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Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Cieˆncias Exatas
Disciplina Geometria Anal´ıtica
Curso de Engenharia
Professores Pryscilla Silva e Paulo Gala˜o
Notas de Aula
Aula 1
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: Moderno, Mediter-
raˆneo, Colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa e´ dada pela
tabela abaixo:
Ferro Madeira V idro T inta T ijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterraˆneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
(a) Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas do tipo Moderno, Mediterraˆneo e Colonial,
respectivamente, quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?
(b) Suponha que os prec¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo, sejam,
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual e´ o prec¸o unita´rio de cada tipo de casa?
Note que, tanto a tabela apresentada anteriormente, quanto os dados dos itens
(a) e (b) podem ser apresentados da seguinte forma:
 5 20 16 7 177 18 12 9 21
6 25 8 5 13
 , ( 5 7 12 ) e

15
8
5
1
10
 .
Para resolver a nossa situac¸a˜o problema, uma opc¸a˜o seria definir uma estrutura
de modo que pude´ssemos “operar” com os dados apresentados no formato acima visando
responder todos os itens da forma mais pra´tica poss´ıvel. Diante de situac¸o˜es desse tipo,
e´ que surge a necesidade da definic¸a˜o de Matriz. Mais a frente, utilizando os recursos
apresentados a seguir, resolveremos a situac¸a˜o anterior.
1
1 Matrizes
Definic¸a˜o 1 Uma matriz sobre o conjunto dos nu´meros reais e´ um quadro retangular de
nu´meros aij da forma 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 .1
As m eˆnuplas horizontais sa˜o as linhas da matriz e as n eˆnuplas verticais sa˜o as
colunas. Normalmente denotaremos as matrizes por letras A, B, C, em que Am×n significa
uma matriz A de ordem m×n, ou seja, A e´ uma matriz de m linhas e de n colunas. Uma
matriz A do tipo m× n tambe´m pode ser indicada por: A = (aij)m×n; i ∈ {1, 2, 3 · · · ,m}
e j ∈ {1, 2, 3 · · · , n} ou simplesmente A = (aij)m×n.
Exemplo 1
A2×3 =
(
1 −2 4
3 −3 5
)
Exemplo 2 Determine a matriz A = (aij)2×2 definida por aij = (−1)i+j − i · j.
Com efeito,
a11 = (−1)1+1 − 1 · 1 = 1− 1 = 0
a12 = (−1)1+2 − 1 · 2 = −1− 2 = −3
a21 = (−1)2+1 − 2 · 1 = −1− 2 = −3
a22 = (−1)2+2 − 2 · 2 = 1− 4 = −3
Desse modo,
A =
(
0 −3
−3 −3
)
.
Definic¸a˜o 2 (Igualdade entre matrizes) Duas matrizes de mesma ordem sa˜o iguais
quando, considerando a posic¸a˜o, todos os termos sa˜o iguais. Isto e´,
A = (aij)m×n e B = (bij)m×n
sa˜o iguais quando
aij = bij
para todo i (i ∈ {1, 2, 3 · · · ,m}) e para todo j (j ∈ {1, 2, 3 · · · , n}).
Exemplo 3 (
1 −3
7 −4
)
6=
(
1 7
−3 4
)
,
pois a12 6= b12 e a21 6= b21.
1Alguns autores utilizam colchetes ao inve´s de pareˆnteses ao denotar matrizes.
2
Exemplo 4 (
1 2
4 3
)
=
 33 √4
22
6
2
 ,
pois 1 =
3
3
, 2 =
√
4, 4 = 22, 3 = 6
2
.
Exemplo 5 Determine x e y de modo que se tenha(
2x 3y
3 4
)
=
(
x+ 1 2y
3 y + 4
)
.
Considere
A = (aij)2×2 =
(
2x 3y
3 4
)
e B = (bij)2×2 =
(
x+ 1 2y
3 y + 4
)
Por igualdade de matrizes, temos
2x = x+ 1⇒ x = 1
3y = 2y ⇒ y = 0
Note que, a21 = 3 = b21 e para y = 0, temos a22 = 4 = y + 4 = b22.
Logo, para x = 1 e y = 0 temos A = B.
Exemplo 6 E´ possivel determinar a e b para que as matrizes
A =
(
a 1 2a
b b+ 1 2
)
e B =
(
−a+ 2 3 2
2 3 2
)
sejam iguais?
Denotando, A = (aij)2×3 e B = (bij)2×3, note que a12 6= b12, assim independente
dos valores de a e b essas matrizes nunca sera˜o iguais.
1.1 Tipos especiais de matrizes
• Linha: possui apenas uma linha.
Exemplo 7
B1×3 =
(
1 2 3
)
• Coluna: possui apenas uma coluna.
Exemplo 8
C2×1 =
(
2
1
)
• Nula: E´ uma matriz em que todos os seus termos sa˜o iguais a zero.
3
Exemplo 9
D3×2 =
 0 00 0
0 0

• Quadrada: o nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de colunas.
Exemplo 10
E2×2 =
(
2 3
5 4
)
Considerando uma matriz quadrada A = (aij)m×m e´ comum denotarmos por Am
ou A = (aij)m e nesse caso dizemos que A e´ uma matriz de ordem m. No caso do
Exemplo 10, poder´ıamos usar E2 ao inve´s de E2×2.
Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem m o conjunto
dos elementos que teˆm os dois ı´ndices iguais, isto e´:
{aij | i = j} = {a11, a22, · · · , amm}
.
Exemplo 11 Considerando o Exemplo 10, temos que os elementos da diagonal
principal sa˜o a11 = 2 e a22 = 4.
• Diagonal: uma matriz diagonal e´ toda matriz quadrada em que os elementos que
na˜o fazem parte da diagonal principal sa˜o iguais a zero.
Exemplo 12  0 0 00 0 0
0 0 0
 e

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0

• Identidade: e´ uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal principal sa˜o 1.
Exemplo 13
I3×3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1

4
1.2 Operac¸o˜es com matrizes
1.2.1 Soma
Definic¸a˜o 3 Dadas duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)m×n chama-se soma A+B a
matriz C = (cij)m×n tal que cij = aij + bij para todo i e para todo j.
Se A e B sa˜o matrizes de mesma ordem, enta˜o a soma se da´ termo a termo de
mesma posic¸a˜o.
Exemplo 14 1 2 36 5 4
7 1 1
+
 −1 1 14 1 2
3 1 1
 =
 1 + (−1) 2 + 1 3 + 16 + 4 5 + 1 4 + 2
7 + 3 1 + 1 1 + 1
 =
 0 3 410 6 6
10 2 2
 .
Exemplo 15 Calcule a soma C = (cij)3×3 das matrizes A = (aij)3×3 e B = (bij)3×3 tais
que aij = i
2 + j2 e bij = 2ij.
Por definic¸a˜o de soma, cij = aij + bij = i
2 + j2 + 2ij = i2 + 2ij + j2 = (i + j)2.
Assim:
c11 = (1 + 1)
2 = 4
c12 = (1 + 2)
2 = 9
c13 = (1 + 3)
2 = 16
c21 = (2 + 1)
2 = 9
c22 = (2 + 2)
2 = 16
c23 = (2 + 3)
2 = 25
c31 = (3 + 1)
2 = 16
c32 = (3 + 2)
2 = 25
c33 = (3 + 3)
2 = 36
Desse modo:
C =
 4 9 169 16 25
16 25 36
 .
1.2.2 Produto por constante
Definic¸a˜o 4 Dado um nu´mero k e uma matriz A = (aij)m×n, chama-se o produto kA a
matriz B = (bij)m×n tal que bij = kaij para todo i e para todo j.
O produto k · A de k ∈ R por uma matriz A e´ definido multiplicando cada termo da
matriz A pela constante.
Exemplo 16 Se A =
(
1
7
)
, enta˜o 3A =
(
3 · 1
3 · 7
)
=
(
3
21
)
.
5
Exemplo 17 Determine a matriz X =
1
2
A+ 2B, onde
A =
(
1 0
3 2
)
e B =
(
3 1
0 5
)
.
Com efeito,
1
2
A =
1
2
(
1 0
3 2
)
=
(
1/2 0
3/2 1
)
2B = 2
(
3 1
0 5
)
=
(
6 2
0 10
)
.
Logo,
X =
1
2
A+ 2B =
(
1/2 0
3/2 1
)
+
(
6 2
0 10
)
=
(
13/2 2
3/2 11
)
.
Definic¸a˜o 5 Seja A uma matriz de ordem m × n. Chama-se de matriz oposta de A a
matriz (−1) · A. Denotaremos a oposta de A por −A.
Exemplo 18 Considere a matriz
C =
 1 20 1
2 3
 .
Determine −C.
De fato,
−C = (−1) · C =
 −1 −20 −1
−2 −3
 .
Proposic¸a˜o 1 Seja A uma matriz de ordem m×n, temos que A+(−A) e´ igual a matriz
nula de ordem m× n.
Prova. Considere A = (aij)m×n, por definic¸a˜o temos que −A = (−aij)m×n. Utilizando a
definic¸a˜o de soma:
A+ (−A) = (aij − aij)m×n.
Como aij − aij = 0, para todo i ∈ {1, · · · , n} e para todo j ∈ {1, · · · , m}, temos que
A+ (−A) e´ igual a matriz nula de ordem m× n.
6
1.2.3 Produto de matrizes
Definic¸a˜o 6 Dadas duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bjk)n×p, chama-se o produto AB
a matriz C = (cik)m×p tal que
cik = ai1 · b1k + ai2 · b2k + . . .+ ain · bnk.
Desse modo se A e B sa˜o matrizes tais que o nu´meros de colunas de A e´ igual
ao nu´mero de linhas de B, ou seja, Am×n e Bn×p. Enta˜o o produto AB e´ a matriz m× p
cujo elemento de ordem ik se obte´m multiplicandoa ima linha de A pela kma coluna de
B como mostra o exemplo abaixo:
Exemplo 19 Para,
A2×3 =
(
3 2 3
3 2 1
)
e B3×1 =
 35
1

o produto de matrizes esta´ definido, visto que o nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero
de linhas de B. Desse modo:
(
3 2 3
3 2 1
)
·
 35
1
 = ( 3 · 3 + 2 · 5 + 3 · 1
3 · 3 + 2 · 5 + 1 · 1
)
=
(
22
20
)
.
Observe que o produto B · A na˜o esta´ definido pois o nu´mero de colunas de B e´
diferente do nu´mero de linhas de A.
Exemplo 20 Vamos voltar a situac¸a˜o problema apresentada no in´ıcio da sec¸a˜o.
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: Moderno, Medi-
terraˆneo, Colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa e´ dada
pela tabela abaixo:
Ferro Madeira V idro T inta T ijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterraˆneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
(a) Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas do tipo Moderno, Mediterraˆneo e Colonial,
respectivamente, quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?
(b) Suponha que os prec¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo, sejam,
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual e´ o prec¸o unita´rio de cada tipo de casa?
Para resolvermos o item (a) podemos proceder da seguinte forma:
7
Ferro 5 · 5 + 7 · 7 + 12 · 6 = 146
Madeira 5 · 20 + 7 · 18 + 12 · 25 = 526
Vidro 5 · 16 + 7 · 12 + 12 · 8 = 260
Tinta 5 · 7 + 7 · 9 + 12 · 5 = 158
Tijolo 5 · 17 + 7 · 21 + 12 · 13 = 388
Mas esse processo e´ equivalente a fazermos o produto:
(
5 7 12
)
·
 5 20 16 7 177 18 12 9 21
6 25 8 5 13
 = ( 146 526 260 158 388 ) .
Analogamente, podemos resolver o item (b):
 5 20 16 7 177 18 12 9 21
6 25 8 5 13
 ·

15
8
5
1
10
 =
 492528
465
 .
Onde 492, 528, 465 sa˜o os prec¸os das casas tipo Moderno, Mediterraˆneo e Colo-
nial respectivamente.
Exemplo 21(
2 4
6 5
)
·
(
1 3 3
4 5 6
)
=
(
2 · 1 + 4 · 4 2 · 3 + 4 · 5 2 · 3 + 4 · 6
6 · 1 + 5 · 4 6 · 3 + 5 · 5 6 · 3 + 5 · 6
)
=
(
18 26 30
26 43 48
)
.
Exemplo 22 Seja A o conjunto das matrizes da forma
Aα =
 1 α
− 1
α
−1
 , α ∈ R∗.
Prove que, se Aα e Aβ sa˜o elemento de A enta˜o:
Aα · Aβ = Aβ · Aα ⇔ α = β.
O s´ımbolo ⇔ indica que a prova da proposic¸a˜o acima ocorre em duas etapas. Na
primeira etapa devemos mostrar que se Aα ·Aβ = Aβ ·Aα, enta˜o α = β. Na segunda etapa,
vamos supor que α = β e concluir que Aα · Aβ = Aβ · Aα.
Vamos provar a primeira etapa:
Por pertencerem a A, tanto Aα quanto Aβ sa˜o matrizes quadradas de ordem 2 e
8
desse modo Aα · Aβ e Aβ · Aα esta˜o definidos. Assim, considere:
Aα =
 1 α
− 1
α
−1
 e Aβ =
 1 β
− 1
β
−1
 .
Temos que:
Aα · Aβ =
 1 α
− 1
α
−1
 ·
 1 β
− 1
β
−1
 =
 1−
α
β
β − α
− 1
α
+
1
β
−β
α
+ 1

Aβ · Aα =
 1− βα α− β
− 1
β
+
1
α
−α
β
+ 1

Como, Aα · Aβ = Aβ · Aα, obtemos:
β − α = α− β ⇒ 2β = 2α⇒ α = β.
A segunda etapa e´ de verificac¸a˜o imediata, visto que se α = β teremos que a
Aα ·Aβ = Aβ ·Aα e´ sempre verdade pois o produto anterior nada mais e´ que a multiplicac¸a˜o
da matriz Aα por ela mesma.
Refereˆncia
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matema´tica elementar:
sequeˆncias, matrizes, determinantes, sistemas . Sa˜o Paulo: Atual, 1977. v. 4.
9