Medidas Eletricas - Aula 6

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Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Medidas Elétricas III
Prof. Marcos Riva Suhett
Aula 6
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Conceitos Gerais em Medidas
Medição: 
“Conjunto de operações que tem por objetivo 
determinar um valor de uma grandeza”
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Conceitos Gerais em Medidas
Comparar duas grandezas de mesma espécie.
A grandeza que serve de comparação é denominada 
grandeza unitária ou padrão unitário
Exemplo: Comparar a quantidade de café e um peso 
padrão de 1kg.
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Conceitos Gerais em Medidas
Valor Verdadeiro: 
Valor que seria obtido por uma medição perfeita.
São, por natureza, indeterminados.
Ex: 100,00 V
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Conceitos Gerais em Medidas
Valor Verdadeiro Convencional: 
Valor atribuído a uma grandeza tendo uma incerteza 
apropriada.
Como, na prática, não é possível se obter o Valor 
Verdadeiro, utiliza-se o Valor Verdadeiro Convencional 
com uma incerteza aceitável. 
Ex: 100,00 ± 0,01 V
6
Conceitos Gerais em Medidas
Exatidão (Accuracy): Grau de concordância entre o 
resultado de uma medição e um valor verdadeiro do 
mensurando.
Precisão (Precision): Grau de concordância entre 
resultados de medição obtidos sob as mesmas 
condições (repetitividade). 
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Conceitos Gerais em Medidas
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Conceitos Gerais em Medidas
Rastreabilidade: 
Propriedade do resultado de uma medição ou de um valor 
padrão estar relacionado a referências estabelecidas 
através de uma cadeia contínua de comparações, todas 
tendo incertezas estabelecidas.
“Cadeia de Incertezas”
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Conceitos Gerais em Medidas
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Conceitos Gerais em Medidas
Incerteza de Medição: 
“Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que 
caracteriza a dispersão dos valores que podem ser 
fundamentalmente atribuídos a um mensurando”.
É a dúvida que existe sobre o resultado da medição.
Ex: 100,00 ± 0,01 V ( 99,99 V ≤ X ≤ 100,01 V )
Ex: 100,00 V ± 0,01% 
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Conceitos Gerais em Medidas
Erro de Medição: 
“Resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do 
mensurando”.
Erro = Erro Aleatório + Erro sistemático
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Conceitos Gerais em Medidas
Erros grosseiros: Erros que ocorrem por falhas de 
leitura do instrumento ou operador. São facilmente 
detectáveis e podem ser corrigidos.
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Conceitos Gerais em Medidas
Erros Sistemáticos: Média que resultaria de um infinito 
número de medições do mesmo mensurando, efetuadas 
sob condições de repetitividade, menos o valor verdadeiro 
do mensurando. Podem ser corrigidos.
Classificação:
Erros de construção ou ajuste;
Erros de leitura (paralaxe);
Erros inerentes ao método;
Erros devido às condições externas.
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Conceitos Gerais em Medidas
Erros Aleatórios: Resultado de uma medição menos a 
média que resultaria de um infinito número de medições 
do mesmo mensurando efetuadas sob condições de 
repetitividade.
Erros aleatórios não podem ser corrigidos, apenas 
minimizados.
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Conceitos Gerais em Medidas
Um ERRO é o resultado da medição menos o valor 
verdadeiro (erros sistemáticos -> podem ser corrigidos);
A INCERTEZA é a dúvida sobre o valor medido 
(composta principalmente dos erros aleatórios -> não 
podem ser corrigidos);
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Conceitos Gerais em Medidas
Erros Vs. Incerteza
Valor 
Verdadeiro
Erro aleatório
(INCERTEZA)
Erro sistemático
(ERRO)
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Conceitos Gerais em Medidas
Calibração Vs Correção Vs Ajuste
Calibrar = Conhecer as correções (tendência);
Corrigir = Somar a correção ao resultado da medição;
Ajustar = Eliminar a tendência do instrumento.
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Conceitos Gerais em Medidas
INSTRUMENTO DE MEDIÇÃO
TENDÊNCIA Incerteza deMedição da
Calibração
CORREÇÃO
RESULTADO
CORRIGIDO
Parcela de Contribuição da
Incerteza do Resultado
INCERTEZA DE 
MEDIÇÃO
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Formas de Avaliação da Incerteza
Tipo A
Tipo B
Denominações:
Incerteza Padrão (u)
Incerteza Padrão Combinada (uc)
Incerteza Expandida (U)
Fator de abrangência (k)
Graus de liberdade efetivos (eff)
Nível de confiança ou probabilidade de abrangência (U95, 
U68, U99)
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Incerteza Padrão (u)
Incerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio 
padrão.
Avaliação Tipo A (da incerteza)
Método de avaliação da incerteza pela análise estatística de uma 
série de observações.
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Avaliação Tipo A (da incerteza)
A incerteza da medição com probabilidade de 68,27%
A incerteza padrão do tipo A apresenta distribuição de 
probabilidade Normal
n
xsxsxu iii
)()()( 
Avaliação do Tipo A
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Avaliação Tipo A (da incerteza)
Incerteza padrão que corresponde a um desvio padrão.
x-s x+sx
1
)(
)( 1
2





n
xx
xs
n
i
i
i
n
xsxsxu iii
)()()( 
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Avaliação Tipo B (da incerteza)
Método de avaliação da incerteza por outros meios que não 
a análise estatística de uma série de observações.
Exemplos de avaliações Tipo B:
Resolução
Livros e Manuais Técnicos
Dados técnicos de fabricantes
Especificação dos instrumentos e padrões
Certificados de Calibração
Estimativas baseadas na experiência
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo: Resolução
0002
2g
2
1
3
2 2,51,5
1,5 2,52
gau 289,0
3
5,0
3

Avaliação da Incerteza Tipo B
por Resolução será:
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Incerteza citada em Certificados de Calibração
Distribuição Normal de Probabilidade
A incerteza expandida (U) informada em certificados de 
calibração deverá ser transformada em incerteza padrão (u), 
dividindo a incerteza expandida pelo fator de abrangência 
(k).
Ou seja:
k
Uxu i )(
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Copyright Fundação CERTI
g
k
Uxu i 0483,007,2
1,0)( 
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Incerteza Padrão (u)
Definida como “um” desvio padrão.
Para expressar todas as componentes de incerteza, tipo A e 
tipo B, correspondentes a um desvio padrão, é necessário 
dividir o valor de cada contribuição pelo divisor 
correspondente à distribuição de probabilidade atribuída:
Normal 1 (incerteza do tipo A)
Normal (k) k (certificado do padrão)
Retangular
Triangular
3
6
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Coeficiente de Sensibilidade (ci)
Relação entre a grandeza do mensurando e a grandeza da fonte de 
incerteza.
O ci é calculado pela derivada parcial da função (modelo matemático) em 
relação a variável para qual se deseja o ci, ou seja:
Obs: Quando a estimativa de entrada xi estiver na mesma unidade de 
medida da estimativa de saída yi, considerar ci igual a 1.
i
i x
fc



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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exemplo: Coeficiente de Sensibilidade (ci)
Cálculo do ci para a medição do comprimento de uma peça de aço, 
sabendo que o comprimento medido foi de 50 mm (0,05 m) onde a 
temperatura ambiente foi de (20 ± 3) ºC e o coeficiente de expansão 
térmica linear do aço é (11 ± 1) m/m ºC.
Modelo Matemático: Lfinal = Linicial + L.aço.T
T
T
fc

 

 açoT Lc . Cmc T
/55,011.05,0 

 


fc TLc  . Cmc
15,03.05,0 
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Incerteza PadrãoCombinada (uc)
Para grandezas estatisticamente não correlacionadas
Raiz quadrada da soma quadrática das diversas incertezas 
padrão (ui) envolvidas no processo de medição.
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1
2
3
2
2
2
1 ... nnc uuuuuu  
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Incerteza Expandida (U)
A incerteza expandida é obtida pela multiplicação do fator de 
abrangência (k) pela incerteza padrão combinada (uc).
Caso a distribuição de probabilidade seja aproximadamente 
NORMAL, com graus de liberdade () tendendo ao infinito, 
teremos o fator de abrangência:
Caso geral (k=2) – Para um nível de confiança de aprox. 95%
Aplicações críticas (k=3) – Para um nível de confiança de aprox. 99%
cukU .
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Graus de Liberdade (eff) 
Usar a equação de WELCH SATTETHRWAITE para calcular os graus 
de liberdade efetivos (eff) associados a Incerteza Combinada:


 n
i i
i
c
eff u
u
1
4
4


Onde: 
ui – Representa cada uma das 
incertezas padrão i
i – Representa os graus de 
liberdade de cada uma das 
incertezas padrão i
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Graus de Liberdade (eff) 
Como calcular os graus de liberdade “i” de cada “ui”?
Tipo A: i = n – 1 (onde n é o número de medições realizadas);
Certificado de calibração: i pode ser obtido diretamente do 
certificado ou a partir do valor de k (pela Tabela de Coeficientes 
de Student);
Demais incertezas padrão: Se não houver conhecimento sobre 
os graus de liberdade, adotar valor infinito (i = ).
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Tabela de Coeficientes de Student
eff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28
eff 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k 2,25 2,23 2,21 2,20 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13
eff 25 30 35 40 45 50 100 
k 2,11 2,09 2,07 2,06 2,06 2,05 2,025 2,000
eff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 235,8 19,21 9,22 6,62 5,51 4,90 4,53 4,28 4,09 3,96
eff 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k 3,85 3,76 3,69 3,64 3,59 3,54 3,51 3,48 3,45 3,42
eff 25 30 35 40 45 50 100 
k 3,33 3,27 3,23 3,20 3,18 3,16 3,077 3,000
Valores de k para nível de confiança de 95,45%
Valores de k para nível de confiança de 99,73%
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A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Fontes de Incerteza
Incerteza do Sistema de Medição (Certificado de calibração)
Estabilidade do Sistema de Medição em função do tempo
Estabilidade do Sistema de Medição em função das 
condições ambientais
Resolução
Tensões termoelétricas
Repetitividade (tipo A)
Erros de aproximação ou simplificação dos dados
Efeito de temperatura sobre o mensurando
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Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Propagação de Incertezas
Nem sempre é possível a medição de uma grandeza 
diretamente. Neste caso, o valor da grandeza é 
determinado de forma indireta, isto é, a partir de operações 
matemáticas que combinem resultados previamente 
determinados de duas ou mais grandezas
Exemplos:
O volume de um paralelepípedo calculado a partir dos produtos dos 
lados;
A velocidade de um projétil determinada pela razão entre o tempo 
de vôo e a distância percorrida;
A potência elétrica a partir de medições de tensão e corrente.
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Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas
Equação Geral para Propagação da Incerteza
Seja a grandeza G calculada em função de diversas 
grandezas independentes:
G = f(a,b,c,d,...)
Aplicando-se a série de Taylor, eliminando os termos mais 
altos e reduzindo termos semelhantes:
...
2222
































 dcbaG Ud
fU
c
fU
b
fU
a
fU
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Incerteza de MediçãoIncerteza de Medição
Como expressar a incerteza da medição?
No processamento matemático dos dados:
Arredondar somente no final
Na apresentação da Incerteza Expandida (U):
Usar 1 ou, no máximo 2, algarismos significativos
Compatibilizar U com a resolução do instrumento
Arredondar sempre para cima
Fator de abrangência (k):
Pegar sempre o maior valor de k na tabela de Student, em favor da 
segurança
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Incerteza de MediçãoIncerteza de Medição
Exercício
Um multímetro foi calibrado com um padrão através de 
várias medições sucessivas (Padrão = 1,005 V):
O padrão foi calibrado no INMETRO e, de acordo com o 
certificado de calibração, apresenta uma tendência de -0,05 
V e uma incerteza de 0,001 V (k=2). Descreva a tendência
e incerteza do multímetro (tipo b: resolução e cert. cal.):
a) Usando k = 2;
b) Calculando k de acordo com o n. de graus de liberdade
1,03
1,02
1,00
1,03
1,01
40
A Estimativa da Incerteza de MediçãoA Estimativa da Incerteza de Medição
Exercício
Fonte Tipo Valor Divisor u i
Estatística A 0,00583095 1 0,00583095 4
Calibração Padrão B 0,001 2 0,0005 
Resolução B 0,005 0,00288675 
Incerteza Combinada 0,00652559 6,3
a) Incerteza Expandida (U) 0,01305 K=2
b) Incerteza Expandida (U) 0,01644 K=2,52
22
1 ... nc uuu 
cukU .
Indicação do multímetro 1,018 V
Valor verdadeiro 1,055 V
Tendência -0,037 V
3
cukU .
Resultado Final:
Td. = -0,04 V
Ua = 0,02 V
Ub = 0,02 V