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CÁLCULO DIFERENCIAL 2 PORTFÓLIO 07 Francisco Genival Beserra da Silva AULA 06 Tópico 01 Nos exercícios 1 a 6, encontrar os vetores tangentes às curvas paramétricas da imagem da função dada no ponto indicado. E faça uma figura mostrando as curvas que contém o ponto e os vetores tangentes: Q01⤇a03. H(u, v) (2 cos u, 2sen u, v) e Q( 2, 2, 2); 2cos 2 2 cos 2 u u 4 u . O ponto ( 2, 2,2) na imagem de H, corresponde ao ponto ( ,2) 4 no domínio de H. ( , ) ( 2 ,2cos ,0)uH u v senu u . O vetor tangente à curva u-parâmetro em ( 2, 2,2) é ( , 2) ( 2, 2,0) 4 uH . ( , ) (0,0,1) ( , 2) (0,0,1) 4 v v H u v H Daí o vetor tangente à curva v-parâmetro em ( 2, 2,2) é ( , 2) (0,0,1) 4 vH . As curvas u-parâmetro e v-parâmetro são dadas por: ( ,2) (2cos ,2 ,2)H u u senu e ( , ) ( 2, 2, ) 4 H v v . Gráfico: ( , ) ( 2, 2, ) 4 H v v é uma reta variando em relação a Z e fixo em relação a x e y. Q01⤇b05. J(u, v, w) (u cos v, u sen v, w) e Q( 2, 2, 2); cos 2 2 cos . 2 2 u v v u u senv senv u então, 2 cos 4 senv v u v Segue que 2 cos 4 2 2 2 u u , daí temos que 2u e podemos observar que w=2. Para ( , , )J u v w ; O ponto ( 2, 2,2) na imagem de J corresponde ao ponto (2, ,2) 4 no domínio de J. Temos: ( , , ) (cos , ,0)uJ u v w v senv CÁLCULO DIFERENCIAL 2 PORTFÓLIO 07 Francisco Genival Beserra da Silva O vetor tangente à curva u-parâmetro em ( 2, 2,2) é 2 2 (2, ,2) ( , ,0) 4 2 2 uJ . Se; ( , , ) ( . , cos ,0)vJ u v w u senv u v O vetor tangente à curva v-parâmetro em ( 2, 2,2) é (2, , 2) ( 2, 2,0) 4 vJ Por outro lado: ( , , ) (0,0,1)wJ u v w O vetor tangente à curva w-parâmetro em ( 2, 2,2) é (2, , 2) (0,0,1) 4 wJ . As curvas u-parâmetro, v-parâmetro e w-parâmetro são dadas por: 2 2 ( , , 2) ( , , 2) 4 2 2 J u u u (2, ,2) (2cos ,2 ,2)J v v senv (2, , ) ( 2, 2, ) 4 J w w Gráfico: Se F : A m nR R ( , , )m e n com m n 3 4 2 3 1 representa o fluxo (bidimensional se n = 2 e tridimensional se n = 3) de um fluido, então para cada t fixo, o campo vetorial F t é chamado de campo velocidade do fluxo no tempo t; o fluxo é dito estacionário ou variável conforme tal campo seja independente ou dependente de t, respectivamente. Nos exercícios 7 a 9, se a função dada define o fluxo de um fluido, ache o campo velocidade V do fluxo e verifique que o fluxo é estacionário: Q02⤇07. F x y t xe yet t( , , ) ( , ); ( , , ) ( , ) ( , ) .1.( , ) .( , ) t t t t t F x y t xe ye F e x y e x y t t F e x y t Considerando t t u xe v ye , obtemos: ' ' t t t t u xe v ye . Daí considerando V(u,v), ( , ) ( , ) V u v u v t t Logo ( , ) ( , )V u v u v , como o campo independe de t este é estacionário. Tópico 02 Nos exercícios 10 e 11, verifique se existe uma função cuja matriz da diferencial, num ponto qualquer é dada pela matriz indicada: Q03⤇10. y y x ny y ; e xe A matriz Jacobiana foi obtida a partir da transformação. Supomos a função f(x,y), tal que a matriz Jacobiana obtida seja: ln y y x y y e xe Antiderivando a primeira coluna em relação a x e a segunda em relação a y, temos: ln ln y y ydx x y e dx xe e 1 ln y y y x dy x dy x y y y xe dx x e dx xe Logo, a função cuja matriz da diferencial, num ponto qualquer é dada pela matriz ln y y x y y e xe é ( , ) ( ln , )yf x y x y xe . CÁLCULO DIFERENCIAL 2 PORTFÓLIO 07 Francisco Genival Beserra da Silva Q04⤇16. Se F é uma função diferenciável tal que 1 2 F'' ( 1,1) 1 0 0 1 e 2 2G(x, y) F x 2y, 2y x , calcule G' (1, 1). h(x,y)= temos que: G(x, y)= F(h(x, y)). Assim percebe-se que h é de classe c1 (contínuas), assim diferenciável. Logo: G´(1,-1)= f´(h(1,-1)), h´(1,-1) h(1,-1)= (-1,1) .h´(1,-1)= ( , ) (1, 1) ( ² 2 ) ( ² 2 ) (2 y ² x) (2 y ² ) x y x y x y x y x x y = = ( , ) (1, 1) 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 2 0 6 2 2 daí, G'(1,-1)= 1 0 * 2 2 1 4 0 -1 1 4 x y x x x x y Q05⤇22. Se u f (x, y) e v g(x, y) são diferenciáveis, além disso x r cos e y rsen , mostre que: (a) x x r r 1 u v u v cos u v sen ; r Veja que podemos usar: ( , ) ( cos , )u f f x y f r rsen ( , ) ( cos , )v g g x y g r rsen Daí, temos: . . .cos . . . .cos . . . .( ) .( cos ) . cos . . . .( ) .( cos ) . cos . r x r y r x y r x r y r x y x y x y x y x y x y x y u f x f y u u sen v g x g y v v sen u f x f y u rsen u r rsen u r u v g x g y v rsen v r rsen v r v Vamos partir do segundo membro para chegar no primeiro: r r x y x y x y x y x y x y x y x y x 1 u v cos u v sen r 1 u .cos u .sen v .cos v .sen cos [ rsen .u r cos .u rsen .v r cos .v )]sen r u .cos ² u .sen cos v .cos ² v .sen cos sen² .u sen cos .u sen² .v sen cos .v u (cos ² sen x x x² ) v (cos ² sen² ) u v (b) y y r r 1 u v u v sen u v cos . r Análogo ao item a temos: r r x y x y x y x y x y x y x y x y y 1 u v sen u v cos r 1 u .cos u .sen v .cos v .sen sen [ rsen .u r cos .u rsen .v r cos .v )]cos r u .cos sen u .sen² v .cos sen v .sen² cos sen .u cos ² .u cos sen .v cos ² .v u (sen² cos y y y² ) v (sen² cos ² ) u v
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