Prova Antiga 2 Algebra Linear Gil Fidelix

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-73
1o. Semestre de 2013 – Primeira Avaliac¸a˜o
INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: Justifique, sem calcular diretamente, a raza˜o pela qual cada uma das matrizes abaixo possui determi-
nante nulo.
a)

1 2 1 2
2 1 2 1
1 −2 1 −2
3 3 3 3
 b)

1 2 5 2
2 1 10 0
1 −2 5 0
3 3 15 0

Questa˜o 2: Considere a matriz
A =
 2 1 01 2 0
0 0 3
 .
Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A − λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial. Para cada valor λ
encontrado, exiba a matriz soluc¸a˜o do sistema associado.
Questa˜o 3: Calcule o determinante da matriz AB sabendo que A ·
(
5 −4
3 4
)
=
(
4 6
3 11
)
e
(
5 −4
3 4
)
= B ·
(
8 −7
3 15
)
Questa˜o 4: No mercado existem treˆs tipos de argamassa, fixada a mesma quantidade (1kg) verificou-se que:
(i) A argamassa I tem 1 unidade de cal, 3 de cimento e 4 de areia.
(ii) A argamassa II tem 2 unidades de cal, 3 de cimento e 5 de areia.
(iii) A argamassa III tem 3 unidade de cal, 3 de areia e na˜o tem cimento. Se para tocarmos certo projeto sa˜o
necessa´rias 11 unidades de cal, 9 cimento e 20 de areia, quais sa˜o todas as poss´ıveis quantidades de argamassas
I, II e III que fornecem a mistura desejada