Lista de exercício- Aplicações de Derivadas

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Universidade Federal de Campina Grande - Campus de Cuité
Centro de Educação e Saúde
Unidade Acadêmica de Educação
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof.a Maria de Jesus R. da Silva
Lista de Exercícios V - Unidade III
1. Uma partícula se move de modo que, no instante t, a distância percorrida é dada por
s(t) =
1
3
t3 � t2 � 3t.
(a) Encontre as expressões que fornecem a velocidade e a aceleração da partícula.
(b) Em que instante a velocidade é zero?
(c) Em que instante a aceleração é zero?
2. Um ponto move-se ao longa da curva y =
1
1 + x2
, de tal modo que sua abscissa x varia
a uma velocidade constante de 3 cm=s. Qual será a velocidade da ordenada y, quando
x = 2 cm?
3. Um cubo se expande de modo que sua aresta varia à razão de 12; 5 cm=s. Encon-
tre a taxa de variação de seu volume, no instante em que a aresta atinge 10 cm de
comprimento.
4. Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce à razão de 2; 5 cm=s. Quão rapida-
mente varia seu volume no instante em que o raio mede 7; 5 cm? (o volume da esfera
de raio r é V = 4
3
�r3).
5. Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base
da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0; 06 m=s, com que velocidade
o topo da escada percorre a parede, quando está a 4 m do solo?
6. Uma escada de 8 m está encostada em uma parede vertical. Se a extremidade inferior
da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m=s, com
que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior
estiver a 3 m da parede?
7. A Lei de Boyle para a dilatação dos gases é dada pela equação P:V = C, onde P é a
pressão, medida em Newtons por unidade de área, V é o volume e C é uma constante.
Num certo instante, a pressão é de 3:000N=m2, o volume é de 5m3 e está crescendo à
taxa de 2m3=min. Qual a taxa de variação da pressão nesse instante?
8. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. seu volume de água inicial era de 90:000
litros e depois de um tempo de t horas este volume diminui 2:500 t2 litros, determinar:
(a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina,
1
(b) taxa média de escoamento no intervalo [2; 5];
(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
9. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população
será de P (t) = 20� 5
t+ 1
milhares.
(a) Daqui a 18 meses qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
(b) Qual será a variação real sofrida durante o 18o mês?
10. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio da base e 10 m
de altura. no tempo t = 0 a água começa a ‡uir no tanque à razão de 25 m3=h. Com
que velocidade o nível da água sobe? Quanto tempo levará para o tanque …car cheio?
(volume de um cilindro V = �r2h)
11. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo forma uma
pilha cõnica onde a altura é aproximadamente igual a 4=3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm=s, qual a razão de variação do volume
quando o raio mede 2m?
12. Em cada um dos seguintes casos, veri…car se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em
caso a…rmativo, achar um número c em (a; b), tal que f 0(c) =
f(b)� f(a)
b� a :
(a) f(x) =
1
x
; a = 2; b = 3 (b) f(x) =
1
x
; a = �1; b = 3
(c) f(x) = cosx; a = 0; b =
�
2
(d)f(x) = tgx; a = 0; b =
�
4
(e) f(x) = 3
p
x; a = �1; b = 1
13. A função f(x) = x
2
3 �1 é tal que f(�1) = f(1) = 0: Por que ela não veri…ca o Teorema
de Rolle no intervalo [�1; 1]?
14. Seja f(x) = �x4 + 8x2 + 9. Mostrar que f satisfaz as condições do Teorema de Rolle
no intervalo [�3; 3] e determinar os valores de c 2 (�3; 3) que satisfaçam f 0(c) = 0:
15. Usando o Teorema do Valor Médio provar que:
(a) j sen � � sen�j � j� � �j; 8 �; � 2 R:
(b) sen � � �; � � 0:
16. Determinar os números críticos das seguintes funções, se existirem.
(a) f(x) = x4 + 4x3 (b) g(x) = x3 + 2x2 + 5x+ 3
(c) f(x) = cosx (d) f(x) = sen x
(e) f(x) = ex � x (f)f(x) = x
x2 � 4
2
17. Determinar os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes.
(a) f(x) = 3x2 + 6x+ 7 (b) f(x) = e�x
(c) f(x) =
x2
x2 � 1 (d)f(x) = xe
�x
18. Determinar os extremos absolutos das seguintes funções nos intervalos indicados.
(a) f(x) = 4� 3x+ 3x2; [0; 3] (b)f(x) = cos 3x; [0; 2�]
(c) f(x) = sen3x� 1; [0; �=2]
19. Determinar os extremos relativos das seguintes funções, se existirem.
(a) f(x) = 7x2 � 6x+ 3 (b)f(x) = 1
4
x4 � 5
3
x3 + 4x2 � 4x+ 8
(c) f(x) = (x+ 2)2(x� 1)3 (d) g(x) = 4x
x2 + 4
20. Determinar os pontos de in‡exão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes
tem a concavidade voltada para cima ou para baixo.
(a) f(x) = �x3 + 5x2 � 6x (b)f(x) = 1
x+ 4
(c) f(x) = x2ex (d) f(t) = e�t cos t; t 2 [0; 2�]
21. Esboçe o grá…co das seguintes funções:
(a) f(x) = x3 � 6x2 + 9x+ 1 (b) f(x) = x3 � 2x2 + x+ 1
(c) f(x) = (x2 � 1)2 (d) f(x) = x4 � x3
(e) f(x) = x lnx (f) f(x) = xex
Estudem! peguem livros e façam mais exercícios.
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