CIRCUITOS DE 1ª ORDEM

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CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 1
Capítulo 8 
 
CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Neste capítulo são estudados circuitos contendo resistores e ca-
pacitores e, também, resistores e indutores. A aplicação das leis de 
Kirchhoff, nestes circuitos, resulta em equações diferenciais de pri-
meira ordem. São estudados, também, alguns métodos de solução 
destas equações diferenciais. 
 
Considera-se, inicialmente, circuitos RC e RL sem fontes inde-
pendentes, onde a energia presente no circuito é a própria energia 
armazenada nos indutores e nos capacitores. 
 
Para esses tipos de circuitos, a solução é chamada de resposta 
natural do circuito. Em seguida adiciona-se fontes de excitação e, com 
isso, obtém-se a resposta forçada do circuito. Então a solução com-
pleta do circuito é fornecida pela resposta natural e pela resposta for-
çada conjuntamente. 
 
 
2. CIRCUITO RC SEM FONTES 
 
Considere o circuito da figura 8.1, 
 
Figura 8.1 – Circuito RC sem fontes 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 2
em t=0, tem-se uma tensão inicial V0. Assim, 
 
 
2
0CV2
1)0(E = (8.1) 
 
 A determinação de v(t) e i(t) para t=0 é obtida utilizando-se a lei 
de Kirchhoff das correntes (LKC), como mostrado a seguir, 
 
0
R
v
dt
dvC =+ 
 
ou 
 
0v
RC
1
dt
dv
=+ (8.2) 
 
que é uma equação diferencial de primeira ordem. 
A solução da equação (8.2) é pode ser obtida da seguinte forma, 
 
dt
RC
1dv
v
1
−= (8.3) 
 
integrando-se tem-se que, 
 
k
RC
t
vln
dt
RC
1dv
v
1
+−=
−= ∫∫
 
 
onde k é a constante de integração. 
Para que a solução seja válida em t≥0, k deve ser escolhido tal que 
a condição inicial de v(0)=V0 seja satisfeita. Assim, em t=0 tem-se que, 
 
 kVln)0(vln 0 == 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 3
assim, 
 
 
0
0 V
vln
RC
tVlnvln =−=− 
 
finalmente, tem-se que, 
 
RC
t
0eV)t(v
−
= (8.4) 
 
Da figura 8.1, nota-se que esta é a tensão sobre a resistência; en-
tão pela lei de Ohm tem-se que, 
 
RC
t
0 e
R
V
R
)t(v)t(i −== (8.5) 
 
 Outra forma de se obter a solução da equação (8.3) é mostrado 
como segue, 
 
 ∫∫ −=
t
0t
v
0V
dt
RC
1dv
v
1
 (8.6) 
 
e então, 
 
 RC
t
00 eV)t(v RC
tVlnvln
−
=⇒−=− (8.7) 
 
que fornece a mesma solução que a equação (8.4). 
 
Um gráfico representativo equação (8.7) é mostrado na figura 8.2. 
A velocidade pela qual a tensão decai é determinada somente pelo 
produto da resistência pela capacitância. Visto que a resposta é so-
mente caracterizada pelos elementos de circuito e não pela aplicação 
de uma fonte externa, a resposta é chamada de "resposta natural" do 
circuito. 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 4
Figura 8.2 – Curva de descarga da tensão no capacitor 
 
 A potência instantânea absorvida (ou dissipada) pelo resistor é 
dada por, 
 
RC
t220
2
R eR
V
R
)t(v)t(P −== (8.8) 
 
nota-se que a função potência elétrica, também, é uma função expo-
nencial decrescente. 
A energia absorvida pelo resistor quando t→∞ é calculada da se-
guinte forma. 
 
 CV
2
1
 
eCV
2
1
- 
dt e
R
Vdt )t(p)t(E
2
0
0
RC
t22
0
0
RC
t220
0 RR
=
==
===
∞
−
∞
−
∞
∫∫
 (8.9) 
 
que é a energia inicialmente armazenada no circuito, isto é, no capa-
citor. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 5
3. CONSTANTE DE TEMPO 
 
Considerando o circuito da figura 8.1 e que, 
 
RC
t
0eV)t(v
−
= (8.10) 
 
onde V0 é a tensão inicialmente armazenada em t=0. A figura 8.3 
mostra os gráficos de v para RC = k (cte), RC = 2k e RC = 3k. 
 
Figura 8.3 – Gráficos da tensão com constantes de tempo diferentes 
 
 A corrente do circuito da figura 8.1 é dada por, 
 
RC
t
0 e
R
V
R
)t(v)t(i −== (8.11) 
 
Nota-se que a corrente decresce da mesma forma que a tensão. 
Observa-se, também, que mudando resistência e capacitância tal que 
o produto de RC permaneça constante causa uma mudança na cor-
rente inicial R
V0 . 
O tempo necessário para que a resposta natural decaia de um fa-
tor de 
e
1 é definido como a "constante de tempo" do circuito, deno-
minada τ (tau). 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 6
Para um circuito de primeira ordem RC a constante de tempo do 
circuito é dada por, 
 
 RC =τ (8.12) 
 
Em termos de τ a resposta de tensão pode ser escrita como, 
 
τ
−
=
t
0eV)t(v (8.13) 
 
A resposta ao final de uma constante de tempo é reduzida para 
e-1=0,368 do valor inicial, e ao final de cinco constantes de tempo ela 
se torna e-5=0,0067 de seu valor inicial. Assim, depois de quatro ou 
cinco constantes de tempo a resposta é praticamente zero. 
 
Uma propriedade interessante das funções exponenciais é mos-
trada na figura 8.4. Uma tangente à curva em t=0 intercepta o eixo do 
tempo em t=τ. 
 
Figura 8.4 – Gráfico da tensão 
 
 O conhecimento da constante de tempo permite predizer a forma 
geral da resposta dada pela equação (8.7), mas para a solução natural 
deve-se encontrar a tensão inicial v(0+)=V0. Para um capacitor, v(0+)= 
v(0-), então pode-se freqüentemente calcular V0, do circuito para t=0. 
Isso, é fácil se em t=0- o circuito está na condição de regime perma-
nente (RP), como é visto no exemplo a seguir. 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 7
Exemplo 1 
 
 Calcular VC(t) no circuito da figura 8.5 (a). 
 
Figura 8.5 (a) – Exemplo 1 
 
Sol. 
 
A resistência equivalente vista pelo capacitor é, 
 
Req = 10 Ω 
 
A tensão inicialmente armazenada no capacitor é, 
 
 V40100.
1510
10
 )V(0- =
+
= 
 
Portanto, V0= v(0+)= v(0-)=40V. 
 
 Para t>0 o circuito torna-se o circuito da figura 8.5 (b). 
 
Figura 8.5 (b) – Exemplo 1 
 
A constante de tempo é somente o produto da capacitância pela 
resistência equivalente, 
 
 10s10.1 CR eq ===τ 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 8
Portanto, pela equação (8.7) a tensão é: 
 
 V e40)t(v 10
t
−
= 
 
e a tensão no resistor é, 
 
 V e8e40
82
2)t(v 10
t
10
t
1
−−
=
+
= 
 
 
4. CIRCUITO RL SEM FONTES 
 
Considere o circuito da figura 8.6, 
 
Figura 8.6 – Circuito RL sem fontes 
 
O indutor possui uma energia inicialmente armazenada, então, 
existe uma corrente I0 em t=0. A energia armazenada em t=0- é dada 
por, 
 
 LI
2
1
 (0)E 20L = (8.14) 
 
Usando a lei de Kirchhoff das tensões, tem-se que, 
 
0Ri
dt
diL =+ 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 9
ou 
 
0i
L
R
dt
di
=+ (8.15) 
 
 Esta equação é da mesma forma que a equação (8.2) para o cir-
cuito RC. 
 Supondo que a única solução da equação (8.15) é dada por, 
 
stAe)t(i = (8.16) 
 
onde A e s são constantes a serem determinadas. Substituindo-se a 
solução em (8.15), obtém-se 
 
 0Ae 
L
R
s st =




 + 
 
para satisfazer a equação acima existe duas possibilidades ou A=0 ou 
L
Rs −= . Se A=0 ⇒ i=0 para todo t e não pode satisfazer i(0) =I0. En-
tão, 
 
L
Rt
Ae)t(i −= 
 
 A constante A pode ser determinada pela condição inicial i(0)= I0. 
Esta condição requer que, 
 
AI i(0) 0 == 
 
Portanto, a solução torna-se, 
 
L
Rt
0eI)t(i
−
= (8.17) 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 10 
 Visto que a solução é uma função exponencial (como no caso do 
circuito RC) ela, também, tem uma constante de tempo τ. Então a 
equação (8.11) torna-se , 
 
τ−
=
t
0eI)t(i(8.18) 
 
onde R
L=τ é a constante de tempo do circuito RL. 
 Aumentando-se a indutância aumenta-se a constante de tempo 
do circuito. Entretanto, um aumento na resistência, reduz somente o 
valor da constante de tempo. Um gráfico de uma resposta típica de 
corrente é mostrado na figura 8.7 
 
Figura 8.7 – Curva de resposta de corrente de um circuito RL 
 
 A potência instantânea entregue ao resistor da figura 8.7 é, 
 
L
Rt22
0
2
R eRI)t(Ri)t(P
−
== (8.19) 
 
 Portanto, a energia absorvida pelo resistor quando o tempo se 
torna infinito é dada por, 
 
 LI
2
1
 
dt eRIdt )t(p)(E
2
0
0
L
Rt22
00 RR
=
===∞ ∫∫
∞
−
∞
 (8.20) 
 
comparando-se este resultado com (8.14), nota-se que EL → ER. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 11 
 Se a tensão no indutor fosse calculada ao invés da corrente, a 
equação diferencial que representa o circuito seria, 
 
0i(0)dt )t(v
L
1
R
v t
0
=++ ∫ 
 
derivando-se esta equação em função do tempo tem-se que, 
 
0v
L
1
dt
dv
R
1
=+ 
 
ou 
 
0v
L
R
dt
dv
=+ 
 
que tem a mesma solução da corrente e, portanto, tem a mesma for-
ma. 
 É interessante observar que se a tensão v for substituída pela 
corrente i, na equação anterior, então tem-se que: 
 
0i
L
R
dt
di
=+ 
 
que é a própria equação (8.15), como visto anteriormente. 
 
Exemplo 2 
 Determinar a corrente i e a tensão v no circuito da figura 8.8,que 
está em RP em t=0-. 
Figura 8.8 – Exemplo 2 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 12 
Solução 
 
Considerando que o circuito está em regime permanente, a cor-
rente no indutor em t=0- é, 
 
 A2
50
100)0(i ==− 
 
visto que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente 
tem-se que, 
 
 A2)0(i)0(i == −+ 
 
A constante de tempo do circuito é calculada como, 
 
 Ω=
+
+= 100
10075
100 . 7550Req 
 
e então, 
 
 s1,0
R
L
eq
==τ 
 
Considerando que A2)0(iI0 == + , tem-se que, 
 
Ae2eI)t(i t10t0 −τ
−
== 
 
e a tensão no resistor de 75 Ω pode ser obtida através de uma LKT, 
como segue, 
 
 Ve100i50
dt
di10)t(v t10−−=+= 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 13 
Exemplo 3 
 
 Determinar a corrente i no circuito da figura 8.9, considerando 
que há uma fonte controlada no circuito. 
 
Figura 8.9 – Exemplo 3 
 
Solução 
 
 Utilizando-se uma LKT no circuito tem-se que, 
 
 0kiRi
dt
diL =++ 
ou 
 
 0i 
L
kR
dt
di
=




 ++ 
 
A solução para esta equação é, 
 
L
t)kR(
0eI)t(i
+
−
= 
 
e a constante de tempo é dada por, 
 
 
kR
L
+
=τ 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 14 
� EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Determinar a corrente i para t>0, se o circuito está em regime 
permanente em t=0-. 
 
 
 
2. Considerando que o circuito está em regime permanente em 
t=0-, calcular i e v para t>0. 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 15 
5. RESPOSTA A UMA FUNÇÃO DE EXCITAÇÃO CONSTANTE 
 
Considere-se o circuito da figura 8.10, onde Vc(0-)=V0. 
 
Figura 8.10 – Circuito RC com fonte de excitação 
 
Para t>0, utilizando-se a lei de Kirchhoff das correntes tem-se que, 
 
0IR
v
dt
dvC =+ 
 
ou 
 
C
I
v
RC
1
dt
dv 0
=+ (8.21) 
 
Utilizando-se o método de separação de variáveis e integrando-se 
obtém-se, 
 
 
k
RC
t
0 eRIv
+−
=− 
 
onde k é uma constante de integração. 
 Resolvendo para v, encontra-se a seguinte resposta: 
 
0
RC
t
RIAe)t(v += − (8.22) 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 16 
onde A=ek é uma constante a ser determinada pelas condição iniciais 
do circuito. 
 A primeira parcela da equação (8.22) representa a resposta natu-
ral do circuito (sem fontes). Nota-se que ela tende a zero conforme o 
tempo aumenta. 
 A segunda parcela é devido à fonte de excitação do circuito e é 
chamada de "resposta forçada" do circuito. 
Pode-se dizer que: 
Resposta natural = resposta homogênea; 
Resposta forçada = resposta particular. 
 
� OBTENÇÃO DA CONSTANTE A 
 
Seu valor deve ser escolhido de forma que a condição inicial seja 
satisfeita. Em t=0+ tem-se que, 
 
 0
- V) v(0) v(0 ==+ 
 
 Portanto, em t=0+, na equação (8.22) requer que, 
 
 00 I RAV += 
 
ou 
 
 00 I RVA −= 
 
na equação (8.22) fica, 
 
RC
t
000 e)RIV(RI)t(v
−
−+= (8.23) 
 
Deve-se observar que a constante A é determinada pela tensão 
(ou energia) inicial no capacitor e pela função de excitação I0. 
Os gráficos de Vn (resposta natural), Vf (resposta forçada) e V 
(resposta completa) são mostrados nas figuras 8.11 (a) e (b). 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 17 
(a) 
(b) 
Figura 8.11 – (a) Resposta Natural e Forçada 
 – (b) Resposta Completa 
 
A corrente no capacitor para t>0 é, 
 
RC
t
00
c eR
RIV
dt
dvCi
−
−
−== 
 
e a corrente no resistor é dada por, 
 
 RC
t
00
0C0R eR
RIVIiIi
−
−
+=−= 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 18 
 É interessante notar que a tensão no resistor muda abruptamen-
te de RI0 em t=0- para V0 em t=0+. A tensão no capacitor, como visto 
anteriormente não se altera instantaneamente. 
Exemplo 4 
 Determinar a tensão v no circuito abaixo para t>0. 
Figura 8.12 – Exemplo 4 
 
6. O CASO GERAL 
 
As equações que descrevem os circuitos das seções anteriores são 
casos especiais da expressão geral dada por, 
 
QPy
dt
dy
=+ (8.23) 
 
onde y é a incógnita, como v ou i, e P e Q são constantes. Comparan-
do-se as equações (8.23) com a equação (8.2) tem-se que y=v, P=1/RC 
e Q=0. As mesmas relações são válidas para o circuito excitado da se-
ção 8.5, exceto que Q=I0/C. 
 
 A solução da equação (8.15) pode ser obtida pelo método de sepa-
ração de variáveis, mas pode ser obtida, também, pelo "método do fa-
tor de integração", como visto a seguir. Considere que, 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 19 
pt
ptpt
pt
e Py
dt
dy
 
e Pye
dt
dy
dt
)ye(d





 +=
+=
 (8.24) 
 
 Então, multiplicando-se a equação (8.22) por ept obtém-se: 
 
 
ptpt Qe)ye(
dt
d
= 
 
Integrando-se e resolvendo para y, tem-se que, 
 
ptptpt e AdtQeey −−− += ∫ (8.25) 
 
 No caso importante de tensão/corrente contínua onde Q é uma 
constante, a equação (8.25) torna-se, 
 
fn
pt yy
P
QAey +=+= − (8.26) 
 
onde 
pt
n Aey
−
= e P
Qyf = são as respostas natural e forçada, res-
pectivamente. Observa-se que yn tem a mesma forma matemática da 
resposta natural sem fontes e que yf é sempre uma constante que é 
proporcional a Q. Além disso, 1/P é a constante de tempo na resposta 
natural. 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 20 
Exercício 3 
 Calcular i2 para t>0 no circuito da figura abaixo, considerando 
que i2(0)=1A. 
 
Figura 8.13 – Exercício 3 
 
Exercício 4 
 Calcular v para t>0, se i(0)=1A e Vg = 50V. 
Figura 8.14 – Exercício 4 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 21 
7. UM PROCEDIMENTO SIMPLIFICADO 
 
Os circuitos podem ser analisados através de um procedimento 
simplificado que é muito útil para calcular os valores de tensão e cor-
rente, por exemplo. Porém, este procedimento é utilizado para circui-
tos que não possuem fontes controladas. 
 O procedimento consiste na análise dos circuitos em duas etapas. 
1ª Etapa: Analisar o circuito com suas fontes de excitação em repou-
so, de modo que seja obtida a resposta natural do circuito. 
2ª Etapa: Examinar o circuito considerando-o em regime permanente,ou seja, o capacitor em circuito aberto e o indutor como um 
curto-circuito, e, assim, obtém-se a resposta forçada do cir-
cuito. 
A solução geral é obtida pela somatória algébrica da resposta na-
tural e da resposta forçada do circuito. 
Como visto, a solução geral possui constante de integração e a 
resposta completa é, então, obtida mediante o cálculo dessa constan-
te por meio das condições iniciais do circuito. 
 
Exemplo 5 
 Determinar a corrente i2 no circuito abaixo para t>0. 
 
Figura 8.15 – Exemplo 5 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 22 
Exemplo 6 
 Determinar a corrente i para t > 0, no circuito abaixo, conside-
rando que a tensão inicial no capacitor é v(0) = 24 V. 
Figura 8.16 – Exemplo 6 
 
Exemplo 7 
 Determinar a tensão v e a corrente i no circuito abaixo para t>0. 
Figura 8.17 – Exemplo 7 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 23 
8. A FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO 
 
Na análise de circuitos são encontradas frequentemente funções 
que apresentam descontinuidades na origem. Ao se analisar o com-
portamento transitório, por exemplo, nota-se que as operações de co-
mutação (chaveamento) podem provocar mudanças abruptas nas cor-
rentes e tensões. Essas descontinuidades são representadas matema-
ticamente por funções singulares tais como as funções degrau, rampa 
e impulso. 
A figura 8.18 mostra a função degrau, uma função que é nula pa-
ra t<0 e apresenta um valor constante, diferente de zero, para t>0. 
 
Figura 8.18 – Função Degrau 
 
A função degrau não é definida em t = 0. O símbolo da função de-
grau é Ku(t). Matematicamente, ela é definida da seguinte forma: 
 
 
0. t ,K)t(Ku
0; t ,0)t(Ku
>=
<=
 (8.27) 
 
 Quando K = 1, a função definida pela equação (8.27) é chamada 
de função degrau unitário. 
 Também, podem ocorrer descontinuidades em instantes de tempo 
t ≠ 0. Um degrau que começa em t = t1 é expresso matematicamente 
como Ku(t - t1), como mostra a figura 8.19. E assim, 
 
.t t ,K)tt(Ku
;t t ,0)tt(Ku
11
11
>=−
<=−
 (8.28) 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 24 
 
Figura 8.19 – Função Degrau em Atraso 
 
Nesse caso diz-se que a função Ku(t –t1) é a função Ku(t) atrasada 
por t1 segundos. 
Observe que o valor da função degrau é 0 quando o argumento 
t - t1 é negativo e K quando o argumento t - t1 é positivo. 
 Uma função degrau igual a K para t < t1 pode ser escrita na forma 
Ku(t1 - t). Assim, 
 
.t t ,0)tt(Ku
;t t ,K)tt(Ku
11
11
>=−
<=−
 (8.e3) 
 
 Quando t1 < 0, a descontinuidade esta à esquerda da origem. A fi-
gura 8.20 mostra a função definida pela equação (8.e4). 
 
Figura 8.20 – Função Degrau K u(t1 – t) 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 25 
 Os pulsos de largura finita, também, podem ser expressos em 
termos de funções degrau. Por exemplo, a função K[u(t-1)- u(t-3)] tem 
o valor de K para 1 < t < 3 e 0 para t < 1 e t > 3, de modo que repre-
senta um pulso de amplitude K que começa em t = 1 e termina em 
t = 3. Ao definir esse pulso através de funções degrau, é conveniente 
imaginar que a função degrau u(t-1) "liga" o pulso em t = 1 e a função 
degrau –u(t-3) "desliga" o pulso em t = 3. 
 
Figura 8.21 – Função Pulso 
 
 
9. RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO 
 
A resposta ao degrau unitário de um circuito é o seu comporta-
mento quando a excitação é uma função degrau, a qual pode ser uma 
fonte de tensão ou de corrente. 
 
A resposta ao degrau é devida somente ao degrau de entrada visto 
que não existem energias iniciais presentes nos elementos do circuito. 
Este é o caso, porque todas as correntes e tensões no circuito são zero 
em t = 0- devido ao fato de que a função degrau é zero para -∞ < t < 0. 
 
Então, determinar a resposta ao degrau é encontrar a resposta de 
um circuito devido um degrau de entrada, sem energia inicial arma-
zenada no circuito. 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 26 
EXEMPLO 8 
 Encontrar a resposta ao degrau v no circuito RC simplificado da 
figura 8.22(a), tendo como entrada Vg = u(t). 
 
Figura 8.22 – (a) Circuito RC simplificado 
 – (b) Circuito equivalente 
 
 
EXEMPLO 9 
 Determinar a tensão v(t) no circuito abaixo, considerando que 
i(0-) = 0 e a função de excitação ig = 10[u(t)-u(t-1)] A. 
 
9.1 RESPOSTA DE UM CIRCUITO RC AO DEGRAU 
 
Quando uma fonte cc em um circuito RC é ligada subitamente, a 
fonte de tensão (ou corrente) pode ser modelada por uma função de-
grau, sendo a resposta do circuito denominada resposta ao degrau. 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 27 
Considere o circuito RC abaixo à esquerda, o qual se equivale ao 
da direita, onde se pretende determinar a tensão no capacitor. Consi-
dere uma tensão inicial v (0-) = V0 no capacitor 
 
 
 
Aplicando-se a LKC tem-se: 
 
� ���� +
� − ��	(�)
� = 0 
 
Considerando que u(t) = 1 para t > 0, pode ser reescrita como: 
 
��
�� +
�
�� =
��
�� 
 
Solucionado por separação de variáveis: 
 
��
�� = − 
� − ��
�� 
 
Integrando-se ambos os membros e introduzindo as condições 
iniciais, 
ln(� − ��)| �(�)�� = −
�
���
�
0 
 
 
ln(�(�) − ��) − ln(�� − ��) = − ��� + 0 
ou 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 28 
ln �(�) − ���� − �� = −
�
�� 
 
Usando a propriedade inversa de logaritmos. 
 
�(�) − ��
�� − �� = �
�� �� ���� � = �� 
 
�(�) − �� = (�� − ��)��� �� 
Ou, 
�(�) = ! + ( " − !)#�� $� %&'& � > 0 
 
Esta solução é chamada a resposta completa do circuito RC a 
aplicação súbita de uma fonte de tensão cc, quando o capacitor esti-
ver incialmente carregado. 
 
METODOLOGIA SISTEMÁTICA 
 
A resposta completa = resposta natural + resposta forçada 
 
v(t) = vn + vf 
 
vn – resposta transitória que desaparecerá com o tempo 
vf – resposta forçada devido a uma fonte externa; a que permanecerá decorri-
dos 5τ. 
 
�) = *�−� �⁄ ���� � = �� 
� 
�, = �- 
Logo a solução geral é 
�(�) = *�−� �⁄ + �- 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 29 
A constante de integração K é obtida por meio das condições ini-
ciais do circuito em t = 0+. 
 
No caso em questão v(0-) = Vo. Portanto, face a inércia de tensão 
do capacitor v(0+) = v(0-) = Vo. Substituindo na solução geral, 
 
�(0.) = �� = * + �� �	 -�/&, * = �� − �� 
 
Assim, a resposta completa é 
 
�(�) = ! + ( " − !)#�� $� %&'& � > 0 
 
Que pode ser reescrita como 
 
�(�) = �(∞) + 2�(0) − �(∞)3#�� $� %&'& � > 0 
 
Onde, 
 v(0) – tensão inicial no capacitor, analisada para t<0. 
v(∞) – tensão final no capacitor, analisada para t>0. 
 * – constante de tempo RC, para t>0. 
 
Sendo assim, para encontrar a resposta ao degrau de um circuito 
RC, deve-se determinar esses três itens e substituí-los na equação. 
 
Essa metodologia também é aplicável ao circuito RL, conforme a 
seguir, 
 
9.2 RESPOSTA DE UM CIRCUITO RL AO DEGRAU 
 
Considere o circuito RL abaixo à esquerda, o qual se equivale ao 
da direita, onde se pretende determinar a corrente do indutor. Consi-
dere uma corrente inicial i (0-) = I0 no indutor 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
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A resposta completa = resposta natural + resposta forçada 
 
i(t) = in + if 
 
in – resposta transitória que é sempre um decaimento exponencial 
if – resposta forçada devido a uma fonte externa; a que permanecerá decorri-
dos 5τ. 
 
4) = *�−� �⁄ ���� � = 5 �� 
� 
4, = �-� 
Logo a solução geral é 
4(�) = *�−� �⁄ + �-� 
 
A constante de integração K é obtida por meio das condições ini-
ciaisdo circuito em t = 0+. 
 
No caso em questão i(0-) = Io. Portanto, face a inércia de corrente 
do indutor i(0+) = i(0-) = Io. Substituindo na solução geral, 
 
4(0.) = 6� = * + ��� �	 -�/&, * = 6� −
��
� 
 
Assim, a resposta completa é 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
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7(�) = !8 + 9:" −
 !
8 ; #
�� $� %&'& � > 0 
 
Que pode ser reescrita como 
 
7(�) = 7(∞) + 27(0) − 7(∞)3#�� $� %&'& � > 0 
 
Onde, 
 i(0) – corrente inicial no indutor, analisada para t<0. 
i(∞) – corrente final no indutor, analisada para t>0. 
 * – constante de tempo L/R, para t>0. 
 
Portanto, para encontrar a resposta ao degrau de um circuito RL, 
deve-se determinar esses três itens e substituí-los na equação.