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CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 06 
Francisco Genival Beserra da Silva 
AULA 06 
Tópico Único 
Descreva e faça um esboço da imagem da região indicada através da transformação dada: 
Q01⤇04a
j(u,v) (usenv,u cos v) com 0 u 2 e 0 v ;     
 
Seja j(u, v) = (x, y), tomemos (x, y) como a imagem de (u, v), segue que: 
x usenv
y u cos v


 
x² y² (usenv)² (u cos v)²
x² y² u²sen²v u²cos ²v
x² y² u²(sen²v cos ²v)
x² y² u²
  
  
  
 
 pois sabemos que 
cos ² ² 1v sen v 
 
Desta forma 
² ² ²x y u 
 com 0 ≤ u ≤ 2 obtemos 
0 x² y² 4  
. 
Logo a imagem de B através de j(u, v) é dada 
0 u 2
0 v 2
 

  
, ou seja j(B) está contida no semicírculo de raio 2 
centrado na origem. Saindo de (u,v) e chegando em (x,y). 
 
Q01⤇07b h(u, v) (u cos v, u sen v, u) com 0 u 2 e 0 v 2 ;      
Fazendo h(u, v, w) = (x, y, z), tomando (x, y, z) a imagem de (u, v, w), temos: cos
.
x u v
y u senv
z u



. 
² ² ² ( cos )² ( . )² ( )²
² ² ² ² cos ² ² ² ²
² ² ² ²(cos ² ² ) ²
² ² ² ²(1) ²
² ² ² 2 ²
x y z u v u senv u
x y z u v u sen v u
x y z u v sen v u
x y z u u
x y z u
    
    
    
   
  
 
Assim 
² ² ² 2 ²x y z u  
 com 0 ≤ u ≤ 2, mas u = z. 
² ² ² 2 ²
² ² ² ² ²
² ² ²
x y z z
x y z z z
x y z
  
   
 
 
Logo a imagem de cada ponto (u, v, w) de h através de H está na região dada por
0 2
0 2
u
v 
 

 
, isto é h(B) está 
contida na parte da folha superior do cone 
² ² ²z x y 
. 
B 
j(B) 
u 
v 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 06 
Francisco Genival Beserra da Silva 
 
Q01⤇09c p(u, v) (u cos v, u sen v, v) com 0 u 2 e 0 v 2 ;      
Tomemos p(u, v, w) = (x, y, z), considerando (x, y, z) a imagem de (u, v, w), então: cos
.
x u v
y u senv
z v



 
² ² ² ( cos )² ( . )² ( )²
² ² ² ² cos ² ² ² ²
² ² ² ²(cos ² ² ) ²
² ² ² ²(1) ²
² ² ² ² ²
x y z u v u senv v
x y z u v u sen v v
x y z u v sen v v
x y z u v
x y z u v
    
    
    
   
   
 Se v=z temos: 
² ² ² ² ²
² ² ² ² ²
² ² ²
x y z u z
x y z z u
x y u
   
   
 
 
Assim x² + y² = u² com 0 ≤ 
u ≤ 2 tem-se que 0 ≤ x² + 
y² ≤ 4. 
Logo a imagem de cada 
ponto (u, v, w) de p através 
de H está na região da por
0 2
0 2
u
v 
 

 
, isto é p(B) 
é a folha helicoidal entre os 
planos z = 0 e 
2z 
, 
(pois este é o intervalo de 
variação de v = z), e entre 
o eixo Z e a hélice dada 
por 
( ) (2cos ,2sen , )f v v v v
, fazendo u variar de 0 a 2 
na função f(v). 
Q01⤇04d P(u,v,w) (u cos v,usen v,w) com 0 u 2 ,0 v 2      e 0 w 3  
Tomemos P(u, v, w) = (x, y, z), considerando (x, y, z) a imagem de (u, v, w), então: cos
.
x u v
y u senv
z w



 
v 
u 
B 
 
h(B) 
v 
u 
B 
 
v 
u 
B 
 
p(B) 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 06 
Francisco Genival Beserra da Silva 
x² y² z² (ucos v)² (u.senv)² (w)²
x² y² z² u²cos ²v u²sen²v w²
    
    
 Se w=z temos: 
x² y² z² u²(cos ²v sen²v) z²
x² y² z² z² u²
x² y² u²
    
   
 
 
Assim x² + y² = u² com 0 ≤ u ≤ 2 tem-se que 0 ≤ x² + y² ≤ 4. 
Logo a imagem de cada ponto (u, v, w) de P através de H está na região da por 0 u 2
0 v 2
0 w 3
 

  
  
, isto é 
Como z=w temos que: P(B) é a região limitada pelo cilindro 
x² y² 4 
 e P(B) é a região limitada pelo 
cilindro 
x² y² 4 
 e entre os planos z = 0 e z = 3. 
 
Q02⤇13Mostre que a imagem do 2
R
 através da transformação definida por 
u uf (u, v) (uv e , 3sen v e 3uv, 4uv 6sen v),    
 é um plano. 
Mostrando que a imagem de R² por f(u, v) é uma plano, temos: 
.
3 3
4 6
u
u
x u v e
y senv e uv
z uv senv
 
  
 
. 
 
i) . 3 3
. 3 3
3 2
u ux y u v e senv e uv
x y u v senv uv
x y senv uv
     
   
  
 
 
ii) 4 6
2(2 3 )
2(3 2 )
z uv senv
z uv senv
z senv uv
 
 
  
 Substituindo i) em ii) temos: 
 
2( )
2 2
2
0
2
2 2 0
z x y
z x y
z
x y
z
x y
x y z
  
  
  
  
  
 Logo a imagem de R² pela transformação de f(u, v) é um plano. 
v 
u 
u 
p(B) B 
 
w 
v 
u 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 06 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Q03⤇14Mostre que a imagem do 2
R
 através da transformação 
g(u,v) (a cosh u cos v, bcosh usen v, cosh u),
 
é um hiperbolóide elíptico de uma folha. Ache as variações de u e v para que o hiperbolóide seja coberto 
apenas uma vez. 
Tomemos: 
cosh .cos
cosh .
cosh
x a u v
y b u senv
z u



, então: 
cos
cosh
.
cosh
x
v
a u
y
sen v
b u


. 
 
2 2
2 2
cos ² ² 1 1
cosh cosh
1
cosh cosh
² ²
1
² cosh ² ² cosh ²
² ² ² ² ² ² ² ²
1 cosh ²
² ² cosh ² ² ²
² ² ² ² ² ²
cosh ² cosh ²
² ² ² ² ² ²
x y
v sen v
a u b u
x y
a u b u
x y
a u b u
b x a y b x a y
u
a b u a b
b x a y x y
u u
a b a b a b
   
       
   
   
    
   
 
 
  
    
 
Observe que: 
coshz u
, então: 
² ²
²
² ²
x y
z
a b
 
. 
² ² ² ² ²
² 0 0
² ² ² ² ²
x y x y z
z
a b a b c
      
, para c=1. 
Temos a equação de um cone elíptico. 
A variação de v e u 
0 2
0
v
u


 
 
 
Q04⤇21Determine as famílias de curvas ortogonais às famílias de curvas 
2 2 2x y r 
: 
Observamos que 
2 2 2x y r 
, são circunferências com raios r e centro na origem. 
À medida que r varia temos novas circunferências, ou seja, 
consideremos 0<r<5, com r natural, teremos circunferências com raio 
1, 2 , 3 e 4. 
A parametrização da circunferência é dada por 
( ) ( cos , )t r t rsent 
 
O vetor velocidade da curva parametrizada é dado por 
'( ) ( , cos )F t rsent r t  
. 
 Vimos na aula que o vetor ortogonal a F é dado por 
( )F t  
. 
Seja, 
( , ) ( ( , ), ( , ))F x y f x y g x y
 e 
 ( , ) ( , ), ( , )F x y g x y f x y  
, 
consideremos: 
( , ) cos
( , ) .
f x y r t
g x y r sent


 
Observamos que: 
'( , ) ( cos , . ) '
'( , ) ( . , cos ) '
F x y r t r sent
F x y r sent r t

 
 
Ou 
( , ) ( '( , ), '( , ))F x y f x y g x y 
, pois 
 ( , ) ( , ), ( , )F x y g x y f x y  
, que é 
 ( , ) ( ), cosF x y rsent r t  
. 
Desta forma em cada ponto da curva 

, 
F 
 aponta na direção contrária do vetor posição. 
A reta passando pela origem na direção de 
F 
 é a curva integral de 
F 
, que pelo que vimos na aula é 
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Francisco Genival Beserra da Silva 
ortogonal à curva 

. As retas passando pela origem tem a forma 
.y c x
, onde c é uma constante. 
Logo, 
.y c x
 são as famílias de curvas ortogonais às famílias de curvas 
2 2 2x y r 
. 
Q05⤇33Ache a função que transforma a bola esférica 
2 2 2u v w 1  
 na bola elipsóidica 
22 2
2 2 2
yx z
a b c
1  
. 
Determine também a função 
F: 3 3R R
 que transforma um paralelepípedo retângulo na bola elipsóidica e 
defina esse paralelepípedo. 
 
I) Segue as inequações: 
² ² ² 1
² ² ²
1
² ² ²
u v w
x y w
a b c
  
  
 daí obtemos: 
 
²
² ² ². ² .
²
²
² ² ². ² .
²
²
² ' ² ². ²' .
²
x
u x a u x a u
a
y
v y b v y b v
b
w
w w c w w c w
c
    
    
    
 
 
Então segue: 
( , ) ( , , )T u v au bv cw
. 
II) 
Tomemos: 
² ² ²
1
² ² ²
x y w
a b c
  
. 
Agora consideremos: 
² cos ² 1
² (1) cos ² 1
² (cos ² ² ) cos ² 1
² cos ² ² ² cos ² 1
sen
sen
sen sen
sen sen sen
 
 
   
    
 
 
  
  
Usando a relação 
² cos ²sen  
=1 
 
Fazendo a relação entre os valores obtidos temos: 
² ² ²
² cos ² ² ² cos ²
² ² ²
x y w
sen sen sen
a b c
         
 
Daí, obtemos: 
²
² cos ² ² ² ² cos ² . cos
²
²
² ² ² ² ² ² .
²
²
cos ² ² ² cos ² .cos
²
x
sen x a sen x a sen
a
y
sen sen y b sen sen y b sen sen
b
w
w c w c
c
     
     
  
    
    
    
 
 
( , , ) ( . cos , . , .cos )x y w a sen b sen sen c     
 
Logo, 
( , , ) ( . cos , . , .cos )f r ar sen br sen sen cr       . 
Consideremos a função 
( , ) ( , , )T u v au bv cw
definida no paralelepípedo 
0 1
0 2
0
r
C  
 
 

  
  
.