AULA VETOR MATRIZ (1)

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GEOMETRIA ANALI´TICA E
A´LGEBRA LINEAR
NOTAS DE AULAS
Faculdade de Filosofia, Cieˆncias e Letras de Ribeira˜o
Preto
Universidade de Sa˜o Paulo
Departamento de Computac¸a˜o e Matema´tica
Prof. Dr. Jair Silve´rio dos Santos
Suma´rio
1 MATRIZES 1
1.0.1 Adic¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.0.2 Multiplicac¸a˜o de Nu´mero (Escalar) por Matrizes . . . . . . . . . . . . 2
1.0.3 Propriedades da Multiplicac¸a˜o de Nu´mero (Escalar) por Matrizes . . 2
1.1 Multiplicac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Matriz Adjunta Cla´ssica e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Operac¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 GEOMETRIA 17
2.0.2 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.0.3 Equipoleˆncia de Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real (escalar) Por Vetor . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Soma de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Bases e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Projec¸a˜o Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Bases Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Geometria Anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 A´LGEBRA LINEAR 47
3.1 Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2 Subespc¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.4 Conjunto de Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.5 Dependeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.6 Soma e Intercecc¸a˜o de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4 SUMA´RIO
3.1.7 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.8 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Espac¸os Euclidianos 69
4.1 Produto Esalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Projec¸a˜o Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.2 Bases Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.3 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.4 Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.5 Projec¸a˜o Ortogonal de um Vetor sobre um Subespac¸o . . . . . . . . . 79
5 TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES 81
5.1 Kernel e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.1 Transformac¸a˜o Linear Injetora, Sobrejetora, Bijetora . . . . . . . . . 83
5.1.2 Teorema do Nu´cleo e da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.1 Tranformac¸o˜es Singulares e Na˜o Singulares . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.1 Semelhanc¸a de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Cap´ıtulo 1
MATRIZES
Professor Doutor: Jair Silve´rio dos Santos
Matrizes Reais
Uma matriz real e´ o seguinte arranjo de nu´meros reais :
An×m =

a11 a12 a13 · · · a1m
a21 a22 a23 · · ·a2m
...
...
...
...
an1 an2 an3 · · ·amm
 ,
onde, cada entrada (elemento) aij ∈ R, i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m.
Definic¸a˜o 1.1. Chama-se Matriz Nula, a matriz cujas entradas sa˜o zero, ou seja aij = 0,
para i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m. Escolhemos a letra O para representa´-la, isto e´
On×m =

0 0 0 · · · 0
0 0 0 · · ·0
...
...
...
...
0 0 0 · · ·0
 .
Seja Mn×m(R) o conjunto de todas as matrizes reais An×m. Note que O ∈Mn×m(R).
1.0.1 Adic¸a˜o de Matrizes
Definic¸a˜o 1.2. Dadas An×m e Bn×m, a adic¸a˜o de matrizes e´ uma func¸a˜o + : Mn×m(R) ×
Mn×m(R) −→Mn×m(R) dada por
+(A,B) = A+B,
onde An×m = (aij)n×m, Bn×m = (bij)n×m, A+B = (cij)n×m e cij = aij + bij, i =
1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m.
1
2 CAPI´TULO 1. MATRIZES
1.0.2 Multiplicac¸a˜o de Nu´mero (Escalar) por Matrizes
Definic¸a˜o 1.3. Dados α ∈ R e An×m a multiplicac¸a˜o de nu´mero real (escalar) por matriz e´
uma func¸a˜o • : R×Mn×m(R) −→Mn×m(R) dada por
•(α,A) = α ·A,
onde An×m = (aij)n×m, α ·B = (cij)n×m e cij = α · aij, i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m.
Exemplo 1.1. Considremos as matrizes
A2×3 =
(
1 −1 3
0 −2 2
)
, B2×3 =
(
3 −2 0
2 2 1
)
Calcule A+B e (−1) ·A.
Comec¸amos por determinar a matriz A+B,
A2×3 +B2×3 =
(
1 −1 3
0 −2 2
)
+
(
3 −2 0
2 2 1
)
=
(
c11 c12 c13
c21 c22 c23
)
=
(
1 + 3 −1 + (−2) 3 + 0
0 + 2 −2 + 2 2 + 1
)
=
(
4 −3 3
2 0 3
)
= A+B.
A multiplicac¸a˜o de nu´mero por matriz (−1) ·A,
(−1) ·
(
1 −1 3
0 −2 2
)
=
(
(−1)1 (−1)− 1 (−1)3
(−1)0 (−1)− 2 (−1)2
)
=
(−1 1 −3
0 2 −2
)
= (−1) ·A.
Propriedades da Adic¸a˜o de Matrizes
Dadas An×m, Bn×m e Cn×m, sa˜o verdadeiras as afirmac¸o˜es abaixo:
A1 : A+ (B+C) = (A+B) +C). Associativa
A2 : A+B = B+A. Comutativa
A3 : A+O = A. Elemento Neutro
A4 : A+ (−B) = O. Elemento Sime´trico
• O elemento −A ∈ Mn×m(R) e´ o Elemento Sime´trico de A em relac¸a˜o a` Adic¸a˜o de
Matrizes
1.0.3 Propriedades da Multiplicac¸a˜o de Nu´mero (Escalar) por
Matrizes
Dados α, β ∈ R, An×m e Bn×m, sa˜o verdadeiras as afirmac¸o˜es abaixo:
M1 : (α + β) ·A = α ·A+ β ·A.
1.1. MULTIPLICAC¸A˜O DE MATRIZES 3
M2 : α · (A+B) = α ·A+ α ·B.
M3 : 1 ·A = A
M4 : α · (β ·A) = (αβ) ·A = β · (α ·A).
• Observe que o conjuntoMn×m(R) com as operac¸o˜es de Adic¸a˜o eMultiplicac¸a˜o por
Escalar, que aqui indicamos por (Mn×m(R),+, ·) tem estruturas especiais com as proprieda-
des listadas emA1, A2, A3 eA4;M1,M2,M3 eM4 o que da´ ao conjunto (Mn×m(R),+, ·)
um nome diferenciado, que e´ o de ESPAC¸O VETORIAL.
1.1 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Definic¸a˜o 1.4. DadasAn×p e Bp×m, a multiplicac¸a˜o de matrizes e´ uma func¸a˜o ∗ :Mn×p(R)×
Mp×m(R) −→Mn×m(R) dada por
∗(A,B) = A ·B,
onde An×p = (aij)n×p, Bp×m = (bjk)p×m, A ·B = (cik)n×m e cik =
p∑
j=1
(aij · bjk).
Exemplo 1.2. Considere as matrizes
A =
1 −10 −2
3 2
 e B = (−1 1 −3
0 2 −2
)
.
Calcule A ·B.
Podemos utilizar umaa regra pra´tica que consiste de posicionar as matrizes A e B e
realizar a multiplicac¸a˜o como segue,
1 −10 −2
3 2

(−1 1 −3
0 2 −2
) (
c11 c12
c21 c22
)��
�
�
��
c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31
c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31
c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32
c11 = (−1)1 + 1(0) + (−3)3
c12 = (−1)(−1) + 1(−2) + (−3)2
c21 = 0(1) + 2(0) + (−2)3
c22 = 0(−1) + 2(−2) + (−2)2
Matriz Produto
Assim,obtemos a matriz A ·B dada por
A ·B =
(−10 −7
−6 −8
)
.
Definic¸a˜o 1.5. Dada uma matriz An×p = (aij)n×p chama-se Matriz Transposta de
An×p, outra matrix Bp×n == (bij)n×n tal que bij = aji , para i = 1, 2 · · ·n, j = 1, 2 · · · p e
escrevemos B = At.
4 CAPI´TULO 1. MATRIZES
Propriedade da Transposic¸a˜o de Matrizes
Dados α ∈ R e matrizes quadradas A e B tem-se
T1 (At)t = A.
T2 (A+B)t = At +Bt.
T3 (A ·B)t = Bt ·At.
T3 (αA)t = αAt.
Exerc´ıcio 1.1. Dadas as matrizes
A =
 1 2 −33 4 0
−1 2 0
 e B =
−2 1 00 3 0
5 −4 0

Calcule A ·B, (A ·B)t e Bt ·At .
∗ Dizemos que uma matriz quadrada A e´ SIME´TRICA se A = At. A e´ ANTI-
SIME´TRICA se A = −At.
Exerc´ıcio 1.2. Mostre que se A e B forem seme´tricas enta˜o A+B e αA sa˜o sime´tricas.
• Mostre que se A e B forem seme´tricas enta˜o A · B e´ sime´trica se e somente se
A ·B = B ·A.
Propriedades da Multiplicac¸a˜o de Matrizes
A` partir deste momento, estaremos considerando apenas as Matrizes Quadradas, isto
e´, matrizes An×n ∈ Mn×n(R). Faremos isto somente por que nossos propo´sitos estara˜o
satisfeitos com com matrizes quadradas.
• Chama-se Matriz Identidade a matriz An×n = (aij)n×n tal que
aij =
{
1, se i = j,
0, se i 6= j,
esta matriz sera´ denotada por In e enta˜o
In = In×n =

1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · ·0
...
...
...
...
0 0 0 · · ·1
 .
∗ Dadas duas matrizes An×n e Bn×n, dizemos que as matrizes A e B Comutam se
A ·B = B ·A.
Observe que a comutatividade do produto de matrizes na˜o e´ sempre verdadeira, veja
exemplo abaixo.
Exemplo 1.3. Consideremos as matrizes
A =
(
1 −1
0 −2
)
e B =
(−1 1
2 0
)
.
Verifique que A ·B 6= B ·A.
1.1. MULTIPLICAC¸A˜O DE MATRIZES 5
Aplique a definic¸a˜o 1.4 (m = n = p) e vera´ que
A ·B =
(
1 −1
0 −2
)
·
(−1 1
2 0
)
=
(−3 1
−4 0
)
e B ·A =
(−1 1
2 0
)
·
(
1 −1
0 −2
)
=
(−1 −1
2 −2
)
.
Note que A ·B 6= B ·A.
? Na˜o e´ dificil ver que a matriz In comuta com qualquer An×n = (aij)n×n.
1.1.1 Matriz Inversa
Definic¸a˜o 1.6. Dada uma matriz quadrada An×n ∈ Mn×n(R) chama-se Matriz Inversa
A a` uma outra matriz Bn×n ∈Mn×n(R) tal que
A ·B = In e B ·A = In.
Denotaremos a Matriz Inversa de A por A−1.
∗ A matriz A−1 e´ o elemento sime´trico de A em relac¸a˜o a`Multiplicac¸a˜o de Matrizes.
Exemplo 1.4. Considere as matrizes
A =
(−2 1
0 3
)
e B =
1
6
(−3 1
0 2
)
.
Na˜o e´ dificil ver que,
(−2 1
0 3
)
· 1
6
(−3 1
0 2
)
=
(
1 0
0 1
)
e que
1
6
(−3 1
0 2
)
·
(−2 1
0 3
)
=
(
1 0
0 1
)
Portanto, A ·B = In e B ·A = In. Ou seja B e´ a matriz inversa de A em relac¸a˜o a`
Multiplicac¸a˜o de Matrizes.
Propriedades da Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Dadas An×n, Bn×n e Cn×n, sa˜o verdadeiras as afirmac¸o˜es abaixo:
MM1 : A · (B ·C) = (A ·B) ·C). Associativa
MM2 : A · In = A, e In ·A = A . Elemento Neutro
MM3 : A · (A−1) = In. Elemento Sime´trico
Propriedades de Distributividade
Dadas An×n, Bn×n e Cn×n, sa˜o verdadeiras as afirmac¸o˜es abaixo:
DM1 A · (B+C) = A ·B+A ·C) e (B+C) ·A = B ·A+C ·A).
• A notac¸a˜o An significa A
n−vezes
·A · · · A.
6 CAPI´TULO 1. MATRIZES
Exemplo 1.5. Dadas as matrizes
A =
(
1 2 −3
3 4 0
)
e B = At =
 1 32 4
−3 0
 .
Uma Aplicac¸a˜o das Matrizes
Exemplo 1.6. Uma industria produz treˆs produtos, X, Y , e Z, utilizando dois tipos de
insumos, A e B. Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A
e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 1 grama
do insumo B, e cada kg de Z sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 4 gramas do insumo B.
Usando matrizes o esquema de produc¸a˜o pode ser descrito da seguinte forma:
(
1 1 1
2 1 4
) xy
z

(
x+ y + z
2x+ y + z
)
= A,
X Y Z
gramas de A por kg
gramas de B por kg
W =
kg de X produzidos
kg de Y produzidos
kg de Z produzidos
AW =
gramas de A usadas
gramas de B usadas.
Exerc´ıcio 1.3. Dadas as matrizes
A =
1 2 −33 4 0
2 3 −1
 e B =
−2 1 −10 3 1
5 −4 0

Verifique se A ·B = B ·A.
Exerc´ıcio 1.4. Mostre que as matrizes
A =
(
1 1
y
y 1
)
onde 0 6= y ∈ R, satisfazem X2 = 2X. (X2 = X ·X).
Encontre os valores de y ∈ R tais que A ·B = B ·A.
No´s definimos a Matriz Inversa (ver definic¸a˜o 1.6) e na˜o dissemos que tipo de matriz
quadrada pode ter inversa, e tambe´m, na˜o sabemos o que fazer para determinar a inversa
de uma matriz. Uma ajuda importante e´ dada por uma func¸a˜o chamada determinante.
Determinantes de Uma Matrizes
Ressaltamos que apenas as matrizes quadradas sera˜o utilizadas neste momento.
1.1. MULTIPLICAC¸A˜O DE MATRIZES 7
Definic¸a˜o 1.7. Seja An×n = (aij)n×n, n ≥ 2. Chamamos Menor do elemento aij, denotado
por Mij, a sub-matriz de ordem (n − 1) × (n − 1) obtida de A suprimindo da matriz A a
i-e´sima linha e j-e´sima coluna.
Definic¸a˜o 1.8. O determinante de uma matriz An×n = (aij)n×n; e´ uma func¸a˜o que a cada
matriz quadrada associa um nu´mero real, isto e´, Det :M(R)n×n → R dada por
∗ Se n = 1 enta˜o o Det(A) = a11.
∗ se n ≥ 2 enta˜o
Det(A) =
n∑
i=1
(−1)(i+j)aij Det(Mij) =
n∑
j=1
(−1)(i+j)aij Det(Mij). (1.1.2)
• Na˜o e´ dif´ıcil ver que se
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
,
enta˜o
Det(A) =
2∑
i=1
(−1)(i+j)aij Det(Mij) =
(−1)(1+1)a11 Det(M11) + (−1)(1+2)a12 Det(M12) = a11a22 − a12a21.
Note que o determinante dado pela definic¸a˜o 1.8 pode ser desenvolvido por linhas ou
por colunas, (ver (1.1.2)). O determinante de uma matriz nos oferece um teste infal´ıvel
para saber quais sa˜o as matrizes quadradas que podem ser invert´ıveis ou seja que possuem
inversa com relac¸a˜o ao produto de matrizes.
• Uma matriz An×n = (aij)n×n, tem inversa em relac¸a˜o ao produto de matrizes se e
somente se Det(A) 6= 0.
Uma pergunta ainda se apresenta. Ha´ um mecanismo capaz de produzir a insversa de
uma matriz quadrada em relac¸a˜o ao produto de matriz ? Veja abaixo que o determinante
de uma matriz tambe´m nos ajuda responder esta questa˜o.
Definic¸a˜o 1.9. Seja An×n = (aij)n×n, n ≥ 2. Chamamos Cofator do elemento aij, deno-
tado por Aij, o nu´mero real dado por
Aij = (−1)(i+j) Det(Mij), i, j = 1, 2, · · · , n,
onde Mij e´ o Menor do elemento aji, i, j = 1, 2, · · · , n.
A` matriz formada por todos os cofatores de A chamamos Matriz dos Cofatores de
A e denotamos por Cof(A).
Cof(A)n×m =

A11 A12 A13 · · ·A1n
A21 A22 A23 · · ·A2n
...
...
...
...
An1 An2 An3 · · ·Ann
 ,
8 CAPI´TULO 1. MATRIZES
Exemplo 1.7. Considere a matriz
A =
0 1 53 −6 9
2 6 1
 .
Calcule Det(A).
No´s vamos calcular o determinante de A desenvolvendo pela primeira linha.
Det(A) =
2∑
j=1
(−1)(1+j)a1jDet(M1j) = (−1)(1+1) · 0 ·Det
(−6 9
6 1
)
+
(−1)(1+2) · 1 ·Det
(
3 9
2 1
)
+ (−1)(1+3) · 5 ·Det
(
3 −6
2 6
)
= 0 + 1 · 15 + 5 · 30 = 165.
Exerc´ıcio 1.5. Considere a matriz
A =
0 1 23 −1 1
2 0 1
 .
Calcule Cof(A), [Cof(A)]t, A · [Cof(A)]t, [Cof(A)]t ·A e 1
Det(A)
[Cof(A)]t.
1.1.2 Matriz Adjunta Cla´ssica e Inversa
Definic¸a˜o 1.10. Dada An×n = (aij)n×n, chama-se Adjunta Cla´ssica de A a` matriz
[Adj(A)] = [Cof(A)]t.
Teorema 1.1. Dada An×n = (aij)n×n, se DetA 6= 0, enta˜o
1
Det(A)
·A · [Adj(A)] = In e 1
Det(A)
· [Adj(A)] ·A = In (1.1.3)
Segue facilmente da definic¸a˜o 1.6 que
1
Det(A)
· [Adj(A)] = A−1 ( Inversa de A).
Exemplo 1.8. Considere a matriz
A =
1 2 30 3 2
0 0 −2
 .
Use (1.1.3) e calcule a martiz inversa (elemento inverso) de A em relac¸a˜o ao produto de
matriz.
Vamos calcular os cofatores dos elementos de A.
A11 = (−1)(1+1)Det
(
3 2
0 −2
)
= −6; A12 = (−1)(1+2)Det
(
0 2
0 −2
)
= 0;
1.1. MULTIPLICAC¸A˜O DE MATRIZES 9
A13 = (−1)(1+3)Det
(
0 30 0
)
= 0; A21 = (−1)(2+1)Det
(
2 3
0 −2
)
= 4;
A22 = (−1)(2+2)Det
(
1 3
0 −2
)
= −2; A23 = (−1)(2+3)Det
(
1 2
0 0
)
= 0;
A31 = (−1)(3+1)Det
(
2 3
3 2
)
= −5; A32 = (−1)(3+2)Det
(
1 3
0 2
)
= −2;
A33 = (−1)(3+3)Det
(
1 2
0 3
)
= 3.
Assim, a matriz cofatora de A sera´ dada por
Cof(A) =
−6 0 04 −2 0
−5 −2 3
 .
A matriz Adjunta Cla´ssica e´ a transposta de matriz cofatora de A, ou seja
Adj(A) =
−6 4 −50 −2 −2
0 0 3
 .
O teorema 1.1 nos da´ a matriz procurada que e´
A−1 =
1
DetA
Adj(A) =
1
−6
−6 4 −50 −2 −2
0 0 3
 .
Exemplo 1.9. Uma industria produz treˆs produtos, X, Y , e Z, utilizando dois tipos de
insumos, A e B. Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e
2 gramas do insumo B; para cada kg de Y s ao utilizados 1 grama do insumo A e 1 gramas
do insumo B e, cada kg de Z s ao utilizados 1 grama do insumo A e 4 gramas do insumo
B. O prec¸o de venda de um kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 2,00 R$ 3,00 e R$
5,00 respectivamente. Com a venda de toda produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1 kg
de A e 2 kg de B, essa industria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de
cada produto X, Y e Z foram vendidos.
Como ja´ vimos no exemplo 1.6 usando matrizes o esquema de produc¸a˜o pode ser descrito
da seguinte forma:
1 1 12 1 4
2 3 5
 xy
z

 x+ y + z2x+ y + z
2x+ 3y + 5z
  10002000
25000

= A,
X Y Z
gramas de A por kg
gramas de B por kg
prec¸o por kg
W =
kg de X produzidos
kg de Y produzidos
kg de Z produzidos
AW =
gramas de A usadas
gramas de B usadas.
arrecadac¸a˜o
=(S)
10 CAPI´TULO 1. MATRIZES
Veja que a resposta a` pergunta que foi formulada no exemplo 1.6 sera´ dada pelo conjunto
soluc¸a˜o para o Sistema de Equac¸o˜es (S).
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Uma Equac¸a˜o Linear em n varia´veis x1, x2, · · · , xn reais e´ uma equac¸a˜o da forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,
onde a1, a2, · · · , an e b sa˜o nu´meros reais que na˜o dependem das varia´veis envolvidas na
equac¸a˜o e sa˜o conhecidos. Um Sistema de Equac¸o˜es Lineares ou simplesmente Sistema
Linear e´ um conjunto de equac¸o˜es lineares, ou seja
(S) '

a11x1 + a12x2 + · · · a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · a2nxn = b2
...
...
...
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + · · · amnxn = bm
(1.2.4)
onde os aij e bi i = 1, 2, · · ·m, j = 1, 2, · · ·n sa˜o todos nu´meros reais conhecidos.
Usando o produto de matrizes (ver definic¸a˜o 1.4) o sistema 1.2.12 pode ser escrito como
uma equac¸a˜o matricial,
AX = B,
onde,
An×m =

a11 a12 a13 · · · a1m
a21 a22 a23 · · ·a2m
...
...
...
...
an1 an2 an3 · · ·amm
 , X =

x1
x2
...
xn
 e B =

b1
b2
...
bn
 . (1.2.5)
Uma Soluc¸a˜o para o sistema 1.2.12 e´ uma matriz
S =

s1
s2
...
sn
 ,
tal que as equac¸o˜es do sistema 1.2.12 sa˜o satisfeitas quando substituimos x1 = s1, x2 = s2,
· · · , xn = sn.
Exemplo 1.10. Considere o sistema linear de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas
(S) '
{
x + 2y = 1
2x + y = 0
1.2. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 11
O sistema (S) pode ser escrito na forma matricial
(S) '
(
1 2
2 1
)
·
(
x
y
)
=
(
0
1
)
.
Ainda, podemos verificar facilmente que x =
−1
3
e y =
2
3
formam uma soluc¸a˜o para o
sistema (S), ou seja
S =
(−1
3
2
3
)
e´ o conjunto soluc¸a˜o de (S).
Um Sistema Linear que tem soluc¸a˜o e´ denominado SISTEMA POSSI´VEL. Se um
Sistema Linear que na˜o tem soluc¸a˜o e´ denominado SISTEMA IMPOSSI´VEL. Mas dentre
os SISTEMAS POSSI´VEIS, ha´ aqueles que possuem mais que uma soluc¸a˜o .
Exemplo 1.11. O sistema linear de duas equac¸o˜es e quatro inco´gnitas
(S) '
{
x + 3y + 0z + 2w = −5
0x + 0y + z − 3w = 2
tem mais que uma soluc¸a˜o .
Note que S1 = [−5 0 2 0]t e S2 = [−7 0 5 1]t sa˜o soluc¸o˜es para o sistema (S).
Mas afinal dado um Sistema Linear (S) o que devemos fazer para decidirmos entre
as treˆs possibilidades; Sistema Poss´ıvel com mais que uma soluc¸a˜o , Sistema Poss´ıvel
apenas uma soluc¸a˜o e Sistema Imposs´ıvel.
1.2.1 Operac¸o˜es Elementares
Definic¸a˜o 1.11. Uma Operac¸a˜o Elementar sobre as linhas de uma matriz e´ uma das
seguintes operac¸o˜es com outra linha da mesma matriz:
(i) Trocar a posic¸a˜o de uma das linhas da matriz.
(ii) Multiplicar uma linha por uma constante (escalar) diferente de zero.
(iii) Somar a uma linha da matriz, um mu´ltiplo escalar de outra linha da mesma matriz.
Dado um Sistema Linear (S) como em (1.2.12) temos a Matriz A e B associada a` (S).
∗ Chama-se Matriz Aumentada associada a` (S) a Matriz
[A|B] =

a11 a12 a13 · · · a1m ... b1
a21 a22 a23 · · ·a2m ... b1
...
...
...
...
... b1
an1 an2 an3 · · ·amm ... b1
 .
Exemplo 1.12. Considere o sistema linear de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas
(S) '
{
x + 2y = 1
2x + y = 0
12 CAPI´TULO 1. MATRIZES
A Matriz Aumentada associada ao sistema (S) e´ a matriz
[A|B] =
(
1 2
... 1
2 1
... 0
)
.
Teorema 1.2. Dados dois Sistemas Lineares AX = B e CX = D tais que a Matriz
Aumentada [C|D] pode ser obtida da Matriz Aumentada [A|B] aplicando-se apenas
uma Operac¸a˜o Elementar (ver definic¸a˜o 1.11), enta˜o os dois sistemas lineares possuem o
mesmo Conjunto Soluc¸a˜o .
Agora vamos utilizar o teorema 1.2 e apresentar uma maneira eficiente para encontrar-
mos o conjunto soluc¸a˜o para um Sistema Linear.
Me´todo de Gauss-Jordan
O me´todo que vamos apresentar aqui para resolver Sistemas Lineares, consiste na
aplicac¸a˜o das operac¸o˜es elementares a`s linhas daMatriz Aumentada associada ao sistema
linear em estudo.
Primeiro procuramos atrave´s de operac¸o˜es elementares obter aMatriz Aumentada de
forma que na primeira linha o primeiro elemento seja na˜o nulo, este elemento sera´ chamado
de Pivoˆ. Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.13. Considere o sistema linear (S) dado por
(S) '

x + y + z = 1
2x + y + 4z = 0
3x + 2y + 5z = −2
A Matriz Aumentada associada a` S e´
A =1 1 1
... 1
2 1 4
... 0
3 2 5
... −2
 L1 = l1L2 = 2l1 − l2
L3 = 3l1 − l3
1 1 1
... 1
0 1 −3 ... 2
0 1 −2 ... 5
 L1 = l1L2 = l2
L3 = l2 − l3
1 1 1
... 1
0 1 −2 ... 2
0 0 1
... −3

(1.2.6)
Note que as linhas L1, L2 e L3 sa˜o linhas da matriz aumentada obtida da outra matriz
aumentada (anterior) cujas linhas sa˜o l1 , l1 e l3 elas operac¸o˜es elementares indicadas (ver
figura 1.2.6).
EXERCI´CIOS
1.2. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 13
1. De cada uma das matriz se abaixo Calcule a matriz cofatora, adjunta cla´ssica e com
a Definic¸a˜o 1.7 calcule o determinante. Em seguida calcule a matriz inversa caso ela
exista.
A =
1 3 11 0 1
2 1 4
 , B =
 −1 0 −21 −1 2
0 1 −1
 , C =

−1 −1 0 −2
−2 1 −1 2
0 1 −1 1
2 −2 −1 0
 ,
Para cada uma das matrizes acima calcule a sua inversa usando escalonamento de
matriz.
Agora usando o teorema 1.2 vemos facilmente que
(S) '

x + y + z = 1
0x + y − 3z = 2
0x + y − 2z = 5
'

x + y + z = 1
0x + y − 3z = 2
0x + 0y + z = −3
Mas o Sistema
(S3) '

x + y + z = 1
0x + y − 3z = 2
0x + 0y + z = −3
tem como conjunto soluc¸a˜o S3 = [11,−7,−3]t, portanto pelo teorema 1.2, o conjunto soluc¸a˜o
para o Sistema (S) e´ S = S3 = [11,−7,−3]t,
Sistemas Escalonados
Dada uma matriz
An×m =

a1r1 a1r1+1 a1r1+2 · · · a1m
0 a2r2 a2r2+1 · · ·a2m
...
...
...
...
0 0 0 · · ·anrm
 , (1.2.7)
onde, a1r1 6= 0, a1r2 6= 0, · · · a1rm 6= 0. Se tivermos 1 ≤ r1 < r2 < · · · < rm ≤ m diremos que
a matriz A esta´ escalonada.
Um Sistema Linear (S) esta´ escalonado se a matriz aumentada associada a` (S) estiver
na forma .
[A|B] =

a1r1 a1r1+1a1r1+2 · · · a1n
... β1
0 a2r2 a2r2+1 · · · a2n
... β2
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · amrm
... βk
0 0 0 · · · 0 ... βk+1

, (1.2.8)
14 CAPI´TULO 1. MATRIZES
ou seja
(S) '

a1r1x1 + a1r1+1x2 + · · · a1nxn = β1
0x1 + a2r2+1x2 + · · · a2nxn = β2
...
...
...
...
...
...
...
...
0x1 + 0x2 + · · · amrmxn = βk
0x1 + 0x2 + · · · 0xn = βk
(1.2.9)
onde, a1r1 6= 0, a1r2 6= 0, · · · a1rm 6= 0.
Discussa˜o e Resoluc¸a˜o de Um Sistema Linear
Discutir um Sistema Linear (S) significa efetuar um estudo de (S) visando classifica´-lo
segundo a definic¸a˜o a seguir.
Definic¸a˜o 1.12. Dizemos que um Sistema Linear (S) e´ Incompat´ıvel se (S) na˜o admite
soluc¸a˜o . Um Sistema Linear (S) que admite uma u´nica soluc¸a˜o e´ chamado Compat´ıvel
Determinado. Se um sistema admitir mais do que uma soluc¸a˜o enta˜o ele e´ denominado
Compat´ıvel e Indeterminado
(I) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obte´m-se
(S) '

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0x1 + 0x2 + · · · 0xn = βk
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(1.2.10)
com βk 6= 0, o Sistema Linear sera´ Imcompat´ıvel ou Imposs´ıvel e denoteremos por (SI)
ou o conjunto soluc¸a˜o para (S) e´ o conjunto vazio (ver difinic¸a˜o 1.12) .
(II) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obte´m-se
(S) '

x1 + a1r1x2 + · · · a1nxn = β1
0x1 + x2 + · · · a2nxn = β2
...
...
...
...
...
...
...
...
0x1 + 0x2 + · · · xn = βn,
(1.2.11)
o sistema (S) e´ Compat´ıvel e Determinado (o sistema linear esta´ escalonado e nu´mero
de equac¸o˜es e´ igual ao nu´mero de inco´gnitas)
(III) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obte´m-se
(S) '

x1 + a1r1x2 + · · · a1rpxrp + · · · a1nxn = β1
0x1 + x2 + · · · a2rpxrp + · · · a2nxn = β2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0x1 + 0x2 + · · · xrp + · · · apnxn = βp,
(1.2.12)
onde, p < n o sistema (S) e´Compat´ıvel e Indeterminado (o sistema linear esta´ escalonado
e nu´mero de equac¸o˜es e´ menor ao nu´mero de inco´gnitas)
• Se um Sistema Linear tiver mais que uma soluc¸a˜o , enta˜o o sistema tera´ infinitas
soluc¸o˜es .
1.2. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 15
Exemplo 1.14. Considere o Sistema
(S) '

x − 2y − z = 1
2x + y − 3z = 0
x + 7y + 0z = 3
(S) '

x − 2y − z = 1
2x + y − 3z = 0
x + 7y + 0z = 3
L1 = l1
L2 = −2l1 + l2
L3 = −l1 + l3
'

x − 2y − z = 1
0x + 5y − z = −2
0x − 5y + z = 2
L1 = l1
L2 = l2
L3 = l2 + l3
'

x − 2y − z = 1
0x + 5y − z = −2
0x + 0y + 0z = 0
L1 = l1
L2 = l2
L3 pode ser eliminada
' S3 '
{
x − 2y − z = 1
0x + 5y − z = −2
O teorema 1.2, garante que o conjunto soluc¸a˜o do Sistema (S) e´ igual aoconjunto soluc¸a˜o
para o Sistema (S3), que e´
S = {(1
5
+
7
5
z,−2
5
+
1
5
z, z) z ∈ R}.
Note que o Sistema (S) tem uma quantidade infinita de soluc¸o˜es .
Exemplo 1.15. Considere o Sistema
(S) '

x + y + z = 1
2x + y + 5z = 0
3x + 2y + 5z = −2
Precedomos ao escalonamento de (S),
(S)
L1 = l1
L2 = 2l1 − l2
L3 = 3l1 − l3
'

x + y + z = 1
0x + y − 3z = 2
0x + y − 2z = 5
L1 = l1
L2 = l2
L3 = l2 − l3
' (S3) '

x + y + z = 1
0x + y − 3z = 2
0x + 0y − z = −3
como conjunto soluc¸a˜o para o sistema (S3) e´ S3 = [−14 11 3]t, pelo teorema 1.2, o conjunto
soluc¸a˜o para o Sistema (S) e´ S = S3 = [−14 11 3]t. Note que o Sistema (S) tem uma u´nica
soluc¸a˜o e portanto (S) e´ Compat´ıvel e Determinado.
Exemplo 1.16. Considere o Sistema
(S) '

x + 2y + 3z = 1
3x + 6y + 9z = 0
3x + 2y + 5z = −2
16 CAPI´TULO 1. MATRIZES
Precedomos ao escalonamento de (S),
(S)
L1 = l1
L2 = 3l1 − l2
L3 = 3l1 − l3
'

x + y + z = 1
0x + 0y − 0z = 3
0x + y − 2z = 5
Note que a segunda equc¸a˜o ja´ e´ incompat´ıvel, e isto torna o Sistema (S) incompat´ıvel ou
seja o conjunto soluc¸a˜o de (S) e´ vazio.
Cap´ıtulo 2
GEOMETRIA
RETA Dados dois pontos distintos no espac¸o P e Q, existe u´nica reta que passa por P e
Q. Denotaremos esta reta por PQ ou sera´ utilizado uma letra minu´scula para representar a
reta, por exemplo s, t, ect... . Diremos reta PQ ou reta s por exemplo.
SEGMENTODE RETA Dada uma reta r e dois pontos distintos sobre ela, o segmento
de reta A¯B e´ o conjunto dos pontos da reta r que esta˜o entre os pontos A e B.
Dada uma reta r ⊂ e um ponto P fora da reta r, existe uma u´nica reta t que passa por P
que e´ paralela a` reta r. Ainda existe uma u´nica reta s que passa por P que e´ perpendicular
a` reta r.
2.0.2 Segmentos Orientados
Definic¸a˜o 2.1. Um segmento orientado e´ um par ordenado (A,B) de pontos do espac¸o. Se
nos for dado um segmento (A,B), tal que o ponto A seja igual ao ponto B, diremos que o
segmento (A,A) ou (B,B) e´ o segmento nulo.
• O segmento orientado (A,B) consiste dse todos os pontos da reta AB que esta˜o entre
A e B, inclusive os pontos A e B, mas deve ser considerado a orientac¸a˜o de A para B.
• Um segmento orientado nulo e´ determinado por um par de pontos coincidentes.
A reta AB que conte´m o segmento A¯B e´ denominada reta suporte do segmento orientado
(A,B). Os pontos A e B sa˜o denominados origem e extremidade do segmento respecti-
vamente. Geometricamente um segmento orientado sera´ indicado por uma flexa, veja o
seguinte exemplo.
Exemplo 2.1. Dados quatro pontos A, B, C e D do espac¸o como abaixo, podemos considerar
os segmentos (A,B) e (C,D) como segue
Aff
C
Q
Q
Q
Q
QQs D
B.
1. Segmento Oposto
17
18 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
Definic¸a˜o 2.2. Dado um segmento orientado (A,B), chama-se segmento orientado
oposto de (A,B) o segmento orientado (B,A).
Na˜o e´ dif´ıcil ver que a cada segmento orientado (A,B) esta´ associado uma treˆs conceitos
geome´tricas importantes que sa˜o COMPRIMENTO, DIREC¸A˜O e SENTIDO.
A` partir deste instante, estas propriedades dos segmentos orientados passam a ser o
nosso objeto de estudo e veremos que, com argumentos detalhados elas podera˜o nos
oferecer uma vizualizac¸a˜o particularmente especial do ”espac¸o que nos cerca”. Estes
conceitos geome´tricos sa˜o aqui denominados importantes por serem conhecidos como
Grandezas Vetorias e alguns dos exemplos mais populares sa˜o FORC¸A, VELOCIDADE
e ACELERAC¸A˜O.
Note que, dois pontos quaisquer A e B do espac¸o, determinam os segmentos orientados
(A,B) e (B,A), que podera˜o ser iguais se o ponto A coincidir com o ponto B.
Igualdade de Dois Segmentos Orientados
Definic¸a˜o 2.3. Dois segmentos orientados (A,B) e (C,D), SERA˜O IGUAIS se e
somente se, A ≡ B e C ≡ D.
2. Comprimento
Definic¸a˜o 2.4. Fixada uma unidade de de comprimento, a cada segmento orientado
(A,B) podemos associar um nu´mero real positivo ou zero, que sera´ o COMPRIMENTO
de (A,B).
• Dado um segmento orientado (A,B), a distaˆncia do ponto A ate´ o ponto B sera´ o
comprimento do segmento orientado (A,B).
• Como a distaˆncia de um ponto qualquer ate´ ele mesmo e´ zero, ao segmento orientado
(A,A) (segmento nulo) esta´ associado o nu´mero real zero, ou seja o comprimento do
segmento orientado nulo (A,A) e´ exatamente zero.
3. Direc¸a˜o
Definic¸a˜o 2.5. Dados dois segmentos orientados (A,B) e (C,D), diremos que eles
teˆm a mesma DIREC¸A˜O se as retas AB e CD forem paralelas.
Se dois segmentos orientados (A,B), e (C,D) teˆm mesma direc¸a˜o, diremos que eles
sa˜o paralelos.
Note que um papalelogramoABCD determina pelo menos um par de segmentos orientados
digamos (A,B), e (C,D)
A
B
�
�
�
�
�
�
�
����
�
�
�
�
�
�
���
C
D
19
Exemplo 2.2. Considere os dois segmentos orientados (A,B), e (C,D), de modo
que as retas AB e CD sejam paralelas.
A
B
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
���
D
C
Pela definc¸a˜o 2.5 os segmentos orientados (A,B), e (C,D) teˆma mesma direc¸a˜o.
4. Sentido
Definic¸a˜o 2.6. Dados dois segmentos orientados (A,B) e (C,D) com mesma direc¸a˜o
a : Se as retas AB e CD forem distintas, diremos que eles teˆm o mesmo SENTIDO
se as segmentos de retas A¯C e B¯D tiverem intersec¸a˜o vazia.
b : Se as retas AB e CD forem coincidentes, tome um ponto A′ /∈ AB e a u´nica
reta s que passa por A′ e que e´ paralela a` reta AB, em seguida tome o u´nico ponto
B′ ∈ s de modo que os segmentos orientados (A′, B′) e (A,B) satisfac¸am a parte (a)
desta definic¸a˜o. Diremos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm o mesmo
SENTIDO se (A′, B′) e (C,D) tiverem o mesmo sentido .
Exemplo 2.3. Considere os segmentos orientados (A,B), e (C,D) de modo que as retas
AB e CD sejam paralelas e distintas, como segue
B
A
�
�
�
�
�
���
````````````
�
�
�
�
�
�
�
���
C
D
Note que os segmentos de retas A¯C e B¯D teˆm intersec¸a˜o vazia, ou seja pela definic¸a˜o 2.6 a,
os segmentos orientados (A,B), e (C,D) teˆm o mesmo sentido.
Exemplo 2.4. Considere os segmentos orientados (A,B), e (C,D) de modo que as retas
AB e CD sejam paralelas e distintas, como segue
B
A
�
�
�
�
�
���
@
@
@
@
@
@
@
@@!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
�
�
�
�
�
�
�
���
D
C
Note que os segmentos de retas A¯C e B¯D teˆm intersec¸a˜o na˜o vazia, ou seja pela definic¸a˜o
2.6a os segmentos orientados (A,B), e (C,D) teˆm sentidos ontra´rios.
20 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
2.0.3 Equipoleˆncia de Segmentos Orientados
Definic¸a˜o 2.7. Dois segmentos orientados (A,B), e (C,D) sa˜o EQUIPOLENTES se
a : os dois forem nulos.
b : os dois sa˜o na˜o nulos e eles teˆm o mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo
sentido.
Notac¸a˜o
(A,B) ∼ (C,D) indica que os dois segmentos orientados (E,F ), e (G,H) sa˜o equipo-
lentes,
Exemplo 2.5. Considere dois papalelogramos ABCD e EFGH suponha que eles esta˜o
representados nas figuras abaixo:
A
B
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
�
���
C
D E
F
�
�
�
�
�
�
�
����
�
�
�
�
�
�
���
G
H
Note que o fato de ABCD e EFGH serem um paralelogramos as definic¸o˜es 2.4 e 2.5 nos
garante que os pares de segmentos orientados (A,B) e (C,D); (E,F ), e (G,H) teˆm mesmo
comprimento, mesma direc¸a˜o, usando a definic¸a˜o 2.6 vemos que (A,B) e (C,D) teˆm mesmo
sentido e portanto sa˜o EQUIPOLENTES. Mas os segmentos orientados (E,F ), e (G,H)
que teˆm mesmo comprimento e mesma direc¸a˜o, usando a definic¸a˜o 2.6 vemos que eles na˜o
teˆm o mesmo sentido, e por isto eles na˜o sa˜o equipolentes.
Proposic¸a˜o 2.1. A relac¸a˜o de equipoleˆncia goza das seguintes propriedades:
a : (A,B) ∼ (A,B) Reflexiva
b : Se (A,B) ∼ (C,D), enta˜o (C,D) ∼ (A,B) Comutativa
c : Se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F ) enta˜o (A,B) ∼ (E,F ) Transitiva
A demonstrac¸a˜o sera´ omitida.
Exemplo 2.6. Considere os segmentos orientados abaixo. Suponha que as retas AB, CD,
EF e FG sejam duas a duas paralelas e que os segmentos A¯B, C¯D, E¯F e F¯G tenham o
mesmo comprimento ver figura abaixo :
�
�
�
�
�
��
A
B
�
�
�
�
�
��
D
C �
�
�
�
�
��
E
F �
�
�
�
�
��
G
H
2.1. VETORES 21
Usando as definic¸o˜es 2.4, 2.5, 2.6 e a transitividade da relac¸a˜o de equipoleˆncia (ver Prop. 2.1),
podemos verificar facilmente que os segmentos orientados (A,B), (C,D), (E,F ) e (G,H)
teˆm mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo sentido, portanto eles sa˜o equipolentes
(Note que verificamos a equipoleˆncia comparando grupos de dois apenas segmentos orientados).
Dado um segmento orientado (A,B) podemos pensar nos segmentos orientados que
sa˜o equipolentes ao segmento orientado (A,B) e estes sera˜o muitos. Por exemplo sabe-se
ao arremessar-mos um objeto de massa na˜o nula para o alto, este objeto passara´ por uma
quantidade enorme de pontos do espac¸o e a estes pontos denominamos de trajeto´ria. Em
cada ponto desta trajeto´ria o objeto estara´ sujeito a` Forc¸a da Gravidade, ou seja ele estara´
sujeito a` forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional, que aqui em nossa linguagem o que corresponde a um
conjunto de segmentos orientados representado pela letra ~P (Forc¸a Peso). Podemos agora
pensar em todos os segmentos orientados que sa˜o equipolentes a` um segmento orientado
fixado.
• Chama-se Classe de Equipoleˆncia de um segmento orientado (A,B), ao conjunto
de todos os segmentos orientados que sa˜o equipolentes ao segmento orientado )(A,B).
Note que o pro´prio (A,B) e´ um segmento orientado deste conjunto. Na verdade se dois
segmentos orientados (A,B) e (C,D) forem equipolentes enta˜o a Classe de Equipoleˆncia
de (A,B) coincidira´ com Classe de Equipoleˆncia de (C,D).
2.1 Vetores
Definic¸a˜o 2.8. Um Vetor Geome´trico e´ uma classe de equipoleˆncia.
∗ Cada segmento orientado da Classe de Equipoleˆncia ou do vetor sera´ chamado de
representante do vetor.
• A forc¸a da gravidade e´ um vetor, pois ela e´ um conjunto de segmentos orientados
equipolentes ou seja ela e´ uma Classe de Equipoleˆncia.
• Representaremos os vetores por letra minu´scula com uma seta sobre ela ~a ~b, ~u, ~v , ~w
etc... ou ainda se o segmento orientado (A,B) for um representante do vetor ~u, por exemplo
podemos indicar o vetor ~u por ~AB .
Definic¸a˜o 2.9. A` classe de equipoleˆncia do segmento orientado nulo ( (A,A) ) chamamos
Vetor Nulo.
Assim sendo podemos ver que
(i) O vetor nulo tem comprimento zero.
(ii) O vetor nulo tem a mesma direc¸a˜o que qualquer outro vetor.
(iii) O vetor nulo tem a mesmo sentido que qualquer outro vetor.
O vetor nulo sera´ representado por ~0.
Definic¸a˜o 2.10. Chamamos Espac¸o IE3 ao conjunto de todos os vetores geome´tricos.
∗ Os vetores ~x, ~y na˜o nulos sera˜o paralelos (indica-se ~x//~y) se e somente se um repre-
sentante (A,B) de ~x for paralelo a um representante (C,D) de ~y
∗ Chamamos Norma, Mo´dulo ou Comprimento de um vetor ao comprimento de
qualquer um de seus representantes.
22 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
• Dado um vetor ~v podemos tomar um de seus representantes, digamos (A,B) e indi-
carmos ~v por ~BA.
Vetor Oposto
Definic¸a˜o 2.11. Se o segmento orientado (A,B) for um representante do vetor ~u enta˜o o
segmento orientado (B,A) sera´ um representante do vetor −~u denominado Vetor Oposto
de ~u ou seja o vetor ~BA e´ o oposto do vetor ~AB. Indicamos oposto de ~BA por − ~AB.
• Dado um vetor ~u, existe um u´nico ponto A ∈ IE3 tal que ~u tem um representante com
origem em A.
Neste instante temos um conjunto muito bem definido que e´ IE3 e a partir deste momento
nosso interesse e´ em explorar mais este conjunto, isto e´ saber quais sa˜o seus elementos, como
seus elementos se relacionam com nossa vida cotidiana, particularmente algumas relac¸o˜es
dos elementos de IE3 com a elementos da conhecida Geometria de Euclides.
ADIC¸A˜O DE VETORES
Definic¸a˜o 2.12. A adic¸a˜o de vetores e´ uma func¸a˜o que a cada par de vetores (~u,~v) de
IE3 × IE3 associa um vetor de IE3 que e´ chamado SOMA de ~u por ~v e indicado por ~u+ ~v.
A func¸a˜o age da seguinte forma sobre o par (~u,~v): considere um representante (A,B) de ~u,
e um representante de ~v com origem em B, e extremidade em C, a classe de equipoleˆncia
que conte´m o segmento orientado (A,C) e´ o vetor ~u+ ~v.
Ver a figura abaixo:
A -
~u
�
�
�
�
�
��
B
~v
~w = ~v + ~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs D
Esta regra de adic¸a˜o de vetores e´ conhecida como regar triangular. Ha´ outra regra que e´ a
conhecida como regra do paralelogramo.
~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs
�
�
�
�
�
��
~u
A -
~u
�
�
�
�
�
��
B
~v
~w = ~v + ~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs C
�
�
�
�
�
��QQ
Q
Q
Q
Q
Q
QQs
D
Esta regra se aplica da seguinte forma : Fixamos um ponto A ∈ IE3 e tomamos o u´nico
ponto B ∈ IE3 tal que o segmento orientado (A,B) seja um representante do vetor ~u, em
2.1. VETORES 23
seguidacom o ponto B tomamos o u´nico ponto C ∈ IE3 tal que o segmento orientado
(B,C) seja um representante do vetor ~v. Analogamente, determinamos o ponto D ∈ IE3
e em seguida um ponto C ′ que por nossa construc¸a˜o coincide com o ponto C. Assim te-
remos o paralelogramo ABCD, e a soma dos vetores ~u e ~u e´ a classe de equipoleˆncia do
segmento orientado (A,C). Note que o segmento AC e´ a diagonal principal do paralelo-
gramo ABCD.
Exerc´ıcio 2.1. Mostrar que a diagonal secunda´ria do paralelogramo ABCD nos da´ a dife-
renc¸a dos vetores ~u e ~v .
Note que o conjunto IE3 (ver definic¸a˜o ) juntamente com a definic¸a˜o 2.12 torna-se ana´logo
ao conjunto R (nu´meros reais) com a operac¸a˜o de adic¸a˜o de nu´meros, ja´ bem conhecida nossa.
Mas a operac¸a˜o adic¸a˜o de nu´meros reais no conjunto R
• TEM ELEMENTO NEUTRO (ZERO),
• E´ ASSOCIATIVA,
• E´ COMUTATIVA,
• CADA NU´MERO REAL TEM INVERSO (a ∈ R tem inverso −a ∈ R).
Uma pergunta importante: A operac¸a˜o adic¸a˜o no conjunto IE3 (ver definic¸a˜o 2.12) tem as
mesmas propriedades que operac¸a˜o adic¸a˜o de nu´meros reais no conjunto R ?
∗ A partir deste instante o espac¸o IE3 sera´ referido como (IE3,+) espac¸o IE3 com a
operc¸a˜o de adic¸a˜o
PROPRIDADES DE ADIC¸A˜O DE VETORES
Dados ~u, ~v e ~w em (IE3,+),
PA1 (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) Associativa
PA2 ~u+ ~v = ~v + ~u Comutativa
PA3 ~u+~0 = ~u Elemento Neutro
PA4 ~u+ (−~u) = ~u Elemento Oposto ou Sime´trico
Exerc´ıcio 2.2. Considere os vetores ~a e ~b cujos representantes sa˜o os segmentos orientados
(A,B) e (B,C) respectivamente (ver figura abaixo) e calcule ~a+~b e ~a−~b usando a regar do
triaˆngulo e do paralelogramo.
Cff
A
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs B
24 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
Exerc´ıcio 2.3. Considere os vetores ~a, ~b e ~e cujos representantes sa˜o os segmentos orientados
(A,B), (C,D) e (E,F ) respectivamente (ver figura abaixo) e calcule
• (~a+~b) + ~e; • ~a−~b− ~e • ~a− (~b− ~e)
usando a regra do triaˆngulo e do paralelogramo.
CDff
A
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs
-E F
B
2.1.1 Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real (escalar) Por Vetor
Vamos definir uma operac¸a˜o externa em IE3.
Definic¸a˜o 2.13. Multiplicac¸a˜o de nu´mero real ou escalar por um vetor e´ uma func¸a˜o que a
cada par ordenado (α, ~u) ∈ R×IE3 associa um vetor ~w ∈ IE3 denotado por α·~u, (α, ~u) m→ α·~u.
• Como a func¸a˜o multiplicac¸a˜o a associa um par ordenado, como na definic¸a˜o , um
vetor, se faz necessa´rio saber informar qual e´ o comprimento a direc¸a˜o e o sentido deste
novo vetor.
∗ Se α = 0 enta˜o (0, ~u) m→ ~0 ou 0 · ~u = ~0 .
∗ Se ~u = ~0, enta˜o (α,~0) m→ ~0 ou α ·~0 = ~0.
∗ Se α 6= 0, e ~u 6= ~0, enta˜o
a : ‖α · ~u‖ = |α|‖~u‖
b : α · ~u // ~u ; (os vetores α · ~u e ~u sa˜o paralelos).
c : α · ~u e ~u tera˜o o mesmo sentido se α > 0 e tera˜o sentidos contra´rios se α > 0.
Note que a multiplicac¸a˜o de vetor por escalar (nu´mero) pode aterar o comprimento e o
sentido do vetor, mas na˜o altera a direc¸a˜o .
Exemplo 2.7. Dado um vetor ~v ∈ IE3 com segmento orientado (A,B), tomemos retas
CD, EF e GH de modo que ass retas AB CD, EF e GH sejam duas a` duas paralelas e os
comprimentos dos segmentos C¯D, E¯F e G¯H satisfac¸am a relac¸a˜o
comp(C¯D) = 2comp(A¯B) = comp(E¯F ) e comp(G¯H) =
5
2
comp(A¯B). (2.1.1)
Usando a definic¸a˜o 2.5 podemos ver os segmentos orientados (A,B) (C,D), (E,F ) e
(G,H) teˆm mesma direc¸a˜o, usando (2.1.1) e a definic¸a˜o 2.13 (Note que α 6= 0), podemos ver
que
• segmento orientado (C,D) e´ representante do vetor 2~v (α = 2) ,
• segmento orientado (E,F ) e´ representante do vetor −2~v, (α = −2)
2.1. VETORES 25
• segmento orientado (G,H) e´ representante do vetor 5
2
~v, (α =
5
2
)
e com isto construir a figura abaixo.
�
�
��
A
B
~v
�
�
�
�
�
��
D
C
2~v
�
�
�
�
�
��
−2~v
E
F �
�
�
�
�
�
�
���
5
2
~v
H
G
Vejamos agora como as duas operac¸o˜es dadas nas definic¸o˜es 2.12 em IE3 × IE3 , e 2.13
em R× IE3 se relacionam.
PROPRIEDADES DE MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR
Dados ~u,~v ∈ IE3, α ∈ R β ∈ R, enta˜o
M1 α(~u+ ~v) = α~u+ α~v.
M2 (α+ β)~u = α~u+ β~u.
M3 1~u = ~u.
M2 α(β~u) = (αβ)~u = β(α~u).
∗ A partir deste instante o espac¸o IE3 sera´ indicado por (IE3,+, ·) onde leˆ-se espac¸o IE3
com as operc¸o˜es de Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o por Escalar (Nu´mero real)
∗ As quatro propriedades de adic¸a˜o juntamente com a quatro propriedades de Mul-
tiplicac¸a˜o por escalar (nu´mero real) fazem uma estrutura especial dentro do conjunto IE3
chamada Estrutura de Espac¸o Vetorial e por isto de agora em diante nos referiremos ao
conjunto (IE3,+, ·) como um Espac¸o Vetorial
∗ Se α ∈ R e ~v ∈ R com α 6= 0, sera´ utilizado apenas a notac¸a˜o 1
α
~v , de modo algum
sera´ permitida a notac¸a˜o
~v
α
.
Exerc´ıcio 2.4. Prove a regra dos sinais
a (−α)~v = (−α~v) para todo α ∈ R e ~v ∈ IE3.
b α(−~v) = −(α~v) para todo α ∈ R e ~v ∈ IE3.
c (−α)(−~v) = α~v para todo α ∈ R e ~v ∈ IE3.
Prova a : Note que pela definic¸a˜o 2.11 a igualdade (a) nos diz que o vetor oposto de
(−α)~v e´ (−α~v) ou seja, devemos provar que (−α)~v + (−α~v) = ~0.
Mas
(−α)~v + (−α~v) M2= (−α + α) = 0~v Def 2.13= ~0
Prova b: Agora devemos provar que α(−~v) +−(α~v) = ~0.
Mas
α(−~v) + (α~v) M1= α(~v − ~v) = α~0 Def 2.13= ~0.
A prova de c e´ deixada como exer´ıcio.
26 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
Proposic¸a˜o 2.2. Dado α, β ∈ R e ~u ∈ IE3,
• se α~u = ~0, enta˜o α = 0 ou ~u = ~0.
•• se ~u 6= ~0 e α~u = β~u, enta˜o α = β.
Prova : Priemiro vamos provar •. Supponha que α 6= 0 enta˜o existe α−1 ∈ R tal que
α−1α = 1. Multiplicando α~u = ~0 de ambos os membros por α−1 teremos αα−1~u = α−1~0 = ~0,
enta˜o ~u = ~0. Vamos provar agora ••. Como
α~u = β~u⇒ α~u− β~u = ~0 Def 2.13⇒ α~u+ ((−β~u)) = ~0,
Portanto,
α~u+ (−β~u) = ~0 M2⇒ (α− β)~u Prop 2.2 •=⇒ (α− β = 0) ou ~u = ~0.
Mas, por hipo´tese ~u 6= ~0, portanto α = β.
Como ~u 6= ~0 temos α = β.
Exerc´ıcio 2.5. Considere a figura abixo (o so´lido ABCD e´ um tetraedro), e os vetores ~m, ~n e
~p cujos representantes sa˜o os segmentos orientados (A,B), (A,C) e (A,D) respectivamente.
AC
B
D
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
@
@
@
@
@
@
ff
�
�
�
�
�
�
�
��+
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AK
(i) • Encontre os vetores ~u, ~v e ~w cujos representantes sa˜o os segmentos orientados
(C,B), (C,D) e (B,D) respectivamente, como func¸a˜o de ~m, ~n e ~p.
(ii) • Seja M ponto me´dio do segmento de reta CB, exprima o vetor ~a com um repre-
sentante dado pelo segmento orientado (A,M) em func¸a˜o de ~m e ~n.
2.1.2 Soma de Ponto com Vetor
Neste momento no´s temos dois conjuntos muito bem definidos que sa˜o o espac¸o no qual
”vivemos”que denotaremos por IE ou o conjunto dos pontos do espac¸o e o conjunto de
Vetores Geome´tricos (ver Def. 2.1) que estamos indicando por IE3. Poder´ıamos dizer que
o conjunto IE e´ o conjunto de dos pontos do espac¸o. Em verdade podemos definir uma
correspondeˆncia entre estes dois conjuntos que e´ uma func¸a˜o . Veja definic¸a˜o a seguir.
2.1. VETORES 27
Definic¸a˜o 2.14. Dado um ponto P em IE e um vetor ~v em IE3, seja Q o u´nico ponto em
IE tal que o segmentos orientados (P,Q) seja um representante para o vetor ~v. Este ponto
Q ∈ IE e´ denominado a Soma do Ponto P com o Vetor ~v, e denotamos por Q = P + ~v.
PQ ~vff
Dados P ∈ IE e ~v ∈ IE3, Q = P + ~v ou Q = P + ~PQ
• Usaremos a notac¸a˜o P − ~v para indicar a soma do ponto P com o vetor −~v, e assim
teremos P − ~v = P + (−~v).
PROPRIEDADES DA SOMA DE PONTO COM VETOR
Dados P,∈ IE, ~v, ~u ∈ IE3, temos
PS1 P +~0 = P ,
Esta e´ uma decorreˆncia do imediata da definic¸a˜o 2.14, pois ~PP = ~0 (ver Def. 2.9) enta˜o
P +~0 = P .
PS2 Se P + ~v = P + ~u enta˜o ~v = ~u.
Note que se Q = P + ~v = P + ~u, ent ao da defnic¸a˜o2.14 ~PQ = ~v e ~PQ = ~u, portanto
~u = ~v.Esta propriedade permitem um tipo de Cancelamento do ponto P na igualdade
P + ~u = P + ~v.
PS3 (P + ~v) + ~u = P + (~v + ~u).
Sejam Q = P + ~u, R = Q + ~v,(ver figura abaixo) enta˜o R = (P + ~u) + ~v. Ainda,
segue da definic¸a˜o 2.14 que ~PQ = ~u, ~QR = ~v. Realizando a soma de ~PQ com ~QR teremos
~PQ + ~QR = ~v + ~u, mas ~PQ + ~QR = ~PR. Novamente pela definic¸a˜o 2.14 R = P + (~u + ~v)
agora pela propriedade PS3 tem-se (P + ~u) + ~v = P + (~u+ ~v).
P -
~u
�
�
�
�
�
��
Q
~v
~w = ~v + ~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs R
PS4 Se P + ~v = Q+ ~v, enta˜o P = Q.
Como
P + ~v = Q+ ~v ⇒ (P + ~v)− ~v = (Q+ ~v)− ~v PS3⇒
P + (~v − ~v) = Q+ (~v − ~v) ⇒ P +~0 = Q+~0 PS1⇒ P = Q
PS5 (P − ~v) + ~v = P
Esta propriedade decorre de PS3 e PS1. Pois
(P − ~v) + ~v = PS3= P + (~v + (−~v) =PS1= P +~0 = P.
28 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
• Neste caso se o vetor ~u tem como representante o segmento orientado (A,B), e´
comum representar o vetor ~AB por
−→
B − A.
∗ A soma de ponto com vetor e´ uma relac¸a˜o muito importante entre os conjuntos IE e IE3,
porque ela relaciona o conjunto de pontos do espac¸o com o conjunto de Vetores Geome´tricos.
Esta relac¸a˜o sera´ utilizada para descrever subconjuntos de pontos do espac¸o, por exemplo
Retas, Planos, Semi-retas, Semi-planos, e posic¸o˜es entre eles.
Exerc´ıcio 2.6. Na figura ao abaixo os pontos M , N e O sa˜o pontos me´dios de PQ, QR e
RP respectivamente. Exprima ~RM , ~QO e ~PN como func¸a˜o ~PR e ~PQ.
P
M
�
�
�
�
�
�
N•
O•
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ R
Resoluc¸a˜o
• E´ fa´cil ver que ~RM = ~RP + ~PM , isto porque M e´ ponto me´dio de PQ, e pudemos
nos valer da definic¸a˜o 2.12. Mas com a definic¸a˜o 2.13 podemos ver que e novamente que M
e´ ponto me´dio de PQ, vemos que ~PM = 1
2
~PQ. Enta˜o,
~RM = ~RP + 1
2
~PQ. (2.1.2)
Encontramos a func¸a˜o de ~PR e ~PQ que procura´vamos.
• Vamos escrever ~PN em func¸a˜o de ~PR e ~PQ.
Use a defic¸a˜o 2.12 e note que
~PN
Def.2.12
= ~PR + ~RN,N ponto me´dio de QR nos da´ 2 ~RN = ~QR
Def.2.12
= ~RP + ~PQ,
Enta˜o,
~PN
Def.2.12,2.13
=
1
2
(
~PQ+ ~RP
)
+ ~PR
MS1
=
1
2
~PQ− 1
2
~PR + ~PR.
Portanto,
~PN = 1
2
~PQ+ 1
2
~PR. (2.1.3)
• Fica como exerc´ıcio provar que ~QO e´ func¸a˜o ~PR e ~PQ.
A conclusa˜o do exer´ıcio 2.6 e´ va´lida mesmo quando os pontos M , N e O escolhidos na˜o
forem pontos me´dios, ver o exerc´ıcio abaixo :
Exerc´ıcio 2.7. Na figura abaixo a medida de PX e´ a metade da medida de XR. Exprima
~QX em func¸a˜o de ~QP e ~QR.
P�
�
�
�
�
�
Q
X
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ R
2.1. VETORES 29
Resoluc¸a˜o O enunciado do exerc´ıcio nos diz que ~PX = 1
2
~XR, enta˜o
~QX − ~QP = ~PX = 1
2
~XR =
1
2
(
~QR− ~QX
)
MS1
=
1
2
~QR− 1
2
~QX
Observe a primeira e u´ltima igualdade, elas no da˜o,
~QX − ~QP = 1
2
~QR− 1
2
~QX
Def. 2.11⇒ 3
2
~QX =
1
2
~QR + ~QP
Def. 2.13⇒
~QX = 1
3
~QR + 3
2
~QP. (2.1.4)
Exerc´ıcio 2.8. Seja ABC um triaˆngulo, e M e N pontos me´dios de AC e BC respectiva-
mente. Mostre que ~MN = 1
2
~AB.
Exerc´ıcio 2.9. Prove que se os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero convexo forem
ve´tices de um segundo quadrila´tero, este sera´ um paralelogramo.
2.1.3 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Observe que em (2.1.2), (2.1.3) e (3.1.4) temos os vetores ~RM , ~PN e ~CX, respectivamente,
foram expressos como func¸a˜o de outros vetores, em verdade, a func¸a˜o que aparece no lado
direito de cada uma das expresso˜es de (2.1.2), (2.1.3) e (3.1.4) e´ uma Func¸a˜o Linear dos
vetores envolvidos. Este tipo de expressa˜o e´ denominado COMBINAC¸A˜O LINEAR ou seja,
∗ em (2.1.2) o vetor ~RM aparece escrito como COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores
~RP e ~PQ;
∗ em (2.1.3) o vetor ~PN aparece escrito como COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores
~PQ e ~PR;
ver em (3.1.4) qual a COMBINAC¸A˜O LINEAR que aparece.
Definic¸a˜o 2.15. Dadas (α1, α2, · · ·, αn) sequeˆncia de nu´meros reais (n-upla ordenada), e
(~u1, ~u2, · · ·, ~un) sequeˆncia de vetores (n-upla de ordenada de vetores), dizemos que um vetor
~u inIE3 e´ COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores ~u1, ~u2, · · ·, ~un, se
~u = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un. (2.1.5)
Exemplo 2.8. Tome na expressa˜o ~CX = 1
3
~QR + 3
2
~QP .
30 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
Observe que α1 =
1
3
, ~u1 = ~QR, α2 =
3
2
e ~u2 = ~QP e se ~u = ~CX, temos a sequeˆncia
de nu´meros reais (α1, α2) = (
1
3
, 3
2
) e a sequeˆncia de vetores (~u1, ~u2) = ( ~QR, ~QP ) e ~u escrito
como COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores (~u1, ~u2) = ( ~QR, ~QP ).
Exemplo 2.9. Seja ~PN = 1
2
~PQ+ 1
2
~PR como em (2.1.3).
Note que se α1 = α2 =
1
2
e ~u1 = ~PQ, ~u2 = ~PR, enta˜o se ~u = ~PN teremos ~u escrito como
COMBINAC¸A˜O LINEAR de ~u1 e ~u1.
∗ Diremos que a COMBINAC¸A˜O LINEAR
~u = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un. (2.1.6)
e´ a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA se ~u = ~0 for o vetor nulo.
• Dada uma sequeˆncia de vetores (~u1, ~u2, · · ·, ~un), ha´ uma maneira muito fa´cil, digamos
trivial, de se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA destes vetores, que e´ escolher todos
os elementos da sequeˆncia de nu´meros (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0), e assim teremos a
COMBINAC¸A˜O LINEAR
0~u1 + 0~u2 + · · ·+ 0~un = ~0.
Exemplo 2.10. Considere os vetores ~u, ~v e ~w com segmentos orientados (P,Q), (Q,R) e
(R,P ) respectivamente, como na figura abaixo:
Pff
~u
�
�
�
�
�
��
Q
~v
~w
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs R
Segue diretamente da definic¸a˜o 2.12 que ~0 = ~u+~v+ ~w ou seja, o vetor ~0 e´ combinac¸a˜o nula
de ~u, ~v e ~w.
Observac¸a˜o 2.1. Se dois vetores ~u e ~v forem paralelos existira´ um nu´mero real α tal que
~u = α~v.
Prova Como ~u e ~v sa˜o paralelos e simultaneamente na˜o nulos, ~u e ~v teˆm mesma direc¸a˜o.
Ainda na˜o e´ dif´ıcil ver que existe α ∈ R tal que ‖~u‖ = |α|‖~v‖. Como{ |α| = α, se α > 0,
|α| = −α, se α < 0,
enta˜o ~u = α~v e α =
‖~u‖
‖~v‖ ,. Se um dos vetores ~u e ~v for o vetor nulo, por exemplo ~u =
~0, enta˜o
tomamos α = 0 e poderemos escrever ~u = α~v. Note que o vetor nulo e´ paralelo a` qualquer
outro vetor.
Nas condic¸o˜es da observac¸a˜o 2.1 podemos concluir que ~u e ~v tera˜o mesma direc¸a˜o se
α > 0 e sentido contra´rio se α < 0.
2.1. VETORES 31
Tambe´m nas condic¸o˜es da observac¸a˜o 2.1 pode-se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR
NULA dos vetores , ~u e ~v ( ~u − α~v = ~0). Note que a sequeˆncia de nu´meros (1,−α) e´ na˜o
nula. Vejamos qual e´ a relac¸a˜o de depeneˆncia entre α e e ~u e ~v, indnependente do valor de
α.
Ca´lculo do valor de α. O comprimento de α~v e ~u sa˜o iguais, enta˜o
‖~u‖ = ‖α~v‖ Def. 2.13=⇒ ‖~u‖ = |α|‖~v‖;
• se os dois vetores forem na˜o nulos, enta˜o ‖~v‖ 6= 0 e assim,
α =
‖~u‖
‖~v‖ ,
ou seja α e´ unicamente determinado.
∗ Dada uma sequeˆncia de vetores (~u1, ~u2, · · ·, ~un), tal que um deles e´ o vetor nulo, enta˜o
existira´ pelo menos uma sequeˆncia de nu´meros reais (α1, α2, · · ·, αn) 6= (0, 0, · · ·, 0) que torna
poss´ıvel a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA de (~u1, ~u2, · · ·, ~un). Vejamos e´ poss´ıvel encontrar
uma sequeˆncia de nu´meros reais (α1, α2, · · ·, αn) ’na˜o nula.
Suponha que ~u1 6= ~0. Enta˜o existe a sequeˆncia de nu´meros reais (α1, α2, · · ·, αn) com α1 6= 0
por exemplo α1 = 2, e todos os outros αs nulos, enta˜o a sequeˆncia de nu´meros reais toma a
forma (2, α2 = 0, · · ·, αn = 0), e como ~u2 = ~0, ~u3 = ~0, · · ·, ~un = ~0 a COMBINAC¸A˜O LINEAR
dos vetores dados sera´ dada por
2 ·~0 + α2 · ~u2 + · · ·+ αn · ~un = 2 ·~0 + 0 · ~u2 + · · ·+ 0 · ~un Def. 2.13= ~0.
Definic¸a˜o 2.16. Uma sequeˆncia de vetores (~u1, ~u2, · · ·, ~un) sera´ Linearmente Indepen-
dente e indicaremos LI, se a u´nica possibilidade de se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR
NULA dos vetores (~u1, ~u2, · · ·, ~un) for escolher (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0).
• Uma sequeˆncia com apenas vetor (~u),e´ Linearmente Independente se e somente
se ~u 6= ~0.
Prova Devemos mostrar que a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA da sequeˆncia (~u) isto
e´,
α~u = ~0
somente e´ possivel se α = 0. Mas, pela Proposic¸a˜o 2.2•, α~u = ~0 implica que α = 0 ou ~u = ~0,
como a ~u e´ na˜o nulo, α = 0 ou seja a u´nica sequeˆncia poss´ıvel de nu´meros reais que produz
a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA α~u = ~0, e´ (α) = (0). Isto prova as duas afirmac¸o˜es .
Definic¸a˜o 2.17. Note que uma sequaeˆncia de vetores (~u1, ~u2, · · ·, ~un) LINEARMENTE
DEPENDENTE, indicaremos por LD se ela na˜o for LI.
32 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
• Dada uma sequeˆncia de vetores (~u1, ~u2, · · ·, ~un), se houver pelos menos uma maneira de
se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA destes vetores utilisando-se uma n-upla ordenada
na˜o nula isto e´ (α1, α2, ···, αn) 6= (0, 0, ···, 0), diremos que a sequeˆncia de vetores (~u1, ~u2, ···, ~un)
e´ LD.
∗ Uma sequeˆncia com dois vetores (~u,~v) e´ LD se e somente se ~u e ~v forem paralelos.
Prova Se ~u e ~v forem paralelos, os comenta´rios logo apo´s a Obsevac¸a˜o 2.1 nos assegura
que existe α ∈ R tal que ~u = α~v, ou seja ~u−α~v = ~0 e isto implica que a sequeˆncia (1, α) poder
ser utilizada para se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA de ~u e ~v. Como (1, α) 6= (0, 0),
a definic¸a˜o nos diz que a sequeˆncia (~u,~v) e´ LD. Se ~u e ~v forem LD enta˜o existe α ∈ R tal
que ~u−α~v = ~0, enta˜o ~u = α~v = ~0. A definic¸a˜o 2.13 assegura que ~u e ~v teˆm mesma direc¸a˜o˙
Proposic¸a˜o 2.3. Uma sequeˆncia de vetores ~v1, ~v2, . . . , ~vn ∈ IE3 e´ LD se e somente se
algum destes vetores e´ combinac¸a˜o linear (CL) dos demais.
Prova Suponha que {~v1, ~v2, . . . , ~vn} e´ LD, enta˜o pela definic¸a˜o 2.16 existe uma n-upla
de nu´meros reais (α1, α2, . . . , αn) 6= (0, 0, . . . , 0), isto e´, pelo menos um dos αi 6= 0 para
i = 1, 2, . . . , n, tal que
α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn = ~0,
como αi 6= 0 para algum i = 1, 2, . . . , n, suponhamos que α1 6= 0. Enta˜o
α1~v1 = −α2~v2 − · · · − αn~vn,
e dividindo ambos os membros por α1 teremos
~v1 = −α2
α1
~v2 − α3
α1
~v3 − · · · − α2
α1
~vn
ou seja o vetor ~v1 e´ combinac¸a˜o dos demais.
• Suponaha agora que um dos vetores ~v1, ~v2, . . . , ~vn e´ combinac¸a˜o dos demais, podemos
supor que seja ~v1 este vetor, ou seja, pela definic¸a˜o 2.1.5 existem β1, β2, . . . , βn−1 tais que
~v1 = β1~v2 + β2~v3 + · · ·+ βn−1~vn,
subtraindo ~v1 em ambos os membros da igauldade acima teremos
(−1)~v1 + β1~v2 + β2~v3 + · · ·+ βn−1~vn = ~0. (2.1.7)
Note em (3.1.5) temos aCombinac¸a˜o Linear Nula dos vetores ~v1, ~v2, . . . , ~vn com a sequeˆncia
−1, β1, β2, . . . , βn−1 de n nu´meros reais, e esta sequeˆncia e´ na˜o nula, ou seja (−1, β1, β2, . . . , βn−1) 6=
(0, 0, . . . , 0). Pela definic¸a˜o 2.16 os vetores ~v1, ~v2, . . . , ~vn sa˜o Linearmete Dependentes
(LD).
Uma interpretac¸a˜o da Proposic¸a˜o 2.3
∗ Dados treˆs vetores ~u, ~v e ~w em IE3 com segmentos orientados (A,B), (A,C) e (A,D)
respectivamente, os treˆs vetores sera˜o coplanares se existir um plano pi que e´ paralelo aos treˆs
vetores simultaneamente, isto e´ os pontos A, B, C e D estiverem no mesmo plano, digamos
pi. Diremos que os treˆs vetores ~u, ~v e ~w sa˜o COPLANARES.
2.1. VETORES 33
Dados treˆs vetores ~u, ~v e ~w em IE3 tais que dois deles sa˜o LI ou seja ha´ dois deles que
na˜o sa˜o paralelos, digamos ~u e ~v, se o terceiro vetor for coplanar com ~u e ~v, enta˜o ~w e´
COMBINAC¸A˜O LINEAR de ~u e ~v. Veja figuras α e β abaixo:
-
B
figura δ
M
A
D
C
�
�
�
�
�
��
N
�
�
��
-
~w �
�
���
��
��
���1
• Pelo ponto D passamos uma reta paralela a` reta AC e determinamos o ponto M e por
conseguinte o segmento oriendatado (A,M), note que os segmentos oriendatados (A,B e
(A,M) sa˜o paralelos e portanto os vetores representado por (A,B e (A,M) sera˜o LD.
• Pelo ponto D passamos uma reta paralela a` reta AB e determinamos o ponto N e por
conseguinte o segmento oriendatado (A,N), note que os segmentos oriendatados (A,C) e
(A,N) sa˜o paralelos e portanto os vetores representado por (A,C) e (A,N) sera˜o LD. Com
base nestes comente´rios e observando a figura δ poderemos entender facilmente a figura λ.
-
~u~a
figura λ
�
�
�
�
�
��
~b
~v
Como ~b ‖ ~v, (~b e ~u LD), ∃β ∈ R, β 6= 0 tal que ~a = β~u
Como ~a ‖ ~u, (~b e ~u LD),
∃α ∈ R, α 6= 0 tal que
~a = α~u
�
�
��
~w = ~a+~b = α~u+ β~v
-
~w �
�
���
��
��
���1
• Segue da Proposic¸a˜o 2.3 que Treˆs coplanares sera˜o LD
Exerc´ıcio 2.10. Mostre que treˆs ou mais vetores coplanares sera˜o LD.
Exerc´ıcio 2.11. Mostre que treˆs vetores ~u, ~v e ~w em IE3 sera˜o LI se e somente se na˜o
forem coplanares LD.
• Quatro vetores ~u, ~v, ~y e ~x em IE3 sera˜o LD.
Seja quatro vetores ~u, ~v, ~w e ~x em IE3 dados pelos segmentos orientados (A,B), (A,C),
(A,D) e (A,F ) respectivamente .
-�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
B
figura γ
M
A
E
F
�
�
�
�
�
�
C
D
N
Q
��
��
��
���
��
��
��
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
~w �
�
�
34 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
• Passando pelo ponto F uma reta paralela a` reta AD e obtemos o ponto E, (os pontos
A, B, C e E sa˜o coplanares). Por E passemos uma reta paralela a` AC e obtemos o ponto
M e finalmente por E passemos uma reta paralela a` reta AB e obtemos o ponto N . Das
figuras δ e λ acima vemos facilmente que o vetor ~w da figura γ dado pelo segmento orientado
(A,E) e´ soma de α~u com β~v, isto e´ ~w = α~u + β~v. Ainda na firuga γ passamos por F
uma reta paralela a` reta AD e determinamos o ponto Q, vemos que o segmento orientado
(A,Q) e´ equipolente ao segmento orientado (A,D). Portanto existe σ ∈ R tal que o vetor
dado pelo segmento orientado (A,Q) digamos ~c satisfaz ~c = σ ~w. Observando na figura γ o
paralelogramo AFDFQ, vemos que o segmento orientado (A,F ) que representa o vetor ~x,
pode ser tambe´m ser um representante do vetor α~u+ β~v + σ ~w. Portanto
~x = α~u+ β~v + σ ~w.
• Se um vetor ~v e´ Combinac¸a˜o Linear dos vetores ~u1, ~u2, · · · , ~un, diremos que ~v e´ gerado
pelos vetores ~u1, ~u2, · · · , ~un.
Note que, no caso acima o vetor ~x e´ gerado por ~u,~v, ~w. Ainda mais, pela construc¸a˜o podemos
ver que qualquer sequeˆncia com treˆs vetores LI em IE3, e´ capaz de gerar todos vetores de
IE3.
EXERCI´CIOS
1. De cada uma das matriz se abaixo Calcule a matriz cofatora, adjunta cla´ssica e com
a Definic¸a˜o 1.7 calcule o determinante. Em seguida calcule a matriz inversa caso ela
exista.
A =
1 3 11 0 1
2 1 4
 , B =
 −1 0 −21 −1 2
0 1 −1
 , C =

−1 −1 0 −2
−2 1 −1 2
0 1 −1 1
2 −2 −1 0
 ,
Para cada uma das matrizes acima calcule a sua inversa usando escalonamento de
matriz.
2. Suponha que os vetores de S = {~u,~v} na˜o sa˜o paralelos. Se ~x = ~u+ 2~v ~y = −~u− 2~v,
a: Verifique se S = {~x, ~y} sa˜o paralelos.
b : Verifique se o vetor ~z = 3~x− 2~y e´ gerado pelos vetores de S.
3. Suponha que S = {~u,~v} e´ Linearmente Independente (L.I.). Se ~x = ~u+3~v ~y = 5~u−3~v,
a: Verifique se S = {~x, ~y} e´ Linearmente Independente.
2.1. VETORES 35
b : Verifique se o vetor ~z = 3~v − 2~u e´ gerado pelos vetores de S.
4. Suponha que S = {~u,~v, ~w} e´ L.I..
a : Verifique se S0 = {~u − 3~v + ~w; −~u + 3~v − 2~w; 3~u − 3~v + 2~w} e´ Linearmente
Independente.
b: Verifique se o vetor ~u+ 3~v − 4~w e´ gerado pelos vetores de S0.
c: Deˆ condic¸a˜o sobre α ∈ R para que o vetor ~u+α~v− 4~w seja gerado pelos vetores de
S0.
2.1.4 Bases e Dimensa˜o
Definic¸a˜o 2.18. Qualquer sequeˆncia com treˆs vetores (~e1, ~e2, ~e3) que seja LI em IE
3 e´ de-
nominada base de IE3.
~e1
~e2
~e3
ff
�
�
�
�
��+
A
A
A
A
A
AK
Considere a terna ordenada de vetores B = (~e1, ~e2, ~e3) ∈ IE3, LI (portanto uma base de
IE3) enta˜o pelo queja´ vimos qualquer outro vetor ~u ∈ IE3 e´ gerado por (~e1, ~e2, ~e3), em outras
palavras existe uma terna ordenada de nu´meros reais (a1, a2, a3) tais que
~u = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3
a terna de nu´meros reais (a1, a2, a3) e´ denominada Coordenadas de ~u na Base B ou as
coordenada de ~u em relac¸a˜o a` base B. Indicamos (a1, a2, a3)B e observamos que as coorde-
nadas de um vetor dependem da ordem que se apresenta a terna de vetores na base B , por
isto uzamos o termo terna ordenada de nu´meros reais
• Adic¸a˜o de vetores Se ~u = a~e1 + b~e2 + c~e3 e ~v = α~e1 + β~e2 + γ~e3, enta˜o
~u+ ~v = (a+ α)~e1 + (b+ β)~e2 + (c+ γ)~e3
.
• Multiplicac¸a˜o por Escalar se λ ∈ R e ~u = a~e1 + b~e2 + c~e3, enta˜o
λ~u = λa~e1 + λb~e2 + λc~e3
∗ As coordenadas do vetor nulo sa˜o (0, 0, 0) independentemente da base.
Proposic¸a˜o 2.4. Dois vetores ~u = a~e1+b~e2+c~e3 e ~v = α~e1+β~e2+γ~e3 sa˜o LD se e somente
se as (a, b, c) forem proporcionais a` (α, β, γ).
36 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
Prova : (→) Se ~u ou ~v for o vetor nulo enta˜o, suponhamos que ~u = ~0 enta˜o ~u =
(0, 0, 0)B e por hipo´tese existe λ ∈ R tal que λ~v = ~u. Ao tomarmos λ = 0 veremos que
λ~v = 0(α~e1+β~e2+γ~e3) = (0, 0, 0) = ~0 = ~u. Note que λ(α, β, γ) = (0, 0, 0) sa˜o as coordenadas
de ~u na base B. Se vetores ~u ou ~v forem na˜o nulos, como por hipo´tese existe λ ∈ R tal que
λ~v = ~u, teremos
(λa, λb, λc) = (α, β, γ).
Consequentemente as coordenadas de ~u ou ~v sa˜o proporcionais. A re´ıproca e´ trivial.
Proposic¸a˜o 2.5. Suponha que {~e1, ~e2, ~e3} e´ um conjunto LI. Considere o conjunto S =
{~u,~v, ~w} cujos treˆs vetores sa˜o dados por ~u = a~e1 + b~e2 + c~e3, ~v = α~e1 + β~e2 + γ~e3 e
~w = m~e1 + n~e2 + p~e3. S e´ LI se e somente se det(A) 6= 0, onde
A =
a α mb β n
c γ p
 .
Prova: Seja x, y, z nu´meros reais. Consideremos a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA
vetores de S dada por x~u+ y~v + z ~w = ~0. Da definic¸a˜o de ~u,~v e ~w tem-se
x(a~e1 + b~e2 + c~e3) + y(α~e1 + β~e2 + γ~e3) + z(m~e1 + n~e2 + p~e3) = ~0.
O que nos da´
[ax+ αy +mz]~e1 + [bx+ βy + nz]~e2 + [cx+ γy + pz]~e3 = ~0.
Mas aqui temos uma COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA dos vetores do conjunto {~e1, ~e2, ~e3}
que e´ LI por hipo´tese. Enta˜o, os coeficientes desta COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA ter ao
que ser nulos, isto e´ 
ax+ αy +mz = 0
bx+ βy + nz = 0
cx+ γy + pz = 0.
ou seja  a α zx β n
c γ z
 xy
z
 =
 00
0
 .
Este sistema homogeˆneo tera´ uma u´nica soluc¸a˜o se e somente det(A) 6= 0. Podemos ver
facilmente que a soluc¸a˜o para este sietema e´ {(0, 0, 0)}. Potanto, S e´ LI se e somente se
det(A) 6= 0.
2.2. PRODUTO ESCALAR 37
2.2 Produto Escalar
Dados dois vetores ~u e ~v, seja θ a medida do aˆngulo entre ~u e ~v ( ver figura)
P
~u
�
�
�
�
�
�	
^
Q
θ ~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs
figura A
R
Observac¸a˜o 2.2. Dados dois vetores ~u e ~v, seja θ medida do aˆngulo entre ~u e ~v, pode-se ver
facilmente que o aˆngulo entre dois vetores iguais e´ zero, o aˆngulo entre o vetor ~u e seu vetor
oposto −~u e´ pi. Ainda, os dois vetores ~u e ~v sa˜o perpendiculares se e somente se θ = pi
2
.
Considere o triaˆngulo PQR abaixo. Suponha que θ e´ a medida do aˆngulo entre os vetores
~u e ~v
Pff
‖~u‖
�
�
�
�
�
�	
^
Q
θ ‖~v‖
‖~w‖
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs R
Pela lei dos cossenos temos
‖~w‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 − 2‖~u‖‖~v‖ cos(θ) (2.2.8)
Definic¸a˜o 2.19. Dados dois vetores ~u, ~v, chama-se Produto Escalar de ~v por ~v ao nu´mero
real
〈~u,~v〉 = ‖~u‖‖~v‖ cos(θ) (2.2.9)
• Dados ~u, ~v, ~w vetores e λ nu´mero real, enta˜o
(i) 〈~u+ ~v, ~w〉 = 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉,
(ii) 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉,
(iii) 〈λ~u,~v〉 = λ〈~u,~v〉,
(iv) 〈~u, λ~v〉 = λ〈~u,~v〉.
• Observe que o termo do lado direito de (4.1.3) aparece na Lei dos Cossenos (ver (2.2.8)).
• Segue da Observac¸a˜o 2.2 que 〈~u, ~u〉 = ‖~u‖2 porque o aˆngulo entre ~u e ~u e´ zero. Ainda,
que 〈~u,−~u〉 = −‖~u‖2 porque o aˆngulo entre ~u e −~u e´ pi.
• Segue da Observac¸a˜o 2.2 que 〈~u,~v〉 = 0 se e somente se os dois vetores ~u e ~v forem
perpendiculares
38 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
2.2.1 Projec¸a˜o Ortogonal de Vetores
Consideremos a base ortonormal dois vetors ~u e ~v como na Figura ∆.
-
~v
figura ∆
~a
A
~w
6
-
~u
�
�
�
�
�
�
�
��3
A projec¸a˜o ortogonal de ~u na direc¸a˜o de ~v e´ o vetor ~a (ver figura ∆) que satisfaz as treˆs
condic¸o˜es abaixo:

(i) Existe λ ∈ R, tal que ~a = λ~v.
(ii) Existe um vetor ~w, tal que 〈~w,~v〉 = 0.
(iii) ~u = ~a+ ~w.
(2.2.10)
Queremos determinar λ. Veja que
 〈~u,~v〉 = 〈~a+ ~w,~v〉 = 〈~a,~v〉+ 〈~w,~v〉 = 〈λ~v,~v〉 = λ〈~v,~v〉, pois 〈~w,~v〉 = 0.vemos dai que λ = 〈~u,~v〉‖~v‖2
Assim,
Proj~u
~v
= ~a =
〈~u,~v〉
‖~v‖2 ~v. (2.2.11)
2.2.2 Bases Ortogonais
Definic¸a˜o 2.20. Dada uma BASE B = {~e1, ~e2, ~e3} do espac¸o, dizemos que ela e´ uma Base
Ortogonal se os vetores de B forem dois a dois perpendiculares isto e´
〈~e1, ~e2〉 = 0, 〈~e1, ~e3〉 = 0 e 〈~e2, ~e3〉 = 0 (2.2.12)
2.2. PRODUTO ESCALAR 39
~e1
~e3
~e3
-
6
�
�
��	
2.2.3 Bases Ortonormais
Definic¸a˜o 2.21. Dada uma BASE ORTOGONAL B = {~e1, ~e2, ~e3} do espac¸o, dizemos que
ela e´ uma Base Ortonormal se os vetores de B tiverem NORMA UM (comprimento), isto
e´
〈~e1, ~e1〉 = ‖~e1‖2 = 1, 〈~e2, ~e2〉 = ‖~e2‖2 = 1 e 〈~e3, ~e3〉 = ‖~e3‖2 = 1 (2.2.13)
Consideremos uma base ortonormal B = {~ı,~, ~k} e o vetor ~u = x~ı+y~+z~k. Enta˜o pode-se
na figura abaixo a interpretac¸a˜o geome´trica da relac¸a˜o do vetor ~u com a base B.
~e1
x~e1
~e3
~u = x~e1 + y~e2 + z~e3
z~e3
~e2
y~e2- -
6
6
��	
�
�	
ffi
• Deste instante em diante INDICAREMOS BASE ORTONORMAL por
B = {~ı,~, ~k}
40 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
Seja B = {~ı,~, ~k} base ortonormal, enta˜o ~u = x~ı + y~ + z~k.
~ı
x~ı
~e3
~u = x~ı + y~ + z~k
z~k
~
y~- -
6
6
��	
�
�	
ffi
Lema 2.1. Se ~u = x~ı + y~ + z~k e ~v = a~ı + b~ + c~k, enta˜o
〈~u,~v〉 = 〈x~ı + y~ + z~k, a~ı + b~ + c~k〉 = ax+ by + cz (2.2.14)
Prova Segue da definic¸a˜o 2.20 〈~ı,~〉 = 〈~, ~k〉 = 〈~ı, ~k〉 = 0, ainda da definic¸a˜o 4.5 que
〈~ı,~ı〉 = 〈~,~〉 = 〈~k,~k〉 = 1. Enta˜o de (4.1.4) segue que
〈~u,~v〉 = 〈x~ı + y~ + z~k, a~ı + b~ + c~k〉 = x〈~ı, a~ı + b~ + c~k〉+ y〈~, a~ı + b~ + c~k〉+ z〈~k, a~ı + b~ + c~k〉
= xa〈~ı,~ı〉+ xb〈~ı,~〉+ xc〈~ı, ~k〉+ ya〈~,~ı〉+ yb〈~,~〉+ yc〈~, ~k〉+ za〈~k,~ı〉+ zb〈~k,~〉+ zc〈~k,~k〉
= ax+ by + cz
Agora, de (4.1.6) segue, facilmente que
Proj~u
~v
= ~a =
〈~u,~v〉
‖~v‖2 ~v =
ax+ by + cz
a2 + b2 + c2
· ~v, e que
V erso(~u) =
1
x2 + y2 + z2
[x~ı + y~ + z~k]
(2.2.15)
Exemplo 2.11. Sejam ~u = 2~ı − 3~ + ~k e ~v = −2~ı +~ − 4~k. Calcule ‖~u‖, Versor(~u), ‖~v‖,
〈~u,~v〉 e Proj~u
~v
.
Resoluc¸a˜o : Veja que ‖~u‖2 = 〈~u, ~u〉 = 〈2~ı− 3~ +~k, 2~ı− 3~ +~k〉. Enta˜o segue de (2.2.14)
que
‖~u‖ =
√
22 + (−3)2 + 12 =
√
14,
2.2. PRODUTO ESCALAR 41
e de (2.2.15) segue que
V ersor(~u) =
1√
14
[2~ı− 3~ + ~k] = 2√
14
~ı− 3√
14
~ +
1√
14
~k.
Analogamente, ‖~v‖2 = 〈~v,~v〉 = 〈−2~ı +~− 4~k,−2~ı +~− 4~k〉. Enta˜o segue de (2.2.14) que
‖~u‖ =
√
(−2)2 + 12 + (−4)2 =
√
21.
Para finalizar, segue tambe´m de (2.2.14) que
〈~u,~v〉 = 〈〈2~ı− 3~ + ~k,−2~ı +~− 4~k〉 = 2(−2) + (−3)1 + 1(−4) = −11.
Portanto, de (2.2.15) segue que
Proj~u
~v
=
−11
21
[2~ı +~− 4~k].
EXERCI´CIOS
1. Dados os pontos A = (−1, 2, 0), B = (−1,−1, 1) e C = (1, 2,−2).
(i) Verifique se estes pontos sa˜o colineares.
(ii) Calcule a medida do aˆngulo entre os vetores ~u = ~AB e ~v = ~CB.
(iii) Se ~w = ~CA, detremine a e b nu´meros reais tais que ~w = a~u+ b~v.
2. Considere os vetores ~f1 =~ı− 2~− ~k; ~f2 = −~ı + 5~ + ~k; ~f3 = −3~ı + 2~ + 3~k.
(i) Verifique se os vetores ~u = −2~ı− 3~ + ~k e ~v = 2~ı + ~k podem ser gerados por ~f1, ~f2
e ~f3.(ii) Verifique se os vetores ~f1, ~f2 e ~f3 geram qualquer vetor de IE
3.
3. Suponha que S = {~u,~v, ~w} seja LI.
(i) Verifique se S1 = {~u, ~u+ ~v, ~u+ ~v + ~w} e´ LI.
(ii) Verifique se S2 = {~u− ~v, ~u+ ~v + ~w, ~w} e´ LI.
(iii) Verifique se S3 = {~u− ~v, ~u− ~w,−~u+ ~w} e´ LI.
4. i - Fixada uma base (~ı,~, ~k) sejam os vetores ~u = 2~ı + 1~ + 3~k , ~v = 0~ı + 1~ − 1~k e
~w = 4~ı + 5~ı + 3~k;
ii - Calcular ~m = ~u + ~v , ~n = ~u − 2~v + 3~w e ~p = ~u − 3~v − ~w, e verfique se ~m,~n, ~p
formam uma base de IE3.
iii - Determine a e b nu´meros reais, para que a~u+ b~v = ~w
42 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
5. Dado S = {~u,~v, ~w} LI,
(i) Verifique se A = {~v − 2~w + ~u, 2~u+ ~v + ~w, ~u− ~v + c~w} e´ LI.
(iii) Verifique se A gera o vetor ~v − ~w + ~u.
(ii) Verifique se A gera o vetor 3~v − ~w + ~u.
(iv) - determine uma relac¸a˜o entre a, b e c para que B = {~v− 2~w+ ~u, 2~u+~v+ ~w, a~u−
b~v + c~w} seja LI.
2.2.4 Produto Vetorial
Definic¸a˜o 2.22. Dados ~u = x~ı + y~ + z~k e ~v = a~ı + b~ + c~k, chama-se Produto Vtorial de
~u por ~v ao vetor
~u ∧ ~v = det
 ~ı ~ ~kx y z
a b c
 = det [ y z
b c
]
~ı− det
[
x z
a c
]
~ + det
[
x y
a b
]
~k (2.2.16)
Exemplo 2.12. Dados ~u = 2~ı− 2~ + ~k e ~v =~ı + 2~− ~k, calcule ~u ∧ ~v.
Resoluc¸a˜o : Segue de (2.2.16) que
~u ∧ ~v = det
 ~ı ~ ~k2 −2 1
1 2 −1
 = det [ −2 1
2 −1
]
~ı− det
[
2 1
1 −1
]
~ + det
[
2 −2
1 2
]
~k
Portanto, ~u ∧ ~v = 0~ı− 3~ + 6~k.
Lema 2.2. Dados ~u = x~ı + y~ + z~k e ~v = a~ı + b~ + c~k, o vetor ~u ∧ ~v e´ perpendicular a` ~u e
~u ∧ ~v tambe´m e´ perpendicular a` ~v.
Prova Devemos provar que 〈~u, ~u ∧ ~v〉 = 0 e 〈~v, ~u ∧ ~v〉 = 0.
〈~u, ~u ∧ ~v〉 = x det
[
y z
b c
]
~ı− y det
[
x z
a c
]
~ + z det
[
x y
a b
]
~k = det
 x y zx y z
a b c
 = 0.
Ainda
〈~v, ~u ∧ ~v〉 = a det
[
y z
b c
]
~ı− b det
[
x z
a c
]
~ + c det
[
x y
a b
]
~k = det
 x y za b c
a b c
 = 0.
• O Lema 2.2 nos diz que, sempre que desejarmos encontrar um vetor perpendicular a
dois outros vetores LI, digamo ~u e ~v, realizamos o produto vetorial ~u∧~v encontramos o vetor
desejado.
2.3. GEOMETRIA ANALI´TICA 43
2.3 Geometria Anal´ıtica
Nosso inteesse agora e´ descrever as Retas e os Planos por meio de equac¸o˜es.
2.3.1 Retas
Definic¸a˜o 2.23. Dados um ponto P0 = (x0, y0, z0) e um vetor na˜o nulo ~u, um ponto P =
(x, y, z) perntence a` reta r que passa por P0 e tem a direc¸a˜o do vetor ~u se e somente se o
conjunto de vetores R = { ~P0P, ~u} for LD.
Vamos utilizar as coordenadas dos vetores envolvidos em uma base ortonormal. Seja
B = {~ı,~, ~k} base de IE3. Enta˜o ~P0P =
→
(P − P0)= (x − x0)~ı + (y − y0)~ + (z − z0)~k e
~u = a~ı + b~ + c~k. Como R = { ~P0P, ~u} tem que ser LD, existe t ∈ R tal que ~P0P = t~u ou
seja (x− x0)~ı + (y − y0)~ + (z − z0)~k = t(a~ı + b~ + c~k). Uma conta simples nos da´
x = x(t) = x0 + at
y = y(t) = y0 + bt
z = z(t) = z0 + ct.
que sa˜o conhecidas como equac¸o˜es parame´tricas da reta r. Assim, para determinar todos os
pontos da reta r, e´ suficiente fazer t percorrer todos os elementos do conjunto dos nu´meros
reias, osto e´ t ∈ R, Com isto definimos uma func¸a˜o F : R→ R3 dada por
F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = (x0 + at, y0 + bt, z0 + ct).
Exemplo 2.13. Seja P0 = (−1, 2, 1) e ~u =~ı + 2~−~k. Deˆ as equac¸o˜es parame´tricas da reta
r qe passa por P0 e tem a direc¸a˜o de ~u.
Resoluc¸a˜o A func¸a˜o F que da´ a reta r e´ dada por
F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = (−1 + t, 2 + 2t, 1− t) t ∈ R.
e suas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o dadas por
x = x(t) = −1 + t
y = y(t) = 2 + 2t
z = z(t) = 1− t t ∈ R.
Exemplo 2.14. Deˆ as equac¸o˜es parame´tricas da reta s que passa por P0 = (−1, 2, 1) e
Q0 = (1, 0,−2).
44 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
Resoluc¸a˜o Neste caso e´ necessa´rio encontrarmos um vetor que da´ a direc¸a˜o da reta s
e que pode ser vetor
→
( P0Q0) =
→
(Q0 − P0)= 2~ı− 2~− 3~k. Agora temos um vetor na direc¸a˜o
da reta s e um ponto pertencente a` reta s. Enta˜o
F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = (−1 + 2t, 2− 2t, 1− 3t) t ∈ R.
e suas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o dadas por
x = x(t) = −1 + 2t
y = y(t) = 2− 2t
z = z(t) = 1− 3t t ∈ R.
Exerc´ıcio 2.12. Condisire os ponto P0 = (−1, 2, 1) e Q0 = (1, 0,−2) e M0 = (1,−3, 2).
(i) Deˆ as equac¸o˜es parame´tricas da reta s que passa por P0, Q0.
(ii) Deˆ as equac¸o˜es parame´tricas da reta s que passa por P0, M0.
(iii) Deˆ as equac¸o˜es parame´tricas da reta s que passa por M0, Q0.
2.3.2 Planos
Definic¸a˜o 2.24. Dado um plano pi, um pono P0 = (x0, y0, z0) ∈ pi e um vetor ~n = a~ı+b~+c~k
perpendicular ao plano, um ponto do espac¸o P = (x, y, z) pertence ao plano pi se e somente
se os vetores
→
P0P e ~n} forem perpendiculares.
Enta˜o
〈
→
P0P ,~n〉 = 〈(x− x0)~ı + (y − y0)~ + (z − z0)~k, a~ı + b~ + c~k〉 = 0
Uma conta relativamente simples nos mostra que todos os pontos P = (x, y, z) do plano pi
teˆm que satisfazer a equac¸a˜o
pi : ax+ by + cz − [ax0 + by0 + cz0] = 0. (2.3.17)
A equac¸a˜o (2.3.17) e´ conhecida como Equac¸a˜o Geral do Plano pi.
Exemplo 2.15. Deˆ a Equac¸a˜o Geral do Plano pi0 que passa por Po = (2,−3, 1) e e´
perpendicular ao vetor ~n = 3~ı− 2~− 4~k.
Resoluc¸a˜o Segue de (2.3.17) que o plano pi0 tem Equac¸a˜o Geral do Plano dada por
pi : 3x− 2y − 4z − [3 · 2 + (−2)(−3) + (−4) · 1] = 0 ou seja pi : 3x− 2y − 4z − 4 = 0.
Exemplo 2.16. Deˆ a Equac¸a˜o Geral do Plano pi1 que passa por A = (2,−3, 1), B =
(1, 0,−1) e C = (0, 3, 1).
2.3. GEOMETRIA ANALI´TICA 45
Resoluc¸a˜o Neste caso e´ necessa´rio termos certeza que os pontos A, B e C na˜o sa˜o
colineares e em seguisda determinarmos um vetor perpendicular ao lano pi1. Veja que com
os pontos A, B e C conseguimos um conjunto com dois vetores digamos S = {
→
AB
→
AC}. Os
pontos A, B e C na˜o sera˜o colineares se S for LI. Depois poderemos no valer da Definic¸a˜o
2.22 para obtermos o vetor ~n que sera´perpendicular ao plano pi1. Pasemos al ca´lculos.
→
AB=
→
(B − A)= −~ı + 3~− 2~k e
→
AC=
→
(C − A)= −2~ı + 6~ + 0~k.
Como as coordenadas de
→
AB e
→
AC na˜o sa˜o proporcionais, o conjunto S = {
→
AB
→
AC} e´ LI
e assim, os pontos A, B e C na˜o sa˜o colineares. Vamos usar (2.2.16) para determinarmoso
vetor
→
n perpendicular ao plano pi1.
~n =
→
AB ∧
→
AC= det
 ~ı ~ ~k−1 3 −2
−2 6 0
 = det [ 3 −2
6 0
]
~ı−det
[ −1 −2
−2 0
]
~+det
[ −1 3
−2 6
]
~k.
Assim, ~n = 12~−4ı~ − 1~k e´ um vetor perpendicular ao plano pi1. Agora, usamos o ponto
B = (1, 0,−1), o vetor ~n, (2.3.17) e obtemos
pi : 12x− 4y − z − [12 · 1 + (−4) · 0 + (−1) · (−1)] = 0,
ou seja
pi : 12x− 4y − z − 13 = 0.
Exerc´ıcio 2.13. Condisire os ponto P0 = (−1, 2, 1) e Q0 = (1, 0,−2) e M0 = (1,−3, 2) e
N0 = (−1, 3,−2).
(i) Deˆ as equac¸a˜o geral do plano pi0 que passa por P0, Q0 e M0 .
(ii) Deˆ as equac¸a˜o geral do plano pi0 que passa por N0, P0 e M0.
(iii) Deˆ as equac¸a˜o geral do plano pi0 que passa por M0, Q0 e N0.
(iv) Deˆ as equac¸o˜es vetorial, parame´tricas e sime´tricas da reta s que passa por M0 e que
e´ perpendicular ao plano pi0 que passa por M0, Q0 e N0.
Exerc´ıcio 2.14. Condisire os ponto P0 = (0, 2,−1) e Q0 = (1, 1,−2) e M0 = (1, 3, 2) e
N0 = (−1,−3, 2).
(i) Deˆ as equac¸o˜es parame´tricas do plano pi0 que passa por P0, Q0 e M0 .
(ii) Deˆ a equac¸a˜o vetorial do plano pi0 que passa por N0, P0 e M0.
(iii) Deˆ as equac¸o˜es vetorial, parame´tricas e geral do plano pi0 que passa por M0, Q0 e
N0.
(iv) Deˆ as equac¸o˜es vetorial, parame´tricas e sime´tricas da reta s que passa por N0 e que
e´ perpendicular ao plano pi0 que passa por M0, Q0 e N0.
46 CAPI´TULO 2. GEOMETRIA
Cap´ıtulo 3
A´LGEBRA LINEAR
3.1 Espac¸o Vetorial
Definic¸a˜o 3.1. Seja V um conjunto qualquer.
• Uma SOMA em definida