Elementos de Álgebra Gabriela1 EA 2015

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MA 673 – Elementos de Álgebra 
Professor: Fernando Eduardo Torres Orihuela 
Gabriela Felice Rocha RA: 135835 
 
 
 
 
Monografia: 
Grupos Solúveis 
 
 
 
 
 
Abril de 2015 
 
Sumário 
Introdução____________________________________________________________3 
Grupos e Subgrupos____________________________________________________4 
Noções Preliminares____________________________________________________5 
Grupos Solúveis_______________________________________________________6 
Referências Bibliográficas________________________________________________9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 Em Matemática, teoria de grupos é o ramo que estuda as estruturas algébricas 
chamadas de grupos. O conceito de grupo é fundamental para a álgebra abstrata: 
outras estruturas algébricas conhecidas, a exemplo dos anéis, campos e espaços 
vetoriais podem ser vistas como grupos, sendo dotadas de operações e axiomas 
adicionais. 
Grupos estão em todas as partes da matemática e os métodos da teoria de 
grupos influenciaram muito outros ramos da álgebra. Uma das mais importantes 
realizações matemáticas no século XX foi o esforço de colaboração, que ocupou 
milhares de páginas de periódicos, publicados em sua maioria entre as décadas de 60 
e 80, e resultou na classificação dos grupos simples finitos. 
Grupos são usados para capturar a simetria interna de uma estrutura na forma 
de automorfismos de grupo. Uma simetria interna está normalmente associada com 
alguma propriedade invariante, e o conjunto de transformações que preserva este 
invariante, juntamente com a operação de composição de transformações, forma um 
grupo de simetria. 
A teoria de Galois, que é a origem histórica do conceito de grupo, procura 
descrever as simetrias das equações satisfeitas pelas soluções de uma equação 
polinomial. Os grupos solúveis são assim chamados devido ao papel importante que 
possuem nesta teoria. 
 
 
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.GRUPOS E SUBGRUPOS 
Definição 1. Um conjunto com uma operação ( ) é um 
grupo se as condições seguintes são satisfeitas: 
(i) A operação é associativa, isto é, ( ) ( ) ; 
(ii) Existe um elemento neutro, isto é, tal que ; 
(iii) Todo elemento é inversível, isto é, tal que . 
O grupo é dito abeliano ou comutativo se: 
(iv) A operação é comutativa, isto é, . 
Definição 2. Seja ( ) um grupo. Um subconjunto não vazio de é um 
subgrupo de (denotamos ) quando com a operação de , o conjunto é um 
grupo, isto é, quando as seguintes condições são satisfeitas: 
(i) ; 
(ii) ( ) ( ) ; 
(iii) tal que ; 
(iv) Para cada , existe tal que . 
Observações. 
(1) A condição (ii) é sempre satisfeita, pois a igualdade ( ) ( 
 ) é válida para todos os elementos de . 
 
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(2) O elemento neutro de é necessariamente igual ao elemento neutro 
de . 
 (3) Dado , o inverso de em é necessariamente igual ao inverso de 
em . 
Proposição 1. Seja um subconjunto não vazio do grupo . Então é um 
subgrupo de se e somente se as duas condições a seguir são satisfeitas: 
(1) 
(2) 
NOÇÕES PRELIMINARES 
 Definição 3. Seja um grupo. Uma série subnormal de é uma cadeia de 
subgrupos 
 { } ( ) 
onde é um subgrupo normal de para . 
 Os grupos quocientes da série ( ) são os grupos ⁄ , para . 
Numa série subnormal, o mesmo subgrupo pode ser repetido, e, portanto alguns dos 
grupos quocientes podem ser triviais. 
 Um refinamento da série subnormal ( ) é uma série subnormal obtida a partir de 
( ) pela inserção de alguns (possivelmente nenhum) subgrupos. O refinamento é 
próprio se algum subgrupo diferente dos existentes for colocado na série. 
 
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 A série subnormal ( ) é uma série de composição se ela não admite um 
refinamento próprio. 
 Definição 4. Sejam 
 { } ( ) 
e 
 { } ( ) 
duas séries subnormais de . Elas são ditas equivalentes se existir uma bijeção entre 
os grupos quocientes não-triviais da série ( ) e os da série ( ) tal que os grupos 
quocientes correspondentes são isomorfos. 
 Teorema 1. (Teorema de Schreier). Duas séries subnormais de um grupo 
possuem refinamentos que são equivalentes. 
 Teorema 2. (Teorema de Jordan-Hölder). Seja um grupo. Então todas as 
séries de composição de são equivalentes. 
GRUPOS SOLÚVEIS 
Os grupos finitos que possuem uma série de composição cujos grupos 
quocientes são cíclicos de ordem prima são particularmente importantes na resolução 
de equações algébricas. Vamos ver algumas propriedades desses grupos. 
Se são dois subgrupos de um grupo , definimos seu grupo de 
comutadores por [ ] ⟨ | ⟩; em particular, o grupo dos 
 
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comutadores é igual a [ ]. Definimos, por indução, ( ) e ( ) [ ( ) ( )], 
ou seja, ( ) é o subgrupo dos comutadores do grupo ( ), para cada . 
Proposição 2. Seja um grupo. As seguintes condições são equivalentes: 
(i) O grupo possui uma série subnormal cujos grupos quocientes são 
abelianos. 
(ii) Existe um inteiro tal que ( ) { }. 
No caso de ser finito, elas também são equivalentes a: 
(iii) O grupo possui uma série de composição cujos grupos quocientes são 
abelianos (e portanto, são cíclicos de ordem prima). 
Definição 5. Um grupo é dito solúvel se ele satisfaz as condições equivalentes 
da proposição 2. 
Definição 6. Uma série de subgrupos de um grupo 
 { } 
é dita uma série normal de se temos , para cada índice . Em 
particular, uma série normal de também é uma série subnormal de . 
 Observações. 
(1) A série ( ) ( ) ( ) { } é uma série normal de cujos 
grupos quocientes são abelianos. 
 
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(2) O grupo possui uma série subnormal cujos grupos quocientes são cíclicos 
de ordem prima; no entanto, o grupo , em geral, não possui uma série 
normal cujos grupos quocientes sejam cíclicos de ordem prima. Quando o 
grupo possuir tal série, ele é dito supersolúvel. 
Proposição 3. 
(i) Subgrupo e imagem homomórfica de grupo solúvel são solúveis; 
(ii) Se e ambos, e 
 
 
 são solúveis, então é solúvel; 
(iii) Produto direto de grupos solúveis é solúvel; 
(iv) Todo p-grupo finito é solúvel; 
(v) Se for um grupo finito, então todo subgrupo normal minimal de é um 
p-grupo abeliano elementar para algum primo p. 
Teorema 3. Seja um grupo. 
(1) Seja um subgrupo de . Se é solúvel, então é solúvel. 
(2) Seja um subgrupo normal de . Então, o grupo é solúvel se e somente 
se os grupos e 
 
 
 são solúveis. 
Teorema 4. (P. Hall, 1928). Seja um grupo solúvel finito de ordem com 
( ) . Então: 
(1) Existe um subgrupo de de ordem . 
 
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(2) Todos os subgrupos de de ordem são conjugados entre si. 
(3) Se é um subgrupo de tal que | | divide , então existe um subgrupo 
de com | | tal que . 
Teorema 5. (P. Hall, 1934). Seja um grupo finito com a seguinte propriedade: 
para todo inteiro tal que | | com ( ) , existe um subgrupo de de ordem 
 . Então, é solúvel. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. 6ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2013. 
363 p. 
EBLING, A. Crescimento de grupos solúveis e grupos virtualmente nilpotentes. 
Dissertação de mestrado. Universidade Federal Fluminense (UFF). 
BEEM, L. Umageneralização do critério de solubilidade de Thompson. Dissertação de 
mestrado. Universidade Estadual de Maringá (UEM), 2008. 
SILVEIRA, D.S. Grupos solúveis e nilpotentes. Universidade Federal de Minas Gerais 
(UFMG), 2010. 
Teoria dos Grupos. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grupos. 
Acesso em 02 abril 2015.