MAT_Unid_03_Funcao_Quadratica

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UNIDADE 03: FUNÇÕES PARABÓLICAS E SUAS APLICAÇÕES 
 
 
1. FUNÇÕES DO 2 GRAU 
 
A. Equação Geral: 
 
y = a x2 + b x + c onde a , b e c são números Reais 
 
B. Gráfico e Estudo da Concavidade: 
 
Se a > 0 : concavidade para cima. A função tem um ponto MÍNIMO 
 
Se a < 0 : concavidade para baixo. A função tem um ponto MÁXIMO 
 
 
C. Raízes e Discriminante  : 
 
Discriminante  = b2 - 4 a c 
 
Valor de  N de Raízes Cálculo 
 > 0 2 
x1 =  b
a

2
 
 
x2 =  b
a

2
 
 
 = 0 1 x1 = x2 = 
 b
a2
 
 < 0 0 - 
 
D. Vértices: 
 
X v = 
a2
b
 Y v = 
 
4a
 Vértice = (
a2
b
 , 
 
4a
 ) 
 
 
E. Forma Fatorada: 
 
 
y = a x2 + b x + c é equivalente à: y = a * (x – x’)* (x – x”), sendo x’ e x” as raízes da equação. 
 
 
 
 
Máximo: a < 0 
x 
y 
f (x) 
Mínimo: a > 0 
x 
y f (x) 
2. FUNÇÕES DO 2 GRAU: APLICAÇÕES 
 
 
Algumas situações práticas podem ser representadas pelas funções polinomiais do segundo grau, chamadas 
simplesmente de funções do segundo grau. Uma dessas situações é a obtenção da função receita quando 
consideramos o preço e a quantidade comercializada de um produto. 
 
Sabemos que a receita R é dada pela relação: R = p x q 
 
em que p representa o preço unitário e q a quantidade comercializada do produto. 
 
Por exemplo, se o preço dos sapatos de uma marca variar de acordo com a relação p = -2q + 200; podemos 
estabelecer a receita para a venda de sapatos pela expressão: 
 
R = (-2q + 20Q)q 
 
R = -2q2 + 200q 
 
Para uma melhor visualização dessa situação, vamos traçar um gráfico a partir de uma tabela com algumas 
quantidades de sapatos vendidos e receitas correspondentes: 
 
Tabela: Receita para a venda de pares de sapatos 
 
Quantidade 
(q) 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
Receita (R) 0 1.800 3.200 4.200 4.800 5.000 4.800 4.200 3.200 1.800 0 
 
Graficamente, temos a curva conhecida como parábola: 
 
 
 
Nessa parábola, convém observar alguns aspectos interessantes associados à função R = -2q2 + 200q: 
 
• a concavidade está voltada para baixo, pois o coeficiente do termo -2q2 é negativo. 
• o ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0: 
 
R = -2 • 02 + 200 • 0 
 
• os pontos em que a curva corta o eixo q, ou raízes da função, são obtidos fazendo R = 0: 
 
R = -2q2 + 200q = 0 
 
q = 0 ou q = 100 
 
• o vértice V = (50; 5.000) significa que para q = 50 a Receita é máxima, R = 5000 
 
 
Considerando ainda a receita R = -2q2 + 200q na venda de q pares de sapatos e supondo que o custo C na 
sua fabricação seja dado por: 
 
C = 40q+1.400 
 
então o lucro L na comercialização dos sapatos será dado por: 
 
L = R - C 
 
L = -2q2 + 200q - (40q + 1.400) 
 
L = -2q2 + 160q-1.400 
 
supondo que as quantidades produzidas e vendidas são as mesmas. 
 
Para a obtenção do gráfico, notamos que: 
 
• a concavidade está voltada para baixo, pois o coeficiente do termo -2q2 é negativo. 
• o ponto em que a curva corta o eixo L é obtido fazendo q = 0: 
L = -2.02 + 160.0-1.400 
L = -1.400 
• os pontos em que a curva corta o eixo q são obtidos fazendo L = 0: 
L = -2q2+ 160q-1.400 = 0 
q = 10 ou q = 70 
 
O vértice é dado pelo ponto V = (40; 1.800). 
 
 
 
A partir de tal gráfico, observamos que o lucro é positivo (L > 0) quando se vendem entre 10 e 70 pares de 
sapatos (L > O, se 10 < q < 70); O lucro é nulo quando se vendem 10 ou 70 pares de sapatos (L = 0, se q = 10 
ou q = 70); o lucro é negativo quando se vendem entre 0 e 10 pares de sapatos ou quantidades superiores a 
70 pares de sapatos (L < 0, se 0 < q < 10 ou q > 70). 
A partir do vértice e do eixo de simetria, notamos que a quantidade de 40 pares de sapatos proporciona lucro 
máximo de 1 .800 e que o lucro é crescente para quantidades inferiores a 40 e decrescente para quantidades 
superiores a 40. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 
 
1. Construa o gráfico e dê o conjunto Imagem das funções: 
a . f ( x ) = 2x2 
b . f ( x ) = - 2x2 
c . f ( x ) = - 3 . ( x - 1 )2 + 1 
d . f ( x ) = - x2 + x + 2 
e . f ( x ) = x2 - 6x + 1 
f . f ( x ) = 2x2 -4x + 6 
g . f ( x ) = - x2 + 5 x - 6 
h . f ( x ) = ( x - 1 )2 + ( x - 3 )2 
 
2. Uma criança joga uma bala para um amigo. A bala cai no chão. O movimento que a bala descreve é dado 
por : 
A ( x ) = - 0,5 x2 + x + 1,5 
 
onde A é deslocamento vertical da bala e x é o horizontal, ambos em metros. 
Pergunta-se : 
a . A bala caiu a que distância de quem jogou  
b . Que altura máxima a bala atingiu  
 
3. Determine os valores de máximo ou mínimo das funções: 
a . y = x2 - 7x + 4 
b . y = - x2 + 6x - 5 
c . y = - x2 + 10x - 5 
d . y = 4x2 - 5x + 1 
e . y = 3x2 - 2x 
f . y = 4x2 - 6 
4. Um objeto se move e tem a sua posição ( s ) dada em função do tempo ( t ) pela função: 
s ( t ) = 2 t2 - 5t + 4. 
a . Qual é a sua posição inicial  
b . Em que instante o objeto inverte o sentido do movimento  
 
5. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E = t2 - 8t + 210, 
onde o consumo E é dado em kWh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim 
sucessivamente. 
 
a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh. 
b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano? 
c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboce o gráfico de E. 
 
6. O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros, pode ser obtido pela expressão: 
N = -t2 + 14f + 32, onde t representa o mês da venda. 
 
a) Esboce o gráfico dessa função a partir de uma tabela com o número de apólices vendidas para os dez 
primeiros meses de vendas. 
b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi vendido o máximo de apólices e qual o 
número máximo vendido? 
c) Qual a média de apólices vendidas por mês para os cinco primeiros meses? E para os dez primeiros meses? 
 
7. O preço da garrafa de um vinho varia de acordo com a relação p = -2q + 400, onde q representa a 
quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita R é dada pela relação R = p x q: 
 
a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os principais pontos e o eixo de simetria. 
b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que a receita seja máxima? Qual a receita 
máxima? 
c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente? 
 
8. O valor, em reais (R$), de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado 
pela expressão v = 0,5t2 – 8t + 45. 
Considere t = 0 o momento inicial de análise; t = 1 após 1 dia; t = 2 após 2 dias etc. 
 
a) Esboce o gráfico indicando os principais pontos e o eixo de simetria. 
b) Após quanto tempo o valor da ação é mínimo? Qual o valor mínimo? 
c) Para quais dias o valor da ação é decrescente? E crescente? 
d) Determine a variação percentual do valor da ação após 20 dias de pregão. 
 
9. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função 
 P = -2t2 + 24t + 128. 
 
a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos. 
b) Em que momento a produção é máxima? Qual a produção máxima? 
c) Em que momento a produção é igual à produção inicial? 
d) Em que momento o funcionário não consegue mais produzir? 
e) Quais os intervalos de crescimento e decrescimento para produção? 
 
10. O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p = 0,25t2 - 2,5t + 60 para um 
período de um ano em que t = 0 repre senta o momento inicial de análise, t = 1 após 1 mês; t = 2 após 2 
meses etc. 
 
a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos. 
b) Em que momento o preço é mínimo? Qual o preço mínimo? 
c) Qual a variação percentual entre o momento inicial e final do terceiro mês? E a variaçãopercentual entre os 
finais do terceiro e sétimo mês?