1.2 Vazão – Cursos de Engenharia Elétrica 2016

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Cursos de Engenharia Elétrica 2016
Prof. Antonio Guilherme Garcia Lima
Vazão
© Andreikovnir | Dreamstime.com
A potência das usinas hidrelétricas é proporcional à vazão de água que
movimenta suas turbinas – a vazão turbinada. A vazão é o escoamento
superªcial medido em determinados pontos ou o calculado a partir dos modelos
hidrológicos.
A vazão aºuente é deªnida como sendo a vazão que chega a um determinado
ponto ou usina. Nem toda a vazão aºuente é transformada em energia. Parte é
perdida pela evapotranspiração, parte é perdida na vazão vertida e parte é
armazenada no volume útil do reservatório. A divisão entre estas parcelas é
deªnida pelo Balanço Hídrico. A vazão aºuente depende das condições 
hidrológicas naturais da bacia hidrográªca, dos aproveitamentos existentes a
montante e de outros usos da água ao longo da bacia hidrográªca.
A vazão é medida em determinados pontos dos rios das diversas bacias
hidrográªcas. A Agência Nacional de Águas – ANA – disponibiliza as
informações da rede de estações de coleta de dados.
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Independentemente do tipo de vazão a que nos referimos, a  série das medições
de cada ponto forma um conjunto ou série de dados horários, diários ou
mensais. Este tipo de série é chamada de Série Temporal e forma um capítulo
especial na matemática. Analisar os dados das séries históricas de vazão requer
alguns cuidados. Não é possível trabalhar com os dados brutos destas medidas
porque a atividade humana ao longo das bacias hidrográªcas altera o valor das
vazões de forma artiªcial. Por exemplo, ao construirmos uma represa, a vazão
do rio a jusante será modiªcada mesmo que o regime hidrológico da bacia não
tenha mudado. Por isso, as séries de vazão medidas são processadas e
transformadas nas séries de vazão natural aºuente. Teoricamente, esta nova
série de vazões equivale à série histórica de vazões que existiria se não houvesse
nenhuma intervenção humana.
O ONS fornece relatórios anuais com os dados de medições mensais e diárias das
vazões naturais de todas as usinas em operação a partir de 1931. A obtenção,
manipulação e consolidação dessas informações está descrita nos
Procedimentos de Rede do ONS. A questão da medição e manipulação de dados
hidrológicos foge do escopo deste curso. Por isso, vamos considerar como
premissa que os dados de vazão natural aºuente disponibilizados pelo ONS
estão corretos.
Análise da Vazão
Como o volume de dados é muito grande, a análise dos dados de vazão requer
metodologias e ferramentas mais soªsticadas. Planilhas eletrônicas, tipo Excel e
Numbers, atingem seus limites com os dados de vazão e não possuem funções
avançadas de estatística para tratar séries temporais.
Como exemplo, escolhemos Três Marias para esta análise porque ela incorpora
características do comportamento hidrológico dos três maiores sistemas –
SE/CO, N e NE – e possui reservatório de acumulação.
A ªgura 1 mostra a vazão natural aºuente média mensal  de janeiro de 1931 a
dezembro de 2014 da usina de Três Marias. Pouca ou nenhuma informação pode
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ser retirada desta ªgura sem um tratamento mais elaborado dos dados dos
dados.
Figura 1. Vazão Natural Aºuente da Usina de Três Marias
Sumário Estatístico
Para iniciar a análise das vazões, utiliza-se o sumário estatístico, que é um
resumo de diversos índices estatísticos. A tabela 1 apresenta o sumário de Três
Marias. Observa-se que alguns índices são adimensionais e outros não. O desvio
padrão é exemplo de índice adimensional e a média exemplo de índice
dimensional.
Tabela 1 - Sumário Estatístico da Vazão de Três Marias
Parâmetro Valor
Assimetria 1.86
Curtose 4.33
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Mediana 443 (m3/s)
Máximo 4437 (m3/s)
Média 682.13 (m3/s)
Mínimo 47.7 (m3/s) 
Desvio Padrão 0.88
Percentil 5% 150 (m3/s)
Percentil 95% 1903 (m3/s) 
A Assimetria mede como a distribuição probabilidade é assimétrica com relação
à sua média. A ªgura 3 mostra que, no caso de Três Marias, a curva concentra-
se mais para o lado esquerdo e isto signiªca que a assimetria é positiva. Esta
característica é típica para todas as usinas hidrelétricas. 
A Curtose mede o peso estatístico dos extremos da distribuição de probabilidade
de uma variável aleatória. Quando maior a Curtose, maior a probabilidade de
ocorrência de valores extremos.
A Mediana é o ponto de probabilidade acumulada de 50%. A mediana de 443
m /s signiªca que 50% do tempo a vazão natural aºuente desta usina é inferior
a este valor ou superior a este valor. Erro muito comum é considerar a média
como sendo o índice que divide a distribuição de probabilidade em partes iguais.
Isto só ocorre quando a distribuição de probabilidade da variável aleatória é
simétrica. Por isso, a assimetria também pode ser avaliada pela diferença entre
a média e a mediana.
Os valores Máximo e Mínimo são os valores extremos observados na amostra
dos dados. 
A ªgura 2 apresenta o sumário estatístico em forma gráªca, chamada de
boxplot ,  das vazões mensais médias da usina de Três Marias por mês. Este
tipo de gráªco é extremamente útil para visualização rápida dos dados.
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Figura 2. Boxplot Vazão Natural Aºuente
Os valores extremos são o mínimo e o máximo da série. Os valores extremos da
caixa são as vazões com probabilidade de 25% e 75%. Portanto, o comprimento
da caixa representa o intervalo interquartil (IQR), que é outra medida de
espalhamento. O IQR é uma medida mais robusta para o espalhamento do que o
desvio padrão ou variância. A barra central mais escura é a mediana. Os valores
tracejados, que representam os extremos da variável aleatória, são os pontos da
série entre o percentil de 75%  e o percentil 75% mais IQR da série temporal, e
os círculos representam pontos fora da curva.
Observa-se que o comportamento estatístico varia com os meses do ano.
Durante o período chuvoso a variação da vazão é maior do que durante o período
seco.
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Figura 3. Boxplot de todos os dados
 Médias, Máximos, e Mínimos
A próxima ªgura mostra a vazão natural aºuente mensal de alguns anos
escolhidos especialmente para esta usina. O critério de escolha foi a vazão média
anual, e a ªgura mostra os anos com vazões médias anuais máxima, mínima,
média, moda, mediana, a de 2001 ( ano do racionamento) e a de 2014, a mais
recente disponibilizada pelo ONS.
A lei de Murphy aparece mais uma vez. A vazão média anual mínima
encontrada para esta usina ocorreu em 2014, e a  média máxima anual
aconteceu em 1983, quando Itaipu estava entrando em operação e sobrava
energia no país. É importante observar que o mínimo registrado em 2001, ano
do racionamento, foi superado pelo ano de 2014.
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Três Marias
Fonte: ONSJAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
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1,000
2,000
3,000
4,000
V
az
ão
 N
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ra
l A
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u
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te
 (
m
3
/s
)
JS chart by amCharts
1935 ­ Mediano 1987 ­ Moda
1983 ­ Máximo 1940 Médio
2001 ­ Racionamento 2014 ­ mais recente
A ªgura abaixo mostra a média, o máximo, o mínimo, e a mediana da série
temporal da média mensal da vazão natural aºuente da usina de Três Marias
tendo como base os meses do ano. Esta ªgura é ligeiramente diferente da ªgura
anterior porque apresenta os valores mínimos e máximos mensais sem
considerar se eles ocorreram no mesmo ano ou não.
Vazão Natural Afluente
Três Marias
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
V
az
ão
 (
m
3
/s
)
JS chart by amCharts
Média Máximo Mínimo
Mediana MLT
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Observa-se claramente a sazonalidade anual e, a partir da comparação com a
média de todos os dados (média de longo termo- MLT), pode-se determinar o
período seco desta usina- Abril a Novembro. Além disso, a mediana ªca
claramente menor do que a média durante os meses úmidos e o mínimo dos
mínimos mensais é inferior ao pior ano registrado até hoje.
O comportamento sazonal está relacionado ao ciclo anual do sol. Isto pode ser
generalizado para todas as usinas hidrelétricas do mundo. Contudo, a
amplitude, fase e período dependem da localização geográªca e podem ser
consideradas um identiªcador da bacia hidrográªca. Existem diversas formas de
separar o comportamento sazonal da vazão. A primeira é considerar a média
anual dos dados mensais.
A ªgura abaixo apresenta a média, o máximo, o mínimo, e a média dos valores
médios anuais da vazão natural aºuente da usina de Três Marias.
Vazão Natural Afluente ­Média Anual
Três Marias
1950 2000
Ano
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1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
V
az
ão
 (
m
3
/s
)
JS chart by amCharts
Max Min MLT Média
MMA
Observa-se que a sazonalidade anual, presente na série de médias mensais,
desaparece na série de médias anuais. Isto já era esperado porque a função
matemática média funciona como um ªltro que elimina variações de
frequências mais elevadas. Além disso, aparentemente, não existe um
comportamento cíclico plurianual bem deªnido e as variações parecem mais
aleatórias.
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Isto sugere a hipótese de que as vazões médias anuais podem ser consideradas
séries temporais estacionárias de segunda ordem. Esta hipótese permite uma
série de simpliªcações matemáticas nos modelos a serem utilizados mas pode
não ser verdadeira.
Normalização da Vazão
Trabalhar com os dados de vazão em m /s  apresenta inconvenientes na
comparação com outros rios e aproveitamentos. A normalização resolve este
problema, mas a escolha da base para esta normalização requer análise.
Consideramos a média de longo prazo – MLT –  como sendo a base mais
adequada e a ªgura abaixo apresenta os valores normalizados. A Tabela abaixo,
que apresenta o sumário estatístico das séries de vazão natural aºuente de Três
Marias diárias e mensais, mostra que a média permanece constante e independe
da amostra estatística da série temporal. Por isso, utilizamos a média como base
na normalização dos séries temporais.
Sumário Estatístico - Três Marias
Vazão Natural Aºuente Normalizada em base mensal e diária
Sumário Estatístico Diário Mensal
Mínimo 0,059 0,072
1 Quadrante 0,37 0,39
Mediana 0,61 0,65
Média 1,00 1,00
3 Quadrante 1,27 1,36
Máximo 10,7 6,5
A ªgura 4, que representa a série temporal da vazão natural aºuente
normalizada de Três Marias, diferencia-se da Figura 1 apenas pela a escala de
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vazão. Esta normalização distingui-se completamento da normalização
estatística, utilizada em outras análises especíªcas.
Figura 4. Vazão natural aºuente – pu
Densidade de Probabilidade
Mesmo normalizados, os dados apresentados anteriormente não fornecem as
informações necessárias para o projeto de usinas hidrelétricas. Por isso, é
necessário descobrir o comportamento estatístico da vazão. 
A primeira ferramenta é o histograma, mostrado na ªgura abaixo. A deªnição
das classes da variável aleatória, no caso a vazão, requer cuidado. A maneira
mais simples consiste em dividir o intervalo da variável aleatória em intervalos
iguais. No caso da ªgura abaixo, utilizamos 10 intervalos mas poderíamos ter
utilizado 20.
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Histograma Vazão Natural Afluente
Três Marias
58 496 933 1371 1809 2247 2684 3122 3560 3997 4435
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
D
er
n
si
da
de
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e 
P
ro
ba
bi
lid
ad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
P
ro
ba
bi
lid
ad
e 
A
cu
m
u
la
da
JS chart by amCharts
Densidade Acumulada
Contudo, utilizar intervalos iguais nem sempre permite visualizar corretamente
o comportamento da grandeza aleatória. Por isso, existem outros métodos mais
soªsticados que utilizam intervalos variáveis. A ªgura abaixo apresenta um
destes métodos. Este histograma utiliza os mesmos dados da ªgura acima mas
com intervalos ajustados pela probabilidade. Desta maneira, foi possível
visualizar o comportamento crescente da distribuição de probabilidade para
pequenas vazões.
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Figura 5.  Histograma Irregular Três Maria
 
Observa-se um forte crescimento na densidade de probabilidade antes de atingir
seu máximo e um lento declínio para vazões superiores. Este comportamento é
típico em grandezas físicas com limitação mínima mas que não possuem
restrição física para seu máximo. O valor máximo da densidade de probabilidade
é chamado de moda e representa a faixa de vazão com maior probabilidade de
ocorrência.
A ªgura abaixo mostra a distribuição de probabilidade acumulada da vazão
natural aºuente de Três Marias. Ela fornece a probabilidade da vazão ser igual
ou inferior a determinado valor. A vazão correspondente a probabilidade de 50%
é chamada de Mediana e divide o gráªco em duas áreas horizontais iguais. Isto
signiªca que a probabilidade da vazão ser menor ou maior que a mediana é
50%.
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Figura 6. Probabilidade Acumulada
Persistência
A probabilidade acumulada fornece a probabilidade de ocorrência de vazões
inferiores (ou superiores) a determinado valor. Contudo, em determinados
casos, necessita-se determinar a função inversa, isto é, qual a vazão que ocorre
para determinada probabilidade. A curva de persistência, ªgura 7,  utiliza o
complemento da vazão acumulada no eixo horizontal e a vazão no eixo
vertical. 
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Figura 7.  Persistência Vazão Diária
A curva de persistência apresenta comportamento não linear, que pode ser
melhoradoquando utilizamos o logaritmo da vazão para fazer o gráªco,
conforme mostra a ªgura 8. A persistência do logaritmo da vazão apresenta
comportamento aproximadamente linear entre o primeiro quartil (25%) e o
terceiro quartil, e esta característica permite a aproximação desta curva por uma
reta.14
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Figura 8. Persistência do log da vazão diária
Distribuição de Energia
Conforme visto anteriormente, a potência da geração hidrelétrica depende da
vazão e a energia depende do volume. Portanto, a avaliação da distribuição
estatística da energia requer a análise do volume. A Figura 9 apresenta o
histograma da vazão natural aºuente média diária na usina de Três Marias. A
diferença entre esta ªgura e a Figura 5 encontra-se na unidade do eixo vertical.
Na ªgura anterior, utilizamos probabilidade e agora o eixo representa
ocorrências.
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Figura 9 Histograma da Vazão Natural Aºuente Diária
A Figura 10 mostra a distribuição estatística da energia, calculada a partir do
histograma da vazão natural aºuente média diária. Os valores deste gráªco
foram obtidos pela multiplicação das classes de vazão pela probabilidade de
ocorrência associada. Como a probabilidade de ocorrência representa uma
medida de tempo, o produto da probabilidade pela vazão normalizada tem
dimensão de volume. Por sua vez, multiplicando o volume pelo fator de
produtibilidade da usina obtemos a energia.
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Figura 10. Energia da Vazão Natural Aºuente Diária
Volume
A determinação do volume de água necessário para regularizar a vazão  constitui
problema importante no projeto de geração hidrelétrica.
Inicialmente, deªne-se o volume base anual como sendo o volume de água
médio anual que passa em determinado ponto. Calcula-se este volume
multiplicando a vazão média de longo prazo, em m /s, pelo número de segundos
no ano (31.536.000 s). Isto signiªca um metro cúbico por segundo por ano
equivale a 0,031536 km . Mais uma vez, a normalização das grandezas contribui
para simpliªcar a análise dos problemas.
A equação do balanço hídrico abaixo fornece a base teórica para o cálculo do
volume.
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Onde:
Q é a vazão aºuente no instante t;
V é o volume do reservatório no instante t;
A é a área da superfície do reservatório no instante t;
P é a precipitação no reservatório no instante t;
E é a evaporação do reservatório no instante t;
Q é a vazão eºuente turbinada no instante t;
Q é a vazão eºuente vertida no instante t.
Como estamos trabalhando apenas com os dados de vazão em um determinado
ponto, podemos simpliªcar esta equação desprezando a precipitação e a
evapotranspiração. Além disso, como desconhecemos a priori os dados do
reservatório e sua operação, podemos considerar o volume de água passando em
determinado ponto como sendo o somatório da vazão ao longo de determinado
período de tempo, conforme a expressão abaixo.
Isto signiªca que, como as vazões são sempre positivas, o volume será sempre
crescente e sua análise torna-se complexa e inexata. Apesar disso, este método,
conhecido como diagrama de Rippl ou de massas, foi desenvolvido no século
passado antes do advento das ferramentas computacionais modernas.
Conforme visto anteriormente, considerando a vazão uma série temporal
estacionária de segunda ordem, sua média é constante ao longo do tempo. Isto
signiªca que o crescimento médio do volume também será constante ao longo
do tempo. Portanto, podemos retirar o crescimento constante da análise e
trabalhar apenas com as variações de volume ao longo do tempo.
A ªgura abaixo mostra a variação da média anual da vazão natural aºuente
normalizada da usina de Três Marias. A vazão média anual normalizada possui o
mesmo valor numérico que o volume médio anual normalizado, a diferença
encontra-se apenas nas bases utilizadas. Portanto, podemos interpretar este
gráªco como sendo as variações anuais de vazão ou volume registradas a cada
at
t
t
t
t
et
vt
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ano ao redor do valor médio. Observa-se que os valores se distribuem ao redor
de zero, com uma pequena oscilação iniciada na década de 50.
Figura 11. Variação do Volume Médio Anual
A Figura 12 apresenta a densidade de probabilidade da variação do volume
médio anual da usina de Três Marias e mostra que a distribuição de
probabilidade se aproxima de uma distribuição normal, apesar de apresentar
uma média um pouco inferior a um e comportamento anormal nos extremos.
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Figura 12. Distribuição Estatística da Variação do Volume Médio Anual
Este comprotamento
O objetivo desta deªnição é procurar observar apenas as variações de vazão
entre os sucessivos ciclos hidrológicos anuais.
Desta maneira, capturamos apenas variações plurianuais e desprezamos as
variações anuais já estudas.
Por deªnição, o volume em t=0 é considerado igual a zero.
Como o volume diferencial anual é um somatório de valores normalizados, ele
também é um valor normalizado.
Conforme esperado, os volumes diferenciais anuais oscilam entre valores
positivos e negativos uma vez que a média desses valores é zero por deªnição.
Além disso, como seu valor inicial foi considerado igual a zero, seu valor ªnal
também será igual a zero.
Com este gráªco podemos determinar os anos de maiores aºuências e os de
menores aºuências.
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No caso especíªco de Três Marias, 1983 foi o ano com maior volume de águas e
2001 foi o ano com menor volume diferencial anual.
Observamos que enchentes ocorreram periodicamente a cada 13/16 anos e secas
ocorreram em maior número, mas com periodicidade aleatória entre 11 e 19
anos.
Por outro lado, observamos que, para este aproveitamento, os anos de 1953 a
1960 e de 1998 a 2003 foram todos abaixo da média. Isto ajuda a explicar um
pouco o racionamento de 2001.
Referências
1. Rozenholc, Y, Mildenberger, T. and Gather, U. , Combining regular and
irregular histograms by penalized likelihood. Discussion Paper 31/2009, SFB
823, TU Dortmund.
2. Wiilks, Daniel. Statistical Methods in the Atmospheric Sciences. San Diego:
Elsevier Science Co, 2011. Print.
N O T A S
1. veja o capítulo Hidrelétricas 
2. ver Deªnições 
3. Por isso, utilizamos o programa R 
4. na verdade isto ocorre também com a velocidade do vento e radiação solar.
Todas as variáveis aleatórias que possuem limite inferior apresentam
assimetria positiva e todas as variáveis com limitação superior possuem
assimetria negativa. A assimetria é zero quando a distribuição de
probabilidade é simétrica. 
5. É importante observar que eles não são deªnitivos e é impossível  garantir
que valores mais extremos não aparecerão no futuro. 
6. função boxplot do R 
7. Wiilks, Daniel. Statistical Methods in the Atmospheric Sciences.San Diego:
Elsevier Science Co, 2011. Print. 
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Cursos de Engenharia Elétrica 2016 Orgulhosamente desenvolvido com WordPress
8. “Se algo pode dar errado, dará e será no pior momento possível” Edward
Murphy, engenheiro na década de 50. 
9. isto também é válido para dados das outras fontes renováveis. 
10. função histogram do pacote histogram do R 
11. função ecdf do R 
12. ( 1- probabilidade da vazão acumulada) 
13. As funções “quantile” ( no programa R) e “percentile” (no programa excel)
calculam as vazões para determinadas probabilidades. 
14. veriªcar isto para diversas usinas 
15. demonstre isto 
/