Lista de exercício- Derivadas

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Universidade Federal de Campina Grande - Campus de Cuité
Centro de Educação e Saúde
Unidade Acadêmica de Educação
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof.a Maria de Jesus R. da Silva
Lista de Exercícios IV - Unidade II
1. Determine a equação da reta tangente à parábola y = x2, com inclinação m = �8.
Faça o grá…co ilustrando a situação.
2. Use a de…nição para encontrar a derivada da função f(x) = x2 + 1 e depois calcule
f 0(0) e f 0(�1).
3. Seja f a função de…nida em R por f(x) =
� �x; se x � 0
2; se x > 0
(a) Calcule f 0(�1) (b) Existem as derivadas f 0+(0) e f 0�(0)?
(c) f é derivável em x = 0?
4. Seja f : R! R a função dada por f(x) = jxj+ x
(a) Existe f 0(0)? (b) Existe f 0(x) para x 6= 0?
(c) Como se de…ne a função f 0(x)?
5. Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
a)f(x) =
�
x2; se x � 0
x; se x > 0
; x = 0: b)f(x) =
8<:
2� x2; se x < �2
�2; se jxj � 2
2x� 6; se x > 2
; x = 2 e x = �2:
c)f(x) = j2x+ 4j+ 3; x = �2:
6. Seja f uma função derivável em x = 1 tal que lim
h!0
f(1 + h)
h
= 5: Calcule f(1) e f 0(1):
7. Usando as regras de derivação, encontre as derivadas das funções abaixo:
a)f(r) = �r2 b)f(x) = (2x+ 1)(3x2 + 6)
c)f(x) =
2
3
(5x� 3)�1(5x+ 3) d)f(t) = 3t
2 + 5t� 1
t� 1
e)f(r) =
2� r2
r � 2 f)f(s) =
(s� a)2
s� b
8. Seja p(x) = (x � a)(x � b), sendo a e b constantes. Mastrar que se a 6= b, então
p(a) = p(b) = 0, mas p0(a) 6= 0, p0(b) 6= 0:
1
9. Dadas as funções f(x) = x2 + Ax e g(x) = Bx, determine A e B de modo que�
f 0(x) + g0(x) = 1 + 2x
f(x)� g(x) = x2 :
10. Encontrar a equação da reta tangente à curva y =
2x+ 1
3x� 4 no ponto de abscissa x = �1:
11. Encontrar a equação da reta normal à curva y = (3x2 � 4x)2 no ponto de abscissa
x = 2:
12. Encontrar as equações das retas tangentes à curva y =
x� 1
x+ 1
que sejam paralelas à
reta y = x:
13. Em que pontos o grá…co da função y =
1
3
x3 � 3
2
x2 + 2x tem tangente horizontal?
14. Seja y = ax2 + bx: Encontrar os valores de a e b; sabendo que a tangente à curva no
ponto (1; 5) tem inclinação m = 8.
15. Calcular a derivada de cada função abaixo.
a)f(x) =
1
a
(bx2 + ax)3 b)f(t) =
�
7t+ 1
2t2 + 3
�3
c)f(x) = 3
p
(3x2 + 6x� 2)2
d)(t) =
s�
2t+ 1
t� 1
�
e)f(x) =
1
3
e3�x f)f(x) = 23x
2+6x
g)f(t) = et=2(t2 + 5t) h)f(x) = log2(2x+ 4) i)f(x) = ln
�
1
x
+
1
x2
�
j)f(u) = cos(�=2� u) k)f(�) = cos2 �:sen2� l)f(x) = sen3(3x2 + 6x)
m)f(x) = 3tg(2x+ 1) +
p
x n)f(x) =
3 sec2 x
x
o)f(x) = e2x cos 3x
p)f(�) = � cosec2 �3 q)f(u) = (u tgu)2 r)f(x) = (arcsen x)2
s)f(t) = t: arccos 3t t)f(t) = arccos(sent) u)f(x) = arcsec
p
x
v)f(t) = t2 arccosec(2t+ 3) w)f(t) = ln cos2 t x)f(x) = [1 + (1 + y5)6]7
y)f(x) = ln2 x+ ln(lnx) z)f(x) = ln
r
2� x
3� x
16. Motrar que a função y = xe�x satisfaz a equação xy0 = (1� x)y:
2
17. Mostrar que a função y = xe�x
2=2 satisfaz a equação xy0 = (1� x2)y:
18. Calcular as derivadas sucessivas atá a ordem indicada.
a)f(x) = 3x4 � 2x; n = 5 b)f(x) = e2x+1; n = 3 c)f(x) = ln 2x; n = 2
d)f(x) = tgx; n = 3 e)f(x) = arctgx n = 2 f)f(x) =
1
ex
; n = 4
19. Mostrar que a derivada de ordem n da função y = eax é dada por y(n) = aneax.
20. Calcular y0 das seguintes funções de…nidas implicitamente.
a) x3 + y3 = a3 b) x3 + x2y + y2 = 0 c)
p
x+
p
y =
p
a
d) y3 =
x� y
x+ y
e) y = sen(2x+ y) f) tg(xy) + xy = 2
21. As funções trigonométricas hiperbólicas - seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tan-
gente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica, cossecante hiperbólica
- denotadas, respectivamente por senh; cosh, tgh, cotgh, sech e cossech, são de…nidas
pelas expressões:
senh x =
ex � e�x
2
coshx =
ex + e�x
2
tgh x =
senh x
coshx
=
ex � e�x
ex + e�x
cotgh x =
coshx
senh x
=
ex + e�x
ex � e�x
sech x =
1
coshx
=
2
ex + e�x
cosech x =
1
senh x
=
2
ex � e�x
Usando essas de…nições, mostre que:
cosh2 x� senh2 x = 1
d
dx
senh x = cosh x
d
dx
coshx = senhx
d
dx
tgh x = sech2 x
d
dx
cotghx = � cosech2 x
d
dx
sech x = � sech x tgh x d
dx
cosech x = � cosech x cotghx
Estudem! peguem livros e façam mais exercícios.
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