Medidas Eletrica UFF - Aula 3

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Universidade Federal Fluminense
Centro Tecnológico
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Medidas Elétricas III
Prof. Marcos Riva Suhett
Aula 3
2
Operações com Algarismos Significativos
Algarismos significativos
Qualquer número diferente de zero
1,2 (2 as) 368 (3 as) 1478,9 (5 as)
Zero entre números diferentes de zero
10,2 (3 as) 10504 (5 as) 10001 (5 as)
Zero à direita da vírgula
1,000 (4 as) 100,00 (5 as) 100,100 (6 as)
Obs: Zero à esquerda NÃO é AS
00012 (2 as) 0,000000100 (3 as) 0001 (1 as)
3
Operações com Algarismos Significativos
Algarismos significativos
Zero à direita de número inteiro é INDETERMINADO
1000 000000100 101000
Solução: Usar notação exponencial
10x102 (2 as) 1x103 (1 as) 0,1x104 (1 as)
Ex: 1/0,001 = 1x103 (1 as)
4
Operações com Algarismos Significativos
Aproximação
Caso o último número ≤ 4:
Descartamos o número: 13,403 -> 13,40
Caso o último número ≥ 6:
Descartamos o número e incrementamos o anterior: 13,406 -> 13,41
Caso o último número = 5:
Se for par: Apenas descartamos o 5: 13,425 -> 13,42
Se for ímpar: Descartamos o 5 e aumentamos o anterior:
• 13,415 -> 13,42
5
Operações com Algarismos Significativos
Adição ou subtração
Usamos SEMPRE o número de casas decimais da menor 
parcela:
85,45 + 5,6 + 98,523 = 189,573 = 189,6
6
Operações com Algarismos Significativos
Multiplicação e divisão:
Usamos SEMPRE o número de algarismos significativos da 
menor parcela:
89 / 5,469 = 16,27354178095 = 16
7
Operações com Algarismos Significativos
Recomendação:
Arredonde SEMPRE no FINAL!
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Exercício:
Calcule as operações indicadas e expresse os resultados segundo as 
regras de arredondamento e de algarismos significativos:
1,31 x 0,3173 = 
1 / 0,001 = 
15 / 0,9369 = 
13 / 1,5 x 10-4 = 
0,001745 x 315 = 
0,4444 + 1,1715 = 
1,15 x 13 + 0,3938 = 
0,26417 – 0,052 = 
13,0 – 12 = 
(11,00 / 3,15) + 3,115 = 
180,60 / 28,0 = 
9
Exercício:
Calcule as operações indicadas e expresse os resultados segundo as 
regras de arredondamento e de algarismos significativos:
1,31 x 0,3173 = 0,415663 = 0,416
1 / 0,001 = 1x103
15 / 0,9369 = 16,01024656 = 16
13 / 1,5 x 10-4 = 86666,66667 = 87x103
0,001745 x 315 = 0,549675 = 0,550
0,4444 x 1,1715 = 0,5206146 = 0,5206
1,15 x 13 + 0,3938 = 15 + 0,3938 = 15
0,26417 – 0,052 = 0,21217 = 0,212
13,0 – 12 = 1,0 = 1
(11,00 / 3,15) + 3,115 = 3,49 + 3,115 = 6,61
180,60 / 28,0 = 6,45
10
Conceitos Gerais em Medidas
Um ERRO é o resultado da medição menos o valor 
verdadeiro (erros sistemáticos -> podem ser corrigidos);
A INCERTEZA é a dúvida sobre o valor medido 
(composta principalmente dos erros aleatórios -> não 
podem ser corrigidos);
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Conceitos Gerais em Medidas
Erros Vs. Incerteza
Valor 
Verdadeiro
Erro aleatório
(INCERTEZA)
Erro sistemático
(ERRO)
12
Conceitos Gerais em Medidas
Erros Vs. Incerteza
Valor 
Verdadeiro
Ajuste
13
Conceitos Gerais em Medidas
Erros Vs. Incerteza
Valor 
Verdadeiro
14
Conceitos Gerais em Medidas
Tendência
“Erro sistemático da indicação de um instrumento de 
medição”
Normalmente estipulada pela média dos erros de 
indicação de um número apropriado de medições 
repetidas menos o valor do padrão.
Balança
Padrão: 
1000 g
M1 = 1014
M2 = 1016
M3 = 1015
M = 1015
Tendência
15 g
15
Conceitos Gerais em Medidas
Calibração
“Conjunto de operações que estabelece, sob condições 
específicas, a relação entre os valores estabelecidos por 
um instrumento de medição e os valores estabelecidos 
por padrões”;
Levantar a tendência e a incerteza de medição do 
instrumento.
16
Conceitos Gerais em Medidas
Ajuste
“Operação destinada a fazer com que um instrumento 
de medição tenha desempenho compatível com seu 
uso”;
Reduzir a tendência do instrumento.
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Conceitos Gerais em Medidas
Correção
“Valor adicionado algebricamente ao resultado não 
corrigido de uma medição para compensar um erro 
sistemático”.
18
Conceitos Gerais em Medidas
Calibração Vs Correção Vs Ajuste
Calibrar = Conhecer as correções (tendência);
Corrigir = Somar a correção ao resultado da medição;
Ajustar = Eliminar a tendência do instrumento.
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Conceitos Gerais em Medidas
INSTRUMENTO DE MEDIÇÃO
TENDÊNCIA Incerteza deMedição da
Calibração
CORREÇÃO
RESULTADO
CORRIGIDO
Parcela de Contribuição da
Incerteza do Resultado
INCERTEZA DE 
MEDIÇÃO
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Existem funções cujo comportamento é perfeitamente
previsível. Estas funções são denominadas determinísticas. A
função f(x) = 2x-4 é uma função determinística uma vez que
seu valor está perfeitamente caracterizado quando x é definido.
O mundo real não é composto apenas por funções
determinísticas. Certas propriedades, como por exemplo a
resistência mecânica de um material, a vida de uma lâmpada, a
soma de dois dados não viciados jogados ao acaso, variam de
amostra para amostra. Um valor médio é obtido porém é
impossível prever exatamente qual o valor será encontrado na
própria amostra a ser testada
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Funções que apresentam imprevisibilidade são denominadas de
aleatórias. Como são imprevisíveis, não podem ser
equacionadas através dos recursos usuais da matemática
determinística. Ferramentas estatísticas são necessárias para
tal.
Neste curso, abordaremos a distribuição de probabilidade,
considerando que todos os valores dentro dos limites
estabelecidos (-a e +a) podem ocorrer. Para tal usaremos como
base o seguinte:
Caso1 : Valor de 1 dado não viciado
Caso2 : A soma dos valores de 2 dados não viciados
Caso3 : A soma dos valores de 3 dados não viciados
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Distribuição de Probabilidade
Caso 1 = Um dado não Viciado
Se lançarmos um dado não viciado, as chances de que o valor
do dado jogado ao acaso resulte em 1 são as mesmas do que
resultem em 2, 3, 4, 5 e 6. Em outras palavras, a probabilidade
é igual para todos os possíveis resultados.
Freqüência
1
Resultado1 2 3 4 5 6
23
Conceitos Básicos de Estatísticas
Probabilidade
P = TOTAL DE EVENTOS FAVORÁVEIS
TOTAL DE EVENTOS POSSÍVEIS
No exemplo com 1 dado:
A probabilidade de que o número 1 seja obtido como resultado
é de 1/6. O mesmo para os demais números.
24
Conceitos Básicos de Estatísticas
Distribuição de Probabilidade
Caso 2 = Dois dados não Viciados
A soma de dois dados não viciados pode resultar em qualquer
número entre 2 e 12. Embora exista apenas uma combinação
que resulte em 2 (1 + 1), nota-se que existem seis diferentes
combinações de dados cuja soma resulta em 7 (1+6, 2+5, 3+4,
4+3, 5+2, 6+1). Conseqüentemente, as chances da soma
resultar em 7 são maiores do que 2. No total são 36
combinações possíveis.
Conceitos Básicos de Estatísticas
1
Soma
2
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
4
5
6
Freqüência
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
16,67%2,78%
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Distribuição de Probabilidade
Caso 3 = Três dados não Viciados
A soma de dois dados não viciados pode resultar em qualquer
número entre 3 e 18. Embora exista apenas uma combinação
que resulte em 3 (1+1+1), nota-se que existem 27 diferentes
combinações de dados cuja soma resulta em 10.
Conseqüentemente, as chances da soma resultar em 10 são
maiores do que 3. No total são 216 combinações possíveis.
Conceitos Básicos de Estatísticas
Caso 3 = Três dados não Viciados
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Distribuição Retangular
Freqüência
1
Resultado1 2 3 4 5 6
a- a+
Quando não há conhecimento específico
sobre a distribuição, assume-se a distribuição
retangular como segurança.
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ConceitosBásicos de Estatísticas
Distribuição Retangular
A incerteza padrão considerando a distribuição retangular será:
É caracterizada por apresentar a mesma densidade de
probabilidade para todos os valores dentro dos limites dados
por “ - a” e “ + a”, e zero fora destes.
a- a+
3
)( axu i 
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Distribuição Triangular
a- a+
1
Soma
2
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
4
5
6
6
)( axu i 
31
Conceitos Básicos de Estatísticas
Distribuição Normal ou Gaussiana
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Distribuição Normal ou Gaussiana
ui é a incerteza padrão que corresponde a um desvio padrão.
Onde: s é o desvio padrão da amostra e n é o número de
medições.
x-s x+sx n
sxu i )(
33
Conceitos Básicos de Estatísticas
Considerando uma variável aleatória da qual n observações
independentes xi, foram obtidas sob as mesmas condições de
medição, podemos dizer que o valor esperado é a média
aritmética, conforme segue:
A variância experimental s2(xi) informa uma estimativa de
quanto as observações individuais diferem em valor por causa
das variações aleatórias intrínsecas do processo de medição.



n
i
ixn
x
1
1
1
)(
)( 1
2
2





n
xx
xs
n
i
i
i
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Conceitos Básicos de Estatísticas
Esta estimativa da variância s2(xi) e sua raiz quadrada positiva
s(xi), denominada desvio padrão experimental, caracterizam a
variabilidade dos valores xi observados, ou mais
especificamente, sua dispersão em torno da média x.
Assim, para uma grandeza de entrada xi determinada por n
observações repetidas independentes, podemos dizer que a
incerteza padrão da média é o desvio padrão experimental da
média.
1
)(
)( 1
2





n
xx
xs
n
i
i
in
xsxsxu iii
)()()( 
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Estimativa da Incerteza de Medição
Uma balança foi utilizada para medir o peso de um Peso 
Padrão Calibrado em 1000g. As indicações da balança 
foram:
X1 = 1014 g
X2 = 1016 g
X3 = 1015 g
Determine a incerteza padrão (em gramas) da balança com 
distribuição normal.
1015
1000 g
Estimativa da Incerteza de Medição
Xi = Indicação da 
Balança [g] Peso Padrão [g]
Erro de indicação 
[g]
x1 = 1014 1000
x2 = 1016 1000
x3 = 1015 1000
- 1000 Tendência =x
Desvio Padrão Experimental:
Incerteza Padrão com Distribuição Normal:
n
su 
1
)(
)( 1
2





n
xx
xs
n
i
i
i
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Estimativa da Incerteza de Medição
Xi = Indicação da 
Balança [g] Peso Padrão [g]
Erro de indicação 
[g]
x1 = 1014 1000 14
x2 = 1016 1000 16
x3 = 1015 1000 15
= 1015 - 1000 Tendência = 15 gx
Desvio Padrão Experimental: s = 1
Incerteza Padrão com Distribuição Normal:
g
n
su 577,0
3
1

38
Estimativa da Incerteza de Medição
Consultando um livro de física, encontramos uma tabela que 
informa os coeficientes de expansão térmica linear () de 
diversos tipos de metais e ligas. Nos interessa saber qual é o 
coeficiente do alumínio (Al).
A tabela informa que o Al pode assumir qualquer valor no 
intervalo de 23 a 27 m/m ºC.
Com as informações fornecidas, determine o valor esperado
para Al e a incerteza padrão associada ao valor esperado.
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Estimativa da Incerteza de Medição
Como não sabemos a distribuição da incerteza, usamos a 
distribuição retangular.
23
-2
27
+2
25
Cm
mx 
25
2
2723



22527 a
Cm
mau 
15,1
3
2
3
