Lista de Limites 2

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1) Uma indústria vai produzir uma caixa fechada com base quadrada com volume de 2000 cm³. O material 
da tampa e da base vai custar R$ 3,00 por cm² e o material para os lados R$ 1,50 por cm². Determine: (a) a 
função que expressa o custo total do material utilizado; (b) o domínio da função custo e (c) mostre que essa 
função é contínua em seu domínio. 
2) Um atacadista vende um produto por quilo (ou fração de quilo); se forem pedidos não mais que 10 kg, o 
atacadista cobrará R$ 1,00 por kg. No entanto, para incentivar pedidos maiores, ele cobra R$ 0,90 por kg, se 
mais de 10 kg forem comprados. 
a) Encontre um modelo matemático que expresse o custo total do pedido; 
b) Faça um esboço do gráfico da função custo; 
c) Explique o significado da descontinuidade no gráfico para esta situação. 
3) Um estacionamento cobra R$ 2,00 para a primeira hora (ou para qualquer fração) e R$ 1,00 para cada 
meia hora subsequente (ou para qualquer fração) até uma diária máxima de R$ 10,00. 
(a) Esboce o gráfico do custo como função do tempo de estacionamento. 
(b) Discuta o significado da descontinuidade no gráfico para um usuário que utiliza o estacionamento. 
4) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços retangulares de papelão com 
dimensões de 16 por 30 cm. Para isso, ele pretende retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando a 
seguir os lados. (a) Se x cm for a medida do lado dos quadrados a serem cortados, encontre o modelo 
matemático que expresse o volume V como uma função de x. (b) Quais os valores permitidos para x, ou seja, 
qual o domínio da função V? (c) Mostre que essa função é contínua em seu domínio. 
5) Uma indústria pretende fabricar cilindros com uma área da seção transversal 9 cm² para um certo motor. 
Esses cilindros põem ser fabricados com uma margem de erro em relação ao diâmetro do cilindro ideal, cujo 
diâmetro é de 0 3,385x = cm, e ter ainda a área diferindo de no máximo 0,01 cm² das 9 cm² necessárias. Para 
descobrir isso, utiliza-se a área em função de x dada por ( )23 / 2A x= e procura o intervalo no qual tem de 
manter x para fazer 9 0,01A − ≤ . Qual intervalo você encontra? 
6) Na teoria da relatividade a massa de uma partícula com velocidade v é 0
2
21
m
m
v
c
=
−
 em que m0 é a 
massa da partícula no repouso e c, a velocidade da luz. O que acontece se v c→ ? 
7) Na teoria da relatividade, a fórmula de contração de Lorentz 2 20 1 vL L c= − expressa o comprimento L 
de um objeto como uma função de sua velocidade v em relação a um observador, onde L0 é o comprimento 
do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre lim
v c
L
−→
 e interprete o resultado. Por que é necessário 
o limite à esquerda? 
8) Um torneiro mecânico irá fabricar um disco de metal circular com área de 1000 cm². (a) Qual o raio do 
disco produzido? (b) Se for permitido ao torneiro uma tolerância de erro de 5± cm² na área do disco, quão 
próximo do raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio? (c) Em termos de ε e δ de 
lim ( )
x a
f x L
→
= , o que é x? O que é a? O que é L? Qual o valor de ε dado? Qual o valor correspondente de δ ? 
9) Uma fornalha para produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de 
manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção 
perfeita do cristal, a temperatura deve ser controlada precisamente, ajustando-se à entrada da potência. 
Suponha que a relação seja dada por 2( ) 0,1 2,155 20T w w w= + + , onde T é a temperatura em graus Celcius e 
w é a potência de entrada em watts. (a) Qual a potência necessária para manter a temperatura em 200 ºC? (b) 
Se for permitida a variação de 1± ºC a partir de 200 ºC, qual será a imagem da potência permitida para a 
entrada? (c) Em termos de ε e δ de lim ( )
x a
f x L
→
= , o que é x? O que é a? O que é L? Qual o valor de ε 
dado? Qual o valor correspondente de δ ? 
10) A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do 
planeta é 
3
2
 
( )
 
GMr
se r R
rF r
GM
se r R
r

<
= 
 ≥

 
Onde M é a massa da Terra, R é seu raio, e G é a constante gravitacional, F é uma função contínua de r? 
11) (a) Um tanque contém 5.000 litros de água pura. A salmora contendo 30 g de sal por litro de água é 
bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25 L/min. Mostre que a concentração de sal após t minutos 
(em gramas por litro) é 
30( )
200
tC t
t
=
+
. 
(b) O que acontece com a concentração quando t → ∞ ? 
12) As taxas para despachar cargas por navios são frequentemente baseadas em fórmulas que oferecem o 
preço menor por quilo quando o tamanho da carga é maior. Suponha que x quilos seja o peso de uma carga, 
C(x) seja o custo total e 
0,80 se 0 50
( ) 0,70 se 50 200
0,65 se 200
x x
C x x x
x x
< ≤

= < ≤
 <
 
Ache cada um dos limites: 
50 50 200 200
lim ( ), lim ( ), lim ( ), lim ( )
x x x x
C x C x C x C x
− + − +→ → → →
 e faça um esboço do gráfico de C. 
13) Verifique se o limite indicado existe, caso exista determine o seu valor: 
 a. 2
x 1
lim 4x 2x 2;
→
− + b. ;
1x
1xxlim
4
2
0x +
+−
−→
 c. ;
1x
1xlim 2
3
1x +
+
+
−→
 d. ;
1xx
x22xlim 22x +−
−+
−→
 
 e. {
x 1
2 se x 1lim f (x) se f (x) ;2 se x 1→
− ≤
=
>
 f. { 2
x 2
1 se x 2lim g(x) se g(x) ;
x 2 se x 2→
=
=
− ≠
 
g. 
x 2 x 2 2
1 se x 2
lim h(x) e limh(x) se h(x) 1 se x 2 ;
x 4 se x 2 e 2
x 2
→− →

− = −
= =

− ≠ − +
 
h. ;2x
4xlim
2
2x −
−
+→
 i. ;
x2
x2xlim 3
2
2x −
−
→
 j. ;
1x
2xxlim 2
4
1x −
−+
+→
 k. ;
2xx
1x2xlim 2
2
1x
−+
+−
→
 
l. ;
2xx
8xlim 2
3
2x −−
−
−→
 m. ;1x
xxlim
1x −
−
→
 n. 
2
x 3
2x x 3lim ;3 x+→
− −
−
 o. ;
4x
2xlim
4x −
−
+→
 
p. ;
1x
1xx2lim 21x
−
−−
→
 q. ;2x
xx4lim
3
2x −
−
→
 r. ;1x
1xlim
3
1x +
+
−→
 r. ;1x
x2xlim
33
1x +
++
−→
 
t. ;
1x
xxlim 2
3
1x
−
−
→
 u. ;
xx
xlim 30x −+→
 v. ;
x43x
2xxlim
33 2
3
1x ++
++
−→
 w. ;
x1
x1lim
4
1x −
−
−→
 
x. ;
1x
1xlim
21x
−
+
−
−→
 y. ;
xx
xxlim
3
3
0x
−
+
−→
 
14) 
 
 
 
15) Use os gráficos para determinar um 0δ > , para todo x, tal que, 
 
 
 
 
 
16) 
 
 
 
 
 
17) Se ,1xse1x
1xse1ax)x(f 2



−>+
−<−
= encontre o valor de a para que )x(flim
1x −→
 exista. 
18) Se ,
1xsebx
1xse2
1xse1bxax
)x(h
2




>+
=
<+−
= ache os valores de a e b tais que 
x 1
lim h(x) h(1).
→
= 
19) Nos exercícios abaixo, verifique se o limite indicado existe, caso exista determine o seu valor: 
 a. ;
x4x
1x2x3lim 34
23
x
−
−+
+∞→
 b. ;
1x
2xlim
2x
−
+
+∞→
 c. ;
1x
1xlim
2x +
−
∞−→
 d. ( );xxlim
x
−
+∞→
 e. ;
1x
xlim 21x −−−→
 
 f. ;2x
1xlim
2x +
−
+
−→
 g. ;
3x2x
4xlim 23x
−−
−
→
 h. ;
)1x(
1xlim 4
3
1x
−
−
→
 i. ;
xx
xxlim 3
23
1x
−
+
→
 j. ;
xx
xxlim 23
3
0x
−
−
→
 
k. 
2
3x 1
x 1lim ;
x 1→ −
+
+
 l. ;
x
xxlim
0x
−
+→
 m. ;
1x
1
1x
1lim 21x 




−
−
+−→
 n. ;
xx3
x2xlim 2
3
x +
+
∞+→
 o. ;2x
1xxlim
2
x −
++
∞−→
 
p. ;
xx5
2x3lim 2
3
x
−
−
+∞→
 
20) Nos exercícios abaixo, verifique se o limite indicado existe, caso exista determine o seu valor: 
 a. ;
xsen
xlim
0x→b. ;
xcos1
xlim
2
0x −→
 c. 
t
sen tlim ;
t→pi pi −
 d. ;
x2sen
x5lim
0x→
 
 e. ;
x
xsenlim
0x +→
 f. 
2t 2
cos tlim ;
tpi pi→ −
 g. ;
xsen
xcosxlim
2
0x→
 
 
21) Verifique se a função dada é contínua no valor indicado: 
 a. ;1c,
1x
1xx3)x(f 3
2
−=
−
+−−
= b. ;0c,0xse1
0xse1)x(h =



≥
<−
= c. ;2c,
2xse3
2xse2x
4x
)x(m
2
=




=
≠
−
−
= 
 
 d. ;2c,
2xse2
x3
2xse1x
)x(F
2
−=




−≥−
−<−
= e. ;1c,
1xsexx
1xsexx)x(H 2
2
−=



−≤−
−>−
= 
 
f. ;1ce0c
1xse1x
,1x0sex1
0xse1x
)x(N
2
==




>−
≤≤−
<−
= 
 
22) Nos exercícios abaixo, encontre os valores das constantes a e/ou b, para que a função dada seja 
contínua em ( , ):−∞ +∞ 
a. ;
1xse2x
1xsexa)x(f 2
2



−≥+
−<+
= b. ;2xse3bxx
2xsebx)x(g 2



<−+
≥−
= 
c. ;
2xsexb
2x2sebax
2xseax
)x(h 2




≥−
<<−+
−≤−
= d. .
3xseaxbx
3x1sebxax
1xsea2x
)x(j
2
2




≥−
<≤+
<−−
= 
 
 
 
 
 
Algumas respostas 
13) a. 2; c. 0; e. Não existe; g. 4− e 0; i. 2; k. ;2
5
 m. 4; o. ;3
2
 q. ;3
2
− s. ;3
2
 u. 0; w. 0; 
y. -1. 18. a e b= =2 1; 19) a. 0; c. -1; d. −∞; f. −∞; h. ∞; j. ∞; L. +∞; m. ∞; o. −∞; 
20) a. 1; c. 1; e. +∞; f. −1; g. 0. 
21) a. contínua; b. descontínua; c. descontínua; d. contínua; e. descontínua; f. descontínua em 0 e contínua em 
1 
22) b. ;3
1
 d. ;4
1ba −==