Elementos de Álgebra Thiago1 EA 2015

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MA673 - Elementos de Álgebra 
 
 
1o semestre - 2015 
 
 
 
 
 
Monografia 1: 
 
Polinômios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: Thiago Barroso Fonte Boa 
RA: 992513 
 
 
 
Polinômios 
 
 Vamos estabelecer um anel de polinômios na variável x por F[x], em que todos 
os elementos desse anel podem ser expressos por 
n
n
2
210 xaxaxaa ......  
, com n inteiro não negativo e os coeficientes n210 aaaa ...,,,, são números reais. 
 Para que F[x] seja um anel, devemos verificar quando dois de seus elementos 
são iguais, além de somar e multiplicar elementos de tal forma que valham os axiomas 
que definem um anel. Assim, temos: 
 
Definição (Igualdade de polinômios): Sejam dois polinômios p(x) e q(x) pertencentes 
a F[x], dados por : 
p(x) = mm
2
210 xaxaxaa ......  e q(x) = nn2210 xbxbxbb ......  
; diz-se que p(x) = q(x) se, e somente se, ii ba  para todo i inteiro não negativo. De 
outra forma, temos 
p(x) = q(x) Zi0iba ii  ,, 
 
 Aos valores ia e ib chamamos de coeficientes dos polinômios. Pode-se então 
perceber que dois polinômios são iguais caso seus coeficientes para os valores 
correspondentes das potências de x são iguais. 
 
Definição (Adição de polinômios): Sejam dois polinômios p(x) e q(x) pertencentes a 
F[x], dados por: 
p(x) = mm
2
210 xaxaxaa ......  e q(x) = nn2210 xbxbxbb ......  
; define-se p(x) + q(x) = tt
2
210 xcxcxcc ......  , de tal forma que iii bac  
para todo i inteiro não negativo. 
 
 É interessante notar que, caso desejemos somar dois polinômios em que um 
deles aparentemente não apresente algum coeficiente para uma potência de x, adota-
se o coeficiente nulo. Por exemplo, dados os polinômios p(x) = 3x5x42 ..  e 
q(x) = 2x7x63 ..  , pode-se interpretar que eles também estariam corretamente 
representados como p(x) = 32 x5x0x42 ...  e q(x) = 32 x0x7x63 ...  , e 
sua soma seria dada por p(x) + q(x) = 32 x5x7x21 ...  . 
 
Definição (Multiplicação de polinômios): Sejam dois polinômios p(x) e q(x) 
pertencentes a F[x], dados por : 
p(x) = mm
2
210 xaxaxaa ......  e q(x) = nn2210 xbxbxbb ......  
; define-se p(x).q(x) = tt
2
210 xcxcxcc ......  , de tal forma que 
k022k11k0kk babababac .......   . 
 
 Esta definição se utiliza do fato de que   xxx . . Desta forma, caso por 
exemplo se tome um coeficiente 3a de p(x) que está associado à potência 
3
x , e um 
coeficiente 7b de q(x) que está associado à potência 
7
x , o produto 3a . 7b terá de 
constar da constituição do coeficiente 10c do polinômio p(x).q(x) (uma vez que 
107373
xxxx  . ). 
 Assim tem-se F[x] constituído como um anel. Além disso, como F[x] possui um 
elemento neutro para a operação de multiplicação (a saber n(x) = 1), é comutativo em 
relação à multiplicação (p(x).q(x) = q(x).p(x)) e dados dois elementos p(x) e q(x) de F[x], 
p(x).q(x) = 0 implica p(x) = 0 ou q(x) = 0, diz-se que F[x] é um anel de integridade. 
 Para polinômios não nulos pode-se determinar seu grau. 
 
Definição (Grau de um polinômio): Seja o polinômio não nulo 
p(x) = nn
2
210 xaxaxaa ......  , com 0an  ; o grau de p(x), representado por 
gr p(x) ou por  p(x), será igual a n. 
 
 Pode-se então dizer que o grau do polinômio é a maior potência de x para a qual 
seu coeficiente correspondente é diferente de zero. Dada a definição de multiplicação 
de polinômios, é fácil verificar o lema que segue. 
 
Lema (Grau do produto de polinômios): Dados dois polinômios não nulos p(x) e q(x) 
em F[x], o grau do produto p(x).q(x) será dado por gr (p(x).q(x)) = gr p(x) + gr q(x). 
 
 Estabelece-se também uma relação envolvendo divisão de polinômios de forma 
análoga ao que é feito quando operando-se com números inteiros. 
 
Lema (Algoritmo da divisão): Dados dois polinômios não nulos p(x) e q(x) em F[x], 
devem existir dois polinômios s(x) e r(x) em F[x] tais que 
p(x) = s(x).q(x) + r(x) 
em que r(x) é nulo ou gr r(x) < gr q(x). 
 
 Com isso, diz-se que F[x] é um anel euclidiano. 
 
Definição (Irredutibilidade de um polinômio): Um polinômio p(x) em F[x] é dito 
irredutível em F se, sempre que se tenha a identidade p(x) = a(x).b(x), com a(x) e b(x) 
em F[x], gr a(x) = 0 ou gr b(x) = 0. 
 
 Portanto, um polinômio p(x) será irredutível se dado p(x) = a(x).b(x), um dos 
polinômios, a(x) ou b(x), for uma constante. A irredutibilidade do polinômio está 
associada ao corpo em questão. Por exemplo, o polinômio p(x) = 1x2  é irredutível 
sobre o corpo real; no entanto não será irredutível sobre o corpo complexo, pois 
p(x) = 1x2  =   ixix  . , com i sendo a unidade imaginária. 
 
Definição (Polinômio primitivo): Um polinômio f(x) = nn
2
210 xaxaxaa ......  , 
onde n210 aaaa ...,,,, são valores inteiros, é chamado primitivo se o máximo divisor 
comum de n210 aaaa ...,,,, vale 1. 
 
 Assim, dados n210 aaaa ...,,,, inteiros, se mdc( n210 aaaa ...,,,, ) = 1, então o 
polinômio é chamado de polinômio primitivo. 
 
Lema: Se f(x) e g(x) são polinômios primitivos, então f(x).g(x) é um polinômio primitivo. 
 
Demonstração: Sejam os polinômios f(x) = mm
2
210 xaxaxaa ......  e 
g(x) = nn
2
210 xbxbxbb ......  . Vamos demonstrar por absurdo. Partamos do 
princípio de que o lema seja falso, ou seja, de que todos os coeficientes de f(x).g(x) 
sejam divisíveis por algum inteiro maior que 1, em particular por algum número primo p. 
Uma vez que f(x) é primitivo, p não divide algum dos coeficientes ia . Seja ja o 
primeiro coeficiente de f(x) não divisível por p. De forma análoga, consideremos kb o 
primeiro coeficiente de g(x) não divisível por p. Em f(x).g(x) o coeficiente da potência 
kj
x
 é dado por: 
)......(
)......(.
kj02k2j1k1j
0kj2k2j1k1jkjkj
bababa
babababac




 
 Como, de acordo com nossa escolha de kb , p não divide kb , temos que p 
divide todos os coeficientes que antecedem kb . Dessa forma, ,..., 2k1k bbp  
implica que )......( 0kj2k2j1k1j bababap   . De maneira análoga, pela 
escolha feita de ja , p divide todos os coeficientes que antecedem ja . Assim, temos 
que )......( jk02k2j1k1j bababap   . Por hipótese kjcp  ; dessa forma, 
olhando-se para o coeficiente da potência kjx  temos que kj bap . , um absurdo uma 
vez que jap e kbp . 
 
Definição (Conteúdo de um polinômio): Seja o polinômio 
f(x) = mm
2
210 xaxaxaa ......  , onde n210 aaaa ...,,,, são valores inteiros. O 
conteúdo do polinômio f(x) é o máximo divisor comum dos inteiros n210 aaaa ...,,,, . 
Portanto, chamando o conteúdo do polinômio de d, temos que 
d = mdc ( n210 aaaa ...,,,, ). 
 
 Assim, qualquer que seja o polinômio p(x) de coeficientes inteiros, p(x) pode ser 
escrito na forma p(x) = d.q(x), com d sendo o conteúdo de p(x) e q(x) um polinômio 
primitivo. 
 
Teorema (Lema de Gauss): Se o polinômio primitivo f(x) pode ser fatorado como o 
produto de dois polinômios com coeficientes racionais, então ele pode ser fatorado 
como o produto de dois polinômios com coeficientes inteiros. 
 
Demonstração: Seja o polinômio f(x) = u(x).v(x) em que u(x) e v(x) têm coeficientes 
racionais. Reduzindo ao mesmo denominador e colocando em evidência os fatores 
comuns podemos escrever f(x) = )().(. xx
b
a 


, com a e b inteiros e os polinômios 
)(x e )(x são primitivos com coeficientes inteiros. Assim, tem-se que 
b.f(x) = )().(. xxa  . O conteúdo do primeiro membro da equação é igual a b, uma vez 
que o polinômio f(x) é primitivo; como )(x e )(x são primitivos, o produto 
)(x . )(x é primitivo; desse modo, o conteúdo do segundo membro da equação éigual a a. Portanto, a = b  


b
a
=1 e f(x) = )().( xx  , com )(x e )(x com 
coeficientes inteiros. 
 
Definição (Polinômio inteiro e unitário): Um polinômio é chamado de inteiro e 
unitário se todos os seus coeficientes são inteiros e o coeficiente do termo de maior 
grau é igual a 1. 
 
 Então um polinômio na forma 01
1m
1m
m axaxax   ..... , com 
1m210 aaaa ...,,,, inteiros é inteiro e unitário. Dado um polinômio inteiro e unitário, é 
evidente que ele é primitivo. 
 
Considerações 
 
 Nosso intuito foi considerar os anéis de polinômios e várias definições 
associadas a eles. 
 Trata-se de um assunto bastante interessante e que apresenta várias 
similaridades com a maneira de se apresentar os polinômios ao longo da educação 
básica. 
 Vários assuntos relacionados a anéis podem ser encontrados nas referências. 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Domingues, Hygino et al. Álgebra moderna: volume único. Atual, 2008. 
Hefez, Abramo. Curso de álgebra, volume 1. Impa, 1993. 
Hernstein, I. Tópicos de álgebra. Editora da Univ. e Polígono. 1970. 
Judson, Thomas W. Abstract algebra: theory and applications. 2011.