Lista 4

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MATEMA´TICA I - BAC019
LISTA 4
INTEGRAIS - PARTE II
1. Calcule:
1.1)
∫
(xex) dx, [R. (x− 1)ex + k]
1.2)
∫
(x sinx) dx, [R. − x cosx+ sinx+ k]
1.3)
∫ (
x2ex
)
dx,
[
R. ex(x2 − 2x+ 2) + k]
1.1)
∫
(x lnx) dx,
[
R. (x2/2(lnx− 1/2) + k]
2.
2.1) Verifique que
∫
(secn x) dx =
1
n− 1 sec
n−2 x tanx+
n− 2
n− 1
∫
secn−2xdx, onde n > 1
e´ um natural.
2.2) Calcule
∫ (
sec5 x
)
dx.
[
R. 1/4 sec3 x tanx+ 3/8 secx tanx+ 3/8 ln | secx+ tanx) + k]
3. Verifique que, para todo natural n 6= 0, tem-se:
3.1)
∫
(sinn x) dx = − 1
n
sinn−1 x cosx+
n− 1
n
∫
sinn−2 xdx.
3.2)
∫
(cosn x) dx =
1
n
cosn−1 x sinx+
n− 1
n
∫
cosn−2 xdx.
4. Calcule
∫
e−st sin tdt; s > 0 constante.
5. Verifique que para todo natural n ≥ 1 e todo real s > 0,∫
tne−stdt =
−1
s
tne−st +
n
s
∫
tn−1e−stdt.
6.Calcule
6.1)
∫ 2
1
lnxdx. [R. 2 ln 2− 1]
6.2)
∫ 1
0
xexdx. [R. 1]
6.3)
∫ pi/2
0
ex cosxdx.
[
R. 1/2(epi/2 − 1)
]
6.4)
∫ x
0
t2e−stdt.
No item (7), verifique e use as seguintes identidades:
sin a cos b =
1
2
[sin(a+ b) + sin(a− b)]
cos a cos b =
1
2
[cos(a+ b) + cos(a− b)]
sin a sin b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a+ b)]
7.Calcule
7.1)
∫
sin 7x cos 2xdx.
7.2)
∫
sin 3x sin 5xdx.
7.3)
∫
cos 2x cosxdx.
7.4)
∫
sinnx cosmxdx, sendo m e n naturais na˜o-nulos.
Integrais de poteˆncias de seno e cosseno. Fo´rmulas de recorreˆncia:
∫
sinn xdx =?
Se n for ı´mpar, fac¸a u = cosx e sin2 x = 1− cos2 x.
Se n for par, fac¸a sin2 x =
1
2
− cos 2x
2
.
∫
cosn xdx =?
Se n for ı´mpar, fac¸a u = sinx e cos2 x = 1− sin2 x.
Se n for par, fac¸a cos2 x =
1
2
+
cos 2x
2
.
Sejam m e n nu´meros naturais:∫
sinn x cosm xdx =?
Se n for ı´mpar, fac¸a u = cosx.
Se m for ı´mpar, fac¸a u = sinx.
Se m e n forem pares na˜o-nulos, fac¸a sin2 x = 1− cos2 x ou cos2 x = 1− sin2 x e utilize
as fo´rmulas de recorreˆncia acima.
Ou enta˜o, fac¸a sin2 x =
1
2
− cos 2x
2
e cos2 x =
1
2
+
cos 2x
2
.
8.Calcule:
8.1)
∫
cos2 5xdx.
8.2)
∫
cosx sin4 xdx.
8.3)
∫
sin2 x cos4 xdx.
8.4)
∫
sin2 2x cos2 3xdx.
9. Seja f(x) uma func¸a˜o cont´ınua:
9.1) Mostre que a mudanc¸a de varia´vel u = sinx transforma a integral
∫
f(sinx) cosxdx
em
∫
f(u)du .
9.2) Mostre que a mudanc¸a de varia´vel u = cosx transforma a integral
∫
f(cosx) sinxdx
em −
∫
f(u)du .
10. Utilizando o exerc´ıcio anterior, calcule:
10.1)
∫
cosx(sinx)1/3dx.
10.2)
∫
sin
cos5 x
dx.
11. Calcule:
11.1)
∫
tan5 x sec2 xdx.
11.2)
∫
tanx 3
√
secxdx.
11.3)
∫
tan6 xdx.
11.4)
∫
sec5 3x tan 3xdx.
11.5) Verifique que:
a)
∫
cotxdx = ln |sinx|+ k.
b)
∫
cscxdx = −ln |cscx+ cotx|+ k.
c)
∫
cscxdx = −ln |cscx+ cotx|+ k.
d)
∫
cotn x csc2 xdx = −cot
n+1 x
n+ 1
+ k, n 6= −1.
e)
∫
cscn x cscx cotxdx = −csc
n+1 x
n+ 1
+ k, n 6= −1.
f)
∫
cscn xdx = −csc
n−2 x cotx
n− 1 +
n− 2
n− 1
∫
cscn−2 xdx, n 6= −1.
g)
∫
cotn xdx = −cot
n−1 x
n− 1 −
∫
cotn−2 xdx, n 6= −1.
12. Calcule:
12.1)
∫
cos2 x
sin3 x
dx.
12.2)
∫
cos4 x
sin4 x
dx.
13. Calcule:
13.1)
∫
x3
√
9− x2dx.
13.2)
∫
x3√
9 + x2
dx.
13.3)
∫ 2
0
x3
√
x2 + 4dx.
13.4)
∫
t5√
t2 + 2
dt.
13.5)
∫ 1
0
x
√
x2 + 4dx.
13.6)
∫ 2/3
√
2/3
dx
x5
√
9x2 − 1.
13.7)
∫
dx
[(ax)2 − b2]3/2
.
13.8)
∫ √
5 + 4x− x2dx.
13.9)
∫
dt√
t2 − 6t+ 13.
13.10)
∫
x√
x2 + x+ 1
dx.
13.11)
∫
x2 + 1√
(x2 − 2x+ 2)2
dx.
14. Esboce a regia˜o delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em
relac¸a˜o a x ou a y.
14.1) y = x+ 1, y = 9− x2, x = −1, x = 2.
14.2) y = sin(x), y = exp(x), x = 0, x =
pi
2
.
14.3) y = x2, y2 = x.
14.4) y = 12− x2, y = x2 − 6.
14.5)
√
x, y =
x
2
, x = −2, x = 2.
15. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas
curvas dadas em torno de retas especificadas. Esboce a regia˜o, o so´lido e um
disco ou arruela t´ıpicos.
15.1) y = 2− x
2
, y = 0, x = 1, x = 2; em torno do eixo x.
15.2) y =
1
x
, x = 1, x = 2, y = 0; em torno do eixo x.
15.3) y2 = x, x = 2y; em torno do eixo y.
15.4) y = ln(x), y = 1, y = 2, x = 0; em torno do eixo y.
15.5) y = exp(−x), y = 1, x = 2; em torno de y = 2.
15.6) y = x2, x = y2; em torno de x = −1.
16. Encontre as fo´rmulas de decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais da func¸a˜o. Na˜o
determine os valores nume´ricos dos coeficientes.
16.1) y =
2x
(x+ 3) (3x+ 1)
16.2) y =
1
x3 + 2x2 + x
16.3) y =
x4
x4 − 1
16.4) y =
t4 + t2 + 1
(t2 + 1) (t2 + 4)2
17. Calcule a integral.
17.1)
∫ 3
2
1
x2 − 1dx.
17.2)
∫
ax
x2 − bxdx.
17.3)
∫
1
(x+ a) (x+ b)
dx.
17.4)
∫
x2
(x+ 1)3
dx.
17.5)
∫ 1
0
x3 − 4x− 10
x2 − x− 6 dx.
17.6)
∫
10
(x− 1) (x2 + 9)dx.
18. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Calcule aquelas
que sa˜o convergentes.
18.1)
∫ −1
−∞
1
2− wdw.
18.2)
∫ ∞
−∞
xe−x
2
dx.
18.3)
∫ ∞
−∞
xe2xdx.
18.4)
∫ ∞
1
lnx
x
dx.
18.5)
∫ 3
0
1√
x
dx.
18.6)
∫ 3
0
1
x
√
x
dx.
18.7)
∫ 2
0
z2 ln (z)dz.
18.8) Calcule a integral
∫ ∞
0
xne−xdx para n=0,1,2 e 3.