RACIOCÍNIO LOGICO

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ESTRUTURAS LÓGICAS
1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. 
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
1.1 - Relação de pertinência: 
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x E A , onde o símbolo E significa "pertence a". 
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y E A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por  . 
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. 
1.2 - Subconjunto: 
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que 
A é subconjunto de B e indicamos isto por A  B.
Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A  A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (  A) 
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado 
conjunto das partes de A e é indicado por P(A). 
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por   P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
2 - Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: 
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Obs: é evidente que N  Z.
Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p  Z , q  Z e q  0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. 
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3,  -3/7,   0,001=1/1000,   0,75=3/4,   0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. 
Notas:
a) é evidente que N  Z  Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9 
Conjunto dos números irracionais 
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais: 
 = 3,1415926...  (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 
2,01001000100001... (dízima não periódica)
 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
Conjunto dos números reais
R = { x; x é racional ou x é irracional}.
Notas: 
a) é óbvio que N  Z  Q  R
b) I  R
c) I  Q = R 
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
3 - Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do 
intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. 
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
	TIPOS
	REPRESENTAÇÃO
	OBSERVAÇÃO
	INTERVALO FECHADO
	[p;q] = {x  R; p  x  q} 
	inclui os limites p e q
	INTERVALO ABERTO
	(p;q) = { x  R; p  x  q} 
	exclui os limites p e q
	INTERVALO FECHADO A ESQUERDA
	[p;q) = { x  R; p  x  q} 
	inclui p e exclui q
	INTERVALO FECHADO À DIREITA
	(p;q] = {x  R; p  x  q} 
	exclui p e inclui q
	INTERVALO SEMI-FECHADO
	[p; ) = {x  R; x  p} 
	valores maiores ou iguais a p.
	INTERVALO SEMI-FECHADO
	(-  ; q] = { x  R; x  q} 
	valores menores ou iguais a q.
	INTERVALO SEMI-ABERTO
	(- ; q) = { x  R; x  q}
	valores menores do que q.
	INTERVALO SEMI-ABERTO
	(p;  ) = { x  p }
	valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( - ; +  ).
4 - Operações com conjuntos
4.1 - União (  )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A  B = { x; x  A ou x  B}.
Exemplo: {0,1,3}  { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A  A = A
b) A   = A
c) A  B = B  A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A  U = U , onde U é o conjunto universo.
4.2 - Interseção (  )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A  B = {x; x  A e x  B}.
Exemplo: {0,2,4,5}  { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A  A = A
b) A   =  
c) A  B = B  A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A  U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A  ( B  C ) = (A  B)  ( A  C) (propriedade distributiva)
P2. A  ( B  C ) = (A  B )  ( A  C) (propriedade distributiva)
P3. A  (A  B) = A (lei da absorção)
P4. A  (A  B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A  B =  , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
4.3 - Diferença:  A - B = {x ; x  A e x  B}. 
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos: 
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A -  = A
b)  - A =  
c) A - A =  
d) A - B  B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
4.3.1 - Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B  A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: 
B' = {x; x  B}. É óbvio, então, que:
a) B  B' = 
b) B  B' = U 
c) 'U
d) U' = 
5 - Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por  P(A)),  que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A)  é o conjunto vazio.
2 - a interseção de  quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2}  {}Ø
c) {2} U {} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...}  {1, 3, 5, 7, ...} = Ø  e  {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z .
6 - Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, taisque o número de elementos de A  seja n(A) e o número de elementos de B  seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A  B por n(A  B) e o número de elementos da união A  B por n(A  B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO E DIAGRAMAS LÓGICOS
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:
Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo outra alternativa.
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).
As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ... 
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, “O dia está bonito” , “3 + 5” , “x é um número real” , “x + 2 = 7”, etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.
p: “ a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º “ ( V )
q: “ 3 + 5 = 2 “ ( F )
r: “ 7 + 5 = 12” ( V)
s: “ a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) . 180º “ ( V )
t: “ O Sol é um planeta” ( F )
w: “ Um pentágono é um polígono de dez lados “ ( F )
	2 - Símbolos utilizados na Lógica Matemática 
 
	não 
	 
	e 
	 
	ou
	 
	se ... então
	 
	se e somente se
	 
	tal que
	 
	Implica
	 
	Equivalente
	 
	Existe
	  
	existe um e somente um
	 
	qualquer que seja
3 - O Modificador Negação
Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se “ não p “ ).
Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )
Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p . 
4 - Operações lógicas
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos  ,  ,  e  , dando origem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q , p q , p q , p q (Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior). 
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.
Conjunção: p q (lê-se “p e q “ ).
Disjunção: p q (lê-se “p ou q “) .
Condicional: p q (lê-se “se p então q “ ).
Bi-condicional: p q ( “p se e somente se q”) . 
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:
	p
	q
	p  q
	p  q
	p q
	p  q
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	1
	0
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. 
a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. 
a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. 
a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. 
Ex.: Dadas as proposições simples:
p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)
q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)
Temos:
p q tem valor lógico F (ou 0)
p q tem valor lógico V (ou 1)
p q tem valor lógico V (ou 1)
p q tem valor lógico F (ou 0).
Assim, a proposição composta “Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8” é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase!
Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), não podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros amigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores!
Seria demais imaginar que a proposição p q pode ser associada a um circuito série e a proposição p q a um circuito em paralelo?
Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo!
Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de uma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem.
	p
	q
	p q
	p q
	P q
	p q
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	1
	0
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V
valor lógico falso = 0 ou F
Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjunção, disjunção e equivalência, ou seja:
a conjunção “p e q” só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras.
A disjunção “p ou q” só é falsa quando p e q forem ambas falsas.
A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos.
Quanto à condicional “se p então q” , vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas:
	p
	q
	p q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise:
Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra proposição q, consideraremos que p q é verdadeira.
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:
1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p q é verdadeira.
2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso, p q é falsa.
3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo: 
Sejam as proposições: 
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 15 = 15 (valor lógico V)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p q é verdadeira
4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos:Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 19 = 9 (valor lógico F)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a proposição q dada. Logo, p q é verdadeira (V).
Exercícios:
1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r: (p  q)  q ?
Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V .
r: (V  V)  F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V  F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.
2) Qual das afirmações abaixo é falsa? 
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.
b) a soma de dois números pares é um número par e 72 = 49. 
c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado. 
d) se 102 = 100 então todo número inteiro é natural.
e) 2 = 32 - 7 ou a Terra é plana. 
Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 102 = 100 é V e “todo número inteiro é natural” é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural) . Portanto, temos V  F , que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).
1 - Tautologias e Contradições 
Considere a proposição composta s: (p q)  (p q) onde p e q são proposições simples 
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:
	p
	q
	p q
	p q
	(p q)  (p q)
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta 
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição composta “Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano” é uma proposição logicamente verdadeira.
Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.
Ex.: A proposição composta t: p  ~p é uma contradição, senão vejamos:
	p
	~p
	p ~p
	V
	F
	F
	F
	V
	F
NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas.
Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p q)  r
Teremos:
	p
	q
	r
	(p q)
	(p q)  r
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição.
Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades:
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS:
1) (p q)  p 
2) p  (p q) 
3) [p (p q)]  q (esta tautologia recebe o nome particular de “modus ponens”) 
4) [(p q)  ~q]  ~p (esta tautologia recebe o nome particular de “modus tollens”) 
Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.
NOTAS:
a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. 
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição.
2 - Álgebra das proposições
Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades:
a) Leis idempotentes
p p = p
p p = p
b) Leis comutativas 
p q = q p
p q = q p
c) Leis de identidade 
p  v = p
p  f = f
p  v = v
p  f = p
d) Leis complementares
~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação)
p  ~p = f
p  ~p = v
~v = f
~f = v
e)Leis associativas
(p q) r = p (q r)
(p q) r = p (q r)
f) Leis distributivas 
p (q r) = (p q)  (p r)
p (q r) = (p q)  (p r)
g) Leis de Augustus de Morgan 
~(p q) = ~p  ~q
~(p q) = ~p  ~q
h) Negação da condicional
~(p q) = p ~q 
Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. 
Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h):
Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p q) e de p ~q :
Tabela1:
	p
	q
	p q
	~(p q)
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
Tabela 2:
	p
	q
	~q
	p ~q
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F , o que significa que ~(p q) = p ~q .
Exs.:
1) Qual a negação da proposição composta: “Eu estudo e aprendo”?
Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: “Eu não estudo ou não aprendo”.
2) Qual a negação da proposição “O Brasil é um país ou a Bahia é um estado” ?
Do item (g) acima, concluímos que a negação é: “O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado”.
3) Qual a negação da proposição: “Se eu estudo então eu aprendo” ?
Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: “Eu estudo e não aprendo”
Num grupo de 99 esportistas , 40 jogam vôlei , 20 jogam vôlei e xadrez , 22 jogam xadrez e tênis , 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as 3 modalidades .O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Sabendo-se que cada esportista pratica pelo menos um dos esportes, pergunta-se: 
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei ? 
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei ? 
c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez ? 
d) quantos praticam apenas um esporte?
e) quantos praticam pelo menos dois esportes?
SOLUÇÃO:
Temos, pelo enunciado:
n(V) = 40
n(V  X) = 20
n(X  T) = 22
n(V  T) = 18
n(V  X  T) = 11
n(X) = n(T)
Podemos escrever:
n(V U X U T) = n(V) + n(X) + n(T) - n(V  X) - n(X  T) - n(V  T) + n(V  X  T)
Substituindo os valores conhecidos, fica:
99 = 40 + 2.n(X) – 20 – 22 – 18 + 11
Daí, vem:
99 = 2.n(X) – 9 
2.n(X) = 108 e, portanto, n(X) = n(T) = 54.
Podemos então desenhar o seguinte diagrama de Venn:
Onde temos por simples contagem, a partir do diagrama acima:
Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei ?
N = 25 + 11 = 36 
Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei ? 
M = 23 + 11 + 25 = 59
Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez ? 
S = 13 + 7 = 20
Quantos praticam apenas um esporte?
R = 13 + 23 + 25 = 61
Quantos praticam pelo menos dois esportes?
W = 7 + 11 + 11 = 29
Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Calcule o número de homens que não jogam xadrez, o número de homens que jogam xadrez e o número de mulheres que não jogam xadrez.
SOLUÇÃO:
Sejam:
H = conjunto dos homens
M = conjunto das mulheres
J = conjunto daqueles que jogam xadrez
Da figura acima, poderemos escrever:
x + y + z + w = 60 ......................... (a)
y + z = 11 ................................. (b)
x + y + z = 31 ............................. (c)
z = 3 ...................................... (d)
Vamos resolver o sistema acima:
Substituindo (b) em (c), vem:
x + 11 = 31, logo, x = 20.
Como x + y + z = 31, vem 20 + y + 3 = 31, logo, y = 8.
Da igualdade (a), vem imediatamente que:
31 + w = 60 e, portanto w = 29.
Portanto,
x = 20y = 8
z = 3
w = 29 
Observe que x é exatamente o número dos homens que não jogam xadrez, sendo portanto a resposta procurada.
Podemos resumir então:
x = 20 homens não jogam xadrez.
y = 8 homens jogam xadrez.
z = 3 mulheres jogam xadrez.
w = 29 mulheres não jogam xadrez
ALGEBRA LINEAR
I - Polinômios
1 - Definição:
Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi , onde a e b são números reais e 
i é a unidade imaginária tal que i2 = -1) . 
Entende-se por polinômio em C à função: 
P(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an , onde os números complexos ao , a1 , ... , an são os coeficientes , n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio.
Exemplo :
P(x) = x5 + 3x2 - 7x + 6 (ao = 1 , a1 = 0 , a2 = 0 , a3 = 3 , a4 = -7 e a5 = 6 ). O grau de P(x) é igual a 5 .
Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber:
Binômio : possuem dois termos. Ex : r(x) = 3x + 1 (grau 1).
Trinômio: possuem 3 termos: Ex : q(x) = 4x2 + x - 1 ( grau 2).
A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica :  polinômios.
1.1 - Valor numérico do polinômio
Sendo m um número complexo ( lembre-se que todo número real é também um número complexo) , denominamos valor numérico de um polinômio P(x)  para  x = m ,  ao valor  P(m)  ou seja o valor 
que obtemos substituindo x   por   m .
Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1?
Teremos, substituindo a variável x por x = -1  p(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6  p(-1) = 6.
1.2 - Raiz (ou zero) de um polinômio
O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x)  quando  P(m) = 0 .
Exemplo: i é raiz do polinômio P(x) = x2 + 1 , pois P(i) = 0 .
Lembre-se que i2 = -1, ou seja , o quadrado da unidade imaginária é igual a  -1.
O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 , pois P(2) = 0 (verifique!) .
1.3 - Soma dos coeficientes de um polinômio
Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1). 
Exemplos:
a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10  S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8.
b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x? 
Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).
IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x + a)n , denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, astrônomo e matemático inglês, 1642 - 1727) . Ainda assim, a propriedade anterior é válida. 
Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x - 3)102 ? 
Ora, substituindo  x  por  1, vem: S = (2.1 - 3)102 = (2-3)102 = (-1)102 = 1 (lembre-se que toda potência de expoente par é positiva).
Outro exemplo: 
Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)4 ? 
Ora, temos para x = 1 :  S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6.6.6.6 = 1296
2 - Identidade de polinômios
2.1 - Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x . Indicamos P  0 (polinômio nulo) .
Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) .
2.2 - Polinômios idênticos - São polinômios iguais . 
Se P e Q são polinômios idênticos , escrevemos P  Q . É óbvio que se dois polinômios são idênticos , então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais . A expressão P  Q é denominada identidade .
Exercício resolvido:
Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule o valor de 
P(1) - Q(2) .
Solução: 
Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1  
P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente , poderemos escrever : 
P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1  0 = Q(2) + 7 , logo Q(2) = -7. Logo P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10. 
Resp: 10
3 - Divisão de polinômios
Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:
1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) . (Analogia  46:6 = 7 e resto 4  46 = 6.7 + 4) .
2) gr R(x)  gr D(x), onde gr indica o grau do polinômio.
Notas:
1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x) . 
2) se gr P  gr D então gr (P : D) = gr P - gr D .
3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor .
4) se gr P(x)  gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) . 
3.1 - Resto da divisão pelo binômio  x - a.
Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a) .
Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x - a) . Q(x) + R(x) ; 
Logo, fazendo x = a vem imediatamente que P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a) , de onde se conclui que 
P(a) = R onde R é o resto da divisão .
Conseqüência : Se P(a) = 0 , então R = 0 ( R = resto ) e portanto , P(x) é divisível por x - a . 
Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert (Jean Le Rond D’Alembert (1717 - 1783) , célebre matemático francês, que teve o seu no nome tirado da Igreja de St. Jean Baptiste le Ronde, 
perto da Notre Dame de Paris , em cujos degraus foi encontrado abandonado quando criança! ).
II - Equações Algébricas
Sendo P(x) um polinômio em C , chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0 . Portanto , as raízes da equação algébrica , são as mesmas do polinômio P(x) . O grau do polinômio , será também o grau da equação .
Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau .
Propriedades importantes :
P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.
P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo 
P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini. 
Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.
P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será 
raiz .
Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os 
números 5,   3 + 2i  e   4 - 3i.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.    
P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .
Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de 
multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. 
P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .
P6 - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!
P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada :
ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever:
(x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!).
Relações de Girard -Albert Girard (1590-1633).
São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica .
Para uma equação do 2º grau , da forma ax2 + bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2 :
x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .
Para uma equação do 3º grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e x3 as raízes , temos as seguintes relações de Girard :
x1 + x2 + x3 = - b/a 
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a 
x1.x2.x3 = - d/a
Para uma equação do 4º grau , da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as raízes iguais a 
x1 , x2 , x3 e x4 , temos as seguintes relações de Girard :
x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
x1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a
x1.x2.x3.x4 = e/a
NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fácil a memorização das fórmulas
Agora que você estudou a teoria, tente resolver as questões a seguir:
1 - UEFS-91/1 - Sejam três polinômios em x:
P = -2x3 - 2x2 + 2x -1 ; Q = ( 2x2 + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3 . 
Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente iguais a:
Resp: x2 + (3/4)x + 13/16 e -7/16 
2 - UEFS-92/1- Sejam P = 5x - 2 , Q = ( 4 + 25x2 )2 e R = 5x + 2; então (PR)2 - Q é:
Resp: - 400x2
3 - UEFS-92/1 - Se o resto da divisão de P(x) = x3 + ax + b por Q(x) = x2 + x + 2 é 4, então a + b vale:
Resp: 3
4 - UEFS-93/1 - O conjunto verdade da equação 18x3 + 9x2 - 2x -1 = 0 está contido em:
a) [-2,-1) 
*b) [-1,1) 
c) [1,2) 
d) [2,3) 
e) [3,4)
5 - UEFS-94/1 - A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é:
Resp: 3/2
Produto de Stevin
 
É o produto de qualquer número de binômios do 1º grau, da forma ( x+ a), onde a é um número real ou complexo.
Para dois binômios, teremos:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Para três binômios, teremos:
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
A memorização destas fórmulas é fácil e útil para agilizar cálculos. 
Observe que existe uma clara lei de formação, a qual facilita a memorização. Claro que você pode obter as fórmulas acima, simplesmente multiplicando os binômios, mas numa prova de vestibular, isto significaria perda de precioso tempo.
Exemplos:
1) (x+3)(x+5) = x2 + (3 + 5)x + 3.5 = x2 + 8x + 15
2) (x+10)(x+4) = x2 + 14x + 40
3) (x - 7)(x+4) = x2 - 3x - 28
4) (x - 6)(x - 7) = x2 - 13x + 42
5) (x+3)(x+4)(x+5) = x3 + (3+4+5)x2 + (3.4+3.5+4.5)x + (3.4.5) 
= x3 + 12x2 + 47x + 60
6) (x+1)(x-3)(x+8) = 
x3+(1-3+8)x2 + (1.-3 + 1.8 - 3.8)x - 3.1.8)
= x3 + 6x2 - 29x - 24
7) (x+5)(x+3)(x+2) = x3 +(5+3+2)x2 +(5.3+5.2+3.2)x +(5.3.2) 
= x3+10x2+31x+30
8) (x-3)(x-2)(x+7) = x3 + (-3-2+7)x2 +(-3.-2 -3.7 -2.7)x +(-3.-2.7) 
= x3 + 2x2 - 29x + 42 
Poderíamos generalizar a fórmula de Stevin, para o produto de n binômios da forma (x+a).Deixaremos de fazê-lo, por absoluta falta de praticidade para o Vestibular.
Exercícios propostos:
Calcule os seguintes produtos de Stevin:
a) (x+10)(x-90)
b) (x+2)(x-15)(x+6) 
Respostas:
a) x2 - 80x - 900
b) x3 - 7x2 - 108x - 180 
Nota:
Simon Stevin - físico, engenheiro e matemático holandês (1548 - 1620).
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MATRIZES
Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)
Exemplos:
A = ( 1 0 2 -4 5)  Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.
Notas:
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.
Exemplo:
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a31 = 4 , a3,2 = 5 , etc.
3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i j .
Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:
A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:
4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.
Exemplo:
A matriz At é a matriz transposta da matriz A .
Notas: 
4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.
4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .
Produto de matrizes
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.
Amxn x Bnxq = Cmxq 
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P 
de ordem 3x3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B  B x A
DETERMINANTES
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .
É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem 
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir: 
O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma : 
det (A) =  A = ad - bc 
Exemplo:
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente) apenas citam o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira - da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade. 
Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:
1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.
2 - Efetue os produtos em “diagonal” , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.
Exemplo:
	.2
	 
	 
	 
	3 
	 
	 
	 
	5 
	.1
	 
	 
	 
	7
	 
	 
	 
	4
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.
Principais propriedades dos determinantes
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 
P2) o determinante de uma matriz e de sua transpostasão iguais: det(A) = det( At ).
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ; 
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A). 
Notas: 
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .
2) se det A  0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k  R então det(k.A) = kn . det A
Exemplos:
1) Qual o determinante associado à matriz? 
Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante: 
Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA  DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.
3) Calcule o determinante: 
Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90
Exercícios propostos:
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At  é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5 
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i j . 
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resp: n = 4
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde 
aij = i + j se i  j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?
Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 72
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:
Resp: zero
1 - Definições:
1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :
Podemos escrever: 
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:
Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!
1.2 - Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: 
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = - 10.
2 - Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros. 
Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários. 
Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês. 
3 - Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidade de ordem n.
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator. 
Símbolo: cof A .
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz: 
Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .
Exercícios propostos
1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:
*a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3
e) -4
2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:
Resp: 15
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i  j e aij = i + j se i  j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resp: 12
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. 
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5 
b) 5 
c) 1/40 
d) 1/20 
e) 20
5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento 
c12 da matriz C = A.B é:
a)12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
*e) inexistente
PROBABILIDADES
1 – Introdução
Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral. 
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento. 
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.
Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}
Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova. 
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem. 
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.
Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento “sair bola azul” tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento “sair bola branca”.
2 – Conceito elementar de Probabilidade
Seja U um espaço amostral finito  e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula
 
p(A) = n(A) / n(U) 
onde:
n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios introdutórios:
1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a) sair o número 3: 
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6. 
b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = ½. 
c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3. 
d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3. 
e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.
1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:
a) sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento “soma igual a 8” possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36. 
b) sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/36. 
1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:
a) sair bola azul
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30% 
b) sair bola vermelha
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50% 
c) sair bola amarela
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%
Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados. 
3 – Propriedades
P1: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.
P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. 
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.
P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. 
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.
P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A’. Sabemos que A U A’ = U.
n(A U A’) = n(U) e, portanto, n(A) + n(A’) = n(U). 
Dividindo ambos os membros por n(U), vem: 
n(A)/n(U) + n(A’)/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A’) = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.
P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A B)
Observe que se A B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B). 
Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que 
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima.
Exemplo:
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?
SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(J) + N(P) – N(J P) + 800
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a: 
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.
A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).
4 – Probabilidade condicional
Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.
Teremos então:
p(A/B) = n(A B)/ n(B) 
onde A B = interseção dos conjuntos A e B. 
Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:
Ora, a expressão acima, pode ser escrita sem nenhum prejuízo da elegância, nem do rigor, como:
p(A/B) = [n(A B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]
p(A/B) = p(A B) . 1/p(B)
Vem, então: P(A/B) = p(A  B)/p(B), de onde concluímos finalmente:
p(A  B) = p(A/B).p(B) 
Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.
Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:
p(A  B) = p(A) . p(B) 
Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.
Exemplo:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.  
Calcule as probabilidades de:
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
Solução:
p(V  B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V  B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8% 
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V  B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.
Vimos na aula anterior, que num espaço amostral U, finito e equiprovável, a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por:
onde n(A) = n.º de elementos de A e n(U) = n.º de elementos de U.
Sabe-se que p(A) é um número real que pode assumir valores de 0 a 1, sendo p(A) = 0, a probabilidade de um evento impossível (conjunto vazio) e p(A) = 1, a probabilidade de um evento certo (conjunto universo).
Já sabemos também que definido um evento A, podemos considerar o seu evento complementar 
A’ = {x  U; x A}.Além disto, vimos que p(A’) = 1 –  p(A).
Vejamos um exemplo de aplicação imediata das fórmulas acima:
Ao sortear ao acaso um dos números naturais menores que 100, qual a probabilidade do número sorteado ser menor do que 30?
Ora, neste caso, o nosso espaço amostral é: U = {0,1,2,3, ... , 99}.
O evento A é igual a: A ={0,1,2,3, ... , 29}.
O evento complementar de A é igual a: A’= {30,31,32, ... , 99}.
Temos que: n(U) = 100, n(A) = 30 e n(A’) = 70.
Portanto:
p(A) = 30/100 = 0,30 = 30%
p(A’) = 70/100 = 0,70 = 70%
Vemos que p(A) + p(A’) = 0,30 + 0,70 = 1, o que confirma que a probabilidade de um evento somada à probabilidade do seu evento complementar, é igual à unidade.
Vimos também na aula anterior que, sendo A e B dois eventos do espaço amostral U, podemos escrever:
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) 
Vejamos um exemplo de aplicação da fórmula supra:
No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um número ímpar ou mais de 4 pontos na face de cima.
Ora, neste caso, teremos:
Espaço amostral: U = {1,2,3,4,5,6}  n(U) = 6
Evento A: A = {1,3,5}  n(A) = 3
Evento B: B = {5,6}  n(B) = 2
Evento interseção: A  B = {5}  n(A  B) = 1
Então, vem: p(A  B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%.
NOTA: Se A  B =  , então dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos, e, neste caso, 
p(A  B) = p(A) + p(B),  já que p() = 0 [evento impossível].
Vejamos um exemplo ilustrativo do caso acima:
Suponha que no lançamento de um dado, deseja-se saber qual a probabilidade de se obter um número par ou um número menor do que 2.
Temos os seguintes eventos:
A = {2,4,6}  n(A) = 3
B = {1} n(B) = 1
A  B =   n(A  B) = 0
Portanto, p(A  B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%
Vimos também na aula anterior, que a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é dada por:  
p(A  B) = p(A) . p(B/A) OU   p(A  B) = p(B) . p(A/B)
onde:
p(A/B) = probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu o evento B.
p(B/A) = probabilidade de ocorrer B, sabendo-se que ocorreu o evento A.
Se a ocorrência do evento B  não modifica a chance de ocorrer o evento A, diremos que os eventos A e B são INDEPENDENTES e, neste caso, teremos que p(B/A) = p(B), e a fórmula resume-se a: 
p(A B) = p(A).p(B)
O exemplo ilustrativo a seguir, ajudará a entender a afirmação supra:
Qual a probabilidade de em dois lançamentos de um dado, se obter número par no primeiro e número ímpar no segundo? 
Ora, os eventos são obviamente independentes, pois a ocorrência de um não afeta o outro. 
Logo, teremos:
p(A  B) = p(A).p(B) = 3/6 . 3/6 = ½.1/2 = ¼ = 0,25 = 25%.
Vejamos agora, um exemplo de eventos dependentes:
Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?
Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam:
Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta. 
Ora, teremos: (observe atentamente a simbologia utilizada, comparando com o que foi dito anteriormente).
1ª possibilidade: a bola transferida é verde :
Probabilidade de que a bola transferida seja verde = p(V) = 4/6 = 2/3 
(4 bolas verdes em 6).
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é de cor VERDE, será igual a:
P(V/V’) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta, portanto, 4 bolas verdes em 5).
Pela regra da probabilidade condicional, vem:
P(V  V’) = p(V) . p(V/V’) = 2/3 . 4/5 = 8/15
2ª possibilidade: a bola transferida é preta :
Probabilidade de que a bola transferida seja preta = p(P) = 2/6 = 1/3 
(2 bolas pretas e 4 verdes, num total de 6).
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é de cor PRETA, será igual a:
P(V/P) = 3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola preta transferida = 5 bolas).
Daí, vem:
p(V  P) = p(P) . p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 1/5.
Finalmente vem:
P[(V  V’)  (V  P)] = p(V  V’) + p(V  P) = 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, que é a resposta do problema.
Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%
Portanto, a probabilidade de que saia uma bola verde é de 73,33%.
Uma interpretação válida para o problema acima é que se o experimento descrito for repetido 100 vezes, em aproximadamente 73 vezes será obtido bola verde. Se o experimento for repetido 1000 vezes, em aproximadamente 733 vezes será obtido bola verde; e se o experimento for repetido um milhão de vezes? 
Resposta: obteremos bola verde em aproximadamente 7333 vezes. Perceberam?
Agora, resolva este:
Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é:
a) 18/75
b) 19/45
c) 19/48
d) 18/45
e) 19/75 
Resposta: C
Obs: 19/48 = 39,58%, ou seja, em 10.000 experimentos, seriam obtidos aproximadamente 3958 bolas brancas. Em 100 experimentos? Claro que teríamos aproximadamente 39 bolas brancas. 
Vamos resolver mais algumas questões sobre o assunto.
1 – Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 2/3?
SOLUÇÃO:
Seja x o número de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espaço amostral possuirá, neste caso, 3 + 5 + x = x + 8 bolas. 
Pela definição de probabilidade vista nas aulas anteriores, a probabilidade de que uma bola retirada ao acaso seja da cor azul será dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a probabilidade deve ser igual a 2/3. 
Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; daí, vem, resolvendo a equação do 1º grau: 
3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16.
Resp: 16 bolas azuis.
2 – Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas 
e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam da mesma cor vale ½?
SOLUÇÃO:
O espaço amostral do experimento possui n(U) = 1 + 4 + x = x + 5 bolas.
Vamos considerar as três situações distintas possíveis:
A. as bolas retiradas são ambas da cor preta.
Como existe reposição da bola retirada, os eventos são independentes. Logo, a probabilidade que saia uma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P’) será dada por:
p(P  P’) = p(P).p(P’) =[1/(x+5)].[1/(x+5)] = 1/(x+5)2
B. as bolas retiradas são ambas da cor branca.
Usando o mesmo raciocínio anterior e considerando-se que os eventos são independentes (pois ocorre a reposição da bola retirada), teremos:
P(B  B’) = p(B) . p(B’) = [4/(x+5)].[4/(x+5)] = 16/(x+5)2 
C. as bolas retiradas são ambas da cor azul.
Analogamente, vem:
p(A  A’) = p(A) . p(A’) = [x/(x+5)].[x/(x+5)] = x2/(x+5)2
Estes três eventos são INDEPENDENTES – pois com a reposição da bola retirada – a ocorrencia de um dêles, não modifica as chances de ocorrencia do outro. Logo, a probabilidade da união desses três eventos, será igual a soma das probabilidades individuais. Daí, pelos dados do problema, vem que:
[1/(x+5)2] + [16/(x+5)2] + [x2/(x+5)2 ]= ½
Vamos resolver esta equação do 2º grau:
(1+16+x2)/(x+5)2 = 1 /2
2(17+x2) = 1. (x+5)2
34 + 2x2 = x2 + 10x + 25
x2 – 10x + 9 = 0, de onde concluímos x=1 ou x=9.
Resp: x=1 ou x=9.
Nota: as questões 1 e 2 acima, compareceram no vestibular da FUVEST – 1995 – segunda fase, subdivididas em dois ítens (a) e (b) da questão 
de número 08.
3 – Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos.Escolhendo-se ao acaso dois parafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?
Solução:
Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do número de elementos do espaço amostral U não pode ser feita diretamente. Teremos que recorrer à Análise Combinatória, para facilitar a solução.
Para determinar o número de elementos do nosso espaço amostral U, teremos que calcular quantos grupamentos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 parafusos da amostra. Trata-se de um típico problema de Combinações simples, já visto em Análise Combinatória. Teremos então:
n(U) = C60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 = 30.59
Considerando-se o evento E: os dois parafusos retirados são perfeitos, vem que:
60 parafusos – 5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos.
Teremos então que o número de possibilidades desse evento será dado por:
n(E) = C55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27
Logo, a probabilidade de ocorrencia do evento E será igual a:
p(E) = n(E)/n(U) = 55.27/30.59 = 1485/1770 = 0,838983 = 83,8983%
Resp: aproximadamente 84%.
A interpretação deste resultado é que se o experimento for repetido 100 vezes, obteremos aproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos.
Agora resolva as seguintes questões:
Q1) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.
Resp: aproximadamente 0,05%
Q2) Em relação à questão anterior, determine a probabilidade de numa retirada de 3 parafusos ao acaso, saiam pelo menos dois parafusos defeituosos.
Resp: aproximadamente 2,30%
Observação: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos.
Q3) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?
Resp: 5/34 ou aproximadamente 14,7%
Q4) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha?
Resp: 5/8 ou 62,5%
Distribuição binomial de probabilidades
Considere um certo experimento aleatório que é repetido n vezes nas mesmas condições. Seja U o espaço amostral desse experimento e A um evento desse espaço amostral. 
Seja A’ o evento complementar do evento A. 
Já sabemos que:
1) p(A) = n(A) / n(U) [fórmula fundamental das probabilidades]
2) p(A) + p(A’) = 1  p(A’) = 1 – p(A)
Para simplificar o desenvolvimento que faremos a seguir, vamos introduzir a seguinte notação:
Probabilidade de ocorrer o evento A = p(A) = p
Probabilidade de ocorrer o evento complementar A’ = p(A’) = q
Podemos escrever: p + q = 1  q = 1 – p
Não é difícil demonstrar que:
Se o experimento for repetido n vezes nas mesmas condições, então, a probabilidade do evento A ocorrer exatamente k vezes será dada pela fórmula:
Onde:
P(n,k) = probabilidade de ocorrer exatamente k vezes o evento A após n repetições.
EXEMPLO
Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 5 números iguais a 3?
Solução:
Sejam os eventos:
Evento A: sair o número 3
Evento complementar de A = A’: não sair o número 3
Teremos:
p(A) = 1/6 = p
p(A’) = 1 – 1/6 = 5/6
Portanto, a probabilidade procurada será dada por:
Resp: a probabilidade de sair o número 3 exatamente 5 vezes no lançamento de um dado 8 vezes, é aproximadamente igual a 0,15 ou 15%.
Agora resolva este:
Uma moeda é lançada dez vezes consecutivas. Calcule a probabilidade de sair exatamente duas caras.
Resp: aproximadamente 4,39% (ou 45/1024).
1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Solução:
Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k.
A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.
Logo, k + 3k = 1  k = ¼.
Portanto, a resposta é ¼ = 0,25 = 25%.
2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Resposta: 5/6 = 83,33%
3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. 
Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.
Solução:
Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos:
p(A) = p(B) = 2.p(C).
Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.
Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.
Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo). 
Assim, substituindo, vem:
k + k + k/2 = 1  k = 2/5.
Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.
A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5. 
4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA.
Resp: ¼.
5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.
Solução:
Pelo enunciado, podemos escrever:
p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).
Seja p(2) = k. Poderemos escrever:
p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.
Então, substituindo, vem:
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1  k = 2/9.
Assim, temos:
p(2) = p(4) = p(6) = 2/9
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.
O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, 
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.
6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar.
Resp: 1/3
7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
Solução:
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos.
Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a 
p = 15/50 = 3/10.
8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5.
Resp: 1/5.
9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?
Solução:
Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a:
P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15.
Comentários sobre o cálculo de Cn,p.
Como já sabemos da Análise Combinatória ,
Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p.
Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: Cn,p  possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator.
Exemplos:
C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.
C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56.
C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560.
C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495.
C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.
10 – Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis.
Resp: 7/15.
Dica: como nenhuma das alunas deve ter olhos azuis, restam 
10 – 3 = 7 alunas. Portanto, 
COMBINAÇÕES, ARRANJOS E PERMUTAÇÕES
01 - Introdução
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimentoda Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
02 - Fatorial
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n  2.
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!
03 - Princípio fundamental da contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente , então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
Exemplo:
 
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução: 
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?
04 - Permutações simples
4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é  Pn = n!    onde    
n! = n(n-1)(n-2)... .1 . 
Exemplos:
a)  P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplo: 
Os possíveis anagramas da palavra REI são: 
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
05 - Permutações com elementos repetidos
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplo: 
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Solução: 
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: 
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 
Resp: 151200 anagramas.
06 - Arranjos simples
6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:
Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? 
Solução: 
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 
10.9.8 = 720. 
Observe que 720 = A10,3
07 - Combinações simples
7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplo: 
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
7.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k  (taxa k) , temos a seguinte fórmula:
Obs: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:
Exemplo:
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Solução: 
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: 
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
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Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
Resp: 120
02 -  Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
Resp: 84
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
Resp: 48
Exercício resolvido:
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então 
que o número procurado é igual a 64  - 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
De quantos modos diferentes podem ser dispostas em fila (p+q) pessoas sendo p homens de alturas todas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que, tanto no grupo dos homens como no das mulheres, as pessoas se sucedam em alturas crescentes?
Solução:
Supondo os p homens e as q mulheres ordenados segundo suas alturas crescentes, teremos ao todo (p+q) pessoas. Ordenando-se os p homens em p dos (p+q) lugares, as q mulheres ocuparão os q lugares restantes.
Ora, basta calcular então, o número de maneiras de preencher p lugares entre os (p+q) lugares existentes, isto é, determinar quantos subconjuntos de p elementos podem ser formados num conjunto de (p+q) elementos, com a condição de ordenamento crescente das alturas.
O número procurado será igual ao número de combinações possíveis de (p+q) elementos tomados p a p.
Logo:
Portanto, p homens e q mulheres podem ser dispostos em fila em ordem crescente