Exercícios 3

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Exercícios 3.
E = U + K – energia total;
U – energia potencial;
K = m v2/2 – energia cinética;
Ei = Ui + Ki – energia total inicial;
Ef = Uf + Kf – energia total final;
(E = Ef – Ei = – W – trabalho feito pelo sistema;
W = 
 
caso de movimento unidimensional se F é constante W = F (xf – xi)cos(
onde ( é o angulo entre a direção da força F e a direção do movimento.
Exercícios 
1. Um bloco move com atrito na direção horizontal com a diminuição da velocidade. Determinar a distancia que o bloco passou de velocidade inicial até a final.
m – massa do bloco;
( – coeficiente do atrito;
Vi e Vf – as velocidades inicial e final do bloco, respectivamente;
s – distância que o bloco passou de momento inicial até o final;
Solução (1):
ma = Fa
onde 
a é aceleração e
Fa = (mg é força de atrito;
a = (g
Vf = Vi – at = Vi – (gt
t = (Vi - Vf) / (g
s = (Vi – Vf) t – at2/2 = Vi2/ (g - (Vi – Vf)2 (g / 2((g)2 = (Vi 2– Vf2) / 2(g;
Solução (2):
Ei = mVi2/2; 		Ef = mVf2/2;
(E = mVi2/2 - mVi2/2 = Fa s
s = = m(Vi2 - Vi2) / 2(mg = (Vi2 - Vi2) / 2(g
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2. Um pêndulo de massa m1 começa de oscilar de altura h e na altura igual 0 bate numa bola de massa m2. Depois a colisão o pêndulo está em repouso. Determinar a velocidade da bola.
V = ?
Ei = m1gh;		Ef = m2V2 / 2
(E = m2V2 / 2 - m1gh = 0
m2V2 / 2 = m1gh
V = 
�� EMBED Equation.3 
3. Um bastão de massa m começa de cair de altura h com a velocidade inicial V. Encontrando a superfície da areia ela se penetra numa distância d. Determinar a força da reação da areia.
m – massa de bastão;
h – altura de queda;
d – distância de penetração de bastão na areia;
V – velocidade inicial de bastão;
F = ? – força da resistência da areia;
Ei = mV2/2 + mgh;		Ef = 0;
-W = Fd = Ef – Ei = -Ef;
F = Ei / d = (V2/2 + gh) m / d
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4. Uma bala de massa m move com a velocidade V1 , bate uma tábua da espessura l1 e atravessa ela diminuindo sua velocidade até o valor V2. Depois isso ela bate outra tábua da espessura l2 e atravessa ela também diminuindo sua velocidade até um valor V3. Determinar o valor V3 se a força da reação da segunda tábua F é igual a da primeira.
Ei = mV12/2;	Ef1 = mV22/2
(E1 = Ef1 - Ei = mV22/2 - mV12/2 = -W1 = - Fl1;
F = m/2l1(V12 - V22)
Ef1 = Ei2;	Ef2 = mV32/2
(E2 = Ef2 - Ei2 = mV32/2 – mV22/2 = -W2 = - Fl2;
mV32/2 = mV22/2 - Fl2 = mV22/2 - m l2 (V12 - V22) /2l1;
V32 = V22 – l2/l1 (V12 - V22);
5. Um bloco da massa m está descendo sem velocidade inicial de altura h pelo um plano inclinado com o angulo da inclinação ( e com atrito caracterizado por coeficiente de atrito (. Determinar a velocidade V que o bloco vai obter na altura zero. 
Ei = mgh;	Ef = mV2/2;
(E = Ef – Ei = mV2/2 - mgh = -W = - Fah / sen(() = - (mg cos(() h / sen(()
mV2/2 = mgh (1 - ( ctg (());		V2 = 2 gh (1 - ( ctg (());
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6. Um bloco da massa m está descendo sem velocidade inicial de altura h pelo um plano inclinado com o angulo da inclinação ( e com atrito caracterizado por coeficiente de atrito (. Determinar a distância x que o bloco consegui passar na direção horizontal até parar se coeficiente de atrito nesta direção é igual o no plano inclinado.
Ei = mgh;	Ef = 0
(E = Ff – Ei = - mgh = -W 
W = W1 + W2 = (mg cos (() h / sen (() + (mg x = (mg h ctg (() + (mg x;
mgh = (mg h ctg (() + (mg x;
(mg x = mgh - (mg h ctg (();
x = h (1/( - ctg (()).
7 Um bloco de massa m está ligado com uma mola de comprimento h0 caracterizada por coeficiente elástico k. Quando o bloco foi liberado ele começou oscilar. Determinar a diferença (hmax entre a altura máxima e mínima da posição do bloco.
Ei = mgh0;	Ef = mg(h0 - (hmax) + 1/2 k ((hmax)2;
(E = 0; Ei = Ef;
mgh0 = mg(h0 - (hmax) + 1/2 k ((hmax)2;
1/2 k ((hmax)2 - mg(hmax + mgh0 = mgh0;
1/2 k ((hmax)2 - mg(hmax = (h(hmax (1/2 k (hmax – mg) = 0;
(hmax 1 = 0;
(hmax 2 = 2mg/k;
Incluímos (heq onde a força peso do bloco é igual da força da reação da mola:
mg = k(heq; 		(heq = mg/k;
(hmax 2 = 2(heq.
8. Uma bola de massa m está ligada com uma extremidade da uma mola de comprimento x0 caracterizada por coeficiente da elasticidade k. Outra extremidade da mola está fixada no parede. A bola foi afastada da posição do equilíbrio x0 até distancia xmax depois foi liberada e começou oscilar. Determinar a velocidade máxima Vmax1 da bola. 
Umax = 1/2 k((xmax)2;		onde	 (xmax = xmax – x0
Kmax = Umax = mVmax12 /2
mVmax12 /2 = 1/2 k((xmax)2
Vmax1 = 
(xmax = 
(xmax – x0)
9 Duas bolas da mesma massa m estão ligadas nas duas extremidades da uma mola de comprimento x0 caracterizada por coeficiente da elasticidade k. A distancia entre as bolas foi aumentada até xmax. Depois as bolas foram liberadas e começaram oscilar. Determinar a velocidade máxima Vmax2 da uma bola em relação da outra.
Qual é razão Vmax2 / Vmax1?
Umax = 1/2 k((xmax)2;		onde	 (xmax = xmax – x0
Pois as duas bolas têm a energia cinética igual
Kmax = Umax = mVmax2 /2 + mVmax2 /2 = mVmax2
mVmax2 = 1/2 k((xmax)2;	Vmax = 
(xmax = 
(xmax – x0)
Pois a velocidade de duas bolas é igual pelo módulo e contrario pela direção 
Vmax2 = 2Vmax =
(xmax – x0);	Vmax2 / Vmax1 = 
10. Um passageiro de massa m sobe através de uma escada rolante, de comprimento L, em duas situações: a) parado sobre a escada (fig A); e b) com velocidade V1 (fig B). Sabendo que a velocidade de rolagem da escada é V e sua inclinação em relação ao solo é (, calcule o trabalho feito pela escada nas duas situações.
Fig. A 
 Fig. B 
Sol.: Calculando a energia final do passageiro no alto da escada para a sit. A :
Ef= mV2/2 +mgH = mV2/2 +mgLsen(
Ei =0 (energia no ‘pé’ da escada) ( 
 Ef – Ei = mV2/2 +mgLsen( = -W (Teorema Trabalho-Energia)
	
Analogamente para a situação B:
Ef = m(V+V1)2/2 +mgLsen( mas L = (V+V1)*t ( t = L/ (V+V1)
Distância percorrida pelo passageiro sobre a escada no tempo t: 
L1 =V1*t = V1*L/ (V +V1)
Altura que o passageiro se eleva do solo h1:
	h1 = L1sen( = V1*L*sen(/ (V +V1)
A energia gasta pelo passageiro é igual ao trabalho realizado por ele:
	Epass= m(V1)2/2 +mgsen( V1*L/ (V +V1) = Wpass
A energia total do passageiro é:
	Et = m(V+V1)2/2 +mgLsen( = Eescada + Epass (
Ef – Ei = m(V+V1)2/2 +mgLsen( - m(V1)2/2 = -Wt (trabalho total)
Wesc = -Wt + Wpass = m(V+V1)2/2 +mgLsen( - m(V1)2/2 
		+ m(V+V1)2/2 - mgsen( V1*L/ (V +V1)
Wescada = mV(V-2V1)/2 +mgLsen( [1- V1/ (V +V1) ]
11. Um pêndulo é constituído de um fio de comprimento L e uma massa M. O esmo oscila em um ângulo (. Coloca-se um anteparo a uma altura L1 que divide o movimento do pêndulo e o faz oscilar também no ângulo (1 (figura). calcule o valor de (1 em função de L, L1 e (.
Sol.: Ei = Ef ( Ei = mgh 	Ef = mgh1
	h = L-Lcos(
	x = L -L1
	h1 = (L- L1) - (L -L1)cos(1
	mgh = mgh1 ( h = h1
	L-Lcos(= (L- L1) - (L -L1)cos(1
	L - L cos( = L - L1 – (L - L1)cos(1
	(L - L1)cos(1 = L cos( - L1 
	cos(1 = (L cos( - L1)/(L - L1)
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