Exercícios de Séries e Equações Diferenciais

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089400 - Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais - 2o./2013
Segunda lista de exerc´ıcios
Profa. Vera Lu´cia Carbone 20 de agosto de 2013
1. Calcule a soma da se´rie dada.
(a)
∞∑
k=0
(
1
2
)k
(b)
+∞∑
j=0
e−j (c)
∞∑
k=1
2k + 1
k2(k + 1)2
(d)
∞∑
k=1
1
k2(k + 1)(k + 2)2
(e)
+∞∑
k=0
1
(4k + 1)(4k + 5)
(f)
+∞∑
n=1
nαn, 0 < α < 1.
2. Determine a convergeˆncia ou na˜o da se´rie
∑
an onde o termo geral an e´ dado por:
(a)
(
1
7
)n
(b)
(
−3
4
)n
(c)100
(
8
9
)n
(d)
1
2n
(
50 +
2
n
)
(e)
2 + cos(n)
3n
(f)
(
1 +
1
n
)n
(g)
1
n!
(h)
1
n7n
(i)
1
nn
(j)
(
n2 + 2
n4 + 4
) 1
2
(k)
(−1)n
en
(l)
1
n ln(n)
(m)
4n
n3 − 10 (n)
1
n ln2(n)
(o)
1
n
√
ln(n)
(p)
1
ln(n)
(q)n
(
1
2
)n
(r)
2n
(2n)!
(s)
sin(n)
n2
(t)
en
n!
3. Por observac¸a˜o do limite do termo geral, verifique que as se´ries abaixo, sa˜o divergentes.
(a)
+∞∑
n=1
(
√
n−√n+ 1) (b)
+∞∑
n=1
n3
n3 + n2 + 4
(c)
+∞∑
n=1
n
cos(n)
(d)
+∞∑
n=1
n sin(
1
n
)
4. Encontre uma se´rie cuja n-e´sima soma vem dada por:
(a)Sn =
2n
3n+ 1
(b)Sn =
n2
n+ 1
(c)Sn =
1
2n
5. Verifique que a func¸a˜o que estende o n-e´simo termo de cada se´rie dada abaixo atende a`s hipo´teses
do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergeˆncia de cada se´rie.
(a)
+∞∑
n=3
3
n(ln(n))2
(b)
+∞∑
n=1
1
(2n+ 3)2
(c)
+∞∑
n=2
1
n(n− 1) (d)
+∞∑
n=1
2n2
n3 + 1
(e)
+∞∑
n=2
1
n2 − 1
(f)
+∞∑
n=4
[
1
n− 3 −
1
n
]
(g)
+∞∑
n=1
arctan(n)
n2 + 1
(h)
+∞∑
n=2
2
n
√
n2 − 1 (i)
+∞∑
n=2
1√
n
(j)
+∞∑
k=0
k
k2 + 1
.
6. Use o teste da comparac¸a˜o ou o teste da comparac¸a˜o no limite, para determinar a convergeˆncia
ou divergeˆncia das seguintes se´ries:
1
(a)
∞∑
n=2
1
1 + ln(n)
(b)
∞∑
n=1
sin2(n)
2n
(c)
∞∑
n=1
3
n+
√
n
(d)
∞∑
n=1
2 + cos(n)
n2
(e)
∞∑
n=2
1
(n− 1)2
(f)
∞∑
n=1
√
n
n2 + 1
(g)
∞∑
n=1
1√
4n3 − 5n (h)
∞∑
n=1
1
n3n
(i)
∞∑
n=1
1
n4 + n2 + 1
(j)
∞∑
k=1
k sin(
1
k
)
7. Use o teste da raza˜o ou da raiz para determinar a convergeˆncia ou divergeˆncia das seguintes se´ries:
(a)
∞∑
n=1
2n + 5
3n
(b)
∞∑
n=1
(2n)!
n!n!
(c)
∞∑
n=1
3nnn!
(2n)!
(d)
∞∑
n=1
n
√
2
2n
(e)
∞∑
n=1
n!e−n
(f)
∞∑
n=1
(n!)n
(nn)2
(g)
∞∑
n=1
nn
(2n)2
(h)
∞∑
n=1
1
(ln(n))n
(i)
∞∑
n=1
nn
n!
(j)
∞∑
n=1
n!
1000n
.
8. Considerando as se´ries dadas, estude a sua convergeˆncia ou divergeˆncia. Quando poss´ıvel calcule
sua soma.
(i)
∞∑
n=1
(−1)n
4n
(ii)
∞∑
n=1
(
5
2n
+
1
3n
) (iii)
∞∑
n=1
(
1
2n
+
(−1)n
5n
) (iv)
∞∑
n=1
(−1)n+1 3
2n
(v)
∞∑
n=1
(1 +
1
n
)n (vi)
∞∑
n=1
(
e
pi
)n (vii)
∞∑
n=1
enpi
pine
9. Aplique o teste da convergeˆncia absoluta nos seguintes casos:
(i)
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n2
(ii)
∞∑
n=1
sin(n)
n2
.
10. Verifique a convergeˆncia ou divergeˆncia das seguintes se´ries justificando sua resposta.
(i)
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n2
(ii)
∞∑
n=2
(−1)n+1 1
ln(n)
(iii)
∞∑
n=2
(−1)n+1 ln(n)
ln(n2)
(iv)
∞∑
n=1
(−1)n+1 10
n
n10
.
11. Determine a convergeˆncia absoluta ou condicional das se´ries
∑
an cujos termos gene´ricos an sa˜o
dados por:
(a)
sin(n)
n3 + 1
(b)
(−1)n
n2 ln(n)
(c) sin
(
(−1)n
n
)
(d)
(−n)n
n!
(e)
cos(en)
n
3
2
(f)
n√
n4 + n2
(g) (−1)n n
n+ 1
(h) (−1)n ln(n)
n
(i) (−1)n 1
n+ 3
(j) (−1)n sin(n)
n2
.
12. Mostre que a se´rie dada e´ convergente.
a)
∞∑
k=1
(−1)k+1 sin 1
k
b)
∞∑
n=2
(−1)n n
3
n4 + 3
13. Dizer, em cada item abaixo, se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove, se for
falsa dar um contra-exemplo:
(a) Se lim
n→∞ an = 0 enta˜o
∑
an converge.
2
(b) Se An = a1 + a2 + · · ·+ an, n = 1, 2 · · · e lim
n→∞An = 1 enta˜o limn→∞ an = 0.
(c) Nas condic¸o˜es do item b) temos
∞∑
n=1
an = 1.
(d) Se
∑
an diverge e
∑
bn diverge enta˜o
∑
(an + bn) diverge.
(e) Se a1 + a2 + a3 + · · · = l enta˜o a1 − l + a2 + a3 + · · · = 0.
(f) Se lim
n→∞ an = 0 enta˜o
∑
(−1)n+1an converge.
14. A Figura ao lado mostra alguns termos de uma sequeˆncia de quadrados Q1, Q2, Q3, · · · . Sejam
an, An e Pn o lado, a a´rea e o per´ımetro do quadrado Qn, respectivamente. O quadrado Qn+1 e´
constru´ıdo do quadrado Qn como mostra a figura.
(a) Ache uma relac¸a˜o entre an+1 e an.
(b) Encontre an, An e Pn.
(c) Calcule
∞∑
n=1
Pn e
∞∑
n=1
An.
an
an+1
1
4an
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algumas Respostas:
(1-a) 2; (1-b) ee−1 ; (1-c) 1; (1-d)
1
16 ; (1-e) 1/4; (1-f)
α
(1−α)2 .
(2-a) C; (2-b) C; (2-c) C; (2-d) C; (2-e) C; (2-f) D; (2-g) C; (2-h) C; (2-i) C; (2-j) D; (2-k) C; (2-l)
D; (2-m) C; (2-n) C; (2-o) D; (2-p) D; (2-q) C; (2-r) C; (2-s) C; (2-t) C;
(13-a) F; (13-b) V; (13-c) V; (13-d) F; (13-e) V; (13-f) F.
(14a) an+1 =
√
10
4 an;
(14b) an = (
√
10
4 )
n−1a1; An = (58)
n−1A1; Pn = (
√
10
4 )
n−1P1
(14c)
∑∞
n=1 Pn =
16
4−√10a1;
∑∞
n=1An =
8
3(a1)
2.
3