PO2 Cap 3 Análise de Decisão

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Pesquisa Operacional 
Modelos Probabilísticos
1 – Análise de Decisões
Professor Luciano Barboza da Silva
Análise de Decisão
• Em geral os modelos determinísticos de PO implicam
contextos de decisão em que é possível estimar, com
razoável certeza, as consequências de escolhas
alternativas.
• Alguns problemas, entretanto, não se enquadram nesse
arcabouço:
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Análise de Decisão
– Exemplo: Fabricante lançando um novo produto no mercado:
qual a reação do público alvo? Qual o nível de propaganda
adequado?
– Uma empresa petrolífera decidindo se deve ou não perfurar
um poço em determinada área? Quais as chances de
encontrar petróleo? Em que volume? Serão necessários mais
gastos com análises?
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Análise de Decisão
• A análise de decisão é um conjunto de técnicas
desenvolvidas para orientar a tomada de decisão
racional em ambientes de muita incerteza;
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Análise de Decisão
• Exemplo básico:
– Uma empresa A é proprietária de uma área de terra que pode
conter petróleo. Uma consultoria relatou “a direção que ele
acredita que haja uma chance em quatro de encontrar
petróleo.
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Análise de Decisão
Em virtude dessa possibilidade, outra companhia, digamos B,
ofereceu $90.000,00 para comprar o terreno. Entretanto A está
considerando a possibilidade de permanecer com o terreno de
modo a ela própria perfurá-lo em busca de petróleo. O custo da
perfuração é de $100.000,00. Caso seja encontrado petróleo a
receita esperada resultante será de $800.000,00, de forma que o
lucro esperado será de $700.000,00.
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Análise de Decisão
A empresa arcará com uma perda de $100.000,00 (custo de
perfuração) caso o terreno seja seco (sem petróleo).
A tabela abaixo (chamada Matriz de Decisão) resume as informações:
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Condições do
Terreno
Alternativas
Petróleo Seco
Perfuração Própria $700.000,00 -$100.000,00
Venda do Terreno $90.000,00 $90.000,00
Prob. Das Condições 1/4 3/4
Análise de Decisão
• Essa tabela resume todos os elementos do modelo
decisório que vamos estudar:
– Alternativas de Decisão: Cada decisor se encontra diante de
alternativas de decisão. Caso não haja alternativas não haverá
um problema de decisão.
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Análise de Decisão
Essas alternativas, em geral, indicam ações mutuamente
exclusivas e vamos supor que esgota toda a lista de
possibilidades de escolha disponível ao decisor. No nosso
exemplo as alternativas da empresa A são:
• Perfuração Própria: em busca de petróleo;
• Venda do terreno.
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Análise de Decisão
– Estados da Natureza: São as condições ambientais, que o
decisor não pode controlar mas que interferem sobre as
consequências das escolhas do decisor. Esses estados da
Natureza devem ser exaustivos (ou seja, devem conter todas
as ocorrências possíveis). Em geral na natureza está o
mecanismo aleatório que dá ao problema, sua característica
fundamental.
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Análise de Decisão
No nosso exemplos temos os seguintes estados:
• Petróleo, ou seja, existência de petróleo na área a ser perfurada;
• Seco, ou seja, inexistência de petróleo na área perfurada
– Prêmio: è uma medida quantitativa, para o decisor, das
consequências de suas escolhas, sujeitas às realizações dos
estados da natureza. Assim para cada alternativa de decisão
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Análise de Decisão
e para cada estado da natureza possível, existe um prêmio
(que considera-se conhecido pelo decisor). No nosso caso um
exemplo de prêmio seria $700.000,00 que ocorre quando há
petróleo (estado da natureza) e a empresa escolher
Perfuração Própria.
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Análise de Decisão
OBS: Note que as alternativas estão disponíveis ao decisor,
ou seja, sob sua possibilidade de escolha;
OBS: Note que os estados da natureza estão fora da
capacidade de escolha do decisor;
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Análise de Decisão
OBS: Embora utilizemos o termo “estado da natureza”, o
termo natureza significa apenas algo que está além da
capacidade do decisor e interfere nos prêmios que o mesmo
possa receber no processo de escolha (Ex. o mercado de
trabalho, o nível da inflação etc.). Quando um certo estado da
natureza se estabelece podemos dizer que a “natureza
escolheu sua alternativa”.
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Decisões a priori
• Em termos gerais, a expressão “Decisão a priori”
significa que o decisor faz suas escolhas com base nas
informações que possui, sem nenhum experimento
adicional;
• Sob essa ótica foram desenvolvidos alguns métodos:
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Decisões a priori
• Critério do Máximo prêmio Mínimo:
– Para cada alternativa dada ao decisor observamos o menor
prêmio pago;
– Escolhemos a alternativa que apresenta o maior prêmio
dentre esses menores observados
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Decisões a priori
– Exemplo: Voltemos ao nosso exemplo:
Sob o critério definido a alternativa a ser escolhida é a
alternativa “venda do Terreno”
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Condições 
do Terreno
Alternativas
Petróleo Seco Menor Prêmio
Perfuração Própria $700 -$100 -$100
Venda do Terreno $90 $90 $90
Prob. Das Condições 1/4 3/4
Decisões a priori
• OBS: Esse critério é bastante pessimista.Note que o único
objetivo desse método é garantir que tenhamos o melhor
resultado se der tudo errado;
• OBS: Esse critério seria importante se o oponente do
decisor (no caso, a natureza) buscasse intencionalmente sua
ruína. Mas como a natureza não é um agente racional, isso
não parece razoável;
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Decisões a priori
• OBS: Note ainda que o critério não se preocupa com as
probabilidades de ocorrência dos estados da natureza.
Note que a decisão não mudaria mesmo que a
probabilidade de ocorrência dos piores estados
diminuíssem drasticamente.
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Decisões a priori
• Critério do Probabilidade Máxima:
– Determinar o estado da natureza mais provável;
– Para esse estado da natureza encontrar a alternativa que
pague o maior prêmio.
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Decisões a priori
Retornando ao nosso exemplo, temos:
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Condições do
Terreno
Alternativas
Petróleo Seco
Perfuração Própria $700.000,00 -$100.000,00
Venda do Terreno $90.000,00 $90.000,00
Prob. Das Condições 1/4 3/4
Decisões a priori
• Assim:
– O estado da natureza mais provável é “Seco”, cuja
probabilidade é ¾;
– Assim a alternativa a ser escolhida seria a “Venda do
Terreno”, uma vez que paga o melhor prêmio.
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Decisões a priori
• OBS: Esse critério corrige um aspecto do critério anterior:
ele leva em consideração as chances de ocorrência dos
estados da natureza;
• OBS: Note, entretanto, que ao considerar apenas a
probabilidade máxima esse critério despreza uma massa deprobabilidades menores (cuja soma, inclusive, pode
ultrapassar a máxima);
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Decisões a priori
• OBS: Além disso, mesmo um estado de pequena
probabilidade pode ocorrer, e se o prêmio pago para
esse estado por outras alternativas for alto, pode-se
deixar de ganhar mais.
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Decisões a priori
• Critério de Bayes (Máximo VEA – Valor Esperado das
Alternativas ):
– O Critério de Bayes leva em consideração toda a massa de
probabilidades associada ao problema bem como todos os
prêmios pagos por cada uma das alternativas. Para tanto
utiliza a noção de Valor Esperado da Alternativa.
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Decisões a priori
– Para cada alternativa possível calcula-se o Valor Esperado
(média ponderada em que os pesos correspondem “as
probabilidades dos estados da natureza) dos prêmios pagos;
– Escolhe-se a alternativa com o maior valor esperado.
– OBS: Para uma VA discreta X calcula-se o Valor Esperado
como:
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  
x
xXxPEX
Decisões a priori
Retornando ao nosso exemplo, temos:
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Condições do
Terreno
Alternativas
Petróleo Seco
Perfuração Própria $700.000,00 -$100.000,00
Venda do Terreno $90.000,00 $90.000,00
Prob. Das Condições 1/4 3/4
Decisões a priori
– Logo
– E assim a alternativa escolhida é “Perfuração Própria”
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   
  90
4
3
90
4
1
90Terreno do Venda|Prêmio
100
4
3
100
4
1
700PrópriaPerfuração|Prêmio


























E
E
Decisões a priori
• OBS: Note que a solução contrariou as soluções nos
procedimentos anteriores, que apontaram ambas para a
Venda do Terreno;
• OBS: Note ainda que utilizamos todas as informações
disponíveis: as melhores estimativas disponíveis das
probabilidades dos estados da natureza e os valores dos
prêmios associados a cada escolha.
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Decisões a priori
• OBS: Note ainda: Mesmo que a “Perfuração Própria”
tenha uma probabilidade alta de prejuízo (estado
“Seco”) o prêmio por encontrar “Petróleo” é tão alto
que vale a pena correr riscos.
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Análise de Sensibilidade
• Por melhor que sejam os métodos apriorísticos, todos
sofrem de uma dependência forte da precisão das
estimativas das probabilidades dos estados da natureza
(exceção: Prêmio Mínimo Máximo);
• Para avaliar os impactos da incerteza gerada por essa
dependência foi desenvolvida a Análise de Sensibilidade;
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Análise de Sensibilidade
• Objetivo do Método: Determinar quão sensível (ou
estável) é nossa decisão a possíveis variações nas
probabilidades de estados da natureza;
• Reconsideremos nosso exemplo, mas dessa vez vamos
considerar probabilidades genéricas para os estados,
conforme quadro a seguir:
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Análise de Sensibilidade
Dados esses valores genéricos para as probabilidades dos
estados da natureza, podemos estudar os impactos de
variações nas mesmas
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Condições do
Terreno
Alternativas
Petróleo Seco
Perfuração Própria $700.000,00 -$100.000,00
Venda do Terreno $90.000,00 $90.000,00
Prob. Das Condições p 1- p
Análise de Sensibilidade
• Utilizando o método de Bayes podemos calcular o VEA
para cada alternativa:
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        
      
90
19090| Terreno do Venda
100008
1100700| PrópriaPerfuração




pppAEV
p
pppVEA
Análise de Sensibilidade
• Assim escolhemos a alternativa com maior VEA, dada a
probabilidade p, ou seja:
– Escolhemos Perfuração Própria se:
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   
2375,0
80
19
90100800
| Terreno do Venda| PrópriaPerfuração


pp
pAEVpVEA
Análise de Sensibilidade
– Escolhemos Venda do Terreno se:
– Somos indiferentes entre Venda do Terreno e Perfuração
Própria se:
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   
2375,0
80
19
10080090
| PrópriaPerfuração| Terreno do Venda


pp
pVEApAEV
   
2375,0
80
19
10080090
| PrópriaPerfuração| Terreno do Venda


pp
pVEApAEV
Análise de Sensibilidade
– Podemos estabelecer graficamente essa relação:
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2375,0p
VEA
 Própria PerfuraçãoVEA
 Terreno do VendaVEA
B RegiãoA Região
Análise de Sensibilidade
• Região A: Nesta região (p < 0,2375) e o VEA (Venda do
Terreno) é maior que o VEA(Perfuração Própria). Sendo
assim na Região A a melhor escolha é a Venda do
Terreno;
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Análise de Sensibilidade
• Região B: Nesta região (p > 0,2375) e o VEA (Venda do
Terreno) é menor que o VEA(Perfuração Própria).
Sendo assim na Região B a melhor escolha é a
Perfuração Própria;
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Análise de Sensibilidade
• Assim conseguimos uma regra simples para decisão:
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








Própria Perfuração2375,0
 Própria Perfuraçãoou 
 Terreno do Venda :aIndiferenç
2375,0
Terreno do Venda2375,0
p
p
p
Análise de Sensibilidade
• OBS: Note que em nossa análise p é a probabilidade de
haver petróleo (Estado da Natureza Petróleo). Essa
probabilidade será nossa Variável de Decisão. Assim
para o nosso exemplo original , com p = ¼. Nesse caso,
portanto, como temos p > 0,2375, nossa decisão será:
Perfuração Própria.
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Análise de Sensibilidade
• OBS: Note também que quanto mais distante de 0,2375
for p mais estável é nossa decisão, pois como p é uma
estimativa pode conter erros de medição e erros muito
grandes são mais raros que erros pequenos.
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Tomada de Decisão com Experimentação
• Às vezes é possível executar experimentos que permitem ajustar
as estimativas prévias de probabilidade (consultorias, por
exemplo);
• Nesse caso duas coisas devem ser avaliadas:
– Qual a decisão tomar com base nas novas estimativas?
– Qual o ganho líquido que essas informações trarão para o decisor?
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Tomada de Decisão com Experimentação
• Retomando nosso exemplo:
– Vamos supor que antes de tomar sua decisão a empresa A
tenha acesso à possibilidade de um levantamento sísmico
detalhado do terreno para obter uma melhor estimativa de
encontrar petróleo. Suponhamos ainda que o custo da
pesquisa seja R$ 30.000,00.
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Tomada de Decisão com Experimentação
Um levantamento sísmico obtém sondagens que indicam se a
estrutura geológica é favorável à presença de petróleo.
Dividiremos as possíveis descobertas do levantamento em duas
categorias:
SSD – Sondagens Sísmicas Desfavoráveis: significando que a
presença de petróleo é muito improvável;
SSF - Sondagens Sísmicas Desfavoráveis: significando que a
presençade petróleo é muito provável;
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Tomada de Decisão com Experimentação
Baseado em experiências passadas o grupo de sondagem
consegue garantir os seguintes resultados:
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 
 
 
  .2,08,01Seco|
;8,0Seco|
;6,04,01Petróleo|
;4,0Petróleo|




SSFP
SSDP
SSFP
SSDP
Tomada de Decisão com Experimentação
• Probabilidades Posteriores (a Posteriori):
– Com base nas informações levantadas pela consultoria
(classificação do terreno em SSD ou SSF) é possível
atualizar as probabilidades prévias (chamadas a priori) de
modo que as novas estimativas incorporem as informações
trazidas pelos consultores. Essas novas estimativas são
chamadas Probabilidades Posteriores (ou a posteriori).
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Tomada de Decisão com Experimentação
• Notação:
E = { e1, e2, ..., en} - Conjunto dos Estados da Natureza;
P( Estado = ej ) – Probabilidade prévia da Natureza assumir o
estado ej;
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Tomada de Decisão com Experimentação
• Notação:
D = { d1, d2, ..., dn} - Conjunto das possíveis descobertas;
P( Estado = ej | Descoberta = di) – Probabilidade posterior da
natureza assumir o estado ej, j = 1,2,3...,n, dado que
descobrimos o fato di, i = 1,2,...,k .
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Tomada de Decisão com Experimentação
• Para o nosso modelo :
E = { Petróleo, Seco } - Conjunto dos Estados da Natureza;
P( Estado = Petróleo ) = 1/4 e P( Estado = Seco ) = ¾
D = { Petróleo, Seco}
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Tomada de Decisão com Experimentação
• Assim nossas estimativas de probabilidades posteriores
são dadas por:
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   
 
   
   
 
   SSF|Petróleo1SSF|Seco
SSF
SSFPetróleo
SSF|Petróleo
SSD|Petróleo1SSD|Seco
SSD
SSDPetróleo
SSD|Petróleo
PP
P
P
P
PP
P
P
P






Tomada de Decisão com Experimentação
– P[Petróleo | SSD] e P[Seco | SSD] :
Logo:
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     
     
       
7,08,0
4
3
4,0
4
1
Seco|SSDSecoPetróleo|SSDPetróleo
SSDSecoSSDPetróleoSSD
1,04,0
4
1
Petróleo|SSDPetróleoSSDPetróleo
















PPPP
PPP
PPP
    86,0
7
6
7
1
1SSD|Seco14,0
7
1
7,0
1,0
SSD|Petróleo  PP
Tomada de Decisão com Experimentação
– P[Petróleo | SSF] e P[Seco | SSF] :
Logo:
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     
     
       
3,02,0
4
3
6,0
4
1
Seco|SSFSecoPetróleo|SSFPetróleo
SSFSecoSSFPetróleoSSF
15,06,0
4
1
Petróleo|SSFPetróleoSSFPetróleo
















PPPP
PPP
PPP
    5,0
2
1
2
1
1SSF|Seco5,0
2
1
3,0
15,0
SSF|Petróleo  PP
Tomada de Decisão com Experimentação
• Temos assim o seguinte quadro resumo :
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Estados da 
Natureza
Probabilidades
Petróleo Seco
Sem experimento 0,25 0,75
Experimento = SSD 0,14 0,86
Experimento = SSF 0,50 0,50
Tomada de Decisão com Experimentação
• Retornemos agora ao problema de decisão:
– Suponhamos que o resultado do experimento seja SSD.
Neste caso temos a seguinte matriz de decisão:
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Condições do
Terreno
Alternativas
Petróleo Seco
Custo do 
Experimento
Perfuração Própria $700.000,00 -$100.000,00 $30.000,00
Venda do Terreno $90.000,00 $90.000,00 $30.000,00
Prob. Das Condições 0,14 0,86
Tomada de Decisão com Experimentação
Assim
Logo a alternativa a ser escolhida é a Venda do Terreno
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     
      603086,09014,090SSD|Venda
183086,010014,0700SSD|Prórpia Perfuração


VEA
VEA
Tomada de Decisão com Experimentação
– Suponhamos que o resultado do experimento seja SSF. Neste
caso temos a seguinte matriz de decisão:
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Condições do
Terreno
Alternativas
Petróleo Seco
Custo do 
Experimento
Perfuração Própria $700.000,00 -$100.000,00 $30.000,00
Venda do Terreno $90.000,00 $90.000,00 $30.000,00
Prob. Das Condições 0,50 0,50
Tomada de Decisão com Experimentação
Assim
Logo a alternativa a ser escolhida é a Perfuração Própria
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     
      603050,09050,090SSD|Venda
2703050,010050,0700SSD|Prórpia Perfuração


VEA
VEA
Tomada de Decisão com Experimentação
• Assim podemos formatar o seguinte quadro de escolhas
ótimas:
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Descoberta por 
Levantamento Sísmico
Alternativa 
Ótima
Prêmio 
Esperado Bruto
Prêmio Esperado 
(Prêmio Bruto – Custo 
do Experimento)
SSD Venda do 
Terreno
$90.000,00 $60.000,00
SSF Perfuração 
Própria
$300.000,00 $270.000,00
Valor do Experimento
• Antes da execução de um experimento para atualização
das probabilidades dos eventos capitais do processo
decisório, deve-se fazer uma análise de custo-benefício
para verificar a viabilidade do processo;
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Valor do Experimento
• No nosso exemplo, temos que o procedimento de sondagem
sísmica tem um custo de R$ 30.000,00. Assim a questão que se
põe é: sob que condições vale a pena inserir o experimento n
processo decisório?
• Duas metodologias podem ser utilizadas:
– VEIP – Valor Esperado da Informação Perfeita;
– VEE – Valor Esperado da Experimentação.
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Valor do Experimento
• VEIP – Valor Esperado da Informação Perfeita
– Vamos imaginar, nesse método, que o experimento elimine
toda e qualquer incerteza sobre o evento estudado. Em outras
palavras, vamos supor que:
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     
     SecoSSD1Seco|SSD
PetróleoSSF1Petróleo|SSF
PPP
PPP


Valor do Experimento
Assim, embora não saibamos qual o estado da natureza vai
ocorrer, caso ele ocorra o experimento indicativo nos dirá
com certeza. Voltando a nossa matriz de decisão:
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Condições do
Terreno
Alternativas
Petróleo Seco
Perfuração Própria $700.000,00 -$100.000,00
Venda do Terreno $90.000,00 $90.000,00
Prob. Das Condições 0,25 0,75
Valor do Experimento
Pela metodologia VEIP como o experimento nos indica o
estado com certeza, em qualquer caso poderemos escolher a
melhor alternativa (que será perfeitamente indicada pelo
experimento). Chamamos essa situação de Escolha sob
informação Perfeita.
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Valor do Experimento
Se o experimento for executado e tivermos como resultado
SSF temos que o estado da natureza seria “Petróleo”. Nesse
caso devemos escolher “Perfuração Própria” e ganhamos
R$ 700.000,00.
Essa situação ocorrerá com probabilidade P(SSF) =
P(Petróleo) = 0,25 (essa é a melhor estimativa que temos do
estado da natureza antes do experimento).
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Valor do Experimento
Se o experimento for executado e tivermos como resultado
SSD temos que o estado da natureza seria “Seco”. Nesse
caso devemos escolher “Venda do Terreno” e ganhamos R$
90.000,00.
Essa situação ocorrerá com probabilidade P(SSD) = P(Seco)
= 0,75 (essa é a melhor estimativa que temos do estado da
natureza antes do experimento).
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Valor do Experimento
Assim sob informação perfeita teríamos um valor esperado
do ganho calculado em:
Como vimos anteriormente a melhor opção, sem experimento,
seria “Perfuração Própria” cujo valor esperado é dado por
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    50,24275,09025,0700* E
      10075,010025,0700Própria Perfuração VEA
Valor do Experimento
Logo temos:
onde:
E* - Valor esperado sob informação perfeita
VEA* - Valor esperado da melhor alternativa
No nosso caso:
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** VEAEVEIP 
  50,14210050,242Prórpia Perfuração*  VEAEVEIP
Valor do Experimento
Assim notamos que o VEIP mede o excedente dos ganhos
esperados caso o experimento produza informação perfeita.
Logo desejamos que o VEIP seja maior que o custo do
experimento;
No nosso exemplo concluímos que o experimento vale a
pena, pois:
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o)Experiment do (Custo 3050,142 VEIP
Valor do Experimento
OBS: Notemos que esse método tem um problema
importante: jamais alcançaremos uma situação de
Informação Perfeita, logo o VEIP é o limite máximo dos
ganhos esperados, que nunca pode ser atingido. Assim
decidir executar o experimento pelo fato de valer menos
que o VEIP pode ser perigoso;
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Valor do Experimento
OBS: Por outro lado notemos que exatamente por ser o
VEIP o limite superior dos valores esperados, se VEIP
for menor que o custo do experimento podemos
concluir, com certeza, que o experimento deve ser
evitado, ou seja, o VEIP é um ótimo teste negativo.
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Valor do Experimento
VEE – Valor Esperado do Experimento
Neste método busca-se uma estimativa do ganho real médio
obtido ao se executar o experimento;
Para isso partimos da tabela de políticas ótimas desenvolvida
anteriormente, considerando os ganhos brutos (sem descontar
o custo do experimento)
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Valor do Experimento
Como já estimamos anteriormente:
P(SSD) = 0,7 e P(SSF) = 0,3
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Descoberta por 
Levantamento Sísmico
Alternativa Ótima
Prêmio Esperado 
Bruto
SSD Venda do Terreno $90.000,00
SSF Perfuração Própria $300.000,00
Valor do Experimento
– Caso o experimento obtenha SSD a alternativa a ser
escolhida deverá ser “Venda do Terreno”, o que implica um
ganho de $90. Esse fato ocorrerá, segundo nossas
estimativas, com probabilidade 0,7;
– Caso o experimento obtenha SSF a alternativa a ser escolhida
deverá ser “Perfuração Própria” que implicará um ganho de
$300. Esse fato deve ocorrer com probabilidade 0,3;
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Valor do Experimento
– Assim, dada a experimentação, o ganho esperado será de:
– Calculamos e VEE como:
E* - Valor esperado sob informação perfeita
VEA* - Valor esperado da melhor alternativa
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    15330,030070,090* E
**VEE VEAE 
Valor do Experimento
OBS: Obviamente, quanto maior o VEE mais interessante se
torna executar o experimento.
No nosso exemplo:
Como o VEE é maior que o custo de experimentação ($
30.000,00), temos que vale a pena executar o experimento.
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53$100153VEE **  VEAE
Valor do Experimento
OBS: Note que o VEE é o maior valor que deve ser
pago por um experimento que melhore nossas
informações. Caso um experimento seja mais caro que o
VEE não deve ser executado;
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Valor do Experimento
OBS: Note que, em geral, VEIP > VEE. Assim é possível
termos uma situação em que:
ou seja, o custo de experimentação menor que o VEIP mas
maior que o VEE. Assim para avaliarmos a viabilidade da
execução de um experimento devemos ter em mãos o VEE;
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VEE < Custo de Experimentação < VEIP
Valor do Experimento
OBS: Note, entretanto, que o sempre teremos a seguinte
relação: VEE < VEIP . Assim de VEIP < Custo de
experimentação já poderemos descartar o experimento,
pois o mesmo é excessivamente caro.
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Árvore de Decisão
• Um instrumento bastante útil para análise da tomada de
decisão é a chamada Árvore de Decisão, que permite
visualizar a dinâmica do processo em seus momentos
cruciais;
• Lembremos que, no processo decisório temos decisões que
o decisor toma e decisões que a “natureza toma” (estas
últimas associadas a probabilidades);
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Árvore de Decisão
• Uma árvore é uma estrutura matemática chamada grafo,
composta de nós e arestas;
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Nó
Arestas
Árvore de Decisão
• Nós de Decisão: Representam a possibilidade de
escolha, por parte do decisor. Esses nós serão
representados por nós quadrados;
• Nós de Eventos: Representam as possibilidades de
“escolha da natureza”. Esses nós serão representados
por círculos;
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Árvore de Decisão
• Além dos Nós de Decisão e Eventos temos os seguintes
elementos nas árvores de decisão:
– Os valores dos prêmios associados as decisões;
– As probabilidades dos estados da natureza
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Árvore de Decisão
• Para nosso exemplo:
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670
-130
60
670
-130
60
700
-100
90
f
h
g
c
d
e
b
a
Árvore de Decisão
• OBS: Note que em cada nó de evento associamos as
probabilidades das escolhas da natureza;
• OBS: Note ainda que nos f e g temos as probabilidades
posteriores (0,143 e 0,857 em f e 0,5 e 05 em g) (pois nesse
ponto teremos executado o experimento). Já no nó h temos
as probabilidades prévias (0,25 e 0,75), uma vez que não
optamos por fazer o experimento;
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Árvore de Decisão
• Procedimento:
– Executamos a análise de trás para frente na árvore, ou seja,
seus galhos extremos à direita para seu nó de partida “a
esquerda;
– Assim, primeiramente, para cada nó de evento f,g e h calcule
o prêmio esperado e coloque o resultado sobre o nó.
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Árvore de Decisão
• Procedimento:
– Nesse caso temos:
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   
   
    10075,010025,0700
 2705,01305,0670
57,15857,0130143,0670



h
g
f
EPh
EPg
EPf
Árvore de Decisão
• Assim:
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670
-130
60
670
-130
60
700
-100
90
-15,6
60
270
60
100
90
Árvore de Decisão
• Procedimento:
– OBS: Note que para os nós restantes é como se existisse uma
decisãocerta da natureza. Podem ser modelados também
como uma ausência de nó. Nesse caso o valo esperado
coincide com o valor final;
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Árvore de Decisão
• Procedimento:
– Para cada nó de decisão c, d, e escolha a alternativa (galho)
com maior valor de prêmio, fazendo uma marca (//) na
alternativa excluída;
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Árvore de Decisão
• Procedimento:
– Assim para nosso caso:
– Nó c  Escolhemos “Venda do Terreno” (prêmio esperado
60), eliminando “Perfuração Própria” (prêmio esperado -
15,57);
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Árvore de Decisão
• Procedimento:
– Nó d  Escolhemos “Perfuração Própria” (prêmio esperado
270), eliminando “Venda do Terreno” (prêmio esperado 60);
– Nó e  Escolhemos “Perfuração Própria” (prêmio esperado
100), eliminando “Venda do Terreno” (prêmio esperado 90);
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Árvore de Decisão
• Para nosso exemplo:
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 93
670
-130
60
670
-130
60
700
-100
90
-15,6
60
270
60
100
90
60
270
100
Árvore de Decisão
• Procedimento:
– Agora, para o nó de evento b calculamos o prêmio esperado:
– Agora para o nó de decisão restante, escolhe-se a alternativa
de maior prêmio (neste caso 123), eliminando-se a restante;
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    1237,0603,0270 bEP
Árvore de Decisão
• Para nosso exemplo:
Pesquisa Operacional 2 - Prof. Luciano Barboza da Silva 95
670
-130
60
670
-130
60
700
-100
90
-15,6
60
270
60
100
90
60
270
100
123
123
Árvore de Decisão
• Temos assim a seguinte política ótima:
– Realizar sondagem sísmica;
– Caso o resultado seja favorável (SSF) escolhemos “Perfuração
Própria”, caso contrário escolhemos “Venda do Terreno”
– O valor esperado do prêmio por essa política é de R$ 123.000,00
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