Segunda prova - Resolvida

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Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A01 - Geometria Anal´ıtica - Turma: 10 Professora: Simone Moraes
2a PROVA RESOLVIDA
1.a Questa˜o. Considere os ~u, ~v e ~w vetores no espac¸o tridimensional, nos seguintes casos, determine:
(a) ‖ (~u× ~v)− ~u ‖, sabendo que ‖ ~u× ~v ‖ = 9 e ‖ ~u ‖ = 4.
(b)
〈
~u, ~v × ~w〉, sabendo que ~w e ~v sa˜o perpendiculares, que o aˆngulo entre ~u e ~v × ~w e´ pi
4
e que
‖ ~u ‖ = 6, ‖ ~v ‖ = 2 e ‖ ~w ‖ = 5.
Soluc¸a˜o:
(a)
‖ (~u× ~v)− ~u ‖2 = 〈(~u× ~v)− ~u, (~u× ~v)− ~u〉 =‖ ~u× ~v ‖2 + ‖ ~u ‖2 −2 〈~u× ~v, ~u〉︸ ︷︷ ︸
=0, pois ~u×~v⊥~u
= 92 + 42 = 81 + 16 = 97.
Logo, ‖ (~u× ~v)− ~u ‖= √97.
(b)
〈
~u, ~v × ~w〉 = ‖ ~u ‖ · ‖ ~v × ~w ‖ · cos pi
4︸︷︷︸
aˆngulo entre ~u e ~v×~w
= ‖ ~u ‖ · ‖ ~v ‖ · ‖ ~w ‖ · sen pi
2︸︷︷︸
~v⊥~w
· cos pi
4
= ×2× 5× 1×
√
2
2
= 30
√
2.
2.a Questa˜o. Determine um vetor ~u no espac¸o tridimensional que e´ ortogonal ao vetor
~w = (−3, 1, 2); que e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~v1 = (1,−2, 5) e ~v2 = (1, 0,−1) e que tem compri-
mento igual a 8
√
6.
Soluc¸a˜o:
Seja ~u = (a, b, c), como ~u e ~w = (−3, 1, 2) sa˜o ortogonais temos:
〈~u, ~w = 0⇐⇒ 〈(a, b, c), (−3, 1, 2)〉 = 0⇐⇒ −3a+ b+ 2c = 0⇐⇒ b = 3a− 2c.
Logo, ~u = (a, 3a− 2c, c).
Por outro lado ~u e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~v1 = (1,−2, 5) e ~v2 = (1, 0,−1), portanto existem
nu´meros reais α e β tais que
~u = α~v1 + β ~v2 ⇐⇒ (a, 3a− 2c, c) = α(1,−2, 5) + β(1, 0,−1) = (α+ β, −2β, 5α− β)
1
⇐⇒

a = α+ β
3a− 2c = −2α
3c = 5α− β.
=⇒ 3(α+ β)− 2(5α− β) = −2α
⇐⇒ 3α+ 3β − 10α+ 2β = −2α⇐⇒ −5α+ 5β = 0⇐⇒ α = β.
Consequentemente ~u = (2α, −2α, 4α).
Finalmente,
8
√
6 =‖ ~u ‖=
√
4α2 + 4α2 + 16α2 =
√
24α2 = 2
√
6 · |α| ⇐⇒

α = 4
ou
α = −4.
Portanto, ~u = (8, −8, 16) ou ~u = (−8, 8, −16).
3.a Questa˜o. Considere os planos pi1 : x − y + 7z = 2 e pi2 que passa pelos pontos P = (1,−1, 0),
Q = (2, 3,−3) e R = (5,−2, 1).
(a) Obtenha a equac¸a˜o geral do plano pi2.
(b) Mostre que os planos pi1 e pi2 sa˜o transversais.
(c) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que e´ a intersecc¸a˜o de pi1 e pi2.
Soluc¸a˜o:
(a)
−→
PQ = (1, 4,−3) e −→PR = (4,−1, 1) sa˜o vetores diretores do plano pi2, logo ~n = −→PQ ×−→PR e´ vetor
normal de pi2.
Como
~n =
−→
PQ×−→PR =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 4 −3
4 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣ =~i− 13~j − 17~k = (1,−13,−17).
Portanto, a equac¸a˜o geral de pi2 e´ x− 13y − 17z + d = 0, como P = (1,−1, 0) enta˜o
1− 13× (−1)− 17× 0 + d = 0⇐⇒ 14 + d = 0⇐⇒ d = −14.
Assim, a equac¸a˜o geral de pi2 e´
pi2 : x− 13y − 17z − 14 = 0.
(b) Como os vetores normais dos planos pi1 e pi2 sa˜o ~n1 = (1,−1, 7) e ~n2 = (1,−13,−17), respectiva-
mente, e sa˜o linearmente dependentes, segue que pi1 e pi2 sa˜o transversais.
2
(c) Para determinar a intersecc¸a˜o de pi1 e pi2 devemos resolver o sistema:{
x − y + 7z = 2
x− 13y − 17z = 14. =⇒ x = y − 7z + 2 =⇒ y − 7z + 2− 13y − 17z = 14
⇐⇒ −12y − 24z = −12⇐⇒ y = −1− 2z.
Da´ı que, x = −1 − 2z − 7z + 2 = 1 + 9z, fazendo z = t obtemos as equac¸o˜es parame´tricas da r
intersecc¸a˜o de pi1 e pi2 sa˜o: r :

x = 1 + 9t
y = −1− 2t
z = t
com t ∈ IR.
4.a Questa˜o. Seja o plano pi1 :

x = λ+ 2µ
y = 1 − µ
z = 1 + 2λ+ µ
com λ e µ em IR, determine:
(a) O aˆngulo θ entre o plano pi1 e o plano pi2 : 5x+ 4y + z + 1 = 0.
(b) A distaˆncia do ponto P = (−5, 8, 2) ao plano pi1.
Soluc¸a˜o:
(a) O aˆngulo θ entre os planos pi1 e pi2 e´ o aˆngulo entre ~n1 e ~n2, respectivamente, os vetores normais dos
planos pi1 e pi2. Da equac¸a˜o geral de pi2 obtemos ~n2 = (5, 4, 1), como ~u = (1, 0, 2) e ~v = (2,−1, 1)
sa˜o vetores diretores de pi1 enta˜o:
~n1 =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 2
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 2~i+ 3~j − ~k = (2, 3,−1).
Portanto,
cos θ =
〈~n1, ~n2〉
‖ ~n1 ‖ · ‖ ~n2 ‖ =
〈(2, 3,−1), (5, 4, 1)〉√
22 + 32 + (−1)2 · √52 + 41 + 11 =
21√
14 · √42 =
21
14
√
3
=
3
2
√
3
=
√
3
2
.
Consequentemente, θ =
pi
6
.
(b) Como d(P, pi1) =
∥∥proj~n1−→AP∥∥, com A um ponto qualquer de pi1 e ~n1 vetor normal de pi1.
Tomando A = (0, 1, 1), enta˜o
−→
AP = (−5, 7, 1), enta˜o
d(P, pi1) =
∥∥∥∥〈−→AP, ~n1〉‖ ~n1 ‖2 · ~n1
∥∥∥∥ = ∣∣∣∣〈(−5, 7, 1), (2, 3,−1)〉‖ (2, 3,−1) ‖2
∣∣∣∣· ‖ (2, 3,−1) ‖
=
∣∣∣∣ 10√22 + 32 + (−1)2
∣∣∣∣ = 10√14 .
3
5.a Questa˜o. Sejam ~u, ~v e ~w vetores no espac¸o, utilize a relac¸a˜o do duplo produto vetorial
~u× (~v × ~w) = 〈~u, ~w〉 ~v − 〈~u, ~v〉 ~w para mostrar que se ~u e ~v sa˜o ortogonais, enta˜o
~u×
(
~u× (~u× (~u× ~v))) =‖ ~u ‖4 ~v.
Soluc¸a˜o:
~u×
(
~u× (~u× (~u× ~v))) = 〈~u, ~u× (~u× ~v)〉︸ ︷︷ ︸
=0 pois ~u⊥~u×(~u×~v)
~u− 〈~u, ~u〉 (~u× (~u× ~v))
= − ‖ ~u ‖2 ( 〈~u,~v〉︸ ︷︷ ︸
=0, pois ~u⊥~v
−〈~u, ~u〉~v) = − ‖ ~u ‖2 (− ‖ ~u ‖2 ~v) =‖ ~u ‖4 ~v.
4