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MA111 - Cálculo I Aula 3 - Os problemas da tangente e da velocidade. O limite de uma função. Marcos Eduardo Valle O Problema da Tangente Tangente = “tocando”. Uma tangente é uma reta que toca uma curva e deve ter a mesma inclinação da curva no ponto tocado. Secante = “corta”. Uma secante é uma reta que intersecta uma curva em dois pontos. Reta: Lembre-se que uma reta pode ser descrita pela equação y = mx + b. Exemplo: Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1). Considere um ponto Q(x , x2), com P 6= Q, ou seja, x 6= 1. A inclinação da reta secante PQ é mPQ = x2 − 1 x − 1 . Para Q(0,0), temos mPQ = 1. Para Q(0.5,0.25), temos mPQ = 1.5. Para Q(0.9,0.81), temos mPQ = 1.9. Para Q(2,4), temos mPQ = 3. Para Q(1.5,2.25), temos mPQ = 2.5. Para Q(1.1,1.21), temos mPQ = 2.1. Esses resultados sugerem que a reta tangente tem inclinação m = 2. Sua equação é y − 1 = 2(x − 1)⇐⇒ y = 2x − 1. Numa linguagem mais formal, dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes. Simbolicamente, escrevemos: lim Q→P mPQ = m, No exemplo, temos lim x→1 x2 − 1 x − 1 = 2. O Problema da Velocidade Velocidade Média = Mudança de posição tempo decorrido Velocidade média de uma bola lançada do alto da Torre CN, em Toronto, a 450m acima do solo. Intervalo de Tempo (s) Velocidade Média (m/s) 5 ≤ t ≤ 6 53.9 5 ≤ t ≤ 5.1 49.49 5 ≤ t ≤ 5.01 49.049 5 ≤ t ≤ 5.001 49.0049 Podemos dizer que a velocidade instantânea em t = 5 s é v = 49 m/s. O Limite de Uma Função O problema da tangente e o problema da velocidade estão relacionados ao conceito de limite de uma função. Ideia do conceito de limite de uma função: Suponha que uma função f seja definida próximo de a. Escrevemos lim x→a f (x) = L ⇐⇒ f (x)→ L quando x → a, e dizemos “O limite de f (x), quando x tende a a, é L” se pudermos tomar f (x) arbitrariamente próximos de L tomando x próximo de a. lim x→1 x − 1 x2 − 1 = 0.5. lim t→0 √ t2 + 9− 3 t2 = 1 6 . Cuidado, construir uma tabela com a calculadora pode dar valores falsos! lim x→0 sin x x = 1. lim x→0 sin pi x não existe. Considere a função de Heaviside: H(x) = { 0, x < 0 1, x ≥ 0. lim x→0 H(x) não existe. Limites Laterais Limite à esquerda Dizemos que o limite à esquerda de f (x) quando x tende a a é igual a L e escrevemos lim x→a− f (x) = L, se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L para x suficientemente próximo de a com x < a. Limites Laterais Limite à direita Dizemos que o limite à direita de f (x) quando x tende a a é igual a L e escrevemos lim x→a+ f (x) = L, se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L para x suficientemente próximo de a com x > a. Limites Laterais e o Limite Relação entre os Limites lim x→a f (x) = L ⇐⇒ limx→a− f (x) = L e limx→a+ f (x) = L. Limites Infinitos Limite Infinito A notação lim x→a f (x) = +∞, significa que podemos fazer os valores de f (x) tão grande quanto quisermos tomando x suficientemente próximo de a, x 6= a. Limites Laterais: Notação análoga para limites laterais infinito! Limites Infinitos Limite Menos Infinito Analogamente, lim x→a f (x) = −∞, significa que podemos fazer os valores de f (x) arbitrariamente grandes, porém negativos, tomando x suficientemente próximo de a, x 6= a. Limites Laterais: Notação análoga para limites laterais menos infinito! lim x→0 1 x2 = +∞. lim x→3+ 2x x − 3 = +∞ e limx→3− 2x x − 3 = −∞. Assíntota Vertical A reta x = a é uma assíntota vertical de y = f (x) se o limite à esquerda ou à direita (ou ambos), quando x tende a a, é infinito ou menos infinito. A função tan(x) possui assíntotas verticais em x = (2n + 1)pi/2, para qualquer n ∈ Z. Considerações Finais Iniciamos a aula de hoje apresentamo o problema da reta tangente e o problema da velocidade. Esses dois problemas estão relacionados à noção de limite. O limite de uma função é usado para estudar o comportamento da função próximo de um ponto que, muitas vezes, não pertence ao domínio da função. Na próxima aula, apresentaremos a definição formal do conceito de limite. Muito grato pela atenção!
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