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TÓPICO 01: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM – AS LINEARES Nesta aula abordaremos as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem – as lineares. DEFINIÇÃO Uma EDO de primeira ordem da forma é dita uma EQUAÇÃO LINEAR na variável dependente y. Observação: quando g(x) = 0, a equação é dita ser HOMOGÊNEA. FORMA PADRÃO Dividindo-se ambos os membros por a1(x) a equação fica: . SOLUÇÃO DA EDO LINEAR Como estamos em um curso de licenciatura, em vez de fornecer uma “fórmula pronta”, vamos argumentar sua construção. Afinal, antes de ser licenciatura, o curso é de matemática. Vamos “pensar” por etapas: ETAPA 1 Se Q(x) = 0, então ficamos com dy/dx = -P(x)y. Separando as variáveis, dy/y = -P(x)dx. Por conseguinte, integrando ambos os membros da igualdade, ln|y| = -∫P(x)dx + cte. Ou seja, (de onde saiu este C?). ETAPA 2 Se P(x) = 0, então dy/dx = Q(x). Organizando, dy = Q(x)dx. Daí, y = ∫Q(x)dx + cte ETAPA 3 Juntar as ideias... Ou melhor, as etapas anteriores. Com efeito, lembram da definição de solução de EDO? Vide aula anterior! Tentativas e erros... Se será que esta é uma solução? Testar, isto é, derivar e substituir na equação: ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA 02: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Pela derivada do produto, Não esquecendo que (eu)’ = eu.u’ Notamos que NÃO SERVE... ETAPA 4 Fazendo uma “inspeção” notamos que uma escolha mais apropriada é: Será? Testar. Mas, qual a motivação? Conforme etapa anterior, apareceu a exponencial no lado esquerdo da igualdade. Caso há tivéssemos no lado direito da igualdade, a expressão seria simplificada. E por qual motivo temos o sinal trocado no expoente? Pensem um pouco mais... Testando, Lembrando, à esquerda da igualdade tínhamos um produto. Logo, derivada do produto (se estão com dificuldades, recomendo rever regras de derivação e integração). Simplificando, chegamos à equação linear. EXERCITANDO 1) Resolva a equação y’ + y = x: SOLUÇÃO Comparando com y’ + P(x)y = Q(x), temos P(x) = 1 e Q(x) = x. Assim, Fica, Organizando, Concluam... Lembrando que usaremos integração por partes à direita da igualdade. 2) Sendo x > 0, determine solução geral de x.y’ - 4y = x6ex SOLUÇÃO Inicialmente, escrever na forma padrão: y’ – (4/x)y = x5ex. Assim, e∫P(x)dx = e∫(-4/x)dx = e-4.∫(1/x)dx = e-4.lnx = elnx -4 = x-4. Que propriedades dos logaritmos foram utilizadas? Debater no fórum! Daí, ∫ e∫P(x)dxQ(x)dx = ∫x-4 x5exdx = ex(x – 1). Concluir... FONTES DAS IMAGENS 1. http://www.denso-wave.com/en/ Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual TÓPICO 02: REVENDO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Neste tópico discutiremos as EDOs atreladas ao Bernoulli, equações exatas e equações homogêneas. EDOS DE BERNOULLI DEFINIÇÃO Jakob Bernoulli [1] Uma EDO de primeira ordem é dita ser de Bernoulli quando pode ser escrita na forma: Repare que para n = 0 ou n = 1 já sabemos resolver (ou não?). E COMO RESOLVER, NOS OUTROS CASOS? Já sabemos que para resolver algumas integrais uma estratégia é fazer mudança de variável. Desta feita, seja u = y 1 - n, com n diferente de 0 e 1. Por quê? Conforme historiadores da matemática, tentativas e erros consolidaram a estratégia a ser utilizada. Mas, prestem atenção aos expoentes de y... São “n” e “1”... Com efeito, derivando ambos os membros da equação u = y 1 - n em relação a variável x, temos: Organizando a escrita: Substituindo na equação: Temos: Multiplicando ambos os membros da igualdade pelo inverso do coeficiente de du/dx e fazendo a substituição u = y 1 - n chegamos em: ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA 02: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM FÓRUM Para debater no fórum: (1) O que aconteceria se a substituição fosse u = y n - 1? (2) Que estratégias seguir para resolver equação de Bernoullli? EXEMPLOS 1) Y’ – 2xy = xy³ SOLUÇÃO Notar que n = 3. Assim, ficamos com u’ + (– 2)(-2)xu = (-2)x .: u’ + 4xu = - 2x Comparando com: Cuja solução é: + C Segue-se: + C De onde: Por fim: Como partimos da variável dependente y, devemos deixar a solução em função dela. Como u = y-2, segue-se que uy² = 1 .: y² = 1/y. CONCLUIR!!! 2) Y’ = 4x-1y + xy1/2 SOLUÇÃO Reescrevendo: Y’ - 4x-1y = xy1/2 Neste caso, n = ½ Daí, u’ + (1 – ½). - 4x-1u = (1 – ½) x Ou seja, u’ + 2x-1u = – ½ x Comparando com: Cuja solução é: + C Segue-se: + C Lembrar que ∫ (inserindo constantes só no final...) Organizando, Ficou fácil... Concluir. EDOs de Riccati não serão aqui debatidas. Todavia, discutir exemplos destas EDOs no fórum. EDOS EXATAS DEFINIÇÃO Uma EDO de primeira ordem do tipo é dita EXATA se existir uma função u(x, y) tal que . FÓRUM VERSÃO TEXTUAL Quando saber que uma EDO é exata? Enunciarei parcialmente um teorema cujo enunciado completo e respectiva demonstração devem ser debatidos no fórum: é EXATA se E como resolver? Pensar “ao contrário”! De ux = M(x,y), vamos integrar ambos os membros da igualdade em relação à variável x. Assim, u = ∫M(x,y)dx + g(y). Por que apareceu g(y)? Porque ao derivar em relação à variável x, y “se comporta” como constante. Agora, derivar em relação a y a igualdade u = ∫M(x,y)dx + g(y), não esquecendo da hipótese... uy = N(x,y). Vamos aos exemplos para fixar melhor a ideia! EXEMPLO 3 • SOLUÇÃO Note que M = 2x/y³ e N = (y² - 3x²)/y 4. Verificando se é exata: ◾ Derivar M em relação a y. Ou seja, x “se comporta” como constante: M y = -6xy -4 ◾ Derivar N em relação a x. Ou seja, y “se comporta” como constante, antes de derivar, notar que podemos reescrever N = (1/y²) – (3x²/y 4): N x = -6xy -4 De M = 2x/y³ vamos integrar em relação a x: = u Agora, derivar em relação a y: u y = g’(y) Igualando com -6xy -4 segue-se que Integrando, não esquecendo que x “se comporta” como constante: Por fim, é só substituir em u = . Concluir. EXEMPLO 4 • (x³ + y³) + 3xy².y’ = 0 SOLUÇÃO Verificar se é exata. M(x, y) = x³ + y³ .: M y = 3y² N(x, y) = 3xy² .: N x = 3y² Pela igualdade observada, encontrar a função. Partir de N(x, y) desta vez. Pois é indiferente a escolha! Integrar N em relação a variável y: ∫3xy²dy = xy³ + g(x). Agora, derivar em relação a x e igualar: y³ + g’(x) = 3y². Organizando, g’(x) = 3y² - y³ .: g(x) = (3y² - y³)x + C Daí... Observação: como resolver M(x, y) + N(x, y).y’ = 0 se não for exata? EDO HOMOGÊNEA DEFINIÇÃO Uma função f: A ⊂ R² R é homogênea de grau n se para todo k real f (kx, ky) = knf(x, y) para qualquer (x, y) ∈ A. EXEMPLOS 5. F(x, y) = x² + 3xy + y² é de grau “2”. Com efeito, F(kx, ky) = (kx)² + 3.(kx)(ky) + (ky)² = k²(x² + 3xy + y²). 6. F(x, y) = sen(xy) NÃO é homogênea. Pois, sen(kxky) = sen(k²xy) ≠ k²sen(xy). Considere que M e N sejam homogêneas com mesmo grau, na equação diferencial: M(x, y) + N(x, y).y’ = 0 Assim, y’ = - M(x,y)/N(x,y). OBSERVAÇÃO Tem um resultado das funções homogêneas que argumenta o seguinte: Seja f(x, y) homogênea de grau n. Considere (x, y) no domínio da função e x não nulo. Seja k = 1/x. Assim, . Com base nessa observação: Ou seja, a equação está dependendo do quociente y/x. Sim, e daí? – você pode indagar! Ora, podemos fazer uma mudança de variáveis... Vide exemplos: EXEMPLOS 7. Resolver x² + 3xy + y² - x²y’ = 0. SOLUÇÃO Note que: ◾ M(x, y) = x² + 3xy + y² .: My = 3x + 2y ◾ N(x, y) = -x² .: Nx = -2x Não é exata esta equação. Todavia, M e N são homogêneas e possuem o mesmo grau – confere? Desta feita, seja v= y/x ou vx = y. Logo, – usando a derivação do produto – recordam? Daí, x² + 3xy + y² - x²y’ = 0 – substituímos “y” e “dy/dx”. Organizando a escrita: x² + 3x²v + x²v² - x²(x.v’ + v) = 0. Simplificando por x²(lembram que é homogênea de grau 2?) 1 + 3v + v² - x.v’ + v = 0.: v² + 4v + 1 = x.v’ .: v² + 4v + 4 – 4 + 1 = x.dv/dx (v + 2)² - 3 = x.dv/dx Integrando ambos os membros da igualdade... Lembrando que, em relação à variável v, podemos realizar nova mudança de variável, para comparar com tabela da aula 1 seja u = v + 2 .: du = dv .: ... Concluir! 8. Obter a solução geral de x²y – y³.y’ = 0. SOLUÇÃO Percebam que não é exata, todavia M e N são homogêneas de grau 3. Considere v = y/x. Por conseguinte, y = xv y’ = xv’ + v. Substituindo, x²y – y³.y’ = 0 x²(xv) – (xv)³.(xv’ + v) = 0 x³v – x³v³.(xv’ + v) = 0 Simplificando por x³... v – v³(xv’ + v) = 0 v – v4 = xv³.v’ – nova simplificação por v... 1 – v³ = xv²v’ Conclusão é por conta de vocês... FÓRUM Debater as conclusões dos exemplos. OBSERVAÇÃO Por qual motivo nos interessa tais EDOs em detrimento de outras? Por estarmos em um curso de Licenciatura, a maneira de resolver, isto é, as estratégias utilizadas, são o norte a seguir. Desta feita, outras EDOs não serão aqui estudadas, pois estamos em um curso introdutório cujo foco é o raciocínio a seguir. ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Escolha e resolva SOMENTE um dos itens de cada questão. 1. As EDOs abaixo são separáveis, encontre a solução geral: a) Y’ = 1 + x + y² + xy² b) 2. Resolva: a) b) 3. Determine a solução de: a) Y’ + xy = x³y³ b) Y – y’.cosx = y²cosx(1 – senx) 4. Verifique se a EDO é exata e encontre a solução geral. a)(y³ – x)y’ = y b)(x – 4y)y’ + y – 3x² = 0 5. Verifique se a EDO é: (i) exata, (ii) homogênea, e (iii) encontre a solução geral, sendo ou não exata: a) X + 4y + 2x.y’ = 0 b) X² + y² + (2xy + y²)y’ = 0 FONTES DAS IMAGENS 1. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Jakob_ Bernoulli.jpg/200px-Jakob_Bernoulli.jpg 2. http://www.adobe.com/go/getflashplayer 3. http://www.denso-wave.com/en/ Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual 01.pdf 02.pdf
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