MAT_Unid_04_Funoes_Exponenciais

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UNIDADE 05: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E APLICAÇÕES 
 
 
1. EXPOENTES (POTENCIAÇÃO) 
 
A. Propriedades de Potências: 
 
a a ab c b c. = +
 
a
a
a
b
c
b c
=
−
 
( )a ab c b c= .
 a
a
b
b
−
=
1
 
a a
p
q pq
= 10 =a 
 
 
Exemplo 05: Simplifique 
 
a. 35 . 92 = 35 . (32)2 = 35 . 34 = 39 
 
b. 6
13
6
94
2
3
3
2
2
1
3
1
2
1
3
1
2222)2()2(84 32 ==⋅=⋅=⋅ + 
 
c. 2
92
9
2
4132
2
13
2
2
13
2
2
112
2
2
1
6
2
23
.)(
aaaa
a
a
a
a
a
aa
a
aa
======
⋅
=
−
−
+
 
B. Equações Exponenciais: 
 
1 ° Passo: Igualar as Bases, através da decomposição em fatores primos. 
2 ° Passo: Igualar os expoentes. 
 
 
Exemplo 06: Calcule “x” 
 
2
7
72
22
2
14
128
14
72
7
−=
−=
=
=
=
−
x
x
x
x
x
 
 
 
 
C. Inequações Exponenciais: 
 
BASE > 1 : Resolução idêntica a Equação Exponencial. 
BASE entre 0 e 1 : Inverte-se o sinal de desigualdade. 
 
 
 
Exemplo 07: Calcule “x” 
4
3
34
22
022
0816
34
34
>
>
>
>−
>−
x
x
x
x
x
 
3
1
213
2
1
2
1
4
1
2
1
213
13
≥
≥+





≤





≤





+
+
x
x
x
x
 
 
2. RADICAIS (RADICIAÇÃO) 
 
A. Definição: 
 
an = b ⇔ b n = a onde a ≥ 0 
 
B. Propriedades da Radiciação: 
 
m nm
n
aa =
 
nnnn cbacba ⋅⋅=⋅⋅
 
 
n
n
n
b
a
b
a
=
 
mpm p aa =
 
 
 
OBS.: Não existe “raiz par” de número negativo para o conjunto dos números Reais 
 
C. Adição e Subtração de Radicais: 
 
Exemplo 08: Calcule 
 
5322532)475(53242725 −=−+−=−+− 
 
 
D. Multiplicação e Divisão de Radicais: 
 
Exemplo 09: Calcule 
 
a. 3085322
3
43523
3
423 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ 
 
b. 30 2930 293030 5930 3630 4530 505 633 5 aaaaaaaaaaa =⋅==÷⋅=÷⋅ 
 
 
E. Racionalização: 
 
Exemplo 10: Simplifique 
 
2
22
24
22
)22(
)22(
22
1 −
=
−
−
=
−×
−×
=
+
 
 
 
 
3. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
A. Função Exponencial Crescente: 
 
f ( x ) = a x a > 1 e a ≠ 1 
 
Ponto do Gráfico: ( 0 , 1 ) 
Dom f ( x ) = R 
Im f ( x ) = R
 + 
 
 
B. Função Exponencial Decrescente: 
 
f ( x ) = a x 0 < a < 1 
 
Ponto do Gráfico: ( 0 , 1 ) 
Dom f ( x ) = R 
Im f ( x ) = R
 + 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
1. Sendo A = 23 . 32 . 5x e B = 2y . 37 . 53 e sendo C = 22 . 32 o m.d.c. de A e B , determine x e y. 
2. Calcule as potências: 
a. 10 0 
b. 04 
c. 36 -0,5 
d. 8-0,333.... 
e. 1024 0,1 
f. ( ½ )-3 
3. Simplifique as expressões: 
a. ( 25 . 24 )2 
b. ( 27-1 . 32 ) : 9-2 
c. 643 . 512-1 
d.
234
y
x
.
y
x




















 
 
Crescente: a > 1 
x 
y 
f (x) 
Decrescente: 0< a < 1 
x 
y 
f (x) 
 
4. Efetuar: 
a. 5 2 - 7 2 + 4 2 
b. 8 2 - 6 2 + 2 
c. 2 . 6 
d. 6 + 5424 + 
e. 
5
12
.
2
3
.5 
5. Reduzir ao mesmo índice: 
a. 2,5,4 43 
b. 3,5,2 43 
c. 10 725 3 a,a,a 
6. Racionalizar: 
a. 
a
1
 
b. 
a
a
 
c. 
53
2
 
 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS - APLICAÇÕES 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de $ 10.000 e cujo montante da dívida 
seja corrigido a uma taxa de juros de 5% que incide mês a mês sobre o montante do mês anterior. 
Podemos determinar tal montante utilizando um fator multiplicativo: 
 
• Após l mês, representando o montante por M (1), temos: 
 
M (1) = Valor inicial + 5% do Valor inicial 
M (1) = 10.000 + 5% de 10.000 
M (1) = 10.000 + (5/100)•10.000. 
M (1) = 10.000 + 0,05 • 10.000 
 
Colocando 10.000 em evidência: 
 
M(l) =10.000(1+0,05) 
M (l) = 10.000•1,05 
M(l) =10.500 
 
Notamos por esses passos que, se quisermos aumentar em 5% uma quantia, basta multiplicá-la por 
1,05. Chamaremos esse fator de aumento de fator multiplicativo. Para a determinação do montante 
após 2 meses, de maneira análoga aos passos anteriores, ressaltaremos o aparecimento do fator 
multiplicativo. 
 
 
• Após 2 meses, representando o montante por M (2), temos: 
 
M (2) = Montante após l mês + 5% do Montante após 1 mês 
M (2) = M(l) + 5% de M(1) 
M (2) = 10.500 + 5% de 10.500 
M (2) = 10.500+ 0,05•10.500 
Colocando 10.500 em evidência: 
 
M (2) = 10.500(1+ 0,05) 
M (2) = 10.500 •1,05 
M (2) = 11.025 
 
• Após 3 meses, representando o montante por M (3), temos: 
 
M (3) = Montante após 2 meses + 5% do Montante após 2 meses 
M (3) = M (2) + 5% de M (2) 
M (3) = 11.025 + 5% de 11.025 
M (3) = 11.025+ 0,05• 11.025 
M (3) =11.025(1+0,05) 
M (3) = 11.025 •1,05 
M (3) = 11.576,25 
 
Para o cálculo dos montantes mês a mês, utilizamos o fator multiplicativo incidindo no montante do 
mês anterior, porém podemos simplificar ainda mais tais cálculos e obter o montante de qualquer mês 
sem recorrer ao mês anterior. Na verdade, é possível obter o montante em um mês qualquer a partir do 
valor inicial e do fator multiplicativo se considerarmos os seguintes raciocínios: 
Primeiramente, lembramos que o montante de cada mês é calculado multiplicando-se o valor anterior 
pelo fator 1,05. 
 
M (1)= 10.000•1,05 => M (1)= 10.500 
M (2) =10.500•1,05 ou M (2) = M (1) •1,05 => M(2) = 11.025 
M (3) =11.025 •1,05 ou M (3) = M (2) •1,05 => M (3) = 11.576,25. 
 
Em M(2) = Al(l) • 1,05, vamos substituir M(l) = 10.000 • 1,05 
M(2) = 10.000 • 1,05 • 1,05 
 
Em M(3) = M(2) • 1,05, vamos substituir M(2) = 10.000 • 1,05 • l,05 
M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05. 
 
Assim 
M(l) = 10.000 • 1,05 
M(2) = 10.000 • 1,05 • 1,05 
M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05 
 
Esscritos com potências leva a: 
 
M(l) = 10.000 • 1,05 => M(l) = 10.000 • 1,051 
M(2) = 10.000 • 1,05 • 1,05 = > M(2) = 10.000 • 1,052 
M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05 => M(3) = 10.000 • 1,053 
 
 
e com tal raciocínio podemos escrever o montante após 4 meses como: 
M(4) = 10.000 • 1,054 
 
ou, ainda, generalizar o montante após x meses como: 
M(x) = 10.000 • 1,05x 
 
Temos assim o montante M da dívida como função do tempo x, e é interessante notar que o valor 
inicial do empréstimo pode ser obtido considerando 
x = 0: 
M(0) = 10.000 • 1,050 
M(0) = 10.000 • l 
M(0) = 10.000 
 
Para tal função, podemos construir uma tabela com alguns valores de montante: 
 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
Para uma aplicação de $ 20.000 a juros de 12% ao ano determinar o montante da aplicação ao longo do 
tempo e considerando que a taxa de juros incida sempre no montante do período anterior. 
 
Resposta: M(x) = 20.000 • 1,12x. 
 
 
DEPRECIAÇÃO DE MÁQUINAS 
 
Outro exemplo de função exponencial é dado quando consideramos uma máquina cujo valor é 
depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa que incide sobre o valor da máquina no ano anterior. 
Nessas condições, se o valor inicial da máquina é $ 240.000 e a depreciação é de 15% ao ano, vamos 
obter o fator multiplicativo e, na sequência, a função que representa o valor no decorrer do tempo. 
 
 
• Após l ano, representando o valor da máquina por V(1), temos: 
 
V(l) = Valor inicial - 15% do Valor inicial 
V(1) = 240.000 - 15% de 240.000 
V(l) = 240.000 – 0,15 • 240.000 
V(l) = 240.000 - 0,15 • 240.000 
 
Colocando 240.000 em evidência: 
 
V(l)= 240.000(1- 0,15) 
V(1) = 240.000-0,85 
V(l) = 204.000 
 
Notamos assim que, para diminuir em 15% o valor inicial, basta multiplicá-lo por 0,85, sendo esse o 
fator multiplicativo usado para os decréscimos sucessivos a cada ano. 
 
V (1) = 240.000 • 0,85 => V(l) = 204.000 
V (2) = 204.000 -0,85 ou V (2) = V(l) • 0,85 => V ( 2 ) = 173.400 
V (3) = 173.400 • 0,85 ou V (3) = V(2) • 0,85 => V(3) = 147.390 
 
Em V(2) = V(l) • 0,85, substituindo V(l) = 240.000 • 0,85, temos: 
 
V(2) = 240.000 • 0,85 • 0,85 
 
Em V(3) = V(2) • 0,85, substituindo V(2) = 240.000 • 0,85 • 0,85, temos: 
 
V(3) = 240.000 • 0,85 • 0,85 • 0,85 
 
Assim obtemos: 
 
V(l) = 240.000 • 0,85 => V(l) = 240.000 • 0.851 
V(2) = 240.000 • 0,85 • 0,85 => V(2) = 240.000 • 0,852 
V(3) = 240.000 • 0,85 • 0,85 • 0,85 => V(3) = 240.000 • 0,853 
 
Por generalização, o valor após x anos é dado pela função: 
 
V(x) = 240.000 • 0,85x 
 
 
 
Exercícios 
 
1. A população de um certo país cresce exponencialmente, de ano para ano, de acordo com a expressão: 
N = 1.5 . 108 . 1,1t 
onde N é o número de habitantes e t , o ano em questão. 
Adotando-se t=0 para o ano de 1990, pergunta-se: 
a . Qual é o número de habitantes em 1990? 
b . Qual o número de habitantes em 1992? 
2. Devido ao desmatamento, a área de uma floresta virgem de certa região diminui, anualmente, de acordo 
com a expressão: 
A = 3 . 106 . ( 0,8 )t 
onde A é a área, em metros quadrados, e t, o número de anos decorridos após o período inicial. 
a . Qual era a área inicial da floresta? 
b . Qual será a área da floresta após um ano? 
c . Qual será a área da floresta após três anos? 
3. Encontre o valor de x que satisfazem às equações: 
a . 2x + 2x-1 + 5 . 2x+1 + 46 b . 5 . 3x+1 - 27 . 3x + 4 . 3x+2 = 8 
c . 22x + 1 + 3 . 2x + 1 = 8 d . 3x - 32 - x = 23 
4. Resolva as inequações: 
a . 3x + 1 - 2 . 3x + 4 . 3x - 1 - 21 > 0 b . ( ½ )x - 1 > ( ½ )- x + 1