Aula 08PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Prof. Paula Marinho
Aula 8
APRESENTAÇÃO
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MODELO DISCRETO DE PROBABILIDADE
Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas é comum verificarmos que algumas situações têm características semelhantes, que se repetem. Nesses casos podemos estabelecer modelos matemáticos que nos ajudarão nas suas soluções.
 
Os modelos trabalham com os seguintes componentes: 
Os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir;
A função de probabilidade associada a ela;
O valor esperado, e
A variância e o desvio padrão estimado.
 
Nesta aula, aprenderemos a trabalhar e aplicar os modelos discretos de probabilidade: A Distribuição de Bernoulli e a Distribuição Binomial.
 
OBJETIVOS 
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:
Aplicar modelos discretos de probabilidade;
Utilizar a Distribuição de Benoulli para solucionar problemas;
Tomar decisões a partir da aplicação da Distribuição Binomial na resolução de problemas. 
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8.1 – DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
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Se uma variável aleatória x: 
 
só pode assumir os valores 0 e 1,
com P(x=0)=q e P(x=1)=p,
onde p é a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso,
onde p+q=1, 
 
então a variável x admite distribuição de Bernoulli.
 
Imagine uma variável que só pode assumir dois valores: zero e um. Onde a probabilidade de sair zero está associada ao fracasso e portanto ao valor q. E onde a probabilidade de sair um é p e está associada ao sucesso do experimento. Construindo a tabela abaixo podemos calcularmos o valor da esperança matemática E(x)= m(x), da variância s² e do desvio padrão s da seguinte forma: 
8.1 – DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
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A Esperança matemática ou média é
x
p(x)
x. p(x)
(x -m)²p(x)
0
q
0
p²q = p².(1-p)
1
p
p
(1-p)².p
total
100%
p
p².(1-p) + (1-p)².p
m(x) = p
Lembre que p = 1-q e quep+q= 1
s² (x) = p².(1-p) + (1-p)².p =
s² (x) = p(1-p) (p+(1-p)) =
s² (x) =pq(p+q) =pq(1) =
A variância é s² (x) = p q 
E o desvio padrão é 
EXEMPLO
A variável x se interessa por damas em uma extração de uma carta de um baralho. Esta carta poderá então ser dama ou não ser dama. Os possíveis resultados de x são 1 ou 0 respectivamente, com probabilidades de sucesso p =4/52 ou probabilidade de fracasso q=48/52 . Este é um caso em que se pode aplicar o modelo de Bernoulli. Então:
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Uma carta é retirada ao acaso de um baralho com 52 cartas. A variável aleatória x anota o número de damas obtidas nesta retirada. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.
 
8.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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Imagine a seguinte situação: determine a probabilidade de se obter exatamente duas faces 4 em três lançamentos de um dado.
 
Estes eventos são mutuamente exclusivos e independentes (suas probabilidades são constantes independentemente da repetição do experimento), então devemos calcular a soma das probabilidades de obtermos um 4, outro 4 e uma carta qualquer em qualquer ordem que isto ocorra.
8.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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Matematicamente representamos assim:
As probabilidades dos 3 casos são iguais. O que interessa é determinarmos o número de casos que podemos formar. Este número pode ser calculado por combinação:
8.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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Como uma grande quantidade de problemas envolvem essas mesmas características podemos construir um modelo estatístico teórico para resolvê-lo: a Distribuição Binomial.
Suas características são:
 
Se um experimento admite somente dois resultados S – sucesso e F – fracasso, com probabilidades P(S) = p e P(F) = q;
Se o experimento for repetido n vezes independentemente (em cada repetição a probabilidade de sucesso se mantém igual a p e a de fracasso igual a q);
Se estamos interessados na ocorrência de x sucessos e (n-x) fracassos, independentemente da ordem de ocorrência, 
 
Então diremos que a variável aleatória x admite distribuição binomial de probabilidades.
8.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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Suas fórmulas são:
Podemos entender a Distribuição Binomial como n repetições de uma Distribuição de Bernoulli. Por isso, a média e a variância ficam multiplicadas por n.
EXEMPLO
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O gerente de uma loja estima que de dez vendas realizadas, três são microcomputadores e sete equipamentos eletrônicos em geral. Qual a probabilidade de que uma das quatro próximas vendas seja um microcomputador?
O experimento está interessado em vendas de microcomputadores. Isto é o sucesso.
Chamemos a venda de equipamento eletrônico de E e a venda de microcomputador de M.
Os eventos elementares são = MEEE, EMEE, EEME e EEEM
O problema informa que as probabilidades são 70% de vendas de equipamentos eletrônicos e 30% de vendas de microcomputadores. Portanto:
p = 30%= 0,3 associada à venda do micro e 
q = 70% = 0,7 associada à venda de equipamentos em geral
EXEMPLO
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Se desenvolvermos usando o cálculo de probabilidades temos: 
 
P(x=1) = P(MEEE)+ P(EMEE) + P(EEME) + P(EEEM) = 
=0,7.0,7.0,7.0,3 + 0,7.0,7.0,7.0,3 + 0,7.0,7.0,7.0,3 + 0,7.0,7.0,7.0,3 =
= 4 . 0,73 .0,31 =
= 0,4116 = 41,16%
 
Aplicando diretamente a fórmula da distribuição Binomial temos:
Chegamos ao mesmo resultado de maneira mais rápida pois não foi preciso determinarmos todas a combinações possíveis. Bastou que calculássemos quantas eram as combinações possíveis.
PROBABILIDADE ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Profa. Paula Marinho
ATIVIDADE
ATIVIDADE
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Uma firma exploradora de petróleo acha que 5% dos poços que perfura acusam deposito de gás natural. Se ele perfurar 6 poços, determine a probabilidade de:
a - nenhum poço ter gás natural;
b - dois poços terem gás natural;
c - dois ou menos poços terem gás natural.
a)
0,735091891
=DISTRBINOM(0;6;5%;FALSO)
b)
0,030543984
=DISTRBINOM(2;6;5%;FALSO)
c)
0,997770156
=DISTRBINOM(2;6;5%;VERDADEIRO)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS e RECURSOS PEDAGÓGICOS
BIBLIOTECA DO CAMPUS
BIBLIOTECA VIRTUAL
MATERIAL DIDÁTICO
CONTEÚDO ONLINE
USO DO EXCEL E CALCULADORA CIENTÍFICA.
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REFERÊNCIAS 
 BALDI, Brigitte; MOORE, David S. A Prática da Estatística nas Ciências da Vida. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento de Editora LTDA, 2000.
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística – Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. Satistics For Business and Economics. Ney Jersey: Pearson, 2005.
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REFERÊNCIAS 
MOORE, David S; NOTZ, William I.; FLINGER, Michael A. A Estatística Básica e sua Prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
MORETTIN, Pedro; BUSSAB, Wilton. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002.
TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1985.
TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
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Atividade Estruturada e Avaliação
 Trabalho de pesquisa, coleta e tratamento dos dados.
Desenvolvida ao longo de todo o semestre.
Compondo 2 pontos na AV1 e AV2
Provas online. Agendar com antecedência e não faltar.
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SÍNTESE DA AULA
Nesta aula:
Aprendemos a trabalhar e aplicar modelos discretos de probabilidade;
Estudamos a Distribuição de Bernoulli e suas aplicações;
Estudamos a Distribuição Binomial e suas aplicações;
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PRÓXIMA AULA
  PRÓXIMA AULA
 
Aprenderemos a trabalhar e aplicar um novo modelo discreto de probabilidade – Distribuição de Poisson.
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