TESTES DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS

Prévia do material em texto

21/04/2017
1
ESTES
COMPARAÇÃO DE MÉDIAS
T
Tabela de Análise de Variância – (ANOVA)
Fonte de 
Variação
Soma de
Quadrados
gl
Quadrados 
Médios
F
Tratamentos k-1
Erro K(n-1)
Total Kn -1
N
y
n
y
SQ
k
i i
i
TRAT
2
..
1
2
. 


 

k
i
n
j
ijTotal
N
y
ySQ
1 1
2
..2
 
1

k
SQ
QM TRATTRAT
 
)1(
 


nk
SQ
QM ERROERRO
ERRO
TRAT
QM
QM
F 
SQERRO = SQTotal - SQTRAT
• Rejeito Ho se: F > F (k – 1; k(n - 1) 
• Não rejeita Ho se: F  F (k – 1; k(n - 1) 
Valor-p
Regra de decisão: Abordagem Clássica
21/04/2017
2
Tabela da ANOVA
Fonte de 
Variação
Graus de 
liberdade
Somas de quadrados 
(SQ)
Quadrados Médios 
(QM)
Fcalc. Ftab.
Variedade 3 163,75 45,58 6,511 > 3,14
Erro 16 112,00 7,00
Total 19 275,75 ---
Como Fcalc > Ftab rejeita-se a hipótese H0, ou seja, pelo menos
duas variedades de milho diferem entre si em relação à
produção em kg/m².
Pelo menos duas?? Quais diferem??
Testes de
comparações 
múltiplas
COMPARAÇÕES DAS MÉDIAS DOS TRATAMENTOS
Quando o teste F da Análise de Variância for 
significativo devemos identificar as diferenças 
entre os efeitos dos tratamentos. 
Os efeitos dos tratamentos não são estimáveis mas a
média de um tratamento qualquer é uma estimativa
de:
Assim a diferença entre as médias dos tratamentos A e B é 
dada por:
A comparação entre duas 
médias de tratamentos 
corresponde à 
comparação entre os 
efeitos desses 
tratamentos. 
COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS
Quando o fator for qualitativo, o procedimento 
apropriado para a comparação das médias dos 
tratamentos é a comparação das médias tomadas 
2 a 2.
Se o experimento tem K tratamentos são possíveis K(K -
1)/2 comparações do tipo: para i ≠ j.
As hipóteses para cada comparação são do tipo: 
(1 – α)n 
A probabilidade do Erro 
Tipo I em cada teste é α.
A probabilidade de não 
rejeitarmos hipóteses 
verdadeiras em todas as 
n = K(K - 1)/2 
comparações é: 
Se o experimento tiver 3 
tratamentos as 
comparações das médias 
2 a 2 são:
21/04/2017
3
COMPARAÇÕES DE MÉDIAS DE TRATAMENTOS
Quando o fator for qualitativo o procedimento 
apropriado para o estudo dos efeitos dos tratamentos é 
a comparação das médias obtidas no experimento.
Quando os tratamentos não apresentam
nenhuma estrutura de grupos o usual é
comparar todas as médias, tomadas duas
a duas.
Se existem grupos de tratamentos com
características bem definidas constituindo
uma estrutura de grupos, o interesse pode
estar em comparar as médias destes
grupos.
EXEMPLO
Tratamentos (quatro 
cultivares de arroz)
A – Pratão
B – Dourado Precoce
C – Pérola
D – Batatais
EXEMPLO
Tratamentos - cinco tipos de 
adubação, usando ou não matéria 
orgânica (MO)
A – Sem adubo
B – Farinha de Osso
C – Farinha de Osso + MO
D – Fosfato de Araxá
E – Fosfato de Araxá + MO
COMPARAÇÕES 
DE MÉDIAS DE 
TRATAMENTOS
PASSOS PARA COMPARAÇÕES DE MÉDIAS DE
TRATAMENTOS:
1 - Definir as comparações na forma de contrastes 
de médias de tratamentos;
2 - Definir as hipóteses estatísticas ;
3 - Definir o nível de significância;
4 - Calcular as estimativas dos contrastes;
5 - Decidir sobre o critério, dependendo do teste 
escolhido;
6 - Utilizar a regra de decisão
Tabela da ANOVA
Fonte de 
Variação
Graus de 
liberdade
Somas de quadrados 
(SQ)
Quadrados Médios 
(QM)
Fcalc. Ftab.
Variedade 3 163,75 45,58 6,511 > 3,14
Erro 16 112,00 7,00
Total 19 275,75 ---
Como Fcalc > Ftab rejeita-se a hipótese H0, ou seja, pelo menos
duas variedades de milho diferem entre si em relação à
produção em kg/m².
Pelo menos duas?? Quais diferem??
Testes de
comparações 
múltiplas
EXEMPLO DAS VARIEDADES DE MILHO
21/04/2017
4
Contraste de médias: combinação linear das médias 
de tratamentos.
II ycycycY  ...
ˆ
2211
em que:
0
1


I
i
ic
Variância de um contraste de médias
Tratamentos com o mesmo número de repetições:
Tratamentos com diferentes número de repetições:
  


I
i
ic
r
QMErro
YV
1
2ˆˆ
  


I
i i
i
r
c
QMErroYV
1
2
ˆˆ
Qualquer contraste entre duas médias (todas as combinações)
   YVq vt ˆˆ
2
1
,
No exemplo das variedades de milho (r = 5) 
 
r
QMErro
q vt ,
É a amplitude total estudentizada obtida na tabela
de Tukey com t tratamentos e v graus de liberdade
do erro (ou resíduo) para um nível alfa de
significância.
TESTE DE TUKEY
Quais os possíveis contrastes?
Variedades Médias
D 31
B 27
C 26
A 23
Médias ordenadas
32326ˆ
42327ˆ
12627ˆ
82331ˆ
52631ˆ
42731ˆ
136
125
324
143
342
241






yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
Se o teste é significativo ( ) .
Se o teste é significativo ( ) .
iYˆ ji yy 
iYˆ
ji yy 
TESTE DE TUKEY
21/04/2017
5
32326ˆ
42327ˆ
12627ˆ
*82331ˆ
*52631ˆ
42731ˆ
136
125
324
143
342
241






yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
Se o teste é significativo ( ) .
Se o teste é significativo ( ) .
iYˆ ji yy 
iYˆ
ji yy 
 
r
QMErro
q vt ,
8,4
5
00,7
05,4%5 
Diferença mínima significativa
1,6
5
00,7
19,5%1 
α=5%
α=1%
TESTE DE TUKEY
32326ˆ
42327ˆ
12627ˆ
*82331ˆ
*52631ˆ
42731ˆ
136
125
324
143
342
241






yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
Variedades Médias*
D 31 a
B 27 ab
C 26 b
A 23 b
Tabela. Valores médios de produção,
kg/m², em função das variedades de
milho.
* Médias seguidas de mesma letra minúscula
não diferem entre si pelo teste de Tukey para
um nível de significância de 5%.
TESTE DE TUKEY
Contraste entre médias
Tukey: Utiliza o mesmo valor da amplitude estudentizada (q);
Duncan: A amplitude estudentizada varia em função do número 
de médias abrangidas no contraste.
 
r
QMErro
Z vt ,'
É a amplitude total estudentizada obtida na tabela
de Duncan com t’ tratamentos abrangidos pelo
contraste e v graus de liberdade do erro (ou resíduo)
para um nível alfa de significância.
Diferença mínima significativa
TESTE DE DUNCAN
21/04/2017
6
Contraste com 4 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
 
5
00,7
16,44 Z
“O teste inicia comparando a maior com a menor média”
4 médias ordenadas
82331ˆ 141  yyY
TESTE DE DUNCAN
D=31; B=27; C=26; A=23
  8,3
5
00,7
23,3
5
00,7
16,44  Z
“O teste inicia comparando a maior com a menos média”
4 médias ordenadas
*82331ˆ 141  yyY Como
o teste é
significativo
( ) .
1Yˆ
ji yy 
Contraste com 4 médias ordenadas
TESTE DE DUNCAN
Contraste com 3 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
 
5
00,7
16,33 Z
52631ˆ 342  yyY
42327ˆ 123  yyY
TESTE DE DUNCAN
21/04/2017
7
Contraste com 3 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
  7,3
5
00,7
15,3
5
00,7
16,33  Z
*52631ˆ 342  yyY
*42327ˆ 123  yyY
Como e o teste é significativo ( ) .
2Yˆ 3Yˆ ji yy 
TESTE DE DUNCAN
Contraste com 2 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
 
5
00,7
16,22 Z
4Yˆ 5Yˆ 6Yˆ
32326ˆ
12627ˆ
42731ˆ
136
325
244



yyY
yyY
yyY
TESTE DE DUNCAN
Contraste com 2 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
4Yˆ 5Yˆ 6Yˆ
ns
ns
yyY
yyY
yyY
32326ˆ
12627ˆ*42731ˆ
136
325
244



  5,3
5
00,7
0,3
5
00,7
16,22  Z
Como o teste é significativo ( ) .
4Yˆ ji yy 
Como e o teste é
NÃO significativo ( ) .
5Yˆ 6Yˆ
ji yy 
TESTE DE DUNCAN
21/04/2017
8
Reunindo as informações
 
 
 
 
 
 5,332326ˆ
5,312627ˆ
5,3*42731ˆ
7,3*42327ˆ
7,3*52631ˆ
8,3*82331ˆ
2136
2325
2244
3123
3342
4141






ns
ns
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
Variedades Médias*
D 31 a
B 27 b
C 26 bc
A 23 c
Tabela. Valores médios de produção,
kg/m², em função das variedades de
milho.
* Médias seguidas de mesma letra minúscula
não diferem entre si pelo teste de Duncan para
um nível de significância de 5%.
TESTE DE DUNCAN
23
COMPARAÇÕES 
MÚLTIPLAS
TESTE TUKEY
A aplicação deste teste consiste em comparar a 
diferença entre as duas médias com: 
Se os tratamentos tiverem o mesmo no de
repetições:
21/04/2017
9
TESTE TUKEY
APLICAÇÃO DO TESTE TUKEY
Vamos utilizar um roteiro prático para a
aplicação do teste Tukey às médias dos
tratamentos.
As médias serão identificadas por letras:
os tratamentos cujas médias tenham pelo
menos uma letra em comum, têm efeitos
iguais na variável resposta, segundo o
teste Tukey, ao nível α de probabilidade.
Roteiro para aplicação do teste
Tukey
1 Ordenar as médias (ordem
decrescente)
2 Colocar a letra a para a maior
média. Esta é a primeira média
base
3 Subtrair a DMS da média base.
Toda média contida no intervalo
não difere da média base. A
primeira média fora do intervalo
é diferente da média base
4 Se o intervalo não contiver a
última média, mudar a base para
a próxima média senão parar
5 Se a média base for a última
média parar senão voltar ao
passo 3
TESTE TUKEY
Sejam os seguintes 
tratamentos e suas 
médias fictícias:
DMS = 5
Tratamento
s
Médias
D 88
A 104
B 99
E 86
C 91
Tratamento
s
Médias
A 104 a
B 99
C 91
D 88
E 86
Passos 1 e 2:
Passo 3: 104-5=99
Tratamento
s
Médias
A 104 a
B 99 a
C 91 b
D 88
E 86
Vamos aplicar o teste Tukey.
Tratamento
s
Médias
A 104 a
B 99 a
C 91 b
D 88
E 86
Passos 4 e 5
Tratamento
s
Médias
A 104 a
B 99 a
C 91 b
D 88
E 86
Passo 3: 99-5=94
Tratamento
s
Médias
A 104 a
B 99 a
C 91 b
D 88 b
E 86 b
Passos 4 e 5
Passo 3: 91-5=86
Tratamento
s
Médias
A 104 a
B 99 a
C 91 b
D 88 b
E 86 b
Passos 4 - FIM
Tratamento
s
Médias
D 88 b
A 104 a
B 99 a
E 86 b
C 91 b
Roteiro para aplicação do teste
Tukey
1 Ordenar as médias (ordem
decrescente)
2 Colocar a letra a para a maior
média. Esta é a primeira média base
3 Subtrair a DMS da média base.
Toda média contida no intervalo não
difere da média base. A primeira
média fora do intervalo é diferente
da média base
4 Se o intervalo não contiver a
última média, mudar a base para a
próxima média senão parar
5 Se a média base for a última
média parar senão voltar ao passo 3
EXEMPLO 1
Os dados são as produções em kg/10m2 de cinco
cultivares de milho. Foi utilizado o sorteio inteiramente ao
acaso para as parcelas.
EXPERIMENTO
Ficha do Experimento
Fator: CULTIVARES
Categorias: A, B, C, D e E
Tratamentos: A, B, C,D e E
No de Repetições: 4
Tamanho da Parcela: 10 m2
Bordadura: não informado
Aleatorização: Inteiramente ao
Acaso
Variáveis Resposta: Produção
(kg/m2).
Cultivares
Repetições A B C D E
I 2,6 2,0 1,9 1,2 2,2
II 3,2 2,2 1,8 1,1 2,2
III 2,8 1,6 2,0 1,3 2,2
IV 2,8 1,8 2,0 1,4 2,3
21/04/2017
10
CÁLCULOS DAS SOMAS DE QUADRADOS
EXEMPLO 1
Cultivares
Repetiçõe
s
A B C D E
I 2,6 2,0 1,9 1,2 2,2
II 3,2 2,2 1,8 1,1 2,2
III 2,8 1,6 2,0 1,3 2,2
IV 2,8 1,8 2,0 1,4 2,3
Totais 11,4 7,6 7,7 5,0 8,9 40,6
FV GL SQ QM Fc Fα%
Cultivares 4 5,39 1,35 45,00 * 3,06
Resíduo 15 0,47 0,03
Total 19 5,86
CÁLCULO DA DMS
O valor de q a 5% , para 5 médias e 15 GL do resíduo é obtido na tabela abaixo: 
Tabela 2 – Amplitude estudentizada para uso no teste de Tukey, ao nível de 5% de probabilidade
n1 – número de médias (tratamentos) n2 – número de graus de liberdade do resíduo
n1
n2
2 3 4 5 6 ...
...
13 3,06 3,74 4,15 4,45 4,69 ...
14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 ...
15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,60
16 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56
17 ... ... ... ... ...
n1
n2
2 3 4 5 6 ...
...
13 3,06 3,74 4,15 4,45 4,69 ...
14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 ...
15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,60
16 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56
17 ... ... ... ... ...
Aplicação do Teste Tukey
Roteiro para aplicação do teste 
Tukey
1 Ordenar as médias (ordem 
decrescente)
2 Colocar a letra a para a maior 
média. Marcar com média base
3 Subtrair a DMS da média base. 
Toda média contida no intervalo 
não difere da média base. A 
primeira média fora do intervalo 
é diferente da média base
4 Se o intervalo não contiver a 
última média, mudar a base para 
a próxima média senão parar
5 Se a média base for a última 
média parar senão voltar ao 
passo 3
Médias
Tratamento
s
Médias
A 2,9
B 1,9
C 1,9
D 1,3
E 2,2
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a
E 2,2
B 1,9
C 1,9
D 1,3
Passos 1 e 2:
Passo 3: 2,9 – 0,4 = 2,5
Passos 4 e 5
Passo 3: 2,2 – 0,4 = 1,8 
Passos 4 e 5
Passo 3: 1,9 – 0,4 = 1,5
Passos 4 e 5
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a
E 2,2 b
B 1,9
C 1,9
D 1,3
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a
E 2,2 b
B 1,9
C 1,9
D 1,3
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a
E 2,2 b
B 1,9 b
C 1,9 b 
D 1,3 c
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a
E 2,2 b
B 1,9 b
C 1,9 b 
D 1,3 c
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a
E 2,2 b
B 1,9 b
C 1,9 b 
D 1,3 c
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a
E 2,2 b
B 1,9 b
C 1,9 b 
D 1,3 c
Passo 3: 1,9 – 0,4 = 1,5
Passos 4 e 5 = FIM
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a
E 2,2 b
B 1,9 b
C 1,9 b 
D 1,3 c
DMS = 0,4
Tratamento
s
Médias
A 2,9 a 
B 1,9 b
C 1,9 b
D 1,3 c
E 2,2 b
21/04/2017
11
Tabela da Análise de Variância
FV GL SQ QM Fc Fα%
Cultivares 4 5,39 1,35 45,00 * 3,06
Resíduo 15 0,47 0,03
Total 19 5,86
EXEMPLO 1
CV = 8,5%
Cultivares Médias
A 2,9 a 
B 1,9 b
C 1,9 b
D 1,3 c
E 2,2 b
Produções Médias (kg/m2) de milho.
As médias seguidas da mesma letra não diferem
entre si pelo teste Tukey, ao nível de 5% de
probabilidade.