Lista 3

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MATEMA´TICA I - BAC019
LISTA 3
INTEGRAIS - PARTE I
1. Calcule a integral indefinida das seguintes func¸o˜es:
1.1)
∫ (
x3 + 2x+ 3
)
dx,
[
R.
x4
4
+ x2 + 3x+ k
]
1.2)
∫ (
x+
1
x
)
dx,
[
R.
x2
2
+ ln |x|+ k
]
1.3)
∫ (
3
5
√
x2 + 3
)
dx,
[
R.
15
7
5
√
x7 + 3x+ k
]
2. Seja α um real fixo. Verifique que
2.1)
∫
sen (αx) dx = − 1
α
cos (αx) + k
2.2)
∫
cos (αx) dx =
1
α
sen (αx) + k
3. Calcule
3.1)
∫
e−xdx,
[
R. − e−x + k]
3.2)
∫ (
ex + e−x
2
)
dx,
[
R.
1
2
(
ex − e−x))+ k]
3.3)
∫ (
1
x
+ ex
)
dx, [R. ln |x|+ ex + k]
3.4)
∫ (
3
√
x+ cos (3x)
)
dx,
[
R.
3
4
3
√
x4 +
1
3
sen(3x) + k
]
3.5)
∫
cos
(x
3
)
dx,
[
R. 3sen
x
3
+ k
]
3.6)
∫
5e7xdx,
[
R.
5
7
e7x + k
]
4. Verifique que
4.1
∫
1√
1 + x2
dx = arcsen (x) + k
4.2
∫
1
1 + x2
dx = arctg (x) + k
5. Determine a func¸a˜o y = y(x), x ∈ <, tal que
5.1
dy
dx
= x3 − x+ 1 e y(1) = 1
[
R.
x4
4
− x
2
2
+ x+
1
4
]
5.2
dy
dx
= sen (3x) e y(0) = 1
[
[R. − 1
3
cos(3x) +
4
3
]
5.3
dy
dx
= e−x e y(0) = 1
[
R. − e−x + 2]
6. Determine a func¸a˜o y = y(x), x > 0, tal que
6.1
dy
dx
=
1
x2
e y(1) = 1
[
R. − 1
x
+ 2
]
6.2
dy
dx
= x+
1√
x
e y(1) = 0
[
R.
x2
2
+ 2
√
x− 5
2
]
6.3
dy
dx
=
1
x
+
1√
x2
e y(1) = 1
[
R. ln |x| − 1
x
+ 2
]
7. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = t+ 3, t ≥ 0. Sabe-se que,
no instante t = 0, a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 2.
7.1 Qual a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t. [R.x(t) = t2/2 + 3t+ 2]
7.2 Determine a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2. [R.x(2) = 10]
7.3 Determine a acelerac¸a˜o.[R.a(t) = 1]
8. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com func¸a˜o de posic¸a˜o x = x(t); t ≥ 0. Determine
x = x(t), sabendo que
8.1
dx
dt
= e−t e x(0) = 2
8.2
dx
dt
= cos (3t) e x(0) = 0
8.3
dx
dt
=
1
1 + t2
e x(0) = 0
9. Esboce o gra´fico da func¸a˜o y = y(x), t ∈ <, sabendo que
9.1
d2y
dx2
= e−x, y(0) = 0 e y′(0) = −1
9.2
d2y
dx2
= −4cos (2x) e y(0) = 0 e y′(0) = 0
9.3
dy
dx
=
1
1 + x2
e y(0) = 0
10. Calcule:
a)
∫ 2
1
(
s2 + 3s+ 1
)
ds;
Soluc¸a˜o:
47
6
b)
∫ 2
−1
(
e−2x
)
dx;
Soluc¸a˜o:1/2(e2 − 1)
c)
∫ pi/2
0
(
cos2 x
)
dx;
Soluc¸a˜o:pi/4
d)
∫ 1
0
(3x) dx;
Soluc¸a˜o:
2
ln 3
e)
∫ 1
0
(3xex) dx;
Soluc¸a˜o:
3e− 1
1 + ln 3
11. Suponha f cont´ınua em [−2, 0]. Calcule
∫ 2
0
f(x−2)dx, sabendo que
∫ 0
−2
f(x)dx =
3 :
Soluc¸a˜o: 3
12. Suponha f cont´ınua em [0, 4]. Calcule
∫ 2
−2
xf(x2)dx :
Soluc¸a˜o: 0
13. Calcule :
a)
∫ 1
0
(
x(x2 + 3)1/2
)
dx;
Soluc¸a˜o:
8−√27
3
b)
∫ 0
−1
(
x2ex
3
)
dx;
Soluc¸a˜o: 1/3(1− e−1)
c)
∫ 1
0
(
x(x2 + 3)5
)
dx;
Soluc¸a˜o:
3367
12
d)
∫ 1
0
(
x(1 + 2x2)1/2
)
dx;
Soluc¸a˜o:
3
√
3− 1
6
f)
∫ 3
0
x√
x+ 1
dx;
Soluc¸a˜o:
8
3
g)
∫ 1
−1
(
x3(x2 + 3)10
)
dx;
Soluc¸a˜o:0
h)
∫ pi/3
0
sinx cos2 xdx;
Soluc¸a˜o:
7
24
i)
∫ pi/2
pi/3
(
sin3 x
)
dx;
Soluc¸a˜o:
11
24
j)
∫ 1
0
s√
s2 + 1
ds;
Soluc¸a˜o:
√
2− 1
l)
∫ √3
0
(
x3
√
x2 + 1
)
dx.
Soluc¸a˜o:
58
15
14. Um aluno (precipitado), ao calcular a integral
∫ 1
−1
√
1 + x2dx, raciocinou da
seguinte forma: fazendo a mudanc¸a de varia˜vel u = 1 +x2, os novos extremos de
integrac¸a˜o seriam iguais a 2 (x = −1 → u = 2;x = 1 → u = 2) e assim a integral
obtida apo´s a mudanc¸a de varia´vel seria igual a zero e, portanto
∫ 1
−1
√
1 + x2dx =
0!! Onde esta´ o erro? :
15. Seja f uma func¸a˜o par e cont´ınua em [−r, r], r > 0. (Lembre-se: f par
⇔ f(−x) = f(x)):
a) Mostre que
∫ 0
−r
f(x)dx =
∫ 0
r
f(x)dx.
b) Conclua de (a) que
∫ r
−r
f(x)dx = 2
∫ r
0
f(x)dx. Interprete graficamente.