Somatório Bioestatística

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Profa Gisele Rodrigues Moreira – CCAUFES/Depto Engenharia Rural Página 1 
 
 
 
Profa. Gisele Rodrigues Moreira 
Depto. Eng. Rural. Tel: (28) 3552-8666 
E-mail: gisele.moreira@ufes.br 
Site: www.giselemoreira.webnode.com 
 
SOMATÓRIO 
 
 As operações de somatório são de grande importância para a Estatística por facilitar a indicação e 
formulação de medidas, bem como algumas operações algébricas. 
 
1. SOMATÓRIO 
1.1 Notação de somatório por índice 
Para designar o somatório utiliza-se a letra grega sigma maiúsculo ( Σ ), que deve ser lido SOMATÓRIO 
ou SOMA DE. 
O símbolo ∑
=
n
1i
iX é usado para representar a soma de todos os valores Xi desde i = 1 até i = n, ou seja, 
por definição: 
 ∑
=
n
1i
iX = X1 + X2 + .......+ Xn 
Lê-se da seguinte maneira: “somatório de Xi, com índice i variando de 1 a n”. 
 
O símbolo Xi (lê-se X índice i) representa qualquer um dos n valores, X1, X2,....,Xn, assumidos pela 
variável X, na amostra ou no conjunto de dados. 
 
Exemplo: Seja X a variável peso de 10 coelhos abatidos com 90 dias: 
 
 
 
 
 
 
 
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 
2,47 2,49 2,56 2,56 2,59 2,61 2,62 2,62 2,62 2,70 
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10987654321
10
1
i X XXXXXXX X XX +++++++++=∑
=i
 
70,262,262,262,261,259,256,256,249,247,X
10
1
i +++++++++=∑
=
2
i
 
84,5X
10
1
i 2=∑
=i
 
 
1.2 Número de termos do somatório (NT) 
 Corresponde ao número de termos que farão parte da soma. 
 Tem-se duas formas de calcular o NT: 
 
NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) 
NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) 
 
Em que, 
Ls = limite superior do somatório 
Li = limite inferior do somatório 
r = número de restrições no somatório (ou seja, número de termos que não farão parte da soma) 
 
Ex.: 
SEM RESTRIÇÃO: 
84,5X XXXXXXX X XX 10987654321
10
1
i 2=+++++++++=∑
=i
 
NT = 10 – 1 + 1 = 10 
 
COM DUAS RESTRIÇÕES (r = 2): 
81,0X XXXXXX X X 109876542
10
3,1
1
i 2=+++++++=∑
≠
=
i
i
 
NT = 10 – 1 + 1 - 2 = 8 
 
1.3 Propriedades 
1ª) KNTK
n
I
.
1
=∑
=
, sendo K uma constante e NT = número de termos. 
Ex.: 202.102).1110(2
10
1
==+−=∑
=i
 
 
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2ª) ∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i XKXK
11
.. 
Ex.: 68,184,25.2)70,2...49,247,.() X....... X X.(2.2.2 1021
1
10
1
522 ==+++=+++== ∑∑
==
n
i
i
i
i XX 
 
3ª) KNTXKXKX
n
I
i
n
I
n
I
i
n
I
i .)(
1111
±=±=± ∑∑∑∑
====
 
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
84,52.1084,252.2)2(
10
1
10
1
10
1
10
1
4=+=+=+=+ ∑∑∑∑
====
NTXXX
I
i
II
i
i
i 
 
4ª) ∑∑
==
≠
n
i
i
n
i
i XX
1
2
1
2 )( 
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
81,6670,2...49,247,X ... X X 222210
2
2
2
1
1
2
=+++=+++=∑
=
2
n
i
iX 
71,667)84,5()( 2
1
2
==∑
=
2
n
i
iX 
 Logo, 66,81 ≠ 667,71 
 ⇒⇒⇒⇒ Ao∑
=
n
i
iX
1
2 dá-se o nome de SOMA DE QUADRADOS e ao ∑
=
n
i
iX
1
2)( dá-se o nome de 
QUADRADO DA SOMA. 
 
5ª) ∑
∑ =
=
≠
n
i i
n
i
i
XX 1
1
11
 
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
0387,0
70,262,262,262,261,259,256,256,249,247,
11
1
=
+++++++++
=
∑
=
2n
i
iX
 
87,3
70,2
1
62,2
1
62,2
1
62,2
1
61,2
1
59,2
1
56,2
1
56,2
1
49,2
1
47,2
11
1
=+++++++++=∑
=
n
i iX
 
 Logo, 0,0387 ≠ 3,87 
 
 
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6ª ) ∑∑∑
===
±=±
n
I
i
n
I
ii
n
i
i YXYX
111
)( 
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9 
291712)953()642()()()( 321321
3
1
3
1
3
1
=+=+++++=+++++=+=+ ∑∑∑
===
YYYXXXYXYX
I
i
I
ii
I
i
 
7ª) ∑∑∑
===
≠
n
i
i
n
i
ii
n
i
i YXYX
111
 
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9 
8054209.65.43.332211
1
=++=++=++=∑
=
62YXYXYXYX i
n
i
i 
0417.2)).(( 321321
11
21 ==++++=∑∑
==
YYYXXXYX
n
i
i
n
i
i 
 Logo, 80 ≠ 204 
 ⇒⇒⇒⇒ Ao i
n
i
iYX∑
=1
 dá-se o nome de SOMA DE PRODUTO e ao ∑∑
==
n
i
i
n
i
i YX
11
 dá-se o nome de 
PRODUTO DA SOMA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de exercícios: 
 
 
1 – Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores: X = {5,2,3,0,1,2,6,9,4,8} n = 10 
Calcule: 
a) ∑
=
10
1i
iX b) ∑
=
10
1
2
i
iX c) ∑
=
10
1
2)(
i
iX d) 110
10
)(10
1
10
1
2
2
−
−∑
∑
=
=
i
i
i
i
X
X
 
e) ∑
=
−
10
1
)4(
i
iX f) 
210
1
)4(∑
=
−
i
iX g) 110
)4(
10
1
2
−
−∑
=i
iX
 h) 
10
10
1
∑
=i
iX
 
2 – Sabendo-se que 6
5
1
−=∑
=i
iX e 12
5
1
2
=∑
=i
iX , Calcule: 
a) ∑
=
+
5
1
)54(
i
iX b) ∑
=
−
5
1
)2(
i
ii XX c) 
25
1
)3(∑
=
−
i
iX 
 
 
 
3 – Considere os seguintes valores: 
 
X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 X5 = 10 X6 = 12 X7 = 14 X8 = 16 
Y1 = 1 Y2 = 3 Y3 = 5 Y4 = 7 Y5 = 9 Y6 = 11 Y7 = 13 Y8 =15 
 
Calcule os seguintes somatórios: 
a) )3(
8
1
5
2
−∑∑
= =i j
iX b) ∑
=






−
8
1
2
2i
i
i YX 
 
4 – Se ∑
=
=
3
1
12
i
iX ∑
=
=
3
1
2 56
i
iX e 31 =Y 52 =Y 63 =Y , calcule: 
a) ∑
=
3
1
9
i
 b) ∑
=
3
1
12
i
iX c) )2(
3
1
2
1 −∑
=i
X d) )(
3
1
i
i
iYX∑
=
 
 
 
5 – Se X1 = 2, X2 = 4, X3 = 6 e Y1 = 3, Y2 = 5, Y3 = 6, calcule: 
a) )(
3
1
i
i
iYX∑
=
 b) )5)(2(
3
1
−−∑
=
i
i
i YX 
 
 
6 – Calcule X9 e X21, sabendo-se que: 
∑
=
=
50
1
200
i
iX ∑
=
=
50
1
2 1206
i
iX ∑
≠
=
=
50
219
1
190
ei
i
iX ∑
≠
=
=
50
219
1
2 1154
ei
i
iX 
 
 
 
 
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7 – Dados: 
i fi Xi 
1 3 10 
2 5 11 
3 9 15 
4 10 19 
Calcule: a) ∑
=
4
1i
iX b) ∑
=
4
1i
if c) ∑
=
4
1i
ii Xf d) 
∑
∑
=
=
4
1
4
1
i
i
i
ii
f
Xf
 
8 - Uma indústria de componentes eletrônicos está interessada em determinar a vida útil de certo tipo de 
bateria. Seguem os dados de uma amostra, em horas: 
123 116 122 110 175 126 125 111 118 118 
 
Obtenha: 
a) ∑
=






−
10
1
2
4
2
1
i
iX
 b) 
2
1
10
1
10
1
2 





−∑∑
== i
i
i
i XX
 c) 
∑ ∑
= =






−
10
1
210
1
2
i i
iX 
 
9 – A tabela a seguir fornece a temperatura da água (em graus Fahrenheit) durante o verão de 2008, em 
vários locais da costa do Atlântico Norte. 
 
46 46 50 51 54 54 54 56 56 57 
58 60 60 60 60 61 61 61 61 62 
63 63 65 66 66 67 68 68 70 72 
 
a) ∑ ∑
= =
−
30
4
30
1
)3(
i i
iX
 
 
b) ∑
=
−
30
1
2)2(
i
ii XX 
 
10 – Alguns relatórios de saúde sugerem que 300 mg de cafeína (a quantidade em cerca de três xícaras de 
café)é uma ingestão moderada. A quantidade de cafeína em uma xícara de café varia de acordo com o grão 
do café, a técnica de torrefação, o filtro, etc. Obteve-se uma amostra aleatória de xícaras de café de 8 onças 
(237 mL) e mediu-se o conteúdo (em mg) de cafeína de cada uma delas. Os dados constam na tabela a 
seguir: 
 
71 75 88 89 89 90 93 95 96 
97 100 101 106 107 109 112 115 115 
 
a) ∑ ∑
= =
+
18
1
18
1
)4(
i i
ii XX 
b) )3(
18
1
5
2
−∑∑
= =i j
iX 
 
 
 
 
 
 7
RESPOSTAS 
 
1 – 
a) 40 b) 240 c) 1600 d) 80/9 e) 0 f) 80 g) 80/9 
h) 4
 
2 – 
a) 1 b) 24 c) 93 
 
3 – 
a) 192 b) 140 
 
4 – 
a) 27 b) 144 c) 50 d) 3X1 + 5X2 + 6X3 
 
5 – 
a) 62 b) 4 
 
6 – 
 X9 = 4 e X21 = 6 
 
7 – 
a) 55 b) 27 c) 410 d) 410/27 
 
8 – 
a) 38382 b) ≅ 395,75 c) 15425760 
9 – 
a) 48411 b) 6234114 
 
10 – 
a) 38456 b) 6776