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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA Prof. Paula Marinho Aula 6 APRESENTAÇÃO PROBABILIDADE A Probabilidade lida essencialmente com as chances de ocorrência de diferentes resultados em eventos, apresentando técnicas para o cálculo das mesmas. Por exemplo, compare esses dois eventos: I - O resultado do lançamento de uma moeda pode ser cara ou coroa. II - Em uma pesquisa de intenção de voto 43% dos eleitores preferem o Candidato A, 37% dos eleitores preferem o Candidato B e os restantes 20% dos eleitores Não sabem em quem vão votar. O que estes dois experimentos têm em comum? O fato de que o resultado não pode ser previsto com antecedência. O resultado irá variar toda vez que lançarmos uma moeda ou extrairmos diferentes amostras para a pesquisa de intenção de voto. 2 APRESENTAÇÃO 3 Aos fenômenos desse tipo damos o nome de EXPERIMENTOS OU FENÔMENOS ALEATÓRIOS. Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer. A Teoria das Probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios OBJETIVOS Ao final desta aula você deverá ser capaz de: Reconhecer os conceitos básicos de Probabilidade; Calcular probabilidades a partir das Técnicas de Contagem; Aplicar as Regras de Adição, Multiplicação e Probabilidade Condicional no cálculo de probabilidades; Utilizar o Teorema de Bayes; 4 6.1 CONCEITOS BÁSICOS 5 6.1.1 EXPERIMENTO Todo processo de realizar observações e obter dados. 6.1.2 EXPERIMENTO ALEATÓRIO Aquele onde apesar de se conhecer todos os possíveis resultados não se pode antecipar seu resultado. 6.1.3 ESPAÇO AMOSTRAL Conjunto formado por todos os possíveis e diferentes resultados de um experimento aleatório. EXEMPLO: Lançamento de duas moedas. O espaço amostral será: S = {CaCa, CaCo, CoCa, CoCo} onde Ca=Cara e Co=Coroa. 6.1.12 PROBABILIDADE 6 A PROBABILIDADE de sucesso de um evento A, representada por P(A), é um número entre zero e um: Para eventos mutuamente exclusivos A soma das probabilidades de todos os resultados (eventos elementares de um espaço amostral) é sempre igual a um. Lei dos Grandes Números 7 Depois de se repetir um experimento aleatório um número muito grande de vezes, a proporção de ocorrência dos resultados tenderá para a probabilidade teórica. Isso é chamado de Lei dos Grandes Números. 6.3 OBTENÇÃO DE PROBABILIDADES DE EVENTOS 8 Dentre as diversas formas de obter a probabilidade de sucesso de um evento apresentaremos a frequência relativa e a probabilidade teórica. 6.3.1 FREQUÊNCIA RELATIVA A Frequência Relativa, também conhecida por Método Clássico ou Empírico, vem da experimentação. É preciso realizar o experimento repetidas vezes e depois anotar o número de sucessos do evento procurado. A frequência relativa que calculamos em uma tabela de frequências é o resultado da probabilidade buscada. Se um experimento for repetido um número muito grande de vezes podemos perceber uma tendência nos resultados. Esta tendência se aproximará de um resultado teórico quanto maior for o número de repetições. 6.3.1 FREQUÊNCIA RELATIVA 9 Ao aumentar o número de experimentos a frequência relativa de cada evento, que aprendemos a calcular no início do nosso curso, se aproximará do seu valor teórico, da sua probabilidade de ocorrer. Essa probabilidade é calculada da seguinte forma: Isso é exatamente o que vínhamos fazendo na estatística descritiva, onde um experimento era realizado e seus resultados eram organizados em uma tabela de frequências. Em seguida calculávamos as frequências simples, relativa e acumulada. Para aquele evento que foi realizado a freq. relativa indica exatamente a probabilidade de ocorrência de cada resultado observado. 6.3.2 PROBABILIDADE TEÓRICA DE EVENTOS 10 Quando os eventos de um experimento são igualmente prováveis, a probabilidade de cada evento pode ser obtida de um cálculo teórico 1/m onde m é o número total de eventos elementares. Quando um evento A contém r pontos ou eventos elementares a P(A) = r . 1/m = r/m Esta relação vem do resultado da divisão do número de eventos que atendem à condição estabelecida pelo número total de resultados possíveis do espaço amostral. Exemplo 11 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral A= {1,2,3,4,5,6} n(A) = 6 B={5,6} número maior do que 4 n(B)=2 6.4.1 REGRA DA SOMA 12 Se A e B são dois eventos quaisquer então P(A ou B) = P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A B) Sejam dois eventos mutuamente excludentes A e B com probabilidades P(A) e P(B). A probabilidade P(AouB) de ocorrer A ou B é igual à soma das probabilidades dos eventos: P(A ou B) = P(A U B) =P(A) + P(B) Exemplo 13 Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um Ás? P(V ou A)= P(V) + P(A) – P(V A) Num baralho de 52 cartas, há 26 vermelhas, 4 ases, dos quais 2 são vermelhos. 6.4.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL 14 A probabilidade de que aconteça o Evento X tendo acontecido, ou sabendo que aconteceu o Evento Y, é obtida a partir do novo espaço amostral definido pelo evento Y. A probabilidade P(X/Y) é denominada probabilidade condicional de X dado Y, ou probabilidade de ocorrer X, tendo ocorrido Y. Exemplo 15 Em um baralho tiramos uma carta preta. Qual a probabilidade de que esta carta seja um Ás? Solução: Lê-se da seguinte forma: dado que saiu uma carta preta, qual a chance dela ser um Ás? P(Ás/Preta) = P(Ás Preta) / P(Preta) = (2/52) / (26/52) = 2/26 = 7,69% 6.4.3 REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 16 A partir da definição de probabilidade condicional pode-se enunciar o teorema do produto: Um Evento X é considerado independente de outro Evento Y se a probabilidade de X é igual à probabilidade condicional de X dado Y, isto é, se P(X/Y) = P(X). Para eventos independentes então: P(X e Y) = P(X) . P(Y) Exemplo 17 Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem boas? A={a primeira peça é boa} B={ a segunda peça é boa} PROBABILIDADE ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA Profa. Paula Marinho ATIVIDADE ATIVIDADE 19 Em uma caixa temos 10 peças das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas? A={a primeira é boa} B={a segunda é boa} A e B são independentes então REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS e RECURSOS PEDAGÓGICOS BIBLIOTECA DO CAMPUS BIBLIOTECA VIRTUAL MATERIAL DIDÁTICO CONTEÚDO ONLINE USO DO EXCEL E CALCULADORA CIENTÍFICA. 20 REFERÊNCIAS BALDI, Brigitte; MOORE, David S. A Prática da Estatística nas Ciências da Vida. Rio de Janeiro: LTC, 2014. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento de Editora LTDA, 2000. LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística – Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008. MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. Satistics For Business and Economics. Ney Jersey: Pearson, 2005. 21 REFERÊNCIAS MOORE, David S; NOTZ, William I.; FLINGER, Michael A. A Estatística Básica e sua Prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014. MORETTIN, Pedro; BUSSAB, Wilton. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002. TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1985. TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 22 Atividade Estruturada e Avaliação Trabalho de pesquisa, coleta e tratamento dos dados. Desenvolvida ao longo de todo o semestre. Compondo 2 pontos na AV1 e AV2 Provas online. Agendar com antecedência e não faltar. 23 SÍNTESE DA AULA Nesta aula: Nos familiarizamoscom os conceitos básicos da Probabilidade; Revisamos as Técnicas de Contagem; Aprendemos quando utilizar a Regra da Soma, da Probabilidade Condicional e a da Multiplicação. 24 PRÓXIMA AULA Na próxima aula, estudaremos os seguintes assuntos: Estudaremos as variáveis aleatórias e suas funções de distribuição; Aprenderemos a calcular a esperança matemática; Aprenderemos a calcular a variância de variáveis aleatórias. 25
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