Mecânica geral

Prévia do material em texto

Mecaˆnica Geral (MEG)
Luciano Camargo Martins
Departamento de Fı´sica
Grupo de Dina^mica N~ao Linear e Sistemas Dina^micos N~ao Lineares
UDESC-Joinville-SC, Brasil
dfi2lcm@joinville.udesc.br
http://www.lccmmm.hpg.com.br
Revisa˜o 0.0.3 de 25 de janeiro de 2005
Prefa´cio
Apresentamos nesta apostila, um resumo da teoria e alguyns exerc´ıcios resolvidos especialmente
selecionados para o curso de Mecaˆnica Geral da UDESC-Joinville. A apostila segue a mesma
estrutura do livro texto Mecaˆnica, de K. R. Symon, pore´m o texto foi enriquecido com exemplos
retirados de outras refereˆncias bibliogra´ficas1.
Alguns exemplos resolvidos foram bastante detalhados e ilustrados, a fim de demosntrar ao aluno
a abordagem mais refinada que se da´ no estudo da Mecaˆnica Geral, mesmo a problemas simples
e elementares.
Tendo-se a pacieˆncia de ler os exerc´ıcios resolvidos, o aluno tera´ melhor visa˜o do que se espera
de uma “soluc¸a˜o”de um problema de f´ısica no aˆmbito da Mecaˆnica Cla´ssica, e por extensa˜o, de
qualquer outra a´rea da F´ısica.
Ao final do texto, nos apeˆndices, esta˜o tabelas de fo´rmulas e expresso˜es espec´ıficas para cada um
dos sistemas de coordenadas mais usados neste curso, sa˜o eles: o sistema cartesiano, o esfe´rico e
o cil´ındrico.
Bom estudo e divirtam-se!
Professor Luciano Camargo Martins
Joinville, 25 de janeiro de 2005
1Veja-se as refereˆncias bibliogra´ficas.
i
Suma´rio
1 Elementos de Mecaˆnica Newtoniana 1
1.1 Mecaˆnica, uma cieˆncia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cinema´tica, a descric¸a˜o do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Dinaˆmica, massa e forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 As leis do movimento, de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1 Alguns comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Gravitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Uma Forc¸a Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Unidades e dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6.1 Notac¸a˜o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Alguns problemas elementares de Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Movimento Unidimensional de uma Part´ıcula 14
A Sistemas de Coordenadas 28
A.1 Coordenadas Cartesianas (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.1.1 Posic¸a˜o, Velocidade, Acelerac¸a˜o, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.1.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a˜o escalar ϕ = ϕ(x, y, z) . . . . . . . . 29
A.1.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Ax i + Ay j + Az k . . 29
A.1.4 A Regra da Ma˜o Direita para o produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 29
A.2 Coordenadas Cil´ındricas (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.2.1 Posic¸a˜o, Velocidade, Acelerac¸a˜o, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.2.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a˜o escalar f = f(ρ, ϕ, z) . . . . . . . . 31
A.2.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Aρ uρ + Aϕ uϕ + Az k 31
A.3 Coordenadas Esfe´ricas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.3.1 Posic¸a˜o, Velocidade, Acelerac¸a˜o, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.3.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a˜o escalar f = f(r, θ, ϕ) . . . . . . . . 33
A.3.3 Divergente e Rotacional e um vetor A = Ar ur + Aθ uθ + Aϕ uϕ . . . . . . 33
0
Cap´ıtulo 1
Elementos de Mecaˆnica Newtoniana
1.1 Mecaˆnica, uma cieˆncia exata
A Mecaˆnica e´ a parte da F´ısica que descreve e prediz as condic¸o˜es de repouso ou movimento de
corpos sob a ac¸a˜o de forc¸as.
O problema geral da mecaˆnica. Dadas as condic¸o˜es iniciais (posic¸o˜es e velocidades) dos corpos
de interesse (sistema mecaˆnico em estudo), as forc¸as que atuam sobre estes corpos e as equac¸o˜es
ba´sicas que devem ser satisfeitas (leis de Newton) em geral quer-se encontrar, em qualquer instante
futuro, as novas posic¸o˜es e velocidades destes corpos.
Neste sentido, diz-se que a Mecaˆnica e´ determin´ıstica pois as equac¸o˜es admitem em geral apenas
uma soluc¸a˜o, e em condic¸o˜es ideais, seria enta˜o poss´ıvel se predizer o futuro de um sistema
mecaˆnico, desde fosse poss´ıvel resolver analiticamente as equac¸o˜es de Newton do sistema, o que
em geral e´ imposs´ıvel. Apenas para alguns poucos sistemas muito simplificados sera´ poss´ıvel uma
descric¸a˜o exata, sendo em geral, baseados em modelos muito irreais. Por exemplo, uma part´ıcula
em queda livre pode ser idealizada, modelada e seu movimento completamente determinado, em
condic¸o˜es ideais onde muitas simplificac¸o˜es sa˜o feitas. A pergunta e´ a seguinte, poderemos observar
esse tipo de sistema no mundo real e o seu comportamento mecaˆnico sera´ o mesmo?
1.2 Cinema´tica, a descric¸a˜o do movimento
Repouso e movimento sa˜o conceitos relativos, isto e´, dependem da escolha de um referencial onde
esta´ o observador. Assim, para descrever um dado movimento, um observador deve definir um
sistema de refereˆncia, ou referencial, a partir do qual ele fara´ as medic¸o˜es necessa´rias para a o
estudo do movimento de interesse.
Num dado refencial O, um observador pode medir a passagem de uma part´ıcula num ponto de
coordenadas (x, y, z) num dado instante t. Um outro observador num outro referencial O ′, observa
o mesmo fenoˆmeno e determina que a part´ıcula estava no ponto (x′, y′, z′) no instante t′, marcado
no seu relo´gio local. Ambos observaram a mesma part´ıcula, mas podem chegar a concluso˜es
diferentes. Por exemplo, um deles pode concluir, apo´s uma segunda medic¸a˜o, que a part´ıcula esta´
em repouso, e o outro que ela esta´ em movimento. Ambos podem estar certos, e descrevem o
movimento relativo da part´ıcula visto de cada um dos dois referenciais O e O ′ simultanamente.
A Mecaˆnica Cla´ssica baseia-se nessa ide´ia de Galileu, de que o espac¸o e´ relativo, ou seja, depende
do referencial adotado, pore´m o tempo e´ absoluto e universal e na˜o depende do referencial usado.
Para os observadores da part´ıcula no caso exposto acima, mesmo que ambos tivessem leituras
diferentes em seus relo´gios, estaria determinando o mesmo instante universal, se seus relo´gios
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 2
estivessem sincronizados.
Mesmo com medic¸o˜es diferentes no espac¸o e no tempo, Galileu imaginou que as leis da natureza
deveriam ser invariantes, ou seja, ter a mesma foema matema´tica em qualquer referencial que se
movam com velocidade constante, uns em relac¸a˜o aos outros, os ditos referenciais inerciais.
Considerando-se que as coordenadas (x, y, z, t) de uma part´ıcula podem assumir qualquer valor
real, ou seja, sa˜o varia´veis cont´ınuas, podemos usar o ca´lculo diferencial e definir as velocidades
vx =
dx
dt
, vy =
dy
dt
e vz =
dz
dt
(1.1)
e acelac¸o˜es
ax =
dvx
dt
=
d2x
dt2
, ay =
dvy
dt
=
d2y
dt2
e az =
dvz
dt
=
d2z
dt2
(1.2)
ao longo dos eixos X, Y e Z do referencial O usado.
Ou seja, as func¸o˜es x(t), y(t) e z(t) descrevem completamente o movimento da part´ıcula ao
longo dos respectivos eixos espaciais, e portanto, o seu movimento no espac¸o fica completamente
determinado, e pode ser descrito pelo vetor de posic¸a˜o
v(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.3)
numa base cartesiana ortonormal {i, j,k}. Como sera´ visto nos cap´ıtulos seguintes, existem outras
bases vetoriais poss´ıveis para representar o vetor r(t), e as mas usadas ale´m da cartesiana, sa˜o a
base cil´ındrica e a base esfe´rica.
1.3 Dinaˆmica, massa e forc¸a
Os conceitos de massa, ine´rcia e forc¸a sa˜o fundamentaisna Mecaˆnica de Newton, sa˜o conceitos
primitivos, ou seja na˜o derivados. Tais conceitos prove´m intuitivamente da experimentac¸a˜o cui-
dadosa feita em laborato´rio, usando-se diferentes corpos e medindo-se os efeitos causados nos seus
movimentos durante coliso˜es, por exemplo.
Dessa experimentac¸a˜o meticulosa e exaustiva, pode-se concluir que, para dois corpos de massas
mA e mB, por exemplo, as acelerac¸o˜es sofridas esta˜o na raza˜o inversa de suas massas, ou seja:
mA
mB
=
aB
aA
(1.4)
ou ainda, podemos dizer que mA aA = mB aB = constante. A essa constante chamamos de “forc¸a”.
1.4 As leis do movimento, de Newton
Revisa˜o das leis de Newton, desenvolvidas em 1687, para corpos de massa constante:
Primeira lei de Newton. Um corpo permanece em repouso ou com velocidade constante (acelerac¸a˜o
zero) quando abandonado a si mesmo, isto e´, quando forc¸as externas na˜o atuam sobre ele.
a = 0⇐⇒ F = 0 (1.5)
Esta e´ a chamada lei da ine´rcia, pois o estado de movimento (velocidade) de um corpo so´ sera´
alterado se alguma forc¸a externa na˜o nula atuar sobre o corpo. Observe que, a partir desta lei,
podemos concluir que um corpo pode se mover indefinidamente (por ine´rcia) mesmo que nenhuma
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 3
forc¸a atue sobre ele, ou seja, na˜o e´ necessa´rio a presenc¸a de uma forc¸a para manter um corpo em
movimento, ou em repouso, num caso particular de movimento.
Segunda lei de Newton. A forc¸a total (ou resultante) s0bre um corpo e´ o produto da massa m do
corpo vezes a sua acelerac¸a˜o a:
F = ma (1.6)
Esta lei tambe´m e´ conhecida como princ´ıpio funcamental da Mecaˆnica, pois, no caso de haver uma
forc¸a resultante sobre um corpo, ela permite se determinar qual a acelerac¸a˜o que este corpo tera´,
ou seja, com que taxa temporal o seu estado de movimento sera´ alterado.
Observe tambe´m que a acelerac¸a˜o sofrida pelo corpo de massa m, para uma dada forc¸a resultante
F, sera´ inversamente proporcional a` sua massa. Neste sentido, dizemos que a massa de um corpo
e´ uma mediade de sua ine´rcia.
a =
F
m
(1.7)
Ou seja, quanto maior a massa de um corpo (maior sua ine´rcia) menor o efeito causado pela
forc¸a sobre ela (acelerac¸a˜o). Observe tambe´m que a acelerac¸a˜o a sofrida pelo corpo sera´ sempre
proporcional a` forc¸a resultante F, e portanto estes vetores tera˜o sempre a mesma direc¸a˜o e o
mesmo sentido, uma vez que a massa m sera´ sermpre positiva.
Mas cuidado, na˜o se pode descrever o movimento de uma part´ıcula de massa nula, sob a ac¸a˜o de
uma forc¸a resultante na˜o nula, pois ter´ıamos uma acelerac¸a˜o infinita, o que na˜o tem sentido f´ısico.
Terceira lei de Newton. Sempre que dois corpos 1 e 2 interagem, a forc¸a F12, que o corpo 1 exerce
sobre o corpo 2, e´ igual e oposta a` forc¸a F21, que o corpo 2 exerce sobre o copor 1:
F12 = −F21 (1.8)
Essa lei e´ chamada de lei de aca˜o e reac¸a˜o, e segundo ela, as forc¸as de contato que ocorrem em
coliso˜es, por exemplo, aparecem sempre aos pares. Desta forma na˜o e´ poss´ıvel se produzir uma
forc¸a sem que uma reac¸a˜o contra´ria tambe´m surja. Observe que esse par de forc¸a em geral na˜o
tuam no mesmo corpo, na˜o se anulando, portanto. E´ claro que as forc¸as sa˜o indistigu´ıveis, ou
seja, na˜o faz diferenc¸a qual das forc¸as chamamos de ac¸a˜o, ou reac¸a˜o.
1.4.1 Alguns comenta´rios
Existem limitac¸o˜es para a validade da terceira lei, pois ela pressupo˜e que as forc¸as sejam medidas
instantaneamente, ou seja, que as part´ıculas na˜o se movam muito durante o tempo da colisa˜o.
Esta aproximac¸a˜o e´ muito boa para uma colisa˜o de dois automo´veis, pois o intervalo de tempo
da colisa˜o e´ muito maior do que o tempo que um raio de luz leva para atravessar um automo´vel
amassado de tamanho L:
∆t ≈ L
c
≈ 3, 0 m
3, 0× 108 m/s ≈ 10
−8 s (1.9)
Essa aproximac¸a˜o na˜o funciona bem para coliso˜es de part´ıculas atoˆmicas de alta energia, por
exemplo.
As duas primeiras leis valem somente quando se observa o corpo em sistemas de refereˆncia na˜o
acelerados, como mostra a nossa experieˆncia dia´ria. Para um corpo permanecer em equil´ıbrio
num sistema acelerado, num oˆnibus freando, por exemplo, e´ necessa´rio que atue sobre ele uma
forc¸a. Na˜o havendo essa forc¸a, o corpo na˜o ira´ frear junto com o oˆnibus, mentendo sua velocidade
constante, para um observador fora do oˆnibus, ou seja, o corpo sera´ lanc¸ado para a frente, podendo
mesmo sair pelo parabrisa do oˆnibus.
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 4
1.5 Gravitac¸a˜o
A lei da gravitac¸a˜o universal, proposta por Newton em 1685, e´ um modelo matema´tico para
descrever a interac¸a˜o entre massas de pequenas dimenso˜es (part´ıculas), e pode ser usada para
explicar desde o mais simples fenoˆmeno, como a queda de um corpo pro´ximo a` superf´ıcie da
Terra, ate´, o mais complexo, como as forc¸as entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas
o´rbitas e os diferentes movimentos.
Segundo a lenda, ao observar a queda de uma mac¸a˜, Newton ficou intrigado ao ver a Lua no ce´u
e teria se perguntado porqueˆ a Lua na˜o cai, como a mac¸a˜. Ele investigou a hipo´tese de que ela
ambas, Lua e mac¸a˜, deveriam ser atra´ıdas pela Terra, segundo uma mesma lei simples, e chegou
na famosa lei de gravitac¸a˜o. A natureza desta forc¸a atrativa e´ a mesma que deve existir entre a
Terra e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atrac¸a˜o entre as massas e´ um fenoˆmeno
universal.
1.5.1 Uma Forc¸a Elementar
Sejam duas part´ıculas de massas m1 e m2, separadas por uma distaˆncia r. Segundo Newton, a
intensidade da forc¸a F de atrac¸a˜o entre as massas e´ dada por
F = G
m1m2
r2
(1.10)
onde G e´ uma constante, a constante da gravitac¸a˜o universal, sendo seu valor expresso, no Sistema
Internacional, por
G = 6, 67× 10−11 N ·m2/kg2 (1.11)
�
��
�
�
��
�
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
���������������������������������������������������
�������������
�������������
�������������
�������������
�������������
�������������
�������������
�������������
	�	�	�	�	�	�	
	�	�	�	�	�	�	
	�	�	�	�	�	�	
	�	�	�	�	�	�	
	�	�	�	�	�	�	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
F
m
m2
1
12
21
F
Figura 1.1: Duas part´ıculas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem a
um par de forc¸as F12 e F21.
As forc¸as F12 e F21 e´ a da reta que une as part´ıculas, e o sentido tal que as massas sempre se
atraem mutuamente, com mesma intensidade de forc¸a, ou seja
F12 = F21 (1.12)
Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitac¸a˜o universal do seguinte modo:
Dois corpos se atraem gravitacionalmente com forc¸a cuja intensidade e´ diretamente
proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da
distaˆncia entre seus centros de massa.
Apo´s a formulac¸a˜o da lei da Gravitac¸a˜o, com o desenvolvimento do ca´lculo integral, Newton
tambe´m mostrou que a forc¸a gravitacional entre esferas homogeˆneas tambe´m segue a mesma
forma estabelecida para as part´ıculas. E tambe´m vale a mesma forc¸a para uma part´ıcula e uma
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 5
esfera homogeˆnea. Esse resultado foi ta˜o surpreendente para o proo´prio Newton, que inicialmente
nem ele acreditou no que havia provado matematicamente!
Aplicando-se a lei de gravitac¸a˜o para um corpo de massa m na superf´ıcie da Terra, temos enta˜o
F = G
MTm
R2T
=
GMT
R2T
m = mg = P
onde RT e MT sa˜o o raio e a massa da Terra, respectivamente, e a` forc¸a obtida chamamos peso.
Medidas atuais mostram que MT = 5, 98×1024 kg e RT = 6, 37×106 m. A constante g que aparece
acima e´ justamente a acelerac¸a˜o da gravidade na superf´ıcie da Terra. Experimente calcular g com
os dados fornecidos!
Observac¸o˜es importantes
1. A forc¸a gravitacional e´ sempre atrativa;
2. A forc¸a gravitacional na˜o depende do meio onde os corpos se encontram imersos;
3. A constante da gravitac¸a˜o universal G teve seu valor determinado experimentalmente por
Henry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balanc¸a de torc¸a˜o e
esferas de chumbo.
Pense e Responda!
• Qual a direc¸a˜o e o sentido da forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional exercida pela Terra sobre os
corpos que esta˜o pro´ximos a` superf´ıcie?
• A acelerac¸a˜o da gravidade na Lua e´ 6 vezes menor do que a acelerac¸a˜o da gravidade pro´xima
a` superf´ıcie da Terra. O que acontece com o peso e a massa de um astronauta na Lua?
• O valor da acelerac¸a˜o da garvidade e´ relevante para os esportes?
1.6 Unidades e dimenso˜es
Neste curso usaremos preferencialmente o Sistema Internacional de Unidades (SI) para representar
as medidas nume´ricas das grandezas fundamentais da Mecaˆnica:
grandeza dimensa˜o unidade SI s´ımbolo
comprimento L metro m
massa M kilograma kg
tempo T segundo s
velocidade LT−1 metro por segundo m/s
acelerac¸a˜o LT−2 metro por segundo, por segundo m/s2
forc¸a MLT−2 newton N = kg ·m/s2
momento linear MLT−1 newton vezes segundo N · s = kg ·m/s
Sempre que um problema envolva ca´lculos nume´ricos, usaremos a notac¸a˜o cient´ıfica para repre-
sentar as medidas (intensidades) das grandezas envolvidas.
Muitos dos exerc´ıcios e problemas do final de cada cap´ıtulo do livro texto do curso [1], sa˜o bastante
similares, de modo que o aluno deve escolher apenas um de cada tipo para atividade de casa.
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 6
Sugerimos ao aluno, ler sempre a parte teo´rica e os exemplos feitos no livro texto, antes de tentar
resolver os problemas escolhidos, relativos a uma determinada sec¸a˜o do livro texto, ou cap´ıtulo.
A discussa˜o e estudo em grupo de alunos pode ser feita, pore´m cada aluno deve finalmente ser
capaz de responder por escrito a cada um dos problemas estudados, com suas pro´prias palavras.
Para a completa e correta soluc¸a˜o dos problemas propostos, o aluno devera´ formular as hipo´teses
necessa´rias e suficientes para desenvolver seus ca´lculos a partir de primeiros princ´ıpios, ou seja,
dos princ´ıpios fundamentais e das leis f´ısicas ba´sicas envolvidas em cada tipo de problema.
Neste processo de desenvolvimento e soluc¸a˜o de problemas, e´ imprescind´ıvel que o aluno observe as
unidades das medidas e grandezas a serem determinadas/utilizadas, a sua correta representac¸a˜o em
um sistema de medidas, preferencialmente o Sistema Internacional de medidas (SI), as dimenso˜es
destas grandezas e a sua representac¸a˜o com o nu´mero correto de algarismos significativos, isto
quando tratar-se de problemas com resultados nume´ricos a serem obtidos. A fim de minimizar
a propagac¸a˜o de erros nume´ricos sugerimos que o aluno use, sempre que poss´ıvel, pelo menos
treˆs algarismos significativos para as grandezas medidas e resultados obtidos nos problemas que
envolvam ca´lculos nume´ricos.
Nos problemas cuja soluc¸a˜o e´ puramente alge´brica anal´ıtica, o aluno deve fazer uso da ana´lise
dimensional para verificar a homogeneidade dimensional das expresso˜es e resultados obtidos, tes-
tando sempre que poss´ıvel os limites conhecidos destas expresso˜es, e comparando seus resultados
com outros resultados gerais ja´ estudados.
1.6.1 Notac¸a˜o vetorial
Os livros de F´ısica, em geral, fazem o uso de letras em negrito para representar grandezas vetorias.
Por exemplo, a segunda lei de Newton e´ escrita na forma F = ma, que e´ completamente equivalente
a` forma cla´ssica ~F = m~a, preferida por alguns autores. Quando alguma fo´rmula vetorial for
manuscrita, devemos fazer uso da segunda forma, para que fique claro o cara´ter vetorial ou escalar
de cada grandeza, ja´ que normalmente na˜o escrevemos em negrito.
1.7 Alguns problemas elementares de Mecaˆnica
1) Calcule a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional entre um ele´tron e um pro´ton separados por uma
distaˆncia de 0, 5 A˚ (1 A˚ = 10−8 cm). Compare com a forc¸a de atrac¸a˜o eletrosta´tica cuja distaˆncia
de separac¸a˜o seja a mesma.
Considerando-se o pro´ton e o ele´tron como part´ıculas de massas mp e me, respectivamente, a forc¸a
gravitacional (atrativa) entre eles tera´ a seguinte intensidade (mo´dulo), dada pela lei de gravitac¸a˜o
de Newton
FG =
Gmpme
r2
=
(6, 67× 10−11 N ·m2/kg2)(1, 67× 10−27 kg)(9, 11× 10−31 kg)
(0, 5× 10−10 m)2
FG = 4× 10−47 N . (1.13)
A forc¸a ele´trica entre estas part´ıculas, tambe´m atrativa, segundo a lei de Coulomb
FE =
k qp qe
r2
=
(8, 99× 109 N ·m2/C2)(1, 60× 10−19 C)2
(0, 5× 10−10 m)2 = 9× 10
−8 N . (1.14)
Dividindo-se os mo´dulos das forc¸as, obtemos a raza˜o
FE
FG
=
9× 10−8 N
4× 10−47 N ≈ 2× 10
39 (1.15)
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 7
ou seja, a forc¸a ele´trica e´ muito maior (≈ 1039 vezes) do que a forc¸a gravitacional. J
2) Dois carros1 , A e B, movem-se no mesmo sentido. Quando t = 0, suas respectivas velocidades
sa˜o 1 m/s e 3 m/s, e suas respectivas acelerac¸o˜es sa˜o 2 m/s2 e 1 m/s2. Se no instante t = 0 o
carro A esta´ a 1, 5 m a` frente do carro B, determinar o instante em que eles estara˜o lado a lado.
Ana´lise inicial. Vamos investigar inicialmente qual tipo de problema que esta´ sendo proposto.
Como o problema envolve apenas o movimento de dois carros, cujas massas sa˜o desconhecidas e
nenhuma forc¸a e´ dada, concluimos que se trata de um problema de cinema´tica.
Modelo. Vamos supor que os carros se movam numa pista reta e horizontal, da esquerda para a
direita (sobre o eixo X, no sentido crescente do eixo, por exemplo).
Nosso “sistema mecaˆnico”de interesse inclui os dois carros e o referencial do cha˜o, a pista:
xB xA
XO
1,5 m
3 m/s 1 m/s
Figura 1.2: O nosso modelo simplificado para o sistema de dois carros A e B, no instante inicial
t = 0.
Equac¸o˜es de movimento. Vamos supor tambe´m que os carros possam ser tratados como
part´ıculas uniformemente aceleradas, ou seja, esta˜o em MRUV, e portanto, suas posic¸o˜es em
func¸a˜o do tempo seguem a forma geral
x(t) = x0 + v0(t− t0) + 1
2
a(t− t0)2 (1.16)
Como o carro A inicia o seu movimento adiante do carro B, em 1,5 m, enta˜o temos que xA0 =
xB0 + 1, 5 m, e´ a sua posic¸a˜o inicial, em func¸a˜o da posic¸a˜o inicial xB0 do carro B, que na˜o e´ dada.
Sera´ que esse dado e´ relevante?
A equac¸a˜o de movimento para o carro A sera´ enta˜o
xA(t) = xA0 + vA0(t− t0) + 1
2
aA(t− t0)2 = xB0 + 1, 5 m+ (1 m/s)t+ 1
2
(2 m/s2)t2 (1.17)
onde consideramos t0 = 0.
A posic¸a˜o do carro B sera´ dada por
xB(t) = xB0 + vB0(t− t0) + 1
2
aB(t− t0)2 = xB0 + (3 m/s)t+ 1
2
(1 m/s2)t2 (1.18)
Soluc¸o˜es. Vamos procurar o instante onde os carros ficam lado a lado, ou seja, ocupam a mesma
posic¸a˜o sobre o eixo horizontal sem que haja colisa˜o, resolvendo-se a equac¸a˜o xA(t) = xB(t), ou de
forma equivalente, vamos escrever xA(t)− xB(t) = 0, subtraindo as equac¸o˜es anteriores, de onde
obtemos:
(1, 5 m)− (2 m/s) t+ (1
2
m/s2) t2 = 0 (1.19)
e multiplicando-se por 2 s2/m e reescrevendo
t2 + (−4 s) t+ (3 s2) = 0 (1.20)
1Refereˆncia [2], problema 5.12, pa´gina 108.
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 8
e resolvendo para t, temos
t =
−(−4 s)±√(−4 s)2 − 4 · 1 · (3 s2)
2 · 1 (1.21)
donde
t =
4 s± 2 s
2
(1.22)
e concluimos finalmente que os carros estara˜o lado a lado em dois instantes futuros: t− = 1 s e
t+ = 3 s.
Ana´lise gra´fica. A partir do gra´fico da Fig. 1.3, confirmamos visualmente que as posic¸o˜es de
ambos coincidem nos instantes t− = 1 s e t+ = 3 s, e que suas posic¸o˜es nesses instantes sa˜o,
respectivamente, xA = xB = 4, 5 m e xA = xB = 13, 5 m, o que pode ser obtido analiticamente
substituindo-se os instantes t− e t+, nas equac¸o˜es hora´rias xA(t) e xB(t). A concordaˆncia desses
valores obtidos, para ambos os carros, confirma o resultado esperado, que ambos estejam lado a
lado nesses instantes.
 0
 5
 10
 15
 20
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
x 
(m
)
t (s)
car
ro B
: vel
ocid
ade 
inicia
l
carro A: velo
cidade inicia
l
A
A
B
carro A: x_A(t)
carro B: x_B(t)
Figura 1.3: Os gra´ficos da posic¸a˜o versus tempo para os carros.
Ana´lise geral. Para ana´lise final do movimento, marcamos sobre o gra´fico as inclinac¸o˜es iniciais
(tangentes) das curvas xA(t) e xB(t), donde se pode ver que o carro B, inicialmente mais lento,
ultrapassa o carro A no instante t− = 1, 0 s e depois, no instante t+ = 3, 0 s, e´ ultrapassado
pelo o carro A, que no in´ıcio era mais lento, pore´m possui acelerac¸a˜o maior do que a do carro
B. Observe dos gra´ficos que a “curvatura”para´bola (linha) de xA(t) e´ maior do que a de xB(t).
Em geral, neste tipo de gra´fico, a curvatura e´ proporcional a` segunda derivada da func¸a˜o, no caso
d2x(t)/dt2, que e´ a acelerac¸a˜o do mo´vel.
Contextualizac¸a˜o. Este tipo de movimento ocorre frequentemente nas corridas (de Fo´rmula
1, por exemplo) quando um carro B tenta ultrapassar outro A numa curva. Neste caso real o
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 9
movimento na˜o e´ retil´ıneo, mas as suas outras caracter´ısticas sa˜o semelhantes a`s do problema
estudado. Para executar a tentativa de ultrapassagem, o piloto do carro B, que vem logo atra´s
do carro A retarda a freada e entra na curva com maior velocidade, saindo do trac¸ado ideal (de
menor tempo).
Carro A
Carro B
A
A
A A
A
B
B
B
B
A
B
B
A
B
B
A
B
A
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
CASIO
CHRTMRDUALALM
AM
Figura 1.4: O piloto do carro B tenta ultrapassar o carro A e leva um “X”.
Desta forma o carro B consegue ultrapassar o carro A, mais lento, pore´m na retomada da velo-
cidade, o carro A conseguira´ acelerar mais do que o carro B que fora do trac¸ado ideal, na˜o tera´
o mesmo rendimento (pista suja e maior percurso), sendo que o carro A ira´, a seguir, retomar a
sua posic¸a˜o a` frente do carro B. Essa manobra e´ o famoso “X”, e diz-se que o piloto do carro B
tomou um “X”do piloto do carro A, o que e´ considerado bastante “humilhante”para o piloto B,
pois suas intenc¸o˜es de ultrapassar o carro A foram frustadas. Veja-se a Fig. 1.4. J
3) Um carro 2 de massa M , transportando quatro pessoas, cada uma com massa m, viaja em uma
estrada de terra coberta de pequenas ondulac¸o˜es (costeletas), com salieˆncias separadas de uma
distaˆncia λ. O carro balanc¸a com amplitude ma´xima quando sua velocidade e´ v. O carro para
e os quatro passageiros desembarcam. De quanto sobe a carroceria do carro em sua suspensa˜o,
devido ao decre´scimo de peso?
Como primeira hipo´tese, vamos supor por simplicidade que o carro seja um sistema massa-mola
amortecido, ja´ que sua carroceria esta´ apoiada sobre a sua suspensa˜o, baseada em quatro molas
(em paralelo), amortecedores, rodas e pneus. Como a maior parte da massa do carro esta´ na
sua carroceria, e nos quatro passageiros embarcados, vamos considerar que o carro e´ um oscilador
massa-mola amortecido de massa total mt = M + 4m, ligado a uma mola de constante ela´stica
efetiva k, que inclui o efeito de todas as molas de sua suspensa˜o.
2Veja ref. [4]
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 10
���������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
v
λ λ
Figura 1.5: Um automo´vel andando com velocidade v sobre uma estrada com ondulac¸o˜es (costele-
tas), igualmente espac¸adas de uma distaˆncia λ, fica sujeito a` impulsos verticais perio´dicos.
A` medida que o carro se desloca na estrada com velocidade constante v, as salieˆncias produzem
forc¸as verticais (impulsos) perio´dicos, ja´ que esta˜o igualmente espac¸adas de uma distaˆncia λ. O
per´ıodo T desta forc¸a externa que atua sobre o carro sera´ exatamente o tempo que o carro leva
para se deslocar de uma salieˆncia ate´ a outra, ou seja, como
v = λ/T (1.23)
enta˜o temos que
T = λ/v (1.24)
Podemos dizer enta˜o que essa forc¸a externa produzida pelas ondulac¸o˜es da estrada possuem uma
frequeˆncia angular
ω = 2pi/T = 2piv/λ . (1.25)
Como o motorista do carro observou que a amplitude das oscilac¸o˜es verticais feitas pelo carro
e´ ma´xima quando ele se desloca com uma dada velocidade v, podemnos supor que o carro, ou
o sistema massa-mola equivalente, entra em ressonaˆncia nessa velocidade, devido aos impulsos
externos perio´dicos de frequeˆncia ω.
Sabendo-se que um sistema massa-mola possui frequeˆncia natural de oscilac¸a˜o dada por
ω0 =
√
k
m
(1.26)
onde m e´ sua massa e k o valor da constante ela´stica da mola a` qual a massa esta´ conectada,
podemos supor que, para o nosso carro
ω0 =
√
k
mt
=
√
k
M + 4m
. (1.27)
Como o carro entrou em ressonaˆncia na velocidade v, supomos enta˜o que foi atingida a condic¸a˜o
de ressonaˆncia, ou seja
ω ' ω0 (1.28)
enta˜o
2piv/λ '
√
k
M + 4m
(1.29)
de onde podemos obter a constante ela´stica k efetiva do carro:
k ' (2piv/λ)2 (M + 4m) . (1.30)
Finalmente, como a suspensa˜o do carro segue a lei de Hooke, ao se acrescentar a massa dos quatro
passageiros (que entraram no carro), a deformac¸a˜o da carroceria (suspensa˜o) pode ser calculada
da lei de Hooke:
F = −k∆x(1.31)
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 11
onde k e´ a constante ela´stica efetiva da suspensa˜o do carro e F e´ a forc¸a peso (4mg) acrescentada
ao sistema. Em mo´dulo, a deformac¸a˜o ∆x sera´ enta˜o
∆x =
F
k
=
4mg
k
. (1.32)
E´ importante se observar que a constante ela´stica k de uma mola mede a sua “rigidez”, ou seja,
quanto maior o seu valor mais “dura” ela e´, e mais dif´ıcil e´ a sua deformac¸a˜o. Pore´m, dentro
de uma faixa de deformac¸a˜o ela´stica, a rigidez de uma mola que segue a lei de Hooke e´ sempre
a mesma, fazendo juz ao nome de “constante”. Sendo assim, na˜o e´ relevante o fato das molas
do carro ja´ estarem comprimidas, pelo seu pro´prio peso (Mg), antes dos passageiros tomarem
assento.
Ao deixarem o carro, o excesso de peso 4mg e´ removido do sistema e a carroceria do carro enta˜o
sobe a mesma quantidade que ela baixou quando os passageiros entraram no carro.
Portanto, a partir das equac¸o˜es (1.30) e (1.32), podemos concluir que, a carroceira devera´ subir
aproximadamente
∆x ' 4mg
(2piv/λ)2(M + 4m)
. (1.33)
quando os passageiros sa´ırem do carro.
Numericamente, se utilizarmos dados razoa´veis como M = 1.000 kg, m = 75, 0 kg, g = 9, 81 m/s2,
v = 10, 0 m/s e λ = 15, 0 m, teremos
∆x ' 4(75, 0 kg)(9, 81 m/s
2)
{(2pi)(10, 0 m/s)/(15, 0 m)}2(1.000 kg + 4(75, 0 kg)) = 0, 129 m . (1.34)
Comenta´rios
Na soluc¸a˜o simples proposta para esse problema, e´ nota´vel a quantidade de hipo´teses, consi-
derac¸o˜es, aproximac¸o˜es, fenoˆmenos e leis f´ısicas envolvidas e necessa´rias ao seu desenvolvimento.
Apo´s um longo e encadeado racioc´ınio, baseado num modelo simples — o sistema massa mola,
chegamos a` soluc¸a˜o dada pela equac¸a˜o (1.33), que dificilmente poderia ter sido obtida por um
me´todo muito mais simples do que este apresentado acima. Pore´m, esta e´ somente uma soluc¸a˜o
proposta, e esperamos que um aluno de F´ısica consiga, com suas pro´prias palavras e me´todos,
chegar a uma soluc¸a˜o pro´pria do mesmo problema, quem sabe mais simples ainda.
Na F´ısica, consideramos que a beleza esta´ na simplicidade, na generalidade e na clareza, tanto
em se tratando da formulac¸a˜o de um problema, quanto na sua soluc¸a˜o. Como preenche esses treˆs
requisitos ba´sicos, considero que este e´ um belo problema de F´ısica, francamente, o mais belo de
todos que ja´ vi. J
4) Uma forc¸a horizontal F e´ feita sobre um bloco de massa m que esta´ em repouso sobre um plano
sem atrito, inclinado de um aˆngulo θ com a horizontal.
A) Determine a intensidade da forc¸a F para o equil´ıbrio do bloco.
Para o sistema de eixos XY usual, temos que ter, para o equil´ıbrio do bloco:∑
Fx = F −N sin θ = 0 (1.35)∑
Fy = P −N cos θ = 0 (1.36)
ja´ que a normal N faz um aˆngulo θ com o eixo Y .
Dividindo-se as equac¸o˜es de equil´ıbrio temos:
F/P = tan θ (1.37)
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 12
donde, finalmente
F = P tan θ = mg tan θ (1.38)
B) Determine a posic¸a˜o x(t) do bloco, se a forc¸a horizontal for removida.
Definindo-se um sistema de eixos X ′Y ′, sendo o eixo X ′ paralelo ao plano inclinado teremos,
depois da remoc¸a˜o da forc¸a F: ∑
Fx′ = −mg sin θ = ma (1.39)
e cancelando-se a massa m do bloco
a = −g sin θ (1.40)
que e´ a acelerac¸a˜o constante do bloco, na descida do plano.
Como a = dv/dt, para o caso de acelerac¸a˜o constante, temos:∫ v(t)
v0
dv =
∫ t
0
a dt′ = a
∫ t
0
dt′ = a t (1.41)
enta˜o
v(t) = v0 + a t (1.42)
e como v0 = 0, temos que v(t) = at.
E como v = dx/dt, temos: ∫ x(t)
x0
dx =
∫ t
0
v(t′) dt′ =
∫ t
0
(v0 + at
′)dt′ (1.43)
x(t)− x0 = v0t+ 1
2
at2 (1.44)
e se fizermos x0 = 0 e v0 = 0, teremos
x(t) =
1
2
at2 (1.45)
Para o bloco solto em repouso na origem do sistema X ′Y ′, finalmente teremos:
x(t) =
1
2
g sin θ t2 . (1.46)
J
5) Um proje´til de massa m e´ lanc¸ado verticalmente com velocidade inicial v0 da superf´ıcie de uma
planeta de massa M e raio R, sem atmosfera, e observa-se que ele atinge uma altura ma´xima h,
acima de sua superf´ıcie. A) Escreva uma expressa˜o particular para a massa desse planeta.
Como a forc¸a gravitacional e´ conservativa, e o planeta na˜o tem atmosfera, pode-se usar o teorema
do trabalho-energia, para as posic¸o˜es inicial e de altura ma´xima do proje´til, obtendo-se:
1
2
mv20 −
GMm
R
= 0− GMm
R + h
(1.47)
onde R e´ o raio do planeta, M sua massa e h a altura ma´xima (v = 0) do proje´til de massa m.
Dividindo-se a u´ltima equac¸a˜o por GM e reagrupando-se os termos, temos:
1
R + h
− 1
R
=
−v20
2GM
(1.48)
CAPI´TULO 1. ELEMENTOS DE MECAˆNICA NEWTONIANA 13
e finalmente
M =
v20R
2G
(
R + h
h
)
. (1.49)
B) Determine a velocidade de escape para esse planeta?
Tomando-se o limite h→∞ na expressa˜o final da massa M do item A), pode-se obter o valor ve
da velocidade de escape, que e´ justamente o valor de v0 nesse limite:
M =
v2eR
2G
lim
h→∞
(
R
h
+ 1
)
=
v2eR
2G
(1.50)
Logo
ve =
√
2GM
R
. (1.51)
J
Cap´ıtulo 2
Movimento Unidimensional de uma
Part´ıcula
PROBLEMAS
9) Um cabo-de-guerra e´ seguro por dois grupos de cinco homens, cada um. Cada homem “pesa”
70 kg e pode puxar o caboinicialmente com uma forc¸a de 100 N . Inicialmente os dois grupos esta˜o
compensados, mas quando os homens cansam, a forc¸a com que cada um puxa o cabo decresce de
acordo com a relac¸a˜o
F (t) = (100 N) e−t/τ (2.1)
onde o tempo me´dio τ para atingir o cansac¸o e´ de 10 s para um grupo e 20 s para o outro.
Suponha que nenhum dos homens solte o cabo e use g = 9, 8 m/s2.
a) Determine o movimento.
Vamos supor que inicialmente o cabo-de-guerra esta´ parado, e o centro da corda esta´ na origem
O do eixo orizontal X, e vamos chamar a equipe da esquerda de equipe 1, e a da direita de equipe
dois. Sendo assim, o tempo me´dio para atingir o cansac¸o, sera´, τ1 = 10 s, para a equipe 1 e
τ2 = 20 s para a equipe 2.
Consideremos como nosso sistema o conjunto todo, incluindo a corda. Cada homem faz a forc¸a
F (t) sobre o cha˜o, e sofre a reac¸a˜o desta forc¸a, que age sobre o conjunto (sistema). A resultante
destas forc¸as sera´: ∑
Fx = −5F1(t) + 5F2(t) = (10m)a (2.2)
onde 10m e´ a massa total do sistema, e a = dv/dt a sua acelerac¸a˜o.
Reescrevendo temos
5{−F0 e−t/τ1 + F0 e−t/τ2} = 10mdv
dt
(2.3)
14
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 15
onde F0 = 100 N e m e´ a massa de cada homem.
Simplificando e separando as varia´veis, temos
F0
2m
∫ t
0
(e−t
′/τ2 − e−t′/τ1) dt′ =
∫ v(t)
0
dv (2.4)
ja´ que no instante inicial t = 0 o sistema esta´ em repouso.
Integrando temos a velocidade do conjunto
v(t) =
[
F0
2m
(
e−t
′/τ2
−1/τ2 −
e−t
′/τ1
−1/τ1
)]t
t′=0
(2.5)
substituindo nos limites
v(t) = − F0
2m
{
τ2(e
−t/τ2 − 1)− τ1(e−t/τ1 − 1)
}
(2.6)
e reescrevendo temos
v(t) =
F0
2m
{
τ2(1− e−t/τ2)− τ1(1− e−t/τ1)
}
(2.7)
Integrando-se mais uma vez, termos a posic¸a˜o do conjunto (centro da corda)∫ t
t′=0
dx = x(t)− x(0) = F0
2m
∫ t
t′=0
{
τ2(1− e−t′/τ2)− τ1(1− e−t′/τ1)
}
dt′ (2.8)
ou seja, como x(0) = 0 temos
x(t) =
F0
2m
[{
τ2
(
t′ − e
−t′/τ2
−1/τ2
)
− τ1
(
t′ − e
−t′/τ1
−1/τ1
)}]t
t′=0
(2.9)
e substituindo os limites
x(t) =
F0
2m
[
τ2{t+ τ2(e−t/τ2 − 1)} − τ1{t+ τ1(e−t/τ1 − 1)}
]
(2.10)
e reescrevendo
x(t) =
F0
2m
[
τ2{t− τ2(1− e−t/τ2)} − τ1{t− τ1(1− e−t/τ1)}
]
(2.11)
Desse resultados, podemos ver que se τ1 = τ2, a corda nunca se movera´ para lado nenhum ja´ que
as equipes fara˜o sempre a mesma forc¸a, num mesmo instante t, apesar de fazerem cada vez menos
forc¸a.
b) Qual a velocidade final dos dois times?
Tomando-se o limite t −→∞ em (2.7) temos a velocidade final vF do sistema
vF = limt→∞
v(t) =
F0
2m
(τ2 − τ1) (2.12)
e como a equipe 2 cansa mais devagar do que a equipe 1, pois τ2 > τ1, a vencedora sera´ a equipe
2, e a velocidade final sera´
vF =
100 N
2 · 70 kg (20 s− 10 s) = 7, 1 m/s (2.13)
c) Qual das suposic¸o˜es e´ responsa´vel por este resultado na˜o razoa´vel?
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 16
O modelo da forc¸a, decaindo exponencialmente a zero, e´ irreal para o limite feito acima, pois as
equipes na˜o mantera˜o a forc¸a por um tempo muito longo, de forma que depois de alguns segundos
t >> τ as forc¸as ja´ sera˜o pequenas e a disputa tera´ acabado.
Como a equipe 2 cansa mais devagar, consegue realizar um impulso maior sobre o sistema, que
depois de um longo tempo sera´ arrastado para a direita, desequilibrando as forc¸as e ganhando o
cabo-de-guerra. J
11) Um barco cuja velocidade inicial e´ v0 e´ desacelerado por uma forc¸a de atrito
F = −beαv (2.14)
a) Determine o seu movimento.
Supondo que o barco inicie o seu movimento para a direita (v0 > 0) no instante t0 = 0, na origem
x0 = 0, temos:
F (v) = −beαv = mdv
dt
(2.15)
e separando as varia´veis e integrando
− b
m
∫ t
t′=0
dt′ =
∫ v(t)
v′=v0
dv′
eαv′
(2.16)
− b
m
t =
[
e−αv
′
−α
]v(t)
v′=v0
(2.17)
αb
m
t = e−αv(t) − e−αv0 (2.18)
e isolando-se v(t) temos
e−αv(t) = e−αv0 +
αb
m
t (2.19)
e tomando-se o logaritmo desta expressa˜o
−αv(t) = ln
(
e−αv0 +
αb
m
t
)
(2.20)
e finalmente
v(t) = − 1
α
ln
(
e−αv0 +
αb
m
t
)
(2.21)
Observe que o barco se move inicialmente para a direita e a expressa˜o encontrada da´ a sua
velocidade ate´ que ele pare, e esta deve ser positiva. Na verdade, o termo e−αv0 < 1 e seu
logaritmo e´ negativo, resultando que v(t) > 0, desde t = 0 ate´ o instante em que o barco para.
Integrando-se a velocidade v(t) = dx/dt, temos∫ x(t)
x0
dx′ = − 1
α
∫ v(t)
v′=v0
ln
(
e−αv0 +
αb
m
t′
)
dt′ (2.22)
e integrando-se por substituic¸a˜o direta (u = e−αv0 + αbt′/m; du = (αb/m)dt′), temos:
x(t) = − m
α2b
∫
lnu du (2.23)
e como ∫
lnu du = u(lnu− 1) (2.24)
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 17
v(t
)
t
Vo
O
Figura 2.1: A velocidade do barco v(t)× t, va´lida ate´ v = 0.
temos
x(t) = − m
α2b
[(
e−αv0 +
αb
m
t′
){
ln
(
e−αv0 +
αb
m
t′
)
− 1
}]t
t′=0
(2.25)
e substituindo nos limites de integrac¸a˜o
x(t) = − m
α2b
[(
e−αv0 +
αb
m
t
){
ln
(
e−αv0 +
αb
m
t
)
− 1
}
− (e−αv0) {ln(e−αv0)− 1}] (2.26)
e finalmente
x(t) = − m
α2b
[(
e−αv0 +
αb
m
t
){
ln
(
e−αv0 +
αb
m
t
)
− 1
}
+ e−αv0(αv0 + 1)
]
(2.27)
b) Determine o tempo e a distaˆncia necessa´ria para parar o barco.
Podemos determinar o instante tF em que o barco para atrave´s da expressa˜o (2.21), resolvendo
v(tF ) = 0, ou seja,
− 1
α
ln
(
e−αv0 +
αb
m
tF
)
= 0 (2.28)
e essa equac¸a˜o sera´ satisfeita quando o argumento da func¸a˜o ln for igual a 1, pois ln(1) = 0. Enta˜o
temos que ter (
e−αv0 +
αb
m
tF
)
= 1 (2.29)
de onde
αb
m
tF = 1− e−αv0 (2.30)
e finalmente
tF =
m
αb
(1− e−αv0) (2.31)
sera´ o instante em que o barco tera´ velocidade nula.
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 18
A posic¸a˜o do barco nesse instante sera´
x(tF ) = − m
α2b
[(
e−αv0 +
αb
m
· m
αb
(1− e−αv0)
){
ln
(
e−αv0 +
αb
m
· m
αb
(1− e−αv0)
)
− 1
}
+e−αv0(αv0 + 1)
]
(2.32)
e simplificando
x(tF ) =
m
α2b
{
1− e−αv0(αv0 + 1)
}
(2.33)
Observe que se v0 = 0 enta˜o ter´ıamos tF = 0. Como o barco partiu da posic¸a˜o x(0) = 0, podemos
dizer que o seu deslocamento total (ma´ximo) sera´ enta˜o x(tF )− x(0) = x(tF ). J
18) Uma part´ıcula de massa m esta´ sujeita a` ac¸a˜o de uma forc¸a
F = −kx+ kx
3
a2
(2.34)
onde k e a sa˜o consatantes.
a) Determine V (x) e discuta os poss´ıveis tipos de movimentos que possam ocorrer.
b) Mostre que se E = 1
4
ka2, a intergral na Eq. (2.46) poder ser resolvida por me´todos elementares.
Determine x(t) para este caso, escolhento x0 e t0 de maneira conveniente. Mostre que os seus
resultados concordam com a discussa˜o qualitativa do item (a) para essa energia.
19) Uma part´ıcula de massa m e´ repelida da origem por uma forc¸a inversamente proporcional ao
cubo de sua distaˆncia a` origem. Escreva e resolva a equac¸a˜o do movimento, considerando que a
part´ıcula esta´ inicialmente em repouso a uma distaˆncia x0 da origem.
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 19
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 20
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 21
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 22
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 23
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 24
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 25
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 26
CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTI´CULA 27
Apeˆndice A
Sistemas de Coordenadas
A.1 Coordenadas Cartesianas (x, y, z)
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� � � � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
Z
Y
r
y
x
z
k
ji 
k j
i 
(x,y,z)
X
Figura A.1: O sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z)
A.1.1 Posic¸a˜o, Velocidade, Acelerac¸a˜o, etc...
r = x i + y j + z k (A.1)
v = x˙ i + y˙ j + z˙ k (A.2)
a = x¨ i + y¨ j + z¨ k (A.3)
dV = dx dy dz (A.4)
r = (x2 + y2 + z2)1/2 (A.5)
28
APEˆNDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 29
A.1.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a˜o escalar ϕ = ϕ(x, y, z)
∇ϕ(x, y, z) = ∂ϕ
∂x
i +
∂ϕ
∂y
j +
∂ϕ
∂z
k (A.6)
∇2ϕ(x, y, z) = ∂
2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
+
∂2ϕ
∂z2
(A.7)
A.1.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Ax i +Ay j +
Az k
∇ ·A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
(A.8)
∇×A =
(
∂Az
∂y
− ∂Ay
∂z
)
i +
(
∂Ax
∂z
− ∂Az
∂x
)
j +
(
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
)
k (A.9)
dA
d t
=
dAx
dt
i +
dAy
dt
j +
dAz
dt
k (A.10)
A.1.4 A Regra da Ma˜o Direita para o produto vetorial
b
a b
(C
) C
op
yri
gh
t 2
00
3 L
uc
ian
o C
am
ar
go
 M
ar
tin
s
a
médio
indicador
polegar
���������
���������
���������
���������
���������
���������
���������
���������
���������
���������
���������
���������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
Figura A.2: A regra da ma˜o direita para o produto vetorial. O produto vetorial a × b e´ normal
ao plano definido pelos vetores a e b.
APEˆNDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 30
A.2 Coordenadas Cil´ındricas (ρ, ϕ, z)
ff ff
ff ff
ff ff
ff ff
ff ff
ff ff
fi fi
fi fi
fi fi
fi fi
fi fi
fi fi fl fl
fl fl
fl fl
fl fl
ffi ffi
ffi ffi
ffi ffi
ffi ffi
� � � � �
� � � � �
 
 
r
x
z
Z
j
k
i 
k
y
k u
u
u
u
ρ 
ϕ
ϕ
ρ 
ϕ
ρ
X
Y
Figura A.3: O sistema de coordenadas cil´ındricas (ρ, ϕ, z)
A.2.1 Posic¸a˜o, Velocidade, Acelerac¸a˜o, etc...
r = ρuρ + z k (A.11)
v = ρ˙uρ + ρϕ˙uϕ + z˙ k (A.12)
a = (ρ¨− ρϕ˙2) uρ + (ρϕ¨+ 2ρ˙ϕ˙) uϕ + z¨ k (A.13)
uρ = cosϕ i + sinϕ j (A.14)
uϕ = − sinϕ i + cosϕ j (A.15)
duρ
dϕ
= uϕ (A.16)
duϕdϕ
= −uρ (A.17)
(x, y, z) = (ρ cosϕ, ρ sinϕ, z) (A.18)
(ρ, ϕ, z) = ((x2 + y2)1/2, arctan(y/x), z) (A.19)
r = (ρ2 + z2)1/2 (A.20)
dV = ρ dρ dϕ dz (A.21)
APEˆNDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 31
A.2.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a˜o escalar f = f(ρ, ϕ, z)
∇f = ∂f
∂ρ
uρ +
1
ρ
∂f
∂ϕ
uϕ +
∂f
∂z
k (A.22)
∇2f = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂f
∂r
)
+
1
ρ2
∂2f
∂ϕ2
+
∂2f
∂z2
(A.23)
A.2.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Aρ uρ +
Aϕ uϕ + Az k
∇ ·A = 1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) +
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
∂Az
∂z
(A.24)
∇×A =
(
1
ρ
∂Az
∂ϕ
− ∂Aϕ
∂z
)
uρ +
(
∂Aρ
∂z
− ∂Az
∂ρ
)
uϕ +
1
ρ
(
∂
∂ρ
(ρAϕ)− ∂Aρ
∂ϕ
)
k (A.25)
dA
d t
=
(
dAρ
dt
− Aϕdϕ
dt
)
uρ +
(
dAϕ
dt
+ Aρ
dϕ
dt
)
uϕ +
dAz
dt
k (A.26)
APEˆNDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 32
A.3 Coordenadas Esfe´ricas (r, θ, ϕ)
u
θ
u φ
r u
!"!
!"!
!"!
!"!
!"!
!"!
#"#
#"#
#"#
#"#
#"#
#"# $"$
$"$
$"$
$"$
$"$
%"%
%"%
%"%
%"%
%"%
&"&"&"&"&
&"&"&"&"&
'"'"'"'
'"'"'"'
x
z
y
r
Z
Y
φ
θ
r
u φ
r u
u
θ
k
i 
j
X
Figura A.4: O sistema de coordenadas esfe´ricas (r, θ, ϕ)
A.3.1 Posic¸a˜o, Velocidade, Acelerac¸a˜o, etc...
r = r ur (A.27)
v = r˙ ur + rθ˙ uθ + r sin θ ϕ˙uϕ (A.28)
a = (r¨ − rθ˙2 − r sin2 θ ϕ˙2) ur + (rθ¨ + 2r˙θ˙ − rϕ˙2 sin θ cos θ) uθ + (A.29)
(rϕ¨ sin θ + 2r˙ϕ˙ sin θ + 2rθ˙ϕ˙ cos θ) uϕ
(x, y, z) = (r sin θ cosϕ, r sin θ sinϕ, r cos θ) (A.30)
(r, θ, ϕ) = ((x2 + y2 + z2)1/2, arctan((x2 + y2)/z), arctan(y/x)) (A.31)
ur = sin θ uρ + cos θ k = sin θ cosϕ i + sin θ sinϕ j + cos θ k (A.32)
onde: sin θ = ρ/(ρ2 + z2)1/2 e cos θ = z/(ρ2 + z2)1/2
uθ = − sin θ k + cos θ uρ = cos θ cosϕ i + cos θ sinϕ j− sin θ k (A.33)
dV = r2 sin θ dr dθ dϕ (A.34)
APEˆNDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 33
A.3.2 Gradiente e Laplaciano de uma func¸a˜o escalar f = f(r, θ, ϕ)
∇f = ∂f
∂r
ur +
1
r
∂f
∂θ
uθ +
1
r sin θ
∂f
∂ϕ
uϕ (A.35)
∇2f = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂f
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂f
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
(
∂2f
∂ϕ2
)
(A.36)
A.3.3 Divergente e Rotacional e um vetor A = Ar ur + Aθ uθ + Aϕ uϕ
∇ ·A = 1
r2
∂
∂r
(r2Ar) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θ Aθ) +
1
r sin θ
∂Aϕ
∂ϕ
(A.37)
∇×A = 1
r sin θ
[
∂
∂θ
(sin θ Aϕ)− ∂Aθ
∂ϕ
]
ur + (A.38)
+
(
1
r sin θ
∂Ar
∂ϕ
− 1
r
∂
∂r
(rAϕ)
)
uθ +
1
r
(
∂
∂r
(rAθ)− ∂Ar
∂θ
)
uϕ
dA
d t
=
(
dAr
dt
− Aθ dθ
dt
− Aϕ sin θdϕ
dt
)
ur +
+
(
dAθ
dt
+ Ar
dθ
dt
− Aϕ cos θdϕ
dt
)
uθ +
+
(
dAϕ
dt
+ Ar sin θ
dϕ
dt
+ Aθ cos θ
dϕ
dt
)
uϕ (A.39)
(VETOR31.TEX Revisa˜o 3.1 de 25 de janeiro de 2005)
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] SYMON, K. R. Mecaˆnica . 2 ed., Rio de Janeiro: Campus, 1986.
[2] ALONSO, M.; FINN, E. J. F´ısica: um curso universita´rio: mecaˆnica. vol. 1, Sa˜o Paulo:
Edgard Blu¨cher, 1972.
[3] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de F´ısica: Mecaˆnica. vol. 1,
ed. 4, Rio de Janeiro: LTC, 1996.
[4] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de F´ısica: Mecaˆnica. vol. 2,
ed. 4, Rio de Janeiro: LTC, 1996.
[5] KITTEL, C.; KNIGHT, W.; RUDERMAN, M. A. Curso de F´ısica de Berckeley: mecaˆnica.
vol. 1, Sa˜o Paulo: Edgard Blu¨cher, 1973.
[6] KIBLE, T. W. B. Mecaˆnica Cla´ssica. Sa˜o Paulo: Pol´ıgono, 1970.
[7] MARION, J. B.; THORNTON, S. T. Classical Dynamics of Particles and Systems. 4 ed.,
Harcourt Brace Jovanovich College Publishers, 1995.
34