Segundo Trabalho de Calculo I

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FUNDAC¸A˜O EDSON QUEIROZ
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
CENTRO DE CIEˆNCIAS TECNOLO´GICAS - CCT
Disciplina de Ca´lculo I
Trabalho de Limite e Derivada
Aluno(a): Matr´ıcula:
1. Calcule os seguintes limites usando as propriedades operato´rias.
(a) lim
x→+∞
10x7 + 3x4 − x + 2
5x7 + x3 + 1
. (b) lim
x→−∞
x10 − x5 + 20
x15 − x8 + x . (c) limx→1
x3 + x2
x3 − x .
2. Seja f uma func¸a˜o alge´brica definida por f (x) =
x3 + x2 + 1
(x− 1) (x2 + 4) .
(a) A reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f ?
(b) A reta y = 1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f ?
3. Uma empresa fabrica um gravador de DVD para computadores pessoais. O gerente de vendas
observa que t semanas apo´s o in´ıcio de uma campanha publicita´ria, P (t) por cento dos fregueses
em potencial ja´ conhecem o produto, em que
P (t) = 100
(
t2 + 5t + 5
t2 + 10t + 30
)
.
(a) A que taxa a percentagem do mercado P (t) esta variando com o tempo apo´s cinco semanas?
(b) O que acontece com a porcentagem P (t) a longo prazo, isto e´, quando t→ +∞?
4. Um planejador urbano, modela a populac¸a˜o P (t) de certo bairro daqui a t anos (em milhares
de moradores) por meio da func¸a˜o
P (t) =
40t
t2 + 10
− 50
t + 1
+ 70.
(a) Qual e´ a populac¸a˜o atual do bairro?
(b) Use a teoria de limite no infinito para verificar o que acontece com a populac¸a˜o a longo prazo
(isto e´, quando t→ +∞)
5. Se a temperatura do ar em certo dia e´ 80◦F, o ı´ndice de calor I (h) (tambe´m em ◦F ) e´ dado
aproximadamente pela seguinte func¸a˜o, em que h e´ a umidade relativa do ar em forma de porcent-
agem:
I (h) =

80 para 0 ≤ h ≤ 40
80 + 0, 1 (h− 40) para 40 < h ≤ 80
0, 005h2 − 0, 65h + 104 para 80 < h ≤ 100
(a) Qual e´ o ı´ndice de calor quando a umidade relativa do ar e´ 30%? E quando a umidade do ar e´
90%?
(b) O ı´ndice de calor I (h) e´ cont´ınuo em h = 40? E em h = 80?
6. O raio da terra e´ de aproximadamente 6.400 quiloˆmetros. Um corpo situado a x quiloˆmetros do
centro da terra pesa P (x) kg, em que
P (x) =
{
Ax para x ≤ 4.000
B
x2
para x > 4.000
e A e B sa˜o constantes positivas. Qual deve ser a relac¸a˜o entre A e B para que P (x) seja cont´ınua
para qualquer valor de x?
7. Encontre a equac¸a˜o das retas tangente e normal ao gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 + 2 no ponto
(1, 3) usando a definic¸a˜o de derivada num ponto.
8. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es usando as propriedades operato´rias.
(a) f (x) =
1
x3
+
3
3
√
x
− x + 3. (b) g (x) = (3x2 + 2)√5x2 + 1.
(c) h (x) =
x3 − x2 + 1
x5 + x3 − 1 . (d) r (x) =
5
√
(x2 − 2x)3.
9. O gerente de uma empresa que fabrica calculadoras cient´ıficas observa que, se x mil calculadoras
sa˜o produzidas, todas sa˜o vendidas quando o prec¸o unita´rio e´ dado pela func¸a˜o
P (x) =
1.000
0, 3x2 + 8.
A receita obtida com a venda de x mil calculadoras e´ dada pela func¸a˜o R (x) = xP (x) mil reais.
Use a regra do quociente de derivadas para calcular a taxa de variac¸a˜o da receita quando sa˜o
fabricadas 3.000 calculadoras (x = 3).