Prova Antiga 3 Algebra Linear Gil Fidelix

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
2o Semestre de 2009 – Exerc´ıcios
15/09/2009 – 13h30 - 15h10
Questa˜o 1: Justifique, sem calcular diretamente, a raza˜o pela qual cada uma das matrizes abaixo possui
determinante nulo.
a)

1 2 1 2
2 1 2 1
1 −2 1 −2
3 3 3 3
 b)

1 2 5 2
2 1 10 0
1 −2 5 0
3 3 15 0

Questa˜o 2: Dado o sistema linear AX = B, abaixo, homogeˆneo
1 2 0 −1
1 0 2 −1
1 2 2 −1
3 4 4 −3
 ·

x
y
z
w
 =

2
2
4
8
 .
(a) Encontre uma soluc¸a˜o Y do sistema sem resolveˆ-lo (atribua valores a`s varia´veis).
(b) Resolva o sistema linear homogeˆneo AX = 0, sendo A e X como acima.
(c) Seja Z = X0+ Y , em que X0 e´ uma soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo em (b) e Y e´ a soluc¸a˜o encontrada
em (a). Verifique que Z e´ soluc¸a˜o do sistema AX = B.
Questa˜o 3: Determine valores de λ ∈ R tais que o sistema (A−λI4)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o trivial, sendo
A =

−1 0 0 0
2 1 0 0
7 −5 6 0
0 −4 0 3

Questa˜o 4: Classifique como verdadeiro ou falso cada um dos itens abaixo, justificando no caso em que o
item for verdadeiro e atrave´s de um contra-exemplo quando o item for falso. As matrizes dos itens abaixo
sa˜o quadradas.
(a) det(A+B) = detA+ detB.
(b) (ABt)t = BAt.
(c) Se A = PBP−1, enta˜o detA = detB
(d) (A−B)2 = A2 − 2AB +B2 e (A+B)(A−B) = A2 −B2
Questa˜o 5:
(a) Calcule o determinante da matriz A sabendo que
A ·
(
5 −4
3 4
)
=
(
4 6
3 11
)
(b) Seja a matriz B =
( −2 4
−1 5
)
. Determine Bt, B−1, det(Bt) e det(B−1).