4ªListaA_Linear

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Universidade Federal de Pernambuco
Terceira Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
Profa. Joelma Azevedo de Moura
1) Considere o espac¸o vetorial real R3, munido do produto interno usual. Seja T : R3 → R3
tal que T (1, 1, 1) = (3, 4, 1), T (−1, 0, 0) = (−1,−2, 0) e T (0, 0, 1) = (0,−1, 2). Mostre que
T e´ um operador auto-adjunto.
2) Sejam V um espac¸o vetorial real munido de produto interno, W um subespac¸o de V e
T : W → V um operador linear. Dizemos que T e´ um operador sime´trico em W se
〈T (u), v〉 = 〈u, T (v)〉
para todos u, v ∈ W .
Com base nisto, considere o espac¸o vetorial V = P2(R) munido do produto interno
〈p, q〉 =
∫ 1
0
p(t)q(t) dt.
Seja W subespac¸o de P2 definido da seguinte forma
W = {p(t) ∈ P2; p(0) = p(1) = 0}.
O operador linear T : W → P2, definido por T (p(t)) = −p′′(t) + p(t), e´ um operador
sime´trico?
3) Dados os vetores u = (4, 4,−2), v = (4,−2, 4) e w = (1,−2,−2), seja T : R3 → R3
o operador linear tal que T (u) = (10,−2,−2), T (v) = (−2, 10,−2) e T (w) = (1, 1,−5).
Prove que T e´ auto-adjunto.
4) Sejam V = R3, munido do produto interno usual, α = {(1, 0, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 0)} base
de R3 e T : R3 → R3 um operador linear. Responda:
a) Sabendo que [T ]αα =
 1 2 02 3 −1
0 −1 2
, podemos afirmar que T e´ auto-adjunto?
b) Mesma pergunta do item anterior agora para [T ]αα =
 −2 0 00 1
3
0
0 0 5
.
5) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do seguinte produto interno
〈u, v〉 = 3x1x2 + y1y2 + z1z2
O operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (x + 2y, 2x + 3y − z,−y + 2z) e´
auto adjunto?
6) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual. O operador linear
T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (x + 2y, 2x + 3y − z,−y + 2z) e´ auto adjunto? Se
sim, exiba uma base ortonormal de autovetores de T que diagonaliza este operador.
7) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual e seja o operador
linear T : R3 → R3 definido por:
T (x, y, z) = (x cos(θ)− y sin(θ), x sin(θ) + y cos(θ), z)
onde θ e´ um aˆngulo fixo. Mostre que T e´ um operador ortogonal.
8) Seja V = R3 munido de produto interno usual. O operador T : R3 → R3 definido por
T (x, y, z) =
1
7
(3x+ 2y + 6z,−6x+ 3y + 2z, 2x+ 2y− 3z) e´ ortogonal? Podemos dizer que
T e´ uma rotac¸a˜o espacial?
9) Seja V = R3 munido de produto interno usual. O operador T : R3 → R3 definido por
T (x, y, z) =
1
7
(3x+ 2y + 6z, 2x+ 6y − 3z,−6x+ 3y + 2z)
e´ rotac¸a˜o de algum aˆngulo em torno de algum eixo? Se sim, determine o aˆngulo da rotac¸a˜o
e o vetor unita´rio gerador do eixo.
10) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual. Seja T : R3 → R3
o operador linear definido por T (x, y, z) = (x+ 2y, x+ 3y, z). T e´ rotac¸a˜o de algum aˆngulo
em torno de algum eixo?
11) Seja R2 com produto interno 〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 3y1y2. Considere a base
β = {(1, 0), (0, 1√
3
)}. Seja T : R2 → R2 o operador linear tal que
T (x, y) =
√
2
2
(
x−
√
3 · y, x√
3
+ y
)
.
Em relac¸a˜o a este produto interno T e´ auto-adjunto e/ou ortogonal?
12) Considere a matriz
[R]αα =
 2/3 1/3 2/32/3 −2/3 −1/3
1/3 2/3 −2/3

que representa a rotac¸a˜o R por algum aˆngulo em torno de algum eixo em R3 (α e´ a base
canoˆnica de R3).
2
a) O operador R e´ diagonaliza´vel?
b) Obtenha o vetor unita´rio u que determina o eixo em torno do qual a rotac¸a˜o e´ realizada.
c) Construa uma base ortonormal β = {u, u1, u2} de R3, tal que
[R]ββ =
 1 0 00 cos θ sin θ
0 − sin θ cos θ

em que θ e´ o aˆngulo de rotac¸a˜o imposto por R, em torno do eixo gerado por u.
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