Matrizes e Determinantes

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Caderno RQ9 
Matrizes 
Determinantes 
Sistemas Lineares 
 
 
 
Prof. Milton Araujo 
2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br 
1 
 
 
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Sumário 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 4 
2 MATRIZES ........................................................................................................................................ 5 
2.1 ORDEM DA MATRIZ ...................................................................................................................... 5 
2.2 NOTAÇÃO ................................................................................................................................... 5 
3 CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES ....................................................................................................... 7 
3.1 MATRIZ LINHA ............................................................................................................................. 7 
3.2 MATRIZ COLUNA .......................................................................................................................... 7 
3.3 MATRIZ QUADRADA ..................................................................................................................... 7 
3.3.1 Diagonais da Matriz Quadrada ............................................................................................ 8 
3.4 MATRIZ DIAGONAL ....................................................................................................................... 8 
3.5 MATRIZ IDENTIDADE ..................................................................................................................... 8 
3.6 MATRIZ TRANSPOSTA .................................................................................................................... 9 
3.6.1 Notação .............................................................................................................................. 9 
3.7 MATRIZ SIMÉTRICA ....................................................................................................................... 9 
3.8 MATRIZ OPOSTA ........................................................................................................................ 10 
3.9 MATRIZ UNITÁRIA ...................................................................................................................... 10 
3.10 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA ............................................................................................................. 11 
3.11 MATRIZ TRIANGULAR .................................................................................................................. 12 
3.11.1 Triangular inferior ......................................................................................................... 12 
3.11.2 Triangular superior ........................................................................................................ 13 
4 IGUALDADE DE MATRIZES ............................................................................................................. 14 
5 OPERAÇÕES COM MATRIZES ......................................................................................................... 15 
5.1 ADIÇÃO.................................................................................................................................... 15 
5.2 SUBTRAÇÃO .............................................................................................................................. 15 
5.3 MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR ................................................................................................... 15 
5.3.1 Operação........................................................................................................................... 16 
5.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ...................................................................................................... 17 
5.4.1 Dispositivo prático ............................................................................................................. 17 
5.4.2 Algumas Propriedades do Produto Matricial...................................................................... 18 
6 DETERMINANTES ........................................................................................................................... 19 
6.1 NOTAÇÃO ................................................................................................................................. 19 
6.2 RESOLUÇÃO DE DETERMINANTES DE ORDENS 2 E 3 ............................................................................ 19 
6.2.1 A Regra de Sarrus .............................................................................................................. 19 
6.3 DETERMINANTE DE ORDEM SUPERIOR A 3 ....................................................................................... 21 
6.4 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................................................. 21 
6.4.1 O determinante será nulo quando... .................................................................................. 21 
6.4.2 Determinante da matriz transposta ................................................................................... 22 
6.4.3 Multiplicação de uma fila por uma constante .................................................................... 23 
6.4.4 Multiplicação da matriz por uma constante ...................................................................... 24 
6.4.5 Determinante da matriz triangular .................................................................................... 25 
6.4.6 Determinante da matriz inversa ........................................................................................ 25 
6.4.7 Determinante do produto .................................................................................................. 25 
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6.4.8 Permutação de filas paralelas............................................................................................ 25 
6.5 O DETERMINANTE DE VANDERMONDE ............................................................................................ 25 
7 INVERSÃO DE MATRIZES ............................................................................................................... 28 
7.1 MATRIZ INVERSA ........................................................................................................................ 28 
7.1.1 Método de resolução pela definição .................................................................................. 29 
7.1.2 Método de resolução pela matriz dos cofatores ................................................................ 29 
8 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ............................................................................................... 32 
8.1 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DO SISTEMA ........................................................................................ 32 
8.2 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO ............................................................................................................ 32 
8.2.1 Método da Substituição ..................................................................................................... 33 
8.2.2 Regra de Cramer............................................................................................................... 33 
8.2.3 Método da Matriz Inversa ................................................................................................. 34 
8.3 DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES ................................................................................................. 35 
8.3.1 Sistema Possível e Determinado (SPD) ............................................................................... 35 
8.3.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI) .............................................................................. 36 
8.3.3 Sistema Impossível (SI) ...................................................................................................... 36 
9 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 37 
10 TESTES ........................................................................................................................................... 39 
11 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 51 
12 CURRÍCULO INFORMAL ................................................................................................................. 58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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para a correção de erros, quanto para a inclusão de novos conteúdos ou questões 
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"O valor que você dá é diretamente proporcional ao valor que você tem." [Autor desconhecido] 
 
 
 
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1 Introdução 
 
"Os melhores professores são aqueles que te 
mostram para onde olhar, mas não dizem o que 
você deve ver." [Alexandra K.Trenfor] 
 
Você provavelmente já é, ou está em vias de se tornar, um pesquisador 
acadêmico. 
 
Aos que já são pesquisadores acadêmicos, parabéns! Estou dispensado de falar 
da importância desse assunto. 
 
Aos que estão no caminho para se tornarem pesquisadores, informo que Matrizes 
e Determinantes farão parte de suas vidas a partir de hoje. 
 
Apesar da importância do assunto para a área de pesquisa acadêmica, ele é pouco 
explorado pela ANPAD em suas provas. Em Concursos Públicos é ainda mais 
raro... 
 
Na coleta dos dados de pesquisa, você terá um conjunto de variáveis, que 
chamamos de variáveis determinantes do estudo, e precisará obter o maior 
número de respostas possível. Tais dados irão compor sua matriz de dados a 
serem manipulados por algum software, como SPSS, MATLAB, etc., a fim de 
que se possa chegar a modelos preditivos que conduzam a conclusões plausíveis. 
 
Mas não quero estragar a surpresa, nem sua diversão... 
 
Por ora, quero apenas motivá-lo(a) a estudar esse assunto com carinho, mas, por 
favor, nem por um minuto pense que este pequeno e-book irá ajudá-lo a dominar 
o assunto. Como já disse anteriormente, meus e-books se propõem a 
instrumentalizá-lo(a) com dicas que ajudarão a vencer a primeira barreira do 
processo, que é o Teste ANPAD. 
 
Então, comece... 
 
Bons Estudos! 
 
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2 Matrizes 
 
Matriz é um conjunto de dados, apresentados sob a forma de uma tabela com 
linhas e colunas. Em outras palavras: uma matriz é um conjunto retangular de 
números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. Cada um dos 
itens de uma matriz é chamado de elemento. 
 
As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações 
lineares e transformações lineares. 
 
2.1 Ordem da Matriz 
 
A ordem da matriz é definida como (lê-se: “ por ”), onde representa 
o número de linhas e representa o número de colunas da matriz. 
 
Exemplo: 
 
Uma matriz tem 2 linhas e 3 colunas. 
 
2.2 Notação 
 
 
 
onde: 
 
 representa a linha do elemento ; 
 representa a coluna do elemento ; 
 representa a quantidade de linhas da matriz ; 
 representa a quantidade de colunas da matriz ; 
 
 
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Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz tem ordem (lê-se: “três por dois”), isto é, tem 3 linhas e 2 
colunas. Seus elementos são: 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Usa-se, para a apresentação dos elementos de uma matriz, parênteses ( ) ou 
colchetes [ ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 Classificação das Matrizes 
 
3.1 Matriz Linha 
 
A matriz linha tem ordem 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
3.2 Matriz Coluna 
 
A matriz coluna tem ordem 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Matriz Quadrada 
 
A matriz quadrada tem ordem ou simplesmente ordem , visto que a 
matriz tem o número de linhas igual ao número de colunas. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Ordem da matriz : 
 
 
 
 
 
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Ordem da matriz : 
 
3.3.1 Diagonais da Matriz Quadrada 
 
 
 
Somente matrizesquadradas têm diagonais. 
 
3.4 Matriz Diagonal 
 
A matriz quadrada diagonal é aquela na qual todos os elementos, exceto os da 
diagonal principal, são nulos. 
 
 se 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 Matriz Identidade 
 
A matriz identidade é uma matriz quadrada diagonal, cujos elementos da 
diagonal principal são todos unitários. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
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 é a notação da matriz identidade de ordem 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 é a notação da matriz identidade de ordem 3. 
 
3.6 Matriz Transposta 
 
Matriz na qual há troca de linhas por colunas. 
 
3.6.1 Notação 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ordem da matriz : 
 
Ordem da matriz : 
 
3.7 Matriz Simétrica 
 
A matriz simétrica é aquela na qual sua transposta é igual à matriz primitiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Note que , portanto, a matriz é simétrica. 
 
3.8 Matriz Oposta 
 
Matriz oposta é aquela obtida pela troca dos sinais de todos os elementos da 
matriz primitiva. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.9 Matriz Unitária 
 
É a matriz quadrada que obedece a relação: 
 
 
 
Em outras palavras: quando a transposta de uma matriz quadrada é igual à sua 
inversa, a matriz é dita unitária. 
 
Exemplo: 
 
ANPAD 2014 (Adaptada) – Dada a matriz: 
 
 
 
 
 
 
 
A transposta de A é a matriz 
 
 
 
 
 
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A inversa de A é a matriz 
 
 
 
 
 
(Não demonstraremos aqui a inversa da matriz A. Consulte o Capítulo 6.) 
Note que: , portanto, a matriz é unitária. 
 
3.10 Matriz Antissimétrica 
 
É a matriz quadrada que obedece a relação: 
 
 
 
Em outras palavras: quando a transposta de uma matriz quadrada é igual à sua 
matriz oposta, a matriz é dita antissimétrica. 
 
Exemplo: 
 
Se uma matriz quadrada é tal que , ela é chamada matriz 
antissimétrica. Sabe-se que é antissimétrica e: 
 
 
 
 
 
 
 
Os termos , e de valem respectivamente: 
 
a) 4, 2 e 4. 
b) 4, 2 e 4. 
c) 4, 2 e 4. 
d) 2, 4 e 2. 
e) 2, 2 e 4. 
 
Solução: 
 
A matriz transposta de é: 
 
 
 
 
 
 
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A matriz oposta de é: 
 
 
 
 
 
 
 
Conforme o enunciado, a matriz é antissimétrica. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: , , . 
 
Gabarito: Alternativa B. 
 
3.11 Matriz Triangular 
 
Se a matriz é quadrada de ordem , tem-se dois casos de matriz triangular: 
 
3.11.1 Triangular inferior 
 
É tal que se 
 
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Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
3.11.2 Triangular superior 
 
É tal que se 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes de mesma ordem serão iguais quando todos os seus elementos 
forem iguais. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
ANPAD 2000 – Considere as matrizes: 
 
 
 
 
 e 
 
 
 . Se 
 , então: 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
Gabarito: Alternativa A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 Operações com Matrizes 
 
5.1 Adição 
 
As matrizes devem ser de mesma ordem. A operação é realizada adicionando-se 
os elementos de mesma posição. 
 
Exemplo: 
 
Sejam as matrizes: 
 
 
 e 
 
 
 , calcule . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Subtração 
 
As matrizes devem ser de mesma ordem. A operação é realizada subtraindo-se os 
elementos de mesma posição. 
 
Exemplo: 
 
Sejam as matrizes: 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 , calcule . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 Multiplicação de um Escalar 
 
Na matemática, na informática, e na física uma grandeza escalar é definida 
quando precisamos somente de um valor numérico associado a uma unidade de 
medida para caracterizar uma grandeza física. O termo é usado frequentemente 
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em contraste às entidades que são "compostas" de muitos valores, como o vetor, 
a matriz, o tensor, a sequência, etc. 
 
Exemplos de grandezas escalares: comprimento, massa, tempo, temperatura, etc. 
 
Observe que a matriz é uma grandeza vetorial, uma vez que pode representar um 
vetor ou um conjunto de vetores. 
 
5.3.1 Operação 
 
Dada a matriz 
 
 
 
 , a matriz é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz pode ter qualquer ordem. 
 
Exemplo: 
 
Dada a matriz: 
 
 
 
 
 
 
Calcule a matriz . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.4 Multiplicação de Matrizes 
 
Dadas duas matrizes: de ordem e de ordem , tem-se que: 
 
 o produto só estará definido se 
 o produto só estará definido se 
 
Em outras palavras: 
 
Dadas as matrizes e , só será possível realizar o produto se o número de 
colunas da matriz for igual ao número de linhas da matriz 
 
5.4.1 Dispositivo prático 
 
Exemplo: 
 
Dadas as matrizes: 
 
 
 e 
 
 
 
 , calcule o produto 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta: 
 
 
 
 
 
 
5.4.2 Algumas Propriedades do Produto Matricial 
 
Sejam as matrizes . 
 
 Se os produtos e são possíveis de cálculo, então 
 . 
 Se os produtos e são possíveis, então . 
 Se os produtos e são possíveis, então . 
 Se é a matriz unitária conforme foi descrita no item 3.9, então: 
 e 
 
O produto matricial não é comutativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 Determinantes 
 
Determinante é um número que está associado a toda matriz quadrada. 
 
6.1 Notação 
 
A representação de um determinante é feita pela substituição dos colchetes [ ] ou 
dos parênteses ( ) da matriz por duas barras laterais paralelas: 
 
 
 
Também se denota o determinante de uma matriz por 
 
 
 
6.2 Resolução de Determinantes de Ordens 2 e 3 
 
6.2.1 A Regra de Sarrus 
 
6.2.1.1 Determinante de Segunda Ordem 
 
Dada a matriz 
 
 
 , seu determinante é: 
 
 
 
 
 
 
O determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pela diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da 
diagonal secundária. 
 
Exemplo: 
 
Dada a matriz 
 
 
 , calcule o seu determinante. 
 
Solução: 
 
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6.2.1.2 Determinante de Terceira Ordem 
 
Dada a matriz 
 
 
 
 , seu determinante é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se usar o seguinte algoritmo prático: 
 
Repetem-se as duas primeiras colunas ao lado da matriz original. A seguir, 
somam-se os resultados dos três produtos no sentido da diagonal principal, 
subtraindo-se a soma dos três produtos efetuados no sentido da diagonal 
secundária, conforme a figura a seguir: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Calcule o determinante da matriz 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
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6.3 Determinante de Ordem Superior a 3 
 
Consta claramente no Programa da prova de Raciocínio Quantitativo do Teste 
ANPAD: 
 
... cálculo de determinantes de 2ª e de 3ª ordens. Propriedades. 
 
Qualquer questão que solicite o cálculo de um determinante de ordem superior a 
3 deve ser sumariamente anulada, pois está fora do programa. Agora observe 
as questões 18 e 19 do Capítulo 8 – Exercícios. 
 
6.4 Propriedades dos Determinantes 
 
DICA: Determinantes é um tópico que envolve cálculos extensos, 
principalmente quando se trata de determinantes de terceira ordem. Os 
examinadores costumam cobrar as propriedades. 
Fixe-as adequadamente e você conseguirá responder muitas questões sem 
realizar cálculos! 
 
6.4.1 O determinante será nulo quando... 
 
6.4.1.1 A matriz tiver uma fila1 de zeros 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 , pois a segunda linha da matriz é composta por elementos iguais a 
zero. 
 
 
1 Em uma matriz, o termo “fila” tanto pode designar uma linha ou uma coluna. 
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6.4.1.2 A matriz tiver duas filas paralelas iguais 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 , pois a primeira e a terceira colunas são iguais. 
 
6.4.1.3 A matriz tiver duas filas paralelas proporcionais 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 , pois a primeira e a terceira linhas são proporcionais, ou seja: 
 
 
 
6.4.1.4 Houver combinações lineares entre filas paralelas 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 , pois a terceira linha forma a seguinte combinação linear com a 
primeira linha: 
 
 
 
6.4.2 Determinante da matriz transposta 
 
O determinante de uma matriz e o determinante de sua transposta são iguais. 
 
 
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Exemplo: 
 
Dada a matriz 
 
 
 
 
 
Seu determinante é: 
 
Transposta da matriz : 
 
 
 
 
 
O determinante da matriz transposta é: 
 
6.4.3 Multiplicação de uma fila por uma constante 
 
Se uma fila de uma matriz quadrada for múltipla de um número , então o 
determinante dessa matriz também será múltiplo de . 
 
Exemplo: 
 
ANPAD 2003 – O determinante da matriz 
 
 
 
 é um número 
múltiplo de 
 
a) 0. 
b) 3. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 8. 
 
Gabarito: Alternativa B. 
 
Justificativa: a terceira coluna é múltipla de 3. Note que a terceira linha é 
múltipla de 2. 
 
 
24 
 
 
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6.4.4 Multiplicação da matriz por uma constante 
 
Dada a matriz quadrada , de ordem , cujo determinante é diferente de zero 
 , a matriz ( ) terá como determinante: 
 
 
 
Exemplo:Dada a matriz 
 
 
 , cujo determinante é igual a 10, calcule o 
determinante da matriz . 
 
Solução: 
 
Pela propriedade: 
 
 
 
 
 
Desafio: 
 
3º Simulado ANPAD – Instituto Integral – 2003. A matriz quadrada , de 
terceira ordem, possui determinante igual a . Sabendo-se que a matriz é a 
transposta da matriz , então a matriz tem determinante igual a 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
[Fonte: banco de questões do autor] 
 
Gabarito: Alternativa E. 
 
 
25 
 
 
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6.4.5 Determinante da matriz triangular 
 
Exemplo: 
 
Calcule o determinante da matriz : 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
6.4.6 Determinante da matriz inversa 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se de que, se uma matriz tem inversa, o seu determinante é diferente de 
zero: . 
 
6.4.7 Determinante do produto 
 
 
 
6.4.8 Permutação de filas paralelas 
 
Permutando-se duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal 
 
6.5 O Determinante de Vandermonde 
 
A matriz de Vandermonde é quadrada e pode ser de ordem 3 ou superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
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Com , , e . 
 
Observe que a linha 1 é formada pelos elementos: 
 
 
 
Na segunda linha, todos os elementos estão elevados ao expoente 1. Nesta linha, 
estão os elementos característicos da matriz de Vandermonde. 
 
Na terceira linha, todos os elementos estão elevados ao expoente 2. 
 
E assim por diante, até a última linha, na qual todos os elementos estarão 
elevados ao expoente . 
 
Valor do determinante da matriz de Vandermonde: 
 
 
 
O determinante é calculado a partir da linha dos elementos característicos. 
 
Subtraia cada elemento característico de cada um dos elementos à sua esquerda e 
multiplique os resultados. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o determinante: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
2) Calcule o determinante: 
 
27 
 
 
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Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
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7 Inversão de Matrizes 
 
A inversão de matrizes surgiu da necessidade de se resolver equações matriciais 
do tipo ( e são matrizes). Como o leitor pode observar, não existe 
a operação do quociente entre matrizes. 
 
A teoria da inversão de números reais foi estendida às matrizes e a solução da 
equação matricial é dada por: 
 
 
(Método da matriz inversa para solução de sistemas lineares) 
 
7.1 Matriz Inversa 
 
Seja uma matriz quadrada de ordem . Uma matriz é chamada inversa de 
se, e somente se: 
 
 
 
onde: 
 
 é a inversa da matriz , ou seja: 
 é a matriz identidade de ordem 
 
Só é possível calcular a inversa de uma matriz quadrada se o seu determinante 
for diferente de zero: 
 
 
Exemplo: 
 
Dada a matriz 
 
 
 , a matriz 
 
 
 é a sua inversa, pois: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
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7.1.1 Método de resolução pela definição 
 
Dada a matriz , buscamos a matriz , tal que: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Dada a matriz 
 
 
 , calcule a sua inversa. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
7.1.2 Método de resolução pela matriz dos cofatores 
 
A matriz inversa também pode ser determinada por: 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 é a matriz inversa; 
30 
 
 
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 é o determinante da matriz; 
 é a transposta da matriz dos cofatores, também conhecida como 
matriz adjunta. 
 
Exemplo: 
 
Dada a matriz 
 
 
 , calcule a sua inversa. 
 
Solução: 
 
Primeiro passo: cálculo do determinante. 
 
 
 
Como , sabe-se que a matriz é inversível. 
 
Segundo passo: determinação da matriz dos cofatores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Terceiro passo: determinação da transposta dos cofatores. 
 
 
 
 
 
 
Quarto passo: determinação da matriz inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
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Dica: Em concursos públicos, e principalmente no Teste ANPAD, as questões 
que envolvem matriz inversa ficam restritas unicamente à sua condição de 
existência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
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8 Sistemas de Equações Lineares 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
8.1 Representação Matricial do Sistema 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 
 
 
 
 é a matriz dos coeficientes das equações do sistema; 
 
 
 
 
 é a matriz das incógnitas do sistema; 
 
 
 
 
 é a matriz dos termos independentes do sistema. 
 
O sistema acima tem a representação de uma equação matricial: 
 
 
 
8.2 Métodos de Resolução 
 
Há várias formas de se resolversistemas de equações lineares. Todos apresentam 
cálculos extensos. Os mais comuns são o da substituição e a regra de Cramer, 
abordados a seguir. Não abordaremos aqui os métodos de escalonamento. 
 
 
33 
 
 
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8.2.1 Método da Substituição 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Isolando-se a variável na primeira equação e substituindo nas outras duas 
equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
8.2.2 Regra de Cramer 
 
A regra de Cramer é um método para resolução de sistemas lineares 
(número de equações igual ao número de incógnitas), com o auxílio de 
determinantes. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 é o determinante da matriz dos coeficientes. 
 
34 
 
 
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 é o determinante da incógnita . Observe que a coluna da 
incógnita foi substituída pelos termos independentes. 
 
 
 
 
 
 
 é o determinante da incógnita . Observe que a coluna da 
incógnita foi substituída pelos termos independentes. 
 
 
 
 
 
 
 é o determinante da incógnita . Observe que a coluna da 
incógnita foi substituída pelos termos independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: , , 
 
8.2.3 Método da Matriz Inversa 
 
O método da matriz inversa dá a solução da equação: 
 
 
 
que é: 
 
 
 
 
35 
 
 
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Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Representação do sistema na forma matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz inversa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
8.3 Discussão de Sistemas Lineares 
 
A discussão de sistemas de equações lineares é feita a partir dos determinantes da 
regra de Cramer. 
 
8.3.1 Sistema Possível e Determinado (SPD) 
 
 
36 
 
 
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8.3.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI) 
 
 , , , 
 
8.3.3 Sistema Impossível (SI) 
 
 , , , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
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9 Exercícios 
 
1) Determine a matriz tal que . 
Resposta: 
 
 
 
 . 
 
2) Construa as seguintes matrizes: 
 tal que 
 
 
 
 tal que 
 
 
 
Respostas: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 . 
 
3) Seja a matriz tal que 
 
 
 , então é 
igual a: 
Resposta: 8. 
 
4) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz tal que 
 . 
Resposta: 15. 
 
5) Sejam 
 
 
 
 e 
 
 
 
 , determine . 
Resposta: 
 
 
 . 
 
6) Dadas as matrizes 
 
 
 e 
 
 
 , determine e para 
que . 
Resposta: 
 
 
, 
 
 
 
 
7) Determine os valores de e na equação matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: , 
 
38 
 
 
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8) Se 
 
 
 
 
 
 
 
 , determine o valor de . 
Resposta: 4. 
 
9) Calcule o valor do determinante da matriz 
 
 
 
 
Resposta: 63. 
 
10) Resolva a equação 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
11) Classificar e resolver os sistemas lineares: 
 
a) 
 
 
 
 
Resposta: SPD, 
 
b) 
 
 
 
 
Resposta: SPI, 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Resposta: SI 
 
12) Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. 
Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço 
do que tem Maria. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará 
com R$ 6,00 a mais que Amélia. Quanto possuem Amélia, Lúcia e Maria, 
respectivamente? 
Resposta: R$ 18,00; R$ 15,00; R$ 27,00. 
 
 
 
 
39 
 
 
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10 Testes 
 
1) ANPAD 2007 – A matriz , composta por números reais, de ordem , é 
igual a 
 
 
 
 . Para quais valores de não se pode determinar a inversa 
dessa matriz ? 
 
a) e . 
b) e . 
c) e . 
d) e . 
e) e . 
 
2) ANPAD 2006 – Uma empresa que trabalha com a revenda de notebooks tem 
lojas nas seguintes cidades: Porto Alegre (POA), São Paulo (SPA) e Belo 
Horizonte (BHZ). Uma marca particular de notebook está disponível nos 
modelos A, B e C. Além disso, cada modelo tem uma bolsa correspondente que, 
geralmente, é vendida junto com o notebook. Os preços de venda (em reais) do 
notebook e da bolsa são dados pela matriz , onde a primeira linha indica os 
preços dos notebooks nos três modelos e a segunda linha, o preço das bolsas. 
 
 
 
 
 
 
 
O número de conjuntos (notebook e bolsa) disponíveis em cada loja é dado pela 
matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se João Paulo foi à loja de Porto Alegre e comprou todos os conjuntos do modelo 
A e todos do modelo C, então ele gastou 
 
a) R$ 48.000,00. 
b) R$ 49.100,00. 
c) R$ 62.000,00. 
d) R$ 63.520,00. 
40 
 
 
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e) R$ 64.150,00. 
 
3) ANPAD 2006 – Os elementosde uma matriz representam as 
distâncias (em quilômetros) entre as cidades e , e os elementos de uma 
matriz representam o custo por quilômetro do transporte da cidade para a 
cidade (sendo que o custo de transporte da cidade para a cidade é diferente 
do custo de transporte da cidade para a cidade ). Se , representa 
 
a) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., para a cidade 1. 
b) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., para a cidade 2. 
c) o custo de transporte da cidade 1 para a cidade 2. 
d) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ... e a cidade 1. 
e) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ... e a cidade 2. 
 
4) ANPAD 2005 – Seja uma matriz real quadrada de ordem 2, 
definida por 
 
 
 . A matriz é 
 
a) 
 
 
 . 
b) 
 
 
 . 
c) 
 
 
 . 
d) 
 
 
 . 
e) 
 
 
 . 
 
5) ANPAD 2004 – Sejam as matrizes 
 
 
 e 
 
 
 
 . Se , o valor de é igual a 
 
a) 1. 
b) 8. 
c) 16. 
d) 2. 
e) 8. 
 
41 
 
 
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6) ANPAD 2003 – A soma dos elementos da diagonal principal da matriz 
 , na qual , é igual a 
 
a) . 
b) 4. 
c) 2. 
d) 4. 
e) 6. 
 
7) ANPAD 2003 – O determinante da matriz 
 
 
 
 é um número 
múltiplo de 
 
a) 0. 
b) 3. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 8. 
 
8) ANPAD 2003 – Se considerarmos a matriz real determinada 
por 
 
 
 
 . Então, 
 
a) 
 
 
 . 
b) 
 
 
 . 
c) 
 
 
 . 
d) 
 
 
 . 
e) 
 
 
 . 
 
9) ANPAD 2007 – B Considere a tabela abaixo, na qual , com 
 
 
 
42 
 
 
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+ 
 
 
 
 
Se , , , , e , então, 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
10) ANPAD 2008 – Se 
 
 
 e sua transposta 
 
 
 , 
então valo 
 
a) 39. 
b) 14. 
c) 0. 
d) 14. 
e) 16. 
 
11) ANPAD 2008 – Multiplicando-se a matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 por sua 
transposta, obtém-se uma matriz identidade. Se o determinante da matriz é 
negativo, então o valor de é 
 
a) 7/5. 
b) 1/5. 
c) 1/10. 
d) 1/5. 
e) 1/10. 
 
12) ANPAD 2008 – O determinante da matriz 
 
 , na qual 
 e 
 , é igual a 
 
a) . 
43 
 
 
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b) 0. 
c) 1. 
d) 1. 
e) . 
 
13) ANPAD 2008 – Para que a matriz 
 
 
 
 tenha inversa, é necessário 
que 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) e . 
 
14) ANPAD 2007 – E Uma indústria fabrica três modelos diferentes de sofás: 
Berlim, Paris e Veneza. Abaixo, a Tabela 1 mostra o número de almofadas e de 
“pufs” que acompanham cada modelo, e a Tabela 2 mostra a produção que a 
fábrica planeja alcançar para os meses de janeiro e fevereiro. 
 
Componentes 
Modelo 
Modelo 
Mês 
Berlin Paris Veneza Janeiro Fevereiro 
Almofadas 4 6 8 Berlin 500 600 
“Pufs” 2 3 4 Paris 200 300 
 Veneza 300 250 
 Tabela 1 Tabela 2 
 
As quantidades de almofadas e de “pufs” que deverão ser produzidos nesses dois 
meses são, respectivamente, 
 
a) 5.600 e 5.900. 
b) 5.600 e 2.800. 
c) 6.200 e 3.100. 
d) 11.800 e 2.800. 
e) 11.800 e 5.900. 
 
44 
 
 
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15) ANPAD 2009 – A matriz é a matriz resultante da soma das 
matrizes e . Sabendo-se que 
 e que 
 
 
 
 , então o quociente dos elementos e da matriz é 
 
a) -2. 
b) -1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 2. 
 
16) ANPAD 2010 – O traço de uma matriz é definido como a soma dos 
elementos da diagonal principal. Se a matriz é definida por 
 
 
 
 , então o traço dessa matriz é 
 
a) 14. 
b) 36. 
c) 90. 
d) 104. 
e) 112. 
 
17) ANPAD 2011 – O determinante da matriz real definida por 
 
 
 
 
 é igual a 
 
a) 0. 
b) 21. 
c) 27. 
d) -21. 
e) -27. 
 
18) ANPAD 2012 – Se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
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e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
são matrizes inversíveis, então o valor de 
 
 
 é 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 72 
e) – 72 
 
19) ANPAD 2013 – Resolvendo o determinante associado à matriz 
 
 
 
 
 
 
 
Encontraremos: 
 
a) xyzt. 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
20) ANPAD 2013 – Considere a matriz 
 
 
 
 . 
 
Determine o conjunto de números reais x para os quais a matriz A não é 
inversível. 
 
a) ϕ (conjunto vazio). 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
46 
 
 
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21) ANPAD 2013 – Considere a matriz identidade 
 
 
 e a matriz nula 
 
 
 
 e sejam A e B duas matrizes reais 2 2 quaisquer. Analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. Se , então ou . 
II. Se , então ou . 
III. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
b) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. 
c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
22) ANPAD 2014 – Sabendo que a transposta de uma matriz M é a matriz MT 
cuja j-ésima coluna é a j-ésima linha de M, analise as seguintes afirmativas sobre 
a matrizI. O determinante de A é zero. 
II. A transposta de A é a matriz 
 
 
 
 . 
III. A inversa de A é a matriz 
 
 
 
 . 
 
É verdadeiro o que se afirma 
 
a) apenas em I. 
b) apenas em II. 
c) apenas em I e II. 
d) apenas em I e III. 
e) apenas em II e III. 
47 
 
 
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23) ANPAD 2014 – Considere as matrizes 
 
 
 , 
 
 
 
 e 
 
 
Qual das alternativas abaixo apresenta um produto possível entre essas três 
matrizes? 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
24) ANPAD 2015 – Uma matriz 3x3, foi construída de maneira que 
suas colunas são progressões geométricas, todas de mesma razão, e suas linhas 
são progressões aritméticas. Sabe-se que , e . Sendo 
assim, a entrada é igual a 
 
a) 17. 
b) 36. 
c) 81. 
d) 144. 
e) 180. 
Esta questão está resolvida no seguinte livro digital: 
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25) Se uma matriz quadrada é tal que , ela é chamada matriz 
antissimétrica. Sabe-se que é antissimétrica e: 
 
 
 
 
 
 
 
Os termos , e de valem respectivamente: 
 
a) 4, 2 e 4. 
b) 4, 2 e 4. 
c) 4, 2 e 4. 
d) 2, 4 e 2. 
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e) 2, 2 e 4. 
 
26) Se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , então, necessariamente: 
 
a) . 
b) . 
c) e . 
d) e . 
e) e . 
 
27) Na confecção de três modelos de camisas são usados botões 
grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelo é dado pela Tabela 
1. A Tabela 2 informa as quantidades de cada modelo de camisa que serão 
confeccionadas nos meses de maio e junho de certo ano. 
 
 
Camisas 
Camisas 
Mês 
A B C Maio Junho 
Botão p 3 1 3 A 100 50 
Botão G 6 5 5 B 50 100 
 C 50 50 
 Tabela 1 Tabela 2 
 
Nessas condições, a quantidade total de botões pequenos (p) e grandes (G) 
utilizados na confecção de todas as camisas nos meses de maio e junho são, 
respectivamente 
 
a) 900 e 1020. 
b) 450 e 1020. 
c) 480 e 1130. 
d) 450 e 2150. 
e) 900 e 2150. 
 
28) (MACK) Se é uma matriz e é uma matriz , então: 
 
a) existe se, e somente se, e . 
b) existe se, e somente se, e . 
c) existem e se, e somente se, e . 
d) existem, e são iguais, e se, e somente se . 
e) existem, e são iguais, e se, e somente se . 
 
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29) (MACK) Sejam as matrizes 
 
 
 
 . Se , então 
 vale: 
 
a) 3. 
b) 14. 
c) 39. 
d) 84. 
e) 258. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito 
 
1-B 2-B 3-A 4-A 5-A 6-A 7-B 8-E 9-B 10-C 
11-B 12-C 13-D 14-E 15-A 16-C 17-C 18-B 19-E 20-E 
21-B 22-E 23-E 24-D 25-B 26-E 27-E 28-C 29-D 
 
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11 Instituto Integral Editora - Catálogo 
 
1. Raciocínio Lógico Formal 
 
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2. Raciocínio Lógico Informal 
 
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478483703306/ 
3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/664
452690272552/ 
4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/667
512393299915/ 
5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/809
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6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I 
 
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7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II 
 
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8. 500 questões resolvidas 
 
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9. Caderno RQ4 - Análise Combinatória 
 
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10. Caderno RQ5 – Probabilidade 
 
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11. Caderno RQ6 - Estatística 
 
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12. Caderno RQ7 – Funções 
 
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13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões 
 
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14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes 
 
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15. Caderno RQ10 - Geometria Plana, 
Geometria Espacial, Geometria Analítica 
 
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16. Caderno RQ11 – Matemática 
Básica 
 
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17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro 
Grau – 1 ou 2 incógnitas 
 
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2. Através de nossa Lista Preferencial: 
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3. Em nossa pasta de material didático no Dropbox: 
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no Brasil e também ao Programa Médicos Sem Fronteiras. Os 50% restantes cobrirão custos (comissão da plataforma 
de vendas e salários de digitadores, revisores e outros profissionais envolvidos na composição dos livros. Obrigado!) 
 
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MATERIAL EXCLUSIVO! 
 
Manual do Candidato - Teste ANPAD 
 
 
O Manual contém, entre outros 
assuntos: 
 
- O que é Teste ANPAD? 
- Provas do Teste ANPAD 
- Como se preparar: 
- - Material da ANPAD 
- - Apostilas e livros 
- - Aulas particulares 
- - Grupos de estudos 
- - Cursos preparatórios 
- Roteiro de estudos 
- Estratégias para a prova 
- Jornada de estudos 
- Véspera da prova 
- No dia da prova 
- Durante a prova 
- Ordem de realização das provas 
- Escore ANPAD 
- Resultado Geral 
- Próximas edições 
- Edital 
 
E muitas DICAS! 
 
Disponível através da Lista Preferencial do Instituto Integral. 
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O Manual do Candidato Teste ANPAD também pode ser baixado 
diretamente na Comunidade Sou Integral, no Facebook: 
 
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LANÇAMENTO EXCLUSIVO! 
 
Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards 
 
 
Alguns tópicos abordados neste livro: 
 
- O que é um flash card? 
- Como confeccionar um flash card? 
- Como memorizar o conteúdo de um flash card? 
- Uso de flash cards nas operações lógicas 
- Aplicações dos flash cards nas operações 
lógicas 
- - Aplicações dos flash cards no argumento 
lógico dedutivo 
- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas 
notáveis 
- Uso de flash cards em Tautologias, 
Contradições e Contingências 
- Uso dos flash cards nas negações: 
 Leis de De Morgan 
 Negação da Condição 
 Negação da bicondição 
 Negação das proposições categóricas: 
todo, nenhum, algum, algum não é 
 
 
Disponível em: 
 
http://edu.institutointegral.com.br/tecnicas-de-superaprendizagem 
 
 
Também disponível aqui: 
 
http://iintegral.leadlovers.com/iintegral 
 
 
 
 
 
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12 Currículo Informal 
 
Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por 
minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante. 
 
Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em 
dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média. 
Ali nasceu o gosto por ensinar... 
 
Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha 
mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá 
para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e 
espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes 
deliciosos e irresistíveis. 
 
Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de 
Matemática, Estatística e Matemática Financeira. 
 
Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de 
Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um 
professor amigo, durante o ano de 1980. 
 
Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico 
Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas 
conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica 
de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois 
conheci o Padre Chico. 
 
Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o 
Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal. 
 
O Padre Chico 
 
Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um 
nome impronunciável em português. 
 
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Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de 
aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia 
de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio! 
 
Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim 
(Alemanha). 
 
Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi 
jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada 
explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico 
gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna. 
 
Primeira Lição 
 
Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre 
Chico a respeito da Lógica Formal. 
 
– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com 
sua peculiar cordialidade. 
 
– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas 
conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de 
aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei. 
 
– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares 
raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente 
filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância 
na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a 
Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia. 
Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou. 
 
“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”, 
pensei. 
 
– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico,“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de 
Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou 
matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa 
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confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou 
interpretando erroneamente seus conceitos.” 
... 
 
Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um 
dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro. 
 
Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a 
faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia 
Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi 
interrompido, e só foi concluído em 1998. 
 
Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS. 
 
De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico, 
Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para 
concursos públicos. 
 
Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar 
candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar 
Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas). 
 
De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na 
Esade e na Unifin. 
 
Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras 
FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de 
Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para 
diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e 
Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc. 
 
Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa 
Federal. 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693 
 
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http://institutointegraleditora.com.br/blog/ 
 
 
 
Instituto Integral EaD - 4 anos 
http://www.institutointegralead.com.br/ 
 
 
 
Instituto Integral - 16 anos 
http://www.institutointegral.com.br 
 
 
 
TV Instituto Integral 
 
 
 
Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!