Exercícios de Séries e Equações Diferenciais

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089400 - Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais - 2o./2013
Terceira lista de exerc´ıcios
Profa. Vera Lu´cia Carbone 20 de agosto de 2013
1. Determine o intervalo de convergeˆncia de cada uma das se´ries abaixo.
a)
∞∑
n=0
1
n+ 4
xn b)
∞∑
n=0
n2
2n
xn c)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n
xn d)
∞∑
n=2
n
n2 + 1
xn
e)
∞∑
n=2
lnn
n3
xn f)
∞∑
n=0
n+ 1
10n
(x− 4)n g)
∞∑
n=0
1
(−4)nx
2n+1 h)
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)!x
2n−1
i)
∞∑
n=0
(x+ 3)n
2n
j)
∞∑
n=1
nn(x− 3)n k)
∞∑
n=1
n!
nn
xn l)
∞∑
n=1
lnn
n+ 1
(x− 5)n
2. Determine o raio de convergeˆncia das seguintes se´ries.
a)
∞∑
n=1
(−1)n 1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)
3 · 6 · 9 · . . . · (3n) x
n b)
∞∑
n=1
nn
n!
xn
3. Se a e b sa˜o inteiros positivos, determine o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(n+ a)!
n!(n+ b)!
xn.
4. Encontre os valores de x para os quais a se´rie converge. Calcule a soma da se´rie para aqueles
valores de x.
1)
∞∑
n=1
xn
3n
2)
∞∑
n=1
(x− 4)n 3)
∞∑
n=1
4nxn 4)
∞∑
n=1
1
xn
5. Determine o raio de convergeˆncia das se´ries dadas e diga para quais valores de x a se´rie converge.
(a)
∞∑
n=0
(−1)n(4x+ 1)n (b)
∞∑
n=1
xn
n
√
n
3n (c)
∞∑
n=0
(−1)nxn√
n2 + 3
(d)
∞∑
n=1
(−1)n+1(x+ 2)n
n2n
6. Encontre o valor das integrais abaixo com erro inferior a 0, 01.
(a)
∫ 1
0
e−x
3
dx (b)
∫ 2
1
1− cos(x)
x
dx (c)
∫ 1
0
cosx2dx
7. Ache o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia das seguintes se´ries de poteˆncias.
(a)
∞∑
n=1
nxn (b)
∞∑
n=1
xn
(2n)!
(c)
∞∑
n=1
(x+ 2)n
n(n+ 1)
(d)
∞∑
n=1
(−n)2nx2n
(e)
∞∑
n=1
xn
n2n
(f)
∞∑
n=1
2nxn√
n
(g)
∞∑
n=2
xn
n ln(n)
(h)
∞∑
n=0
2n(x− 3)n
n+ 3
8. Encontre
∫ 1
0
1− e−x2
x2
dx.
9. Use a se´rie de poteˆncias de
1
1− x2 para obter a expressa˜o da se´rie de poteˆncias da func¸a˜o
2x
(1− x2)2 .
1
10. Determine uma aproximac¸a˜o do valor da integral
∫ 1
0
sin(x2)dx com quatro casas decimais.
11. Verifique que a se´rie
∑∞
n=0 2
nx converge para x = −1. Tal se´rie converge absolutamente para
todo x ∈ (−1, 1] ? Explique.
12. A partir da se´rie geome´trica
∑∞
n=1 x
n encontre a soma das seguintes se´ries.
(a)
∞∑
n=1
nxn−1, |x| < 1 (b)
∞∑
n=1
nxn, |x| < 1 (c)
∞∑
n=1
n
2n
13. Ache a soma das se´ries.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n
n!
x4n (b)
∞∑
n=1
xn
2n(n+ 1)!
14. Ache a soma das se´ries.
(a)
∞∑
n=1
(−1)npi2n+1
42n+1(2n+ 1)!
(b)
∞∑
n=0
(−1)npi2n−1
22n−1(2n)!
15. Suponhamos que
∑∞
n=0 anx
n converge em x = −4 e diverge em x = 6. O que podemos dizer da
convergeˆncia das se´ries.
(a)
∞∑
n=0
an (b)
∞∑
n=0
an8
n (c)
∞∑
n=0
an(−3)n (d)
∞∑
n=0
(−1)nan9n
16. Ache uma se´rie de poteˆncias cuja soma seja f(x) = ln(1−x), |x| < 1. Mostre que ln 2 =
∞∑
n=1
1
n2n
.
17. (a) Encontre a expanssa˜o de f(x) =
x
(1− x)2 em se´rie de poteˆncias de x.
(b) Use a parte (a) para encontrar a soma da se´rie nume´rica
∞∑
n=1
n
2n
.
18. A func¸a˜o f e´ definida por f(x) = 1 + 2x+ x2 + 2x3 + x4 + · · · , isto e´, a2n−1 = 2 e a2n = 1, n ∈ N.
Encontre o intervalo de convergeˆncia da se´rie e uma fo´rmula expl´ıcita para f(x).
19. Suponha que o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias
∑∞
n=0 anx
n seja R > 0. Qual o raio de
convergeˆncia da se´rie de poteˆncias
∑∞
n=0 anx
2n?
20. Encontre a se´rie de poteˆncias que representa f(x) =
ex − 1
x
e mostre que
∞∑
n=1
n
(n+ 1)!
= 1.
21. Seja f(x) = sin(x3). Encontre f (15)(0) e f (20)(0).
22. Seja f(x) =
∑∞
n=0 anx
n, onde an+2 = an, ∀n ∈ N. Ache o intervalo de convergeˆncia da se´rie de
poteˆncias acima e uma fo´rmula para f(x).
23. Determine o intervalo de convergeˆncia da se´rie, dentro desse intervalo, determine a soma da se´rie
como func¸a˜o de x.
(a)
∞∑
n=0
(x− 1)2n
4n
(b)
∞∑
n=0
(x+ 1)2n
9n
.
2
24. A se´rie
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ . . .
converge para ex para todo x.
(a) Encontre uma se´rie para
dex
dx
. Voceˆ obte´m uma se´rie para ex? Explique sua resposta.
(b) Encontre uma se´rie para
∫
exdx. Voceˆ obte´m uma se´rie para ex? Explique sua resposta.
(c) Substitua x por −x na se´rie para ex para encontrar uma se´rie que convirja para e−x, para
todo x. Enta˜o, multiplique a se´rie por ex e e−x para encontrar os seis primeiros termos de
uma se´rie para e−xex.
25. Usando a se´rie de ex dada no exerc´ıcio acima, calcule o valor de
∞∑
n=0
(−1)n
n!2n
26. Use a identidade
1
1− x =
∞∑
n=0
xn, va´lida para |x| < 1, e obtenha uma se´rie de poteˆncias de x para
representar cada uma das func¸o˜es abaixo. Em cada caso especifique o conjunto de valores de x
onde a representac¸a˜o e´ va´lida.
(a)
1
(1− x)3 (b)
1
1− 4x (c)
1
2 + x
(d)
x3
(1− x4)2 (e)
x
1− x2
27. Encontre a se´rie de Maclaurin de cada func¸a˜o dada a seguir:
(a) f(x) = e−x2 (b) f(x) = ln(1 + x2) (c) f(x) = sin(4x) (d) f(x) = sin2(x)
(e) f(x) = cosh(x) (f) f(x) = sinh(x) (h) f(x) = cos(3x)
Obs. As func¸o˜es cosh(x) =
ex + e−x
2
e sinh(x) =
ex − e−x
2
.
28. Para cada func¸a˜o dada abaixo, encontre sua expansa˜o de Taylor em torno do ponto indicado.
(a)f(x) =
√
x; a = 9 (b)f(x) = cos(x); a =
pi
3
(c)f(x) =
1
x2
; a = 1 (d)f(x) = sin(x); a =
pi
6
29. i) Avalie ∫
e−x
2
dx
como uma se´rie infinita. Analise o resto da se´rie que voceˆ encontrou para decidir se a se´rie e´
convergente ou na˜o.
ii) Avalie
lim
x→0
ex − 1− x
x2
.
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algumas Respostas:
(1-a) [−1, 1) (1-b) (−2, 2) (1-c) (−1, 1] (1-d) [−1, 1) (1-e) [−1, 1] (1-f) (−6, 14)
(1-g) (−2, 2) (1-h) (−∞,∞) (1-i) (−5,−1) (1-j) (2, 4) (1-k) (−e, e) (1-l) [4, 6)
(2-a) r = 3/2 (2-b) r = 1/e
(3) O raio de convergeˆncia e´ ∞.
(4-1) −3 < x < 3, soma x/(3 − x); (4-2) 3 < x < 5, e soma (x − 4)/(5 − x); (4-3) |x| < 1/4, e soma
x
1/4−x ; (4-4) 1 < |x|, e soma 11−x .
(6-a) ' 0, 80 (6-b) ' 0, 60
(7-a) R = 1 (7-b) R = 1 (7-c) R = 1 (7-d) R = 0 (7-e) R = 2 (7-f) R = 1/2 (7-g) R = 1
(7-h) R = 1/2
(8)
∑∞
n=1
(−1)n+1
n!(2n−1)
(9)
∑∞
n=1 2nx
2n−1, |x| < 1
(10) 0, 31028
(11) Observe que na˜o temos uma se´rie de poteˆncias.
(12-a) 1
(1−x)2 (12-b)
x
(1−x)2 (12-c) 2
(13-a) e−x4 (13-b) 2(e
x/2−1)
x
(14-a)
√
2
2 − pi4 , (14-b) 0
(15-a) C. (15-b) D. (15-c) C. (15-d) D.
(16) ln(1− x) = −∑∞n=1 xnn , |x| < 1
(17-a)
∑∞
n=1 nx
n, |x| < 1 (17-b) 2
(18) f(x) = 1+2x
1−x2 , |x| < 1
(19)
√
R
(20) e
x−1
x =
∑∞
n=1
xn−1
n!
(21) f (15)(0) = (15)!5! , f
(20)(0) = 0
(22) f(x) = (a0 + a1x)
1
1−x2 , |x| < 1
4