -4 segue-se que 
Integrando, não esquecendo que x “se comporta” como 
constante:
Por fim, é só substituir em u = .
Concluir.
EXEMPLO 4
• (x³ + y³) + 3xy².y’ = 0 
SOLUÇÃO
Verificar se é exata.
M(x, y) = x³ + y³ .: M y = 3y²
N(x, y) = 3xy² .: N x = 3y²
Pela igualdade observada, encontrar a função.
Partir de N(x, y) desta vez. Pois é indiferente a escolha!
Integrar N em relação a variável y: ∫3xy²dy = xy³ + g(x).
Agora, derivar em relação a x e igualar: y³ + g’(x) = 3y².
Organizando, g’(x) = 3y² - y³ .: g(x) = (3y² - y³)x + C
Daí...
Observação: como resolver M(x, y) + N(x, y).y’ = 0 se não for 
exata?
EDO HOMOGÊNEA
DEFINIÇÃO
Uma função f: A ⊂ R² R é homogênea de grau n se para todo k real f
(kx, ky) = knf(x, y) para qualquer (x, y) ∈ A.
EXEMPLOS
5. F(x, y) = x² + 3xy + y² é de grau “2”. Com efeito, F(kx, ky) = (kx)² + 
3.(kx)(ky) + (ky)² = k²(x² + 3xy + y²).
6. F(x, y) = sen(xy) NÃO é homogênea. Pois, sen(kxky) = sen(k²xy) ≠ 
k²sen(xy).
Considere que M e N sejam homogêneas com mesmo grau, 
na equação diferencial:
M(x, y) + N(x, y).y’ = 0
Assim, y’ = - M(x,y)/N(x,y).
OBSERVAÇÃO
Tem um resultado das funções homogêneas que argumenta o 
seguinte: Seja f(x, y) homogênea de grau n. Considere (x, y) no domínio da 
função e x não nulo. Seja k = 1/x. Assim, .
Com base nessa observação: 
Ou seja, a equação está dependendo do quociente y/x. Sim, e daí? – você 
pode indagar!
Ora, podemos fazer uma mudança de variáveis... Vide exemplos:
EXEMPLOS
7. Resolver x² + 3xy + y² - x²y’ = 0.
SOLUÇÃO
Note que:
◾ M(x, y) = x² + 3xy + y² .: My = 3x + 2y
◾ N(x, y) = -x² .: Nx = -2x
Não é exata esta equação.
Todavia, M e N são homogêneas e possuem o mesmo grau – 
confere?
Desta feita, seja v= y/x ou vx = y. Logo, – usando a 
derivação do produto – recordam?
Daí, x² + 3xy + y² - x²y’ = 0 – 
substituímos “y” e “dy/dx”.
Organizando a escrita: x² + 3x²v + x²v² - x²(x.v’ + v) = 0.
Simplificando por x²(lembram que é homogênea de grau 2?)
1 + 3v + v² - x.v’ + v = 0.: v² + 4v + 1 = x.v’ .: v² + 4v + 4 – 4 + 1 = 
x.dv/dx
(v + 2)² - 3 = x.dv/dx 
Integrando ambos os membros da igualdade... Lembrando que, em 
relação à variável v, podemos realizar nova mudança de variável, para 
comparar com tabela da aula 1 seja u = v + 2 .: du = dv .: 
 ...
Concluir!
8. Obter a solução geral de x²y – y³.y’ = 0.
SOLUÇÃO
Percebam que não é exata, todavia M e N são homogêneas de grau 
3.
Considere v = y/x. Por conseguinte, y = xv y’ = xv’ + v.
Substituindo, x²y – y³.y’ = 0 x²(xv) – (xv)³.(xv’ + v) = 0 x³v – 
x³v³.(xv’ + v) = 0
Simplificando por x³... v – v³(xv’ + v) = 0 v – v4 = xv³.v’ – nova 
simplificação por v... 1 – v³ = xv²v’
Conclusão é por conta de vocês...
FÓRUM
Debater as conclusões dos exemplos.
OBSERVAÇÃO
Por qual motivo nos interessa tais EDOs em detrimento de outras? 
Por estarmos em um curso de Licenciatura, a maneira de resolver, isto é, 
as estratégias utilizadas, são o norte a seguir. Desta feita, outras EDOs não 
serão aqui estudadas, pois estamos em um curso introdutório cujo foco é o 
raciocínio a seguir.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Escolha e resolva SOMENTE um dos itens de cada questão.
1. As EDOs abaixo são separáveis, encontre a solução geral:
a) Y’ = 1 + x + y² + xy²
b) 
2. Resolva:
a) 
b) 
3. Determine a solução de:
a) Y’ + xy = x³y³
b) Y – y’.cosx = y²cosx(1 – senx)
4. Verifique se a EDO é exata e encontre a solução geral.
a)(y³ – x)y’ = y
b)(x – 4y)y’ + y – 3x² = 0
5. Verifique se a EDO é: (i) exata, (ii) homogênea, e (iii) encontre a 
solução geral, sendo ou não exata:
a) X + 4y + 2x.y’ = 0
b) X² + y² + (2xy + y²)y’ = 0
FONTES DAS IMAGENS
1. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Jakob_
Bernoulli.jpg/200px-Jakob_Bernoulli.jpg 
2. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
3. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
	01.pdf
	02.pdf

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