Probabilidade Aula 1.ppt

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Estatística Básica
Probabilidades
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No estudo das probabilidades faz-se necessário a revisão de alguns conceitos, como:
Teoria dos conjuntos.
Análise Combinatória.
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Teoria de Conjuntos
A teoria dos conjuntos é útil no estudo probabilístico de eventos, pois estes nada mais são do que subconjuntos do espaço amostral.
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Considere, por exemplo, que todas as culturas plantadas pelos produtores agrícolas de uma região são:
S = {cana, milho, feijão, algodão}
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S = {cana, milho, feijão, algodão}
Temos um conjunto de 4 elementos.
Seja o evento A, definido como as culturas da região relativas a grãos. 
Esse evento é um subconjunto de S, dado por:
A = {milho, feijão}
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Sendo um subconjunto, diz-se que A está contido em S, o que é denotado por 
 
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Operações entre conjuntos
União
A reunião dos elementos de dois ou mais conjuntos é representada pelo símbolo U e é chamada união. Formalmente, um evento C é a união dos eventos A e B se:
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Se A = {feijão, milho} e B = {cana, milho},
então, 
A U B = {feijão, milho, cana}
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As operações de conjuntos são também representadas nos chamados diagramas de Venn, onde o retângulo representa o conjunto S, e os círculos delimitam eventos particulares.
A figura abaixo represa A U B.
 
			
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S
A
B
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Interseção
Representada pelo símbolo ∩, é definida como um conjunto com os elementos pertencentes simultaneamente aos conjuntos em questão. 
Formalmente, C = A ∩ B se:
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Se A = {feijão, milho} e B = {cana, milho},
então, 
A ∩ B = {milho}
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S
A
B
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Se dois eventos (subconjuntos) têm interseção nula, diz-se que são mutuamente exclusivos.
Se D = {cana, algodão} e A = {feijão, milho},
então, A ∩ D = Ø
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A
B
S
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O complemento de um evento é um conjunto de todos os elementos de S que não pertencem ao evento em questão.
O complemento de A é representado por AC ou Ā e corresponde a:
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Com base nas operações definidas, as seguintes relações são válidas:
i) (AC)C = A			ii) A U AC = S
iii) ØC = S			iv) A ∩ AC = Ø
v) SC = Ø		 	vi) A ∩ Ø = Ø 
vii) A U Ø = A	
viii) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
ix) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
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Análise Combinatória
Tipos de agrupamentos:
Permutação;
Combinação;
Arranjo.
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Permutação
Agrupamento de elementos que se diferenciam apenas pela ordem dos elementos.
A permutação de n elementos pode ser dada por:
				Pn = n!
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Exemplo: Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3, 5, 7 e 9?
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Combinação
Agrupamento de elementos que se diferenciam apenas pela natureza dos elementos, não importando a ordem.
A quantidade de combinações possíveis com n elementos é dada por:
	
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Exemplo: De quantas maneiras podemos formar grupos de três pessoas numa turma de 10 pessoas?
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Arranjo
Agrupamento de elementos que se diferenciam pela ordem e pela natureza dos elementos.
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Exemplo: Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os algarismos 3, 5, 7 e 9?
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Probabilidades
A teoria das probabilidades se aplica a experimentos aleatórios.
Experimento Aleatório: está sujeito à lei do acaso.
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Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
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Exemplo 1:
Nascimento de um filho, quanto ao sexo.
		
		O espaço amostral é S = {M, F}
O número de elementos do espaço amostral é:		n(S) = 2
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Exemplo 2:
Nascimento de dois filhos.
O espaço amostra é:
	S = { (M,M), (M,F), (F,F), (F,M)}
	n(S) = 4
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Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo 3: No caso do nascimento de dois filhos, poderíamos estar interessados no na ocorrência do evento A, sendo:
Evento A: Os dois filhos são do mesmo sexo.
	A = {(M,M), (F,F)}		n(A) = 2
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Probabilidade de um evento
Seja A um evento do espaço amostral S.
A probabilidade de ocorrer A é dada por:
		
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Exemplo 4 
No caso do nascimento de dois filhos, a probabilidade de os dois serem do mesmo sexo é:
		
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Exemplo 5
Uma urna contém 3 bolas amarelas e 5 bolas brancas.
Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de sair uma bola amarela?
b) Retirando-se duas bolas ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de as duas serem amarelas?
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Observações:
1) A probabilidade pode ser expressa em número decimal, razão ou porcentagem.
2) Como toda frequência relativa, a probabilidade é um número entre zero e 1.
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Evento complementar
Definido um evento E num experimento aleatório, a não ocorrência desse evento é chamada de evento complementar e pode ser denotado por Ec.
A probabilidade do evento complementar é dada por:		
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Exemplo 6
Seja o experimento aleatório: lançamento de um dado.
a) Qual a probabilidade de obter o número 5?
b) Qual a probabilidade de não obter o número 5?
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Multiplicação de probabilidades 
Regra do produto: Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes, de modo que: 
 o primeiro evento é A e a sua probabilidade é p1
	o segundo evento é B e a sua probabilidade é p2
		...
	o k-ésimo evento é K e a sua probabilidade é pk,
então a probabilidade de que os eventos A, B, C, ..., K ocorram nessa ordem é: 
p1 . p2 . p3 . ... . pk
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 Exemplo 7: Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de que apareça cara nas quatro vezes? 
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Probabilidade da união de dois eventos
Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral S, tem-se que:
Obs.: Se
Assim temos: 
 
A 
 B
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Exemplo 8: Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Sorteia-se uma bola e observa o número. Qual a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3?