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Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidade
Uma distribuição de probabilidade é a distribuição de frequência em uma população infinita.
Ela corresponde a uma função que associa as realizações de uma variável aleatória com suas respectivas probabilidades de ocorrência.
Variável Aleatória: Variável descritora de populações infinitas, a cujos valores são associadas probabilidades de ocorrência.
As variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas e suas realizações por letras minúsculas, da mesma maneira como visto para variáveis de um modo geral.
A probabilidade de que uma variável aleatória X assuma determinado valor é denotada por 
P[X = x].
As variáveis aleatórias quantitativas podem ser discretas ou contínuas, sendo que para cada qual podem ser construídos modelos matemáticos não-determinísticos que expressem as distribuições de probabilidades correspondentes.
Por se tratar de variáveis quantitativas , faz sentido falar-se em medidas de posição e dispersão, ao estudar variáveis aleatórias.
Neste estudo, veremos média, variância e desvio padrão.
A média de uma variável aleatória X também é chamada de Esperança da variável aleatória X, ou valor esperado da variável aleatória X, e é denotada por E(X) ou Me(X).
Variável Aleatória Discreta
Uma quantidade X, associada a cada possível resultado do espaço amostral, é denominada de variável aleatória discreta, se assume valores num conjunto enumerável, com certa probabilidade.
Função Discreta de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória discreta e x1, x2, x3, ..., seus diferentes valores.
	A função que atribui a cada valor da variável aleatória sua probabilidade é denominada de função discreta de probabilidade ou, simplesmente, função de probabilidade. 
A notação a ser utilizada é:
P(X = xi) = p(xi) = pi, i = 1, 2, ...
ou ainda,
Uma função de probabilidade satisfaz 
X
x1
x2
x3
...
pi
p1
p2
p3
...
A função seguinte corresponde a uma distribuição de probabilidade discreta:
Observa-se que, sendo S o espaço amostral, temos:
P[S] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] + P[X = 4] 
 = 1/10 + 2/10 + 5/10 + 1/10 + 1/10 = 10/10 = 1
X
0
1
2
3
4
P[X = xi]
1/10
2/10
5/10
1/10
1/10
Valor Médio de uma Variável Aleatória
Dada a v.a. X discreta, assumindo os valores x1, ..., xn, chamamos valor médio ou esperança matemática de X ao valor
No exemplo acima tem-se:
X
0
1
2
3
4
P[X = xi]
1/10
2/10
5/10
1/10
1/10
Variância
Chamamos de variância da variável aleatória X o valor
O desvio padrão de X, DP(X), é definido como a raiz quadrada positiva da variância.
No exemplo acima tem-se
X
0
1
2
3
4
P[X = xi]
1/10
2/10
5/10
1/10
1/10
Em algumas situações, a determinação da função de probabilidade é bem simples. Isso pode ser verificado pelos dois exemplos seguintes.
Exemplo 1
Considere duas extrações, sem reposição, de uma urna contendo duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Definamos a variável aleatória X: número de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações.
Obtemos a seguinte tabela:
Resultados
Probabilidades
X
BB
1/10
0
BV
3/10
1
VB
3/10
1
VV
3/10
2
Vemos, pois, que a cada resultado do experimento está associado um valor da v. a. X, a saber, 0, 1 ou 2.
Temos que X = 0, com probabilidade 1/10, pois X = 0 se, e somente se, ocorre o resultado BB; 
X = 1 com probabilidade 3/10 + 3/10 = 6/10, pois X = 1 se, e somente se, ocorrem os resultados BV ou VB, que são mutuamente exclusivos;
X = 2 com probabilidade 3/10, pois X = 2 se, e somente se, ocorre o resultado VV.
Resumidamente, temos:
p(0) = P(X = 0) = P(BB) = 1/10,
p(1) = P(X = 1) = P(BV ou VB) = 6/10,
p(2) = P(X = 2) = P(VV) = 3/10.
Distribuição de probabilidades da v. a. X = número de bolas vermelhas.
x
p(x)
0
1/10
1
6/10
2
3/10
Exemplo 2
Consideremos o lançamento de uma moeda duas vezes. Definamos a v. a. Y: número de caras obtidas nos dois lançamentos.
Considere C para indicar cara e R para indicar coroa.
p(0) = P(Y = 0) = P(RR) = 1/4,
p(1) = P(Y = 1) = P(CR ou RC) = ¼ + ¼ = 1/2,
p(2) = P(Y = 2) = P(CC) = 1/4.
Lançamento de duas moedas e a variável aleatória Y: número de caras.
			Distribuição da v. a. Y = número de caras.
Resultados
Probabilidades
Y
CC
¼
2
CR
¼
1
RC
¼
1
RR
¼
0
y
p(y)
0
1/4
1
1/2
2
1/4
Exemplo 3
Consideremos a v. a. X igual a soma dos pontos que aparecem na jogada de dois dados. Os valores possíveis de X, com suas probabilidades associadas são:
Calcule a esperança matemática da distribuição.
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Exemplo 4
Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo produto. O quadro a seguir dá o número xi de unidades vendidas em uma semana e a respectiva probabilidade.
Se é de R$ 20,00 o lucro esperado por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana?
Número xi
0
1
2
3
4
5
Probabilidade f(xi)
0,1
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
Solução: Calculemos E(x), que é o número esperado de aparelhos vendidos em uma semana:
 E(X) = 0 . 0,1 + 1 . 0,1 + 2 . 0,2 + 3 . 0,3 + 4 . 0,2 + 5 . 0,1 = 2,70.
Para x unidades vendidas, o lucro é 20x. Então, 
E(20x) = 20 . E(X) = 20 . 2,70 = R$ 54,00.