Lista de Limite e Derivada com resolução passo a passo

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAMAT - Departamento de Matemática
Cálculo I - Licenciatura em Química
Prof. Leandro da Silva Pereira
Lista 2 (parte 1)
1) Calcule lim
h→0 f(x+h)−f(x)h sendo f dada por:
a) f(x) = x2
b) f(x) = 2x2 + x
c) f(x) = 5
d) f(x) = −x3 + 2x
e) f(x) = 1x
f) f(x) = 3x + 1
2) Dada a figura abaixo, determine o que se pede. Caso o limite não exista, justifique.
a) lim
x →7− f(x)
b) lim
x →7+ f(x)
c) lim
x →7 f(x)
d) f(7)
e) lim
x →8− f(x)
f) lim
x →8+ f(x)
g) lim
x →8 f(x)
h) f(8)
i) lim
x →10− f(x)
j) lim
x →10+ f(x)
k) lim
x →10 f(x)
l) f(10)
m) lim
x →11− f(x)
n) lim
x →11+ f(x)
o) lim
x →11 f(x)
p) f(11)
q) lim
x →0− f(x)
r) lim
x →0+ f(x)
s) lim
x →0 f(x)
t) f(0)
3) Calcule os limites abaixo:
a) lim
x→2 x2
b) lim
x→1 (3x + 1)
c) lim
x→−2 (4x + 1)
d) lim
x→10 5
e) lim
x→ −9 50
f) lim
x→−1 (−x2 − 2x + 3)
g) lim
x→4 √x
h) lim
x→ −3 3√x
i) lim
x→ −8
√
5
j) lim
x→3 x2−9x−3
k) lim
x→3 x2−9x+3
l) lim
x→−1 x2−9x−3
m) lim
x→ 12
4x2−1
2x−1
n) lim
x→1
√
x−1
x−1
o) lim
x→ − 13
9x2−1
3x+1
p) lim
x→3
√
x−√3
x−3
q) lim
x→3 3
√
x− 3√3
x−3
2
r) lim
x→2 4
√
x− 4√2
x−2 s) limx→0 x2+3x−1x2+2 t) limx→1
√
x−1√
2x+3−√5
4) Como os limites do exercício 5 estavam muito fáceis (só que não ,), resolva os
limites abaixo:
a) lim
x→ −1 x3+1x2−1
b) lim
x→ 0 x3+x23x3+x4+x
c) lim
h→ 0(x2 + 3xh)
d) lim
h→ 0 (x+h)
3−x3
h
e) lim
x→ 3 x2−9x2+9
f) lim
x→ p 3
√
x− 3√p
x−p
g) lim
x→ p 4
√
x− 4√p
x−p
h) lim
x→ 2 x3−5x2+8x−4x4−5x−6
i) lim
x→ 1 x3−1x4+3x−4
j) lim
x→ 7
√
x−√7√
x+7−√14
k) lim
x→ p x3−p3x−p
l) lim
x→ p x4−p4x−p
m) lim
x→ p xn−pnx−p (n > 0 natural)
5) Explicite os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
a) f(x) = 1x b) f(x) = 1x+1 c) f(x) = x+2x2−4 d) f(x) = x+5x−5
6) A função f(x) = { 2x − 1, se x ≤ 33x − 4, se x > 3 é contínua no ponto x = 3? Justifique. Faça o
gráfico da função f .
7) A função f(x) = { x2 + 3, se x ≠ 210, é contínua no ponto x = 2? Justifique. Faça o
gráfico da função f .
8) Verifique se a função f(x) = x2−1x−1 é contínua para x = 1.
9) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos x1 dados. Esboce também
seus gráficos.
a) h(x) = { x2, se x ≤ 0−x2, se x > 0 ; x1 = 0
b) g(x) = ∣x − 3∣ ; x1 = 3
c) f(x) = { x + 1, se x < 21, se x ≥ 2 ; x1 = 2
d) u(x) = { x2 + x, se x > −10, se x ≤ −1 ; x1 = −1
10) Calcule f ′′(x) sendo f dada por:
a) f(x) = x100
b) f(x) = 1x7
c) f(x) = x−3
d) f(x) = 3√x
e) f(x) = 6√x
f) f(x) = 23√x12
11) Seja f(x) = 3√x. Encontre f ′(p) para p ≠ 0 e mostre que f ′(0) não existe.
12) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 1x2 no ponto de abscissa
x = 1. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
13) Determine a função derivada das seguintes funções:
3
a) y = 3x6 + 9x − 3
b) y = x− 59
c) y = 10 7√x6 − 9√
x
d) y = x 7√x2 + 5(x)4√x
e) y = x3 − x2 + 37x − 52
f) y = 17x19 + 13√x
g) y = 5 + 3x−2
h) y = 4x + 5√x
i) y = √xx+1
j) y = x+ 4√xx2+3
k) y = 5x + xx−1
l) y = x sen(x)
m) y = cos(x)x2+1
n) y = x+sen(x)x−cos(x)
o) y = x2+1sec(x)
p) y = 3√x−1x+1
q) y = x cotg(x)
r) y = cos(5x)
s) y = sen (cos(5x))
t) x = sen (t3)
u) y = sen (cos(x))
v) y = (sen(x) + cotg(x))2
w) y = (x3 +√x) cos sec(x)
x) y = tg (ln (√3x))
14) Utilizando a regra de L’Hopital, determine os seguintes limites:
a) lim
x→1 x100−x2+x−1x10−1
b) lim
x→+∞ e3xx2
c) lim
x→0 ex−e−xsen(x)
d) lim
x→+∞ log(x)x3
e) lim
x→+∞x2e−x
f) lim
x→0+ xe 1x
15) Calcule a derivada das funções abaixo.
a) f(x) = 5x + log3x
b) y = 2x2 + 32x
c) g(x) = 32x+1 + log2(x2 + 1)
d) y = (2x + 1)x
e) f(x) = xsen (3x)
f) g(x) = (3 + cos(x))x
g) y = xxsen(x), i constante
h) y = xx2+1
i) y = (1 + i)−t
j) y = 10x − 10−x
k) y = (2 + sen(x))cos (3x)
l) y = ln(1 + xx)
m) y = (1 + 1x)x
n) y = xxx
o) y = xpi + pix
p) y = (1 + x)e−x