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MATEMÁTICA I – BAC019 
LISTA 1 
(Derivadas) 
 
1.- Derive a função. 
a) ( ) 2 xG x x e= − b)
2 4 3x xy
x
+ +
= c) ( ) ( ) ( )2 2 3f x x x= − + 
d) ( ) 1f t t
t
= − e) ( ) ( )31H x x x−= + f) ( ) 2 3g u u u= + 
g) 
2
3
1
v x
x
 
= + 
 
 h) 10 y
A
z Be
y
= + 
 
2.- Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado. 
a) 4 2 , (0,2)xy x e= + b) ( )21 2 , (1,9)y x= + 
 
3.- Ache os pontos sobre a curva 3 22 3 12 1y x x x= + − + onde a tangente é horizontal. 
 
4.- Em qual ponto sobre a curva 1 2 3xy e x= + − a reta tangente é paralela à reta 
3 5?y y− = 
 
5.- A equação 22y y y x′′ ′+ − = é chamada de equação diferencial, pois envolve uma 
função desconhecida y e suas derivadas ey y′ ′′ . Encontre constantes , eA B C tais que 
a função 2y Ax Bx C= + + satisfaça a equação. 
 
6.-Onde a função ( ) 1 2h x x x= − + + é derivável? Dê uma formula para h′ e esboce os 
gráficos de h e h′ . 
 
 
7.- Derive. 
a) ( ) 224
tf t
t
=
+
 b) ( ) ( )( )2 3 5 22Y u u u u u− −= + − c) ( ) ( )32 41 3 5F y y yy y
 
= − + 
 
 
d) ( )2 2 ry r r e= − e) 3 2v v vy
v
−
= f) ( ) 1
x
x
xef x
x e
−
=
+
 g) ( ) xf x
c
x
x
=
+
 
 
8.- Encontre ( ) ( )ef x f x′ ′′ . 
a) ( )
3 x
xf x
e
=
+
 b) ( ) 5/2 xf x x e= 
 
9.- Encontre equações da reta tangente e da reta normal à curva dada no ponto 
especificado. 
a) 2 , (0,0)xy xe= b) , (4,0.4)
1
xy
x
=
+
 
10.- Suponha que ( ) ( ) ( ) ( )2 3, 2 4, 2 2 e 2 7f g f g′ ′= − = = − = . Encontre ( )2 .h′ 
a) ( ) ( ) ( )5 4h x f x g x= − b) ( ) ( ) ( )h x f x g x= c) ( ) ( )( )
f x
h x
g x
= d) ( ) ( )( )1
g x
h x f x= + 
 
11.- Se ( ) ( )2 4 e 2 -3h h′= = , encontre ( )
2x
h xd
dx x
=
 
 
 
. 
 
12.- Derive. 
a) ( ) ( )3 cosg t t t= b) ( )costy e t ct= + c) 1
cos
senxy
x x
+
=
+
 d) ( ) cosecxf x xe x= 
e) 2y x senx tgx= 
 
13.- Demonstre que. 
a) ( )cosec cosec cotgd x x x
dx
= − b) ( )sec secd x x tg x
dx
= 
 c) ( ) 2cotg cosecd x x
dx
= − 
 
14.- a) Use a regra do quociente para derivar a função ( ) 1
sec
tg xf x
x
−
= 
b) Simplifique a expressão para ( )f x , escrevendo-a em termos de , cossen x x , e então 
encontre ( )f x′ . 
(c) Mostre que suas respostas para a) e b) são equivalentes. 
 
15.- Suponha que ( ) ( )/ 3 4 e / 3 2f fpi pi′= = − , e faça 
( ) ( ) ( ) ( )
cos
e
xg x f x sen x h x f x= = . Encontre. a) ( )/ 3g pi′ b) ( )/ 3h pi′ 
 
16.- Encontre a derivada da função. 
a) 5 cos3xy e x−= b) ( ) 1
1
zF z
z
−
=
+
 c) 
2 1
ry
r
=
+
 d) 2sen xy pi= e) 
2
2
1
cos
1
x
x
ey
e
 −
=  
+ 
 
f) k tg xy e= g) ( ) ( )t tg tf t tg e e= + h) ( ) ( )22 sen tf t sen e= i) y x x x= + + 
j) ( )( )cosy sen tg xpi= k) ( ) 432y x x sen x = + +   
 
17.- Encontre a primeira e segunda derivada da função. 
a) a xy e senbx= b) xey e= 
 
18.- Encontre as coordenadas x de todos os pontos sobre a curva 2 2y sen x sen x= − 
nos quais a reta tangente é horizontal. 
 
19.- Se ( ) ( )4 3 ,h x f x= + onde ( ) ( )1 7 e 1 4f f ′= = , encontre ( )1h′ . 
 
20.- Seja ( ) ( )( )( )r x f g h x= , onde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, 2 3, 1 4, 2 5 e 3 6h g h g f′ ′ ′= = = = = . 
Encontre ( )1r′ . 
 
21.- Mostre que a função x xy Ae Bxe− −= + satisfaz a equação diferencial 
2 0y y y′′ ′+ + = . 
 
22.- O deslocamento de uma partícula em uma corda vibrante é dado pela equação 
( ) ( )110 10
4
s t sen tpi= + , onde s é medido em centímetros e t , em segundos. Encontre 
a velocidade da partícula após t segundos. 
 
23.- Se a equação de movimento de uma partícula for dada por ( )coss A tω δ= + , 
dizemos que a partícula está em movimento harmônico simples. 
a) Encontre a velocidade da partícula no instante t . 
b) Quando a velocidade é zero? 
 
24.- Encontre dy
dx
 derivando implicitamente. 
a) /x ye x y= − b) ( ) ( )2 2ysen x xsen y= c) 2 21x y x y+ = + d) ( )cotgxy xy= 
e) cos cossen x y sen x y+ = 
 
25.- Se ( ) ( )( ) 2g x xsen g x x+ = , ache ( )0g′ . 
 
26.- Use a derivada implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no 
ponto dado. 
a) ( )22 2 2 22 2 , (0,1/ 2)x y x y x+ = + − b) ( ) ( )22 2 2 22 25 , (3,1)x y x y+ = − 
 
27.- Mostre, que a soma de coordenadas das interseções com os eixos x e y de 
qualquer reta tangente à curva x y c+ = é igual a .c 
 
28.- a) Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua função inversa 
1f − seja também derivável. Use a derivação implícita para mostrar que 
( ) ( )( )
1
1
1f f f x
−
−
′
=
′
. 
b) Se ( )4 5f = e ( )4 2 / 3f ′ = , encontre ( ) ( )1 5 .f − ′ 
 
29.- Derive a função. 
a) ( ) ( )5log xf x xe= b) ( )4 2lny x sen x= c) ( )ln x xy e xe− −= + d) ( ) 2ln 1 xy e = +  
e) ( )2log cosxy e xpi−= 
30.- Use a derivada logarítmica para achar a derivada da função. 
a) ( )
2 4
22 1
sen x tg xy
x
=
+
 b) sen xy x= c) ( )ln xy sen x= d) ( )1/ xy tg x= e) ( )cosln xy x= .