Probabilidade e Estatística Aplicada à Engenharia

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Prof. Paula Marinho
Aula 7
APRESENTAÇÃO
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
Quando o espaço amostral de um experimento não é constituído por números, não podemos usar os recursos da Estatística Descritiva (vimos na última aula que espaço amostral é o conjunto formado por todos os possíveis e diferentes resultados de um experimento aleatório.) Para resolver este caso estabelecemos uma função que transforme o espaço amostral não numérico em numérico.
 
Por exemplo, ao se lançar uma moeda e registrar a face superior, teremos um espaço amostral S = {ca; co} não numérico.
 
Na presente aula veremos como transformar um espaço amostral não numérico em numérico, estudando as variáveis aleatórias e suas funções de probabilidade. Aprenderemos também a calcular a esperança matemática e a variância de variáveis aleatórias.
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OBJETIVOS 
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:
 
Definir uma variável aleatória;
Associar funções de probabilidade à variáveis aleatórias;
Calcular a Esperança Matemática e a Variância de variáveis aleatórias;
Utilizar as propriedades e operações inerentes às variáveis aleatórias.
3
7 – VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
4
Ao lançarmos uma moeda e registrar a face superior, geramos um espaço amostral S = {ca; co}  não numérico.
 
Criamos então uma função de x, representada por f(x), onde a variável aleatória x assumirá valores numéricos correspondentes a cada ocorrência do espaço amostral. Por exemplo: contar quantas coroas obtemos ao lançar uma moeda.
S
___________
R
ca
___________
x(ca) = 0
co
___________
x(co) = 1
A variável aleatória x transformou o espaço amostral S = {ca; co} em um espaço amostral numérico S = {0;1}.
7 – VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
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No lançamento de dois dados a observação das faces superiores cria o espaço amostral S={(1,1), (1,2), ... , (3,1), (3,2), ..., (6,5), (6,6)} que não é representado por um número real. 
Para isso estabelecemos a variável aleatória x que anota a soma das faces superiores dos dois dados gerando o seguinte espaço amostral S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
dado 1
dado 2
soma
1
1
2
1
2
3
1
3
4
1
4
5
1
5
6
1
6
7
2
1
3
2
2
4
2
3
5
2
4
6
2
5
7
2
6
8
3
1
4
3
2
5
3
3
6
3
4
7
3
5
8
3
6
9
4
1
5
4
2
6
4
3
7
4
4
8
4
5
9
4
6
10
5
1
6
5
2
7
5
3
8
5
4
9
5
5
10
5
6
11
6
1
7
6
2
8
6
3
9
6
4
10
6
5
11
6
6
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7.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
6
Para cada variável aleatória podemos definir uma função de probabilidade associada a ela.
 
Exemplo 1: No lançamento de uma moeda, x é a variável aleatória que anota o número de coroas obtidas. A função de probabilidade para esta variável é:
 
x
p(x)
ca
0
0,5
co
1
0,5
 
total
1
7.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
7
Para cada variável aleatória podemos definir uma função de probabilidade associada a ela.
 
Exemplo 2: No lançamento de dois dados a variável x anota a soma das faces superiores. Sua função de probabilidade é:
X
Frequência simples
Freqrelativa p(x)
2
1
0,027778
3
2
0,055556
4
3
0,083333
5
4
0,111111
6
5
0,138889
7
6
0,166667
8
5
0,138889
9
4
0,111111
10
3
0,083333
11
2
0,055556
12
1
0,027778
total
36
1
7.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
8
E sua representação gráfica é:
7.2 VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
9
O valor esperado da variável x, chamado de Esperança Matemática, por ser a expectativa da média, é dado por:
Fazendo uma analogia com a fórmula da média de amostra e lembrando que p(x) = número de casos favoráveis / número total de casos , temos:
7.2 VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
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depende das frequências, é preciso realizar o experimento para poder calcular seu valor; é calculada a posteriori, 
baseada no conceito de probabilidade, pode ser estabelecida antes da ocorrência da variável aleatória; é uma média a priori.
7.3 VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
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A mesma analogia feita no item anterior para a média vale para a variância e para o desvio padrão. Assim:
E para o desvio padrão a fórmula é: 
CÁLCULO DA ESPERANÇA, DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
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Exemplo 1: No lançamento de uma moeda, a variável aleatória x anota o número de caras obtidas. Calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.
 
X
p(x)
x.p(x)
(x - mi)²p(x)
co
0
0,5
0
0,125
ca
1
0,5
0,5
0,125
 
Total
1
0,5
0,25
Média mi = E(x) =
0,50
Variância
0,25
Desvio padrão
0,50
CÁLCULO DA ESPERANÇA, DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
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Exemplo 2: No lançamento de dois dados, a variável aleatória x anota a soma dos pontos da face superior. Calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.
X
frequência
p(x)
x p(x)
(x - mi)²p(x)
2
1
0,0278
0,0556
0,6944
3
2
0,0556
0,1667
0,8889
4
3
0,0833
0,3333
0,7500
5
4
0,1111
0,5556
0,4444
6
5
0,1389
0,8333
0,1389
7
6
0,1667
1,1667
0,0000
8
5
0,1389
1,1111
0,1389
9
4
0,1111
1,0000
0,4444
10
3
0,0833
0,8333
0,7500
11
2
0,0556
0,6111
0,8889
12
1
0,0278
0,3333
0,6944
total
36
1
7
5,8333
Média mi = E(x) =
7,0000
Variância
5,8333
Desvio padrão
2,4152
7.4.PROPRIEDADES DO VALOR ESPERADO
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1 - Se uma variável assume um único valor K então 
O valor esperado de x é K.
2 – Se K é um número real constante e x uma variável aleatória 
3 – Se uma variável aleatória y é dada por y = ax+b onde a e b são números reais e x é outra variável aleatória, então: 
7.5 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA
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1 – Se uma variável aleatória x assume um único valor real K então 
2 – se K pertence a Real e x é uma variável aleatória, então
3 - Se uma variável aleatória y é dada por y = ax+b onde a e b são números reais e x é outra variável aleatória, então:
7.5 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA
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Há inúmeras situações em que temos que considerar uma variável aleatória como a soma de outras variáveis aleatórias. Supondo as variáveis independentes:
A média da soma ou da diferença de duas ou mais variáveis aleatórias é igual a soma ou a diferença das médias das variáveis aleatórias.
 
A variância da soma ou diferença de duas ou mais variáveis aleatórias é igual a soma das variâncias dessas variáveis aleatórias.
Exemplo:
17
Exemplo 1 - Se a variável aleatória x apresenta 
Calcule:
EXEMPLO
18
Exemplo 2 – se a variável aleatória x apresenta 
calcule: 
PROBABILIDADE ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Profa. Paula Marinho
ATIVIDADE
ATIVIDADE
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Ex 8- Uma urna A contém 3 bolas brancas e 2 pretas. A urna B contém 5 bolas brancas e 1 bola preta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e a variável aleatória x anota o numero de bolas brancas obtidas. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.
 
brancas
pretas
total
A
3
2
5
B
5
1
6
 
 
x
p(x)
0 brancas
pp
0
6,6667%
=2/5*1/6
1 branca
pb+bp
1
43,3333%
=2/5*5/6+3/5*1/6
2 brancas
bb
2
50,0000%
=3/5*5/6
 
 
total
100,0000%
=SOMA(E85:E87)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS e RECURSOS PEDAGÓGICOS
BIBLIOTECA DO CAMPUS
BIBLIOTECA VIRTUAL
MATERIAL DIDÁTICO
CONTEÚDO ONLINE
USO DO EXCEL E CALCULADORA CIENTÍFICA.
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REFERÊNCIAS 
 BALDI, Brigitte; MOORE, David S. A Prática da Estatística nas Ciências da Vida. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento de Editora LTDA, 2000.
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística – Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. Satistics For Business and Economics. Ney Jersey: Pearson, 2005.
22
REFERÊNCIAS 
MOORE, David S; NOTZ, William I.; FLINGER, Michael A. A Estatística Básica e sua Prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
MORETTIN, Pedro; BUSSAB, Wilton.Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002.
TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1985.
TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
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Atividade Estruturada e Avaliação
 Trabalho de pesquisa, coleta e tratamento dos dados.
Desenvolvida ao longo de todo o semestre.
Compondo 2 pontos na AV1 e AV2
Provas online. Agendar com antecedência e não faltar.
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SÍNTESE DA AULA
Nesta aula:
Definimos uma variável aleatória;
Associamos funções de probabilidade à variáveis aleatórias;
Calculamos a Esperança Matemática e a Variância de variáveis aleatórias;
Utilizamos as propriedades e operações inerentes às variáveis aleatórias.
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PRÓXIMA AULA
  PRÓXIMA AULA
 
Aprenderemos a trabalhar e aplicar os modelos discretos de probabilidade;
Estudaremos a Distribuição de Bernoulli;
Estudaremos a Distribuição Binomial
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