Serie de Fourier Calculo III

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Cálculo III - Séries de Fourier 
 
SÉRIES DE FOURIER 
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS: 
As funções periódicas podem ser definidas como aquelas funções f(t) para as quais: 
)Tt(f)t(f += (1.1) 
para qualquer t real (vide Figura 1.1). A menor constante T que satisfaz (1.1) é chamada período da 
função f(t). Por iteração de (1.1), temos para todo t real que: 
( ) ,,2,1,0n,nTtf)t(f K±±=+= (1.2) 
 3π 2π -2π
 2
 4
 π -π
 T=2π
 
Figura 1.1. Um exemplo de função periódica de período T = 2π. 
Exemplo 1: Ache o período da função .
4
tcos
3
tcos)t(f += 
Solução: Se a função f(t) for periódica com um período T, então, de (1.1), resulta: 
( ) ( ) .
4
tcos
3
tcosTt
4
1cosTt
3
1cos +=+++ 
Como , para qualquer inteiro m, então ( ) φ=π+φ cosm2cos ,n2T
4
1e,m2T
3
1 π=π= onde m e n 
são inteiros. Portanto, .n8m6T π=π= Quando m = 4 e n = 3, obtemos o menor valor de T. Isto pode 
ser visto mediante um processo de tentativa. Então, π= 24T . 
Em geral, se a função tcostcos)t(f 21 ω+ω= for periódica com período T, deverá ser 
possível, então, achar dois inteiros m e n, tais que: 
m2T1 π=ω (1.3) 
e 
n2T2 π=ω . (1.4) 
O quociente de (1.3) por (1.4) é 
 1
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,
n
m
2
1 =ω
ω (1.5) 
Isto é, a razão deve ser um número racional. 21 /ωω
Neste ponto, é importante observar que funções do tipo )tcos(A φ+ω (não devemos esquecer 
que os senos estão incluídos neste grupo, pois )2/tcos()tsen( π−= ) são funções periódicas de 
período T, denominadas senóides, onde: f2
T
2 π=π=ω é dita velocidade angular, T1f = é 
denominada freqüência, A é a amplitude e φ o ângulo de fase. 
Exemplo 2: A função ( )t10cost10cos)t(f π++= é periódica? 
Solução: Neste caso, .10e10 21 π+=ω=ω Assim, π+=ω
ω
10
10
2
1 não é um número racional, 
ou seja, é impossível achar um valor T para o qual (1.1) seja satisfeita. Portanto, f(t) não é periódica. 
Exemplo 3: Ache o período da função ( ) ( ) .tcos10tf 2= 
Solução: Usando a identidade trigonométrica ( θ+=θ 2cos1
2
1cos2 ) , obtemos que: 
( ) ( ) .t2cos5050t2cos1
2
1100tcos100tcos10)t(f 22 +=+=== 
Como a função constante é função de período T, para qualquer valor de T, e o período de cos(2t) é π , 
concluímos que o período de f(t) é π . 
Exemplo 4: Mostre que se f(t + T) = f (t), então: 
ℜ∈∀= ∫∫ + 0TttT0 t,dt)t(fdt)t(f 00 . (1.6) 
Em particular, se , obtemos que: 2/Tt0 −=
∫∫ −= 2/T 2/TT0 dt)t(fdt)t(f . (1.7) 
Solução: Fazendo a mudança de variável Tt +τ= na integral ( )∫ βα dttf , e usando-se (1.1), obtemos: 
( ) ( ) ( )∫∫ ∫ −β−αβα −β−α ττ=τ+τ= TTTT dfdTfdttf , 
ou seja, 
( )∫ ∫βα −β−α= TT dt)t(fdttf . (1.8) 
 2
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
Por outro lado, podemos escrever o segundo membro de (1.6) como: 
dt)t(fdt)t(fdt)t(f
Tt
T
T
t
Tt
t
0
0
0
0
∫∫∫ ++ += 
e podemos aplicar o resultado de (1.8) à segunda integral do segundo membro da equação acima, 
resultando: 
dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f
T
0
t
0
T
t
Tt
t
0
0
0
0
∫∫∫∫ =+=+ . 
2. DEFINIÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER 
Suponhamos que uma certa função f(t) seja representada pela série trigonométrica: 
( ,)tnsen(b)tncos(a
2
a
)t(f
1n
nn
0 ∑∞
=
ω+ω+= ) (2.1) 
onde é denominada freqüência angular fundamental da função f(t), e que a série convirja 
uniformemente no intervalo Se isso acontecer, a série convergirá uniformemente para todos 
os valores de t. Multipliquemos a série por cos(mωt), sendo m um número inteiro positivo. Esta série é 
ainda uniformemente convergente e pode ser integrada termo a termo, ou seja: 
T/2π=ω
.Tt0 ≤≤
∫∑
∫∑∫ ∫
ωω+
+ωω+ω=ω
∞
=
∞
=
T
0
1n
n
T
0
1n
n
T
0
T
0
0
dt)tmcos()tn(senb
dt)tmcos()tncos(adt)tmcos(
2
adt)tmcos()t(f
 (2.2) 
Este processo permite a determinação dos coeficientes , desde que se conheça a função f(t), 
baseando-se nas importantes propriedades de ortogonalidade dos senos e cosenos, quais sejam: 
na
( )
( )⎩⎨
⎧
=
≠=ωω
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠=
==
≠
=ωω
=ωω
∫
∫
∫
mnse2/T
)mnse(0
dt)tm(sen)tn(sen)c
0mnse2/T
)0mnse(T
)mnse(0
dt)tmcos()tncos()b
)m,nostodospara(0dt)tmcos()tn(sen)a
T
0
T
0
T
0
. (2.3) 
Assim, vemos que todos os termos da soma infinita (2.2) se anularão, com uma única 
exceção, ou seja, ∫ =ωT0 m 2Tadt)tmcos()t(f , incluindo m = 0. Esta relação nos permite calcular 
qualquer coeficiente ma desejado, quando conhecemos a função f(t). Os Coeficientes mb são tratados 
 3
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de maneira semelhante, isto é, o desenvolvimento é multiplicado por sem(mωt) e é integrado. As 
relações de ortogonalidade fornecem então que ∫ =ωT0 m 2Tbdt)tm(sen)t(f . 
Segue-se, então, que os coeficientes podem ser calculados por meio das fórmulas 
seguintes: 
nn0 bea,a
( ) ( )
( ) ( )0ndt)tn(sentf
T
2b
e
0ndt)tncos(tf
T
2a
T
0n
T
0n
>ω=
≥ω=
∫
∫
. (2.4) 
Estes coeficientes são chamados de coeficientes de Fourier da função f(t). A série 
trigonométrica (2.1) construída a partir destes coeficientes é conhecida como a série de Fourier da 
função f(t). É importante observar que os coeficientes de Fourier podem ser construídos para uma 
grande variedade de funções periódicas de período T, incluindo algumas descontínuas. 
nn bea
Não podemos esquecer que, pela equação (1.6), podemos calcular as integrais da Eq. (2.4) em 
qualquer intervalo de comprimento T, em especial: 
( ) ( )
( ) ( )0ndt)tn(sentf
T
2b
e
0ndt)tncos(tf
T
2a
2/T
2/Tn
2/T
2/Tn
>ω=
≥ω=
∫
∫
−
−
. (2.5) 
Esta forma das séries de Fourier é mais freqüentemente usada no tratamento dos fenômenos 
periódicos no tempo; onde o símbolo t representa a variável tempo. Neste contexto, as séries de 
Fourier são freqüentemente escritas sob uma forma envolvendo amplitudes e fases. Por exemplo, se 
escrevermos: 
( 0n
a
b
arctgebaA,
2
a
A
n
n
n
2
n
2
nn
0
0 >=φ+== )
)
, (2.6) 
então a série de Fourier será: 
(∑∞
=
φ−ω+=
1n
nnn0 tcosAA)t(f , (2.7) 
onde é dito o n-ésimo Harmônico da Fundamental e os coeficientes ω=ω nn nn eA φ são 
denominados, respectivamente, Amplitude e Fase do n-ésimo harmônico. 
 4
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
Exemplo 1. Considere a função , definida no intervalo 2t)t(f = ( )π+π− , . Seus coeficientes 
de Fourier são facilmente calculados: 
( ) .0dtntsent1b,
n
41dtntcost1a,dtt1a 2n2
n2
n
2
3
22
0 ∫∫∫ π+π−π+π−π+π− =π=−=π=π=π= 
Figura 2.1. A função periódica g(t). 
 
É fácil notar que a série de Fourier é uniformemente convergente para todos os valores de t e 
representa a função: 
( ) ( ) .
n
ntcos14
3
tg
1n
2
n
2 ∑∞
=
−+π= 
O gráfico da função g(t) está mostrado na figura 2.1. Fica evidente que a série de Fourier de 
representa uma extensão periódica dos valores de f(t) no intervalo 
2t)t(f =
( )π+π− , . 
Exemplo 2. Considere agora a função periódica descontínua , com f(t 
+ 2L) = f(t), para todo t real. Os coeficientes de Fourier são: 
( ) ( )(⎩⎨
⎧
<≤+
<≤−−=
Lt01
0tL1
tf )
( ) ( )
( )
( )
,
parn0
ímparn
n
4
dt
L
tnsen
L
2dt
L
tnsen
L
1dt
L
tnsen
L
1b
,0dt
L
tncos
L
1dt
L
tncos
L
1a,011dt1
L
1dt1
L
1a
L
0
L
0
0
Ln
L
0
0
Ln
L
0
0
L0
∫∫∫
∫∫∫∫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=π=π=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−==+−=++−=
−
−−
 
e a série de Fourier será ∑∞
=
π+
+π= 0n L
t)1n2(sen
1n2
14)t(g . A série é convergente no intervalo (-L,L) e, 
portanto, g(t) está bem definida. Explicitamente, a série de Fourier convergepara +1, se 0 < t < L, para 
–1, se –L < t < 0 e para zero se t = 0 ou Lt ±= . Esta série “quase” reproduz f(t), sendo que as exceções 
se localizam nos pontos de descontinuidade da função f(t). 
 5
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
Esta característica é uma propriedade geral das séries de Fourier. Se a função f(t) possui uma 
descontinuidade de salto em um certo ponto , então sua série de Fourier converge para o “ponto 
médio do salto”. Mais precisamente, considerando os limites laterais à direita e à esquerda da f(t) 
quando t tende para t
0t
0, ( ) ( ) )t(flim0tf),t(flim0tf
0
0
0
0
tt
tt
0
tt
tt
0
<
→
>
→ =−=+ , então a série de Fourier converge 
para ( ) ([ ]0tf0tf 0021 −++ ) . 
Observação: Estas duas afirmativas permanecem válidas quando os dois limites f(t0 + 0) e 
f(t0 - 0) são idênticos. Em outras palavras, se f(t) é contínua no ponto 0tt = , então f(t0+0) = f(t0-0) = 
f(t0) e a série de Fourier simplesmente converge para f(t0), que é o valor da função neste ponto. Surge 
então um problema fundamental da teoria das séries de Fourier: "Que condições deve uma função f(t) 
satisfazer para que sua série de Fourier convirja para f(t) nos intervalos Tt0 ≤≤ ou 
?" 2/Tt2/T ≤≤−
3. CONVERGÊNCIA PONTUAL DAS SÉRIES DE FOURIER 
Deseja-se saber se a série de Fourier de uma dada função f(t) convergirá de fato para f(t). 
Exemplos simples parecem indicar que, em via de regra, que a série de Fourier (2.1) convergirá para 
( ) ([ 0tf0tf21 −++ )] em todos os pontos do intervalo (0, T). A determinação das condições exatas sob 
as quais este resultado pode ser esperado tem sido assunto de pesquisa intensa durante mais de um 
século e chegou-se ao teorema abaixo, que é suficiente para a maioria das aplicações físicas. 
Definição 1: Uma função definida em um intervalo fechado bta ≤≤ é dita seccionalmente 
contínua quando o intervalo pode ser dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(t) é 
contínua e possui limites finitos nas extremidades esquerda e direita destes subintervalos. 
Definição 2: Uma função definida em um intervalo fechado é dita satisfazer as 
condições de Dirichlet se f(t) é seccionalmente contínua em [a, b] e o intervalo (a, b) pode ser 
dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(t) é monótona. 
bta ≤≤
Teorema. Se f(t) satisfaz as condições de Dirichlet para Tt0 ≤≤ , então sua série de Fourier 
(2.1) converge para 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] .Tou0xse,0Tf00fou,Tx0se,0tf0tf 2121 =−++<<++− 
 6
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
Observação: O teorema acima não encerra, de nenhuma maneira, a teoria das séries de 
Fourier, pois existem funções que não o satisfazem, mas mesmo assim, possuem série de Fourier. Este 
fato pode ser ilustrado com o seguinte exemplo: 
Exemplo: A função ( ) ( ) ,tse,coslogtf 2t π<<π−= com f(t + 2π) = f(t), para todo t real, 
possui a série de Fourier ( ) ( ) .ntcos
n
12logtg
1n
n∑∞
=
−−−= Vemos que a série de Fourier convergirá 
uniformemente para f(t), em qualquer intervalo 21 ttt ≤≤ com .tet 21 π<π−> Ela vai divergir para 
:t π±= podemos dizer que se aproxima de "menos infinito" quando π±→t , mas o mesmo acontece 
com f(t). Evidentemente a série de Fourier representa f(t) de maneira extremamente fiel, e, no entanto, 
f(t) não satisfaz as condições de Dirichlet. 
4. PROPRIEDADES DE PARIDADE 
Uma função f(t) é chamada função impar se f(-t) = -f(t), para todo t real. Assim, as funções 
f(t) = tn, com n ímpar, f(t) = sen(at) e a função f(t) desenhada na figura 4.1a são exemplos de funções 
ímpares. Uma função f(t) é chamada função par se f(-t) = f(t), para todo t real. Assim, por exemplo, as 
funções f(t) = tn, com n par, e f(t) = cos(at) e a função desenhada na figura 4.1b são funções pares. 
 -1
 1
 6 4 2 -2 -4
 
 1
 -1
5
 1 -1
 3
 -3
 
(a) (b) 
Figura 4.1. Exemplos de funções pares e ímpares. 
Suponhamos que devemos desenvolver uma função f(t) em uma série de Fourier no intervalo 
(-T/2, T/2). Se f(t) for uma função par, então, pelas propriedades acima, todos os coeficientes b 
deverão anular-se, enquanto que os coeficientes a serão obtidos simplesmente pela integração de 0 a 
T/2, multiplicando-se os resultados por dois, ou seja: 
n
n
( )∫∑ ω=π=ωω+= ∞
=
2/T
0n
1n
n
0 dt)tncos(tf
T
4ae,
T
2com,)tncos(a
2
a)t(f . (4.1) 
Semelhantemente, se f(t) é impar, então todos os coeficientes serão nulos e: na
 7
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
( ) dt)tn(sen)t(f
T
4be,
T
2com,)tn(senbtf
2/T
0n
1n
n ω=π=ωω= ∫∑∞
=
. (4.2) 
Os resultados (4.1) e (4.2) dão origem outros tipos de desenvolvimentos trigonométricos, 
conhecidos, respectivamente, como a Série de Fourier em Cosenos e a Série de Fourier em Senos. 
Exemplo 1: Ache a série de Fourier para a função onda quadrada, mostrada na figura 4.1a. 
Solução: Da figura 4.1a, decorre que ),t(f)t(f −=− isto é, f(t) tem simetria ímpar. E mais, f(t) 
tem período T = 4. Ou seja, . Então: 2/π=ω
∑∞
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π=
1n
n t2
nsenb)t(f 
{ }
⎪⎩
⎪⎨
⎧
π=π−π=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π
π
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π= ∫
parnse,0
imparnse,
n
4
)ncos(1
n
2t
2
ncos
n
2dtt
2
nsen
4
4b 2
2
0n 0
. 
Portanto, 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +π+π+ππ= Kt2
5sen
5
1t
2
3sen
3
1t
2
sen4)t(f . 
Exemplo 2: Ache a série de Fourier para a função f(t) do tipo onda quadrada mostrada na 
figura 4.1b. 
Solução: Da figura 4.1b, observa-se que ( ) )t(ftf =− , isto é, a função f(t) tem simetria par. E 
mais, f(t) tem período T = 4. Ou seja, 2/π=ω . Assim, 
∑∞
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π=
1n
n t2
ncosa)t(f 
.
2
nsen
n
4
2
nsen
n
2)nsen(
n
2
2
nsen
n
2
t
2
nsen
n
2t
2
nsen
n
2dtt
2
ncosdtt
2
ncosdtt
2
ncos)t(f
4
4a 2
2
1
1
0
2
0n 1
1
0
π
π=
π
π+ππ−
π
π=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π
π−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π
π=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π= ∫∫∫
 
Portanto, 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π+π−ππ= Kt2
5cos
5
1t
2
3cos
3
1t
2
cos4tf . 
Exemplo 3: Ache a série de Fourier para a função f(t) mostrada na Figura 4.2a abaixo. 
Solução: Como mostra a figura 4.2b, a função ( ) 21tf)t(g −= é uma função ímpar; então: 
 8
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
( )∫∑ ω=ω= ∞
=
2/T
0n
1n
n .dttnsen)t(gT
4bcom),tnsen(b)t(g 
 
 1
3T2T T -T -2T 
 -1/2 3T2T T -T-2T
 1/2
 
(a) f(t) (b) g(t) 
Figura 4.2. As funções f(t) e g(t) do exemplo 3. 
Como ,Tt0para,
T
t
2
1)t(g <<−= então: ( )dttnsent
T
1
2
1
T
4b
2/T
0n
ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∫ . Integrando por partes: 
( ) π=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ω
ω−ω
ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
n
1
nT
)tnsen(
n
)tncos(t
T
1
2
1
T
4b
2/T
02n
. 
Assim, 
( )tg
2
1)t(f += ∑∞
=
ωπ+= 1n
)tnsen(
n
11
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +ω+ω+ωπ+= K)t3sen(3
1)t2sen(
2
1)tsen(1
2
1 . 
5. FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER 
O desenvolvimento de Fourier dado pela equação (2.1) pode ser escrito sob forma complexa. 
Para tanto, escreve-se: 
( ) ( )tjtjntjtjn nnnn eej21)t(seneee21)t(cos ω−ωω−ω −=ω+=ω , (5.1) 
onde , e introduz-se estas expressões na série de Fourier (2.1). É conveniente definir 
os coeficientes: 
T/n2nn π=ω=ω
( ) ( )
( ) ( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
<+
>−
=
.0na
,0njba
,0njba
c
02
1
nn2
1
nn2
1
n (5.2) 
Então a série de Fourier pode ser rescrita em sua forma complexa: 
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Cálculo III - Séries de Fourier 
 
( 2/Tt2/Tec)t(f
n
tj
n n <<−= ∑+∞
−∞=
ω ), (5.3) 
onde os coeficientes são obtidos substituindo-se as fórmulas (2.4) para nas equações (5.2), 
resultando: 
nc nn bea
dte)t(f
T
1c
2/T
2/T
tj
n n∫− ω−= . (5.4) 
Alternativamente,a fórmula (5.4) acima pode ser deduzida multiplicando-se a série complexa 
de Fourier (5.3) acima por e integrando. Mostra-se facilmente que as exponenciais complexas 
são ortogonais, no sentido de que: 
tj ne ω−
(⎩⎨
⎧
=
≠=∫+− ω−ω mnT )mn(0dtee2/T 2/T tjtj mn ) (5.5) 
e segue-se então a fórmula para . nc
Observação: Embora a série de Fourier apareça agora sob forma complexa, sua soma f(t) é 
ainda supostamente real. Neste caso, as propriedades seguintes são facilmente verificadas: 
1) é real; 0c nn cc =− ; 
2) Se f(t) é par, todos os coeficientes são reais; nc
3) Se f(t) é ímpar, e todos os coeficientes são imaginários puros. 0c0 = nc
Exemplo: A função 
( )
(⎩⎨
⎧
π≤<
≤<π−=
t01
0t0
)t(f ) pode ser representada por uma série de Fourier 
complexa. Os coeficientes serão: 
( )
( )∫∫ π π
π−−π
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=π
−=π==π= 0 nj1
jn
jnt
n00 imparn
parn0
nj2
e1dte
2
1ce
2
1dt
2
1c 
e, portanto, a série complexa de Fourier da f(t) será: 
( ) ∑+∞
−∞==
π+=
ímparn
n
jnte
n
1
j
1
2
1tf . 
BIBLIOGRAFIA 
Hsu, H. P. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1973. 
Spiegel, M. R. Análise de Fourier. São Paulo: Coleção Schaum, McGraw-Hill, 1976. 
 10
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
Churchill, R. V. Séries de Fourier e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: Guanabara 
Dois, 1978. 
Spiegel, M. R. Transformadas de Laplace. São Paulo: Coleção Schaum, McGraw-Hill, 1979. 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Dada a função periódica abaixo, determine os coeficientes de Fourier e os quatro primeiros 
termos não-nulos da série de Fourier: 
 4
 6 4 2 -2 -4
 
2) Dada a função periódica desenhada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os 
três primeiros termos não-nulos da série de Fourier: 
 2
 4
 9 6 3 -3 -6
 
3) Dada a função periódica desenhada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os 
três primeiros termos não-nulos da série de Fourier: 
 3π 2π -2π
 2
 4
 π -π
 
4) Determine os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de 
Fourier para a função: 
f t t se t e f t f t t( ) , , ( ) ( ), .= − < < + = ∀2 2π π π ∈ℜ 
5) Ache os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, b1 e b2 para a seguinte função: 
 -2
 2
 6 4 2 -2 -4
 
6) Ache os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, b1 e b2 para a seguinte função: 
 11
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
 3
 -3
 9 6 3 -3 -6
 
7) Desenvolva numa série de Fourier de período 8. ⎩⎨
⎧
<<−
<<−=
8t4se,6t
4t0se,t2
)t(f
8) Encontre a série de Fourier da função descrita por: 
( ) ( ) ( ).tf4tfe4t0se,2ttf =+<≤−= 
9) Dada a seguinte função periódica: 
f t t se t e f t f t t( ) , , ( ) ( ), ,= − < < + = ∀ ∈ℜ3 3 6 
determine os coeficientes a0, a3 e b5 da série de Fourier. 
10) Determinar os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de 
Fourier de: 
f(t) = e f(t +4) = f(t), . ⎩⎨
⎧
<≤−
<<−+
2t0se,t1
0t2se,t1 ℜ∈∀t
11) Dada a função abaixo: 
.t),t(f)4t(fe
2t1e1t2se,0
1t1se,t
)t(f ℜ∈∀=+
⎩⎨
⎧
<<−<<−
<<−−= 
Calcular os coeficientes de Fourier , para n = 0, 1, 2 e 3. nn bea
12) Encontre a série complexa de Fourier de ( ) t3etf = , se ( )π∈ 2,0t , e 
 ( ) ( ) .t,tf2tf ℜ∈∀=π+
13) Ache a série de Fourier complexa para a função , se tsen)t(f 4= ( )π∈ .0t , e 
 ( ) ( ) .t,tftf ℜ∈∀=π+
14) Ache os coeficientes de Fourier complexos e esboce o espectro de freqüências para a onda 
f(t) correspondente à retificação de meia senóide, definida por: 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
<<ω
=
Ttse,0
t0se,tsenA
tf
2
T
2
T
0
 e ( ) ( ) .
T
2onde,t,tfTtf 0
π=ωℜ∈∀=+ 
 12
Cálculo III - Séries de Fourier 
 
15) Ache os coeficientes de Fourier complexos e esboce o espectro de freqüências da função 
dente de serra definida por ℜ∈∀=+<<+−= t),t(f)Tt(feTt0se,
2
1t
T
1)t(f . 
16) Ache a série de Fourier complexa da função dente de serra definida por 
.t),t(f)Tt(fe,Tt0se,t
T
A)t(f ℜ∈∀=+<<= 
17) Ache a série de Fourier complexa da função periódica f(t), resultante da retificação 
completa de uma onda senoidal, definida por: 
( ) ( ) .t),t(f1tfe,1t0se),tsen(Atf ℜ∈∀=+<<π= 
RESPOSTAS: 
1) π−=≠== n
4b),0n(0a,4a nn0 ; ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +π
π+π
π+π
π−= K
3
)t3sen(
2
)t2sen()tsen(42)t(f . 
2) [ ]nnn0 )1(1n2b),0n(0a,6a −−π=≠== ; ( ) K+ππ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ππ+= tsen34t3sen43)t(f . 
3) [ ] [ ]1)1(
n
2b),0n(1)1(
n
4a,4a nn
n
22n0
+−π−=≠−−π
== ; K−π−π
−= )t2sen(2tcos82)t(f
2
. 
4) 0b),0n()1(
n
4a,
3
2a n
n
2n
2
0 =≠−=π= ; K−+−π= t2costcos43)t(f
2
. 5) ( )∑∞
=
ππ−= 1n
tnsen
n
14)t(f . 
6) ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π
π= 1n 3
tn2sen
n
16)t(f . 7) 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +π+π+ππ= K4
t5cos
5
1
4
t3cos
3
1
4
tcos16)t(f
222
. 
8) ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π++π+−= 0n 22
t
2
1n2cos
)1n2(
181)t(f . 9) 0b,
3
4a,3a 5230 =π
−== . 
10) ; 0b,
parnse,0
imparnse,)n/(8a n
2
n =⎪⎩
⎪⎨
⎧ π= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π
π
= K
2
t5cos
25
1
2
t3cos
9
1
2
tcos8)t(f
2
. 
11) 0be
3
2
9
4a,2a,24a,
2
1a n2122210 =π+π
=
π
=π−π
=−= . 12) ∑+∞
−∞=
+π
π−ππ= n
jnt3
jn3
e)3senh()t(f . 
13) ( )jt4jt2jt2jt4 ee46e4e
16
1)t(f −− +−+−= . 14) ( ) ( ) .4jAcce,1npara,e1n12 Ac 11jn2n −=−=±≠+−π= −π− 
15) 0c,
nj
1c 02n =π
= . 16) ( )∑∞
−∞=
+ω π
π+=
n
tnj 20e
n
1
2
A
2
A)t(f . 17) ( ) ∑∞
−∞=
π
−π
−=
n
nt2j
2
e
1n4
1A2tf . 
 13
	1. FUNÇÕES PERIÓDICAS:
	2. DEFINIÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER
	3. CONVERGÊNCIA PONTUAL DAS SÉRIES DE FOURIER
	4. PROPRIEDADES DE PARIDADE
	5. FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER
	BIBLIOGRAFIA
	LISTA DE EXERCÍCIOS
	RESPOSTAS: