LISTA DE EXERCÍCIOS - TEM II - 2o Sem 2013

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EXERCÍCIOS 
TEORIA DAS ESTRUTURAS MECÂNICAS II 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE PRESBITERIANA 
MACKENZIE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6a ETAPA DO CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
PÓRTICOS PLANOS 
 
1. Obter os diagramas de esforços e as tensões atuantes máximas em todas as barras. Dados: 
Carregamento e geometria conforme figura abaixo. Considerar a base engastada. 
Utilizar uma seção tubular retangular de 300 x 250 x 6 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verificar a resistência do pórtico rolante abaixo considerando um modelo biapoiado 
isostático e o aço ASTM A36. Adotar as considerações a seguir: 
• Utilizar o aço A36. 
• Todas as seções devem ser em caixão vazado. Considerar a viga e colunas com 1200 x 400 x 
19 x 7 mm. 
• Adotar a carga do carro centralizado com duas forças de 150 KN espaçadas de 4000 mm. 
• O apoio A é fixo e o B móvel. 
• A ligação entre perfis são rígidas. 
• As dimensões abaixo estão em milímetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Refazer o exercício anterior considerando uma força horizontal de 5 kN no ponto C 
representando a ação de vento. 
 
 
4. Verificar a resistência do pórtico composto suporte para uma talha considerando perfis W 
Açominas com propriedades do aço ASTM A36. Adotar as considerações a seguir: 
• Avaliar as posições para a carga que determinarão os esforços máximos. 
• Considerar uma talha elétrica com 33 kN transladando na viga da parte A. 
• Considerar em cada pórtico desmembrado com um apoio fixo outro móvel. 
• As dimensões das figuras abaixo estão em metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Refazer o exercício anterior considerando os dois apoios fixos tornando a estrutura 
hiperestática. Utilizar o Ftool para a obtenção dos esforços. 
 
6. Verificar a resistência do pórtico rotulado suporte para 
uma sala elétrica considerando para a viga um perfil W 
Açominas e para a escora um tubo Schedule 40 com 
propriedades do aço ASTM A36. As dimensões das figuras 
abaixo estão em metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Dimensionar os perfis para o sistema estrutural abaixo considerando: 
1. Perfis laminados Açominas em ASTM A 572 gr. 50 com Sy= 350 Mpa e E=205 GPa. 
2. Desmembrar o conjunto em vigas isostáticas e considerar para a obtenção do deslocamento 
sob a carga a superposição dos deslocamentos. 
3. Aplicar para os critérios de resistência e flambagem a norma NBR 8400 para o caso 1 com 
CS=1,5. 
4. Verificar a rigidez considerando um deslocamento vertical máximo sob a carga de 8 mm. 
 
 
 
 
 
TRELIÇAS PLANAS 
 
8. Dimensionar as estruturas abaixo utilizando cantoneiras para o primeiro caso e perfis W para 
o segundo. Considerar o aço ASTM A36. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLAMBAGEM PRÁTICA 
 
9. Verificar a flambagem global do primeiro lance de coluna, conforme a figura abaixo, pela 
NBR 8400. Considerar as situações com a base engastada ou fixa comparando os resultados. 
O nó superior da coluna chega em uma viga com grande rigidez e contraventamentos 
acima dela. 
Os esforços atuantes são uma força normal de -1000 KN e um momento fletor Mx de 160 KN.m. A 
coluna tem 750 cm e as propriedades geométricas da seção apresentadas abaixo. A alma do 
perfil da coluna esta paralela ao plano XZ. 
 h=400 mm, b=300 mm, tw= 8 mm, tf= 16 mm, A= 150 cm2, Ix= 90.000 cm4 e 
Iy= 25.000 cm4 
Considerar o caso 1 com CS=1,5. 
Considerar o aço ASTM A36 para o material do perfil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcule o maior valor admissível para um momento fletor em torno do eixo de maior inércia 
para uma viga com flexão pura considerando a flambagem local pela NBR 8400. Considerar 
o aço ASTM A36 e o comprimento da viga de 800 cm. Apresentar a resposta em KN.m. 
Coeficiente de segurança para o caso 1. Dados: 
d=1200 mm, b=400 mm, tf= 25 mm, tw= 6,35 mm, h=1150 mm, A= 273 cm2, Ix= 770.900 cm4 e Iy= 
26.700 cm4 
 
 
 
 
 
 
11. Abaixo é apresentado o esquema de uma 
estrutura que suporta uma carga de 100 KN e as correspondentes forças normais nas barras. 
Selecione um perfil metálico tabelado abaixo considerando a resistência, com um 
coeficiente de segurança de 1,4 e a estabilidade a flambagem. O componente é feito em 
aço A36 com E = 210 GPa, u=0,3, σe = 250 MPa. Utilize o verso e indique as respostas na 
frente. 
 
 
Perfil A (cm2) Ix (cm4) Iy(cm4) Rx(cm) Ry(cm) 
U 10” 29 2800 95 9,8 1,8 
U 12” 39 5370 151 11,7 2,0 
 
Barra AB AC BC DC 
Esforço 
Normal -100 KN -141 KN 141 KN 200 KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Sendo a distribuição das tensões atuantes apresentada abaixo para a coluna verifique a 
flambagem local e global pela NBR 8400. A coluna tem 400 cm, sendo a base engastada e o 
topo livre. 
 O perfil utilizado na viga e na coluna tem: 
 h=700 mm, b=150 mm, tw= 4 mm e tf= 31 mm. 
 Considerar o aço ASTM A36 para o material do perfil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Na estrutura de um pórtico, para o caso 1 de carregamento, verificar a flambagem global 
pela norma NBR 8400 da coluna esquerda, ligada rigidamente a viga e engastada na sua 
base, e da coluna direita, rotulada nas duas extremidades. Dados das colunas: 
Comprimento = 20 m 
Material: Aço A36 E=210 GPa, Tensão de escoamento= 250 MPa, Tensão de ruptura= 450 MPa 
Coluna esquerda: Força normal máxima= -527,9 KN, Momento fletor máximo em torno do eixo x 
= 8713,2 KN.cm, A= 169,8 cm2, Ix= 160843,9 cm4, Iy= 26488,6 cm4 
Coluna direita: Força normal máxima= -523,1 KN, A= 44,2 cm2, Ix= 4440,4 cm4, Iy= 4440,4 cm4 
 
 
 
 
 
14. Para as colunas do caso anterior, considerando a flambagem local pela NBR 8400, descreva 
quais são os casos de distribuição das tensões para a determinação dos coeficientes de 
flambagem. Indique graficamente a variação das tensões em cada chapa destacando a 
relação entre as tensões de compressão e tração. 
 
 
 
σn= -20 MPa 
σf = +/-56 MPa 
15. Abaixo é apresentado o esquema de uma estrutura que suporta uma carga de 12 Kip de 
uma talha móvel que deve ter a sua coluna verificada estruturalmente. Verifique para a 
posição da talha que provoca o maior esforço, considerando a resistência, com um 
coeficiente de segurança de 1,4 e a estabilidade a flambagem utilizando a norma NBR 8400. 
As propriedades do perfil metálico utilizado são apresentadas abaixo. 
O componente é feito em aço A36 com E = 210 GPa, u=0,3, σe = 250 MPa. 
Para o cálculo do índice de esbetez adote as condições de extremidade justificando as 
hipóteses. A estrutura não possui travamentos fora do plano apresentado. 
A=26 cm2 Ix=450 cm4 Wx=89,9 cm3 rx=4,16 cm Iy=167 cm4 Wy=33,5 cm3 ry=2,53 cm. 
Adote 1’ (pé) como 0,3 m, 1” (polegada) como 25,4 mm, 1 Lb como 4,48 N e 1 KIP como 4448 N. 
Desenvolva os cálculos em SI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Um suporte metálico tem o modelo 
matemático apresentado abaixo. Obtenha as reações, diagramas de corpo livre das barras, 
diagramas de esforços e as tensões atuantes máximas. No ponto A o apoio é simples, no 
ponto C engastado e o ponto B a ligação é rotulada. Na viga é aplicada uma carga 
distribuída de 20 kN/m e no nó B uma força concentrada de 10 kN. A coluna tem 5 m e a 
viga 4 m. 
Para o cálculo das tensões utilizar o perfil apresentado no exercício seguinte. Considerar o 
posicionamento da seção na estrutura visando obter as menores tensões. Utilizar o verso da 
folha.17. Verificar o dimensionamento da coluna com 3,6 m de comprimento indicada abaixo 
considerando a norma NBR 8400. Considerar que as vigas nas posições superiores deste 
trecho de coluna têm ligações engastadas, que as bases tem apoios fixos, que no plano XZ 
existem contraventamentos, no plano YZ não existe contraventamentos e que a alma da 
seção do perfil é paralela ao plano YZ. Considerar o ASTM A36 com tensão de escoamento 
de 250 MPa e o caso 1 com CS=1,5. 
 
Os esforços atuantes são uma força normal de Fz=-250 KN e momentos fletores de Mx de 3000 
KN.cm e My de 800 KN.cm. Os carregamentos estão conforme o eixo cartesiano da figura da 
estrutura. 
 
A tabela apresenta as propriedades geométricas do perfil utilizado, sendo: 
A= Área, Ix e Iy= Inércias, rx e y= raios de giração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
18 -19 
 
20. Determinar os deslocamentos nos exercícios P 11.29 e P 11.31 sob a carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de Inércia dos perfis 
W 360 x 64: Ix= 178 x 106 mm4 
S 200 x 27,4: Ix= 23,9 x 106 mm4 
 
 
21. 
 
 
 
 
 
 
 
22. Determinar o deslocamento vertical sob a carga. Considerar as duas hastes com seção circular 
de 12,7 mm de diâmetro e a seção da viga com momento de inércia de 6,8 x 10-6 m4. O módulo 
de Elasticidade para todas as peças é de 200 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 KN 
1,2 m 
1 m 
1,2 m 
FORMULÁRIO DE TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
 
Estado Plano de Tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vaso de Pressão esférico 
 
 
 
Vaso de Pressão cilíndrico 
 
 
 
 
Critério de Resistência de Tresca 
Critério de Resistência de Von Mises 
 
EPT 
 
 
ETT 
( ) ( ) ( )[ ]23123222121 σσσσσσσ −+−+−=i 
 
Critério de Resistência de Coulomb-Mohr 
UC
UT
σσ
σσ
=
=
2
1 Sinais iguais 
1
UC
2
UT
1 =σ
σ+σ
σ Sinais opostos 
 
FORMULÁRIO DE RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
 
FORÇA NORMAL 
 
 
 
 
FN= Força Normal 
A= Área da seção transversal 
 
FLEXÃO 
 
 
 
Mf= Momento fletor em torno do eixo da linha neutra 
I= Momento de inércia da seção em torno da linha neutra 
y= Distância perpendicular ao eixo da linha neutra até o 
ponto da tensão 
 
MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS PLANAS 
 
CENTRO DE GRAVIDADE 
 
 
 
 
 
SEÇÃO RETANGULAR 
 
 
 
 
b= largura paralela ao eixo de inércia 
h= Altura transversal ao eixo de inércia 
 
SEÇÃO CIRCULAR MACIÇA 
 
 
 
 
d= diâmetro da seção 
 
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
 
 
 
FORÇA CORTANTE 
 
 
 
 
Q= Força cortante na seção 
Ms= Momento estático determinado pela área acima ou 
abaixo do ponto de determinação da tensão vezes a 
distância do centro desta área até a linha neutra 
A
FN=σ
y
I
Mf ⋅=σ
∑
∑ ⋅=
Ai
yiAi
y
12
3hbI ⋅=
64
4dI ⋅= π
( )∑ ⋅+= 2dAII FiguraFiguraTotal
bI
MsQ
⋅
⋅=τ
I= Momento de inércia da seção em torno da linha neutra 
b= Largura da área da seção transversal na posição de 
determinação da tensão 
 
SEÇÃO RETANGULAR 
 
 
 
 
SEÇÃO CIRCULAR MACIÇA 
 
 
 
 
SEÇÃO CIRCULAR VAZADA 
 
 
 
 
PERFIL I 
 
 
 
 
h= Altura da alma 
tw= Espessura da alma 
 
TORÇÃO EM SEÇÕES CIRCULARES 
 
 
 
 
Mt= Momento torçor em torno do eixo longitudinal 
I= Momento de inércia polar da seção em torno do eixo 
longitudinal 
y= Distância do centro da seção até o ponto da tensão 
 
 
 
 
TORÇÃO EM SEÇÕES TUBULARES DE PAREDE 
FINA 
 
 
 
 
Mt= Momento torçor em torno do eixo longitudinal 
Am= Área média compreendida pelo limite da linha de 
centro da espessura do tubo 
t= Espessura da parede na posição de obtenção da tensão 
 
TORÇÃO EM SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE FINA 
 
 
 
 
Mt= Momento torçor em torno do eixo longitudinal 
Li= Largura da chapa na posição de obtenção da tensão 
ti= Espessura da parede na posição de obtenção da tensão 
 
TORÇÃO EM SEÇÕES MACIÇAS NÃO CIRCULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
Q
⋅
⋅=
2
3τ
A
Q
⋅
⋅=
3
4τ
A
Q⋅= 2τ
walma th
Q
A
Q
.
==τ
y
Ip
Mt ⋅=τ
32
4dIp
⋅= π
Amt
Mt
Média ⋅⋅= 2τ
ti
It
Mt ⋅=τ
3
3∑ ⋅= tiLiIt
3
814
a
Mt
máx
⋅= ,τ
3
20
a
Mt
máx
⋅=τ
Perfis Açominas