Apostila de Juro Composto.doc

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JURO COMPOSTO
 PROF. JOSE FELIPE FILHO
É aquele que é calculado em cada período financeiro a partir do segundo, sobre o montante relativo ao período anterior. (o juro produzido no final de cada período é somado ao capital que o produziu).
Fórmula para o cálculo do MONTANTE
M = Montante
C = Capital			M = C(1 + i)n
 i = Taxa
n = número de períodos
O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização ou de acumulação de capital. Esse fator pode ser encontrado já calculado em tábuas financeiras, para as taxas de mercado mais usuais.
Exemplo
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00 aplicado em regime de juro composto a taxa de 5% ao mês, durante 2 meses.
	C = 2.000,00	M = 2.000 (1 + 0,05)2
	 i = 5%	M = 2.000 x (1,05)2		Obs. A taxa i tem referência unitária (i/100)
	n = 2meses	M = 2.000 x 1,1025
	M = ?	M = 2.205,00
2) Qual o fator de capitalização, que deve ser usado para o cálculo de um montante de certo capital C, à taxa de 12% ao ano, durante 8 anos?
Fator		( 1 + i)n = (1 + 0,12)8 = 1,128 = 2,47596
3) Calcule o capital que aplicado a taxa de 20% ao mês produziu em 2 meses o montante de R$ 7.200,00.
7.200 = C( 1 + 0,2)2	 C = 7.200/1,22 	 C = 7.200/1,44 	C = 5.000,00
4) Urna loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00 sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 3.528,00 no final de 2 meses. Qual a taxa cobrada pela loja?
M = 3.528,00			3.528 = 3.200 (1 + i)2
C = 3.200,00			1,1025 = (1 + i)2
n = 6 meses				
 i = ?				1 + i = 1,05	i = 0.05 ou i = 5%
5) Durante quantos meses devemos aplicar R$ 200,00 para receber o montante de R$ 216,32, à taxa de 4% ao mês.
M = 216,32			216,32 = 200 (1 + 0,04)n
C = 200,00			1,0816 = 1,04n
 i =	 4% ao mês			log 1,04n = 1,0816
n = ?				n = log 1,0816/log 1,04
						n = 0,0340/0,0170	n = 2
TAXAS
1) Proporcionais - Duas taxas são proporcionais quando os seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos reduzidos a mesma unidade
Exemplo: 2% ao mês e 24% ao ano 	2% /1 = 24%/l2
Considerando 1/k um período do ano, a taxa proporcional será ik = ia/k (ia = taxa anual)
2) Equivalentes - São taxas que mesmo referindo-se a tempos diferentes, produzem o mesmo montante para um certo capital, num mesmo tempo.
	Convém lembrar que em se tratando de juros simples, as taxas equivalentes são iguais as taxas proporcionais, pois tanto faz aplicar um certo capital a taxa de 2% ao mês como aplicar a taxa de 24% ao ano. Porém no caso de juros compostos os resultados são diferentes.
Exemplo: Aplicando R$ 100,00 em regime de juro composto, temos:
a) durante 1 ano à taxa de 24% ao ano: M = 100 (1 +0,24)1 M = 100 x 1,24	M = 124,00
b) durante 12 meses à taxa de 2% ao mês: M = 100(1 + 0,02)12 M = 100 x 1,2684 M = 126,84
Perceba que os montantes são diferentes embora as taxas sejam proporcionais.
CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE
ANO/MÊS		1 + ia = (1 + im)12		ANO/BIMESTRE	1 + ja = (1 + ib)6
ANO/TRIMESTRE	1 + ia = (1 + it)4			ANO/SEMESTRE	1 + ia = (1 + is)2
ANO/DIA		1 + ia = (1 + id)360
3) Nominal - É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere.
Ex.:	1) juro de 50% ao ano capitalizados semestralmente
	2) juro de 12% ao semestre capitalizados mensalmente.
Nesse caso convencionamos que a taxa usada devera ser proporcional a taxa nominal.
4) Efetiva - Adotando-se a convenção indicada no caso acima, a taxa oferecida será sempre menor que a taxa que é efetivamente paga.
Ex.: Quando oferecemos a taxa de 6% ao ano, com capitalização semestral, temos uma taxa efetiva de 6.09%. Podemos usar o mesmo princípio da taxa equivalente
1 + if = (1 + ik/k)k		1+ if = (1+ 0,03)2	 1 + if = 1,0609	 if = 6,09%
5) Real Aparente e Inflação - numa operação financeira chamamos de Aparente, que está indicada nas operações correntes. Essa taxa é sempre igual a taxa Real quando não existe inflação. No entanto se existir inflação, a taxa Aparente passa a ser formada por dois componentes que são: a taxa de Inflação e a taxa Real.
Fazendo: i = taxa Aparente 			C(1 + i) = C(1 + l) . (1 + r)
l = taxa de inflação
r = taxa Real				1 + i = (1 + l) . (1 + r)
TAXA EQUIVALENTE AO OVER
Com a consideração anterior de taxas equivalentes, suponhamos as taxas:
in = relativa a n períodos
im = relativa a m períodos.
Se as aplicações do capital inicial forem feitas por um prazo igual, e se as taxas forem equivalentes, então os montantes serão iguais
		C(1 + in)m = C(1 + im)n 		 (1 + in)m = (1 + im)n
A taxa OVER é a taxa nominal igual a 30 vezes a taxa efetiva diária de uma operação financeira cuja remuneração ocorra somente para os dias úteis do período da operação.
	Exemplo: Taxa OVER de 5% (não necessita indicar ao mês)
1) Qual a taxa efetiva diária correspondente a taxa over de 6%
	
			30.i = 6		i = 6/30		i = 1/5		i = 0,2%
2) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado à taxa over de 15%. Qual será o montante dessa aplicação se neste período contam-se apenas 20 dias úteis?
30.i = 15 			M = 20.000 (1+ 0,005)20
 i = 15/30			M = 20.00 . 1, 1049
		 i = 0,5% ao dia		M = 22.098,00
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EXERCÍCIOS
1) Uma taxa nominal de 15% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva
R. 15,56%
2) A taxa de juros para aplicação de curto e médio prazos, em um banco, é de 40% ao ano. Que remuneração real recebe o cliente se a inflação for 30% ao ano?
	
	R. 7,69%
3) Determine a taxa de juro semestral equivalente a uma taxa de 44% ao ano?
	
	R. 20%
4) Aplicando-se R$ 600,00 durante 3 meses a taxa de 6% ao mês, qual o montante que teremos ao final do período?
	
	R. R$ 714,61
5) (BC-94) Um investimento rendeu 68% em um mês, no qual a inflação foi de 40%. Qual o ganho real neste mês?
	
	R. 20%
6)	 Calcule o montante de uma aplicação R$ 8.000,0 à taxa de 3% ao mês, durante 3 meses.
		
		R. R$ 8.741,00
7) A que taxa bimestral devo aplicar meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do capital aplicado no final de 4 meses?
R. 22,4%
8) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzirá um montante de R$ 146.853,00 à taxa de juro de 3% ao mês.
R. 13 meses.
9) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação nesse período foi de exatos 15%.
	
	R. 8,7%
10) Determine em que prazo empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00 sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto.
R. n = 5 ou n = log 2,01136/log 1,05
11) Durante quanto tempo é preciso aplicar R$ 5.000,00, à taxa de 7% ao mês, para que produza o montante de R$ 12.000,00 em regime de juro composto.
12) Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 150.000,00 a juro composto de 7% ao mês, durante 3 meses e 20 dias. Em seguida reaplicou o montante no mesmo regime de capitalização a juro de 10% ao mês. No final da operação recebeu R$ 620.000,00. Qual o período total em que o capital esteve aplicado?
13) Um folder distribuído na rua como propaganda de um banco, diz: Aplique hoje R$ 2.225,00 e receba dentro de 9 meses a importância de R$ 3.059,00. Qual a taxa de juro que esse banco está pagando?
14) Qual o tempo necessário para que um capital possa produzir de juros, 80% do seu valor se a taxa da aplicação oferecida for de 5% ao mês em regime de juro composto?
15) Quanto tempo terá decorrido para que um capital colocado a juro composto de 100% ao ano, capitalizados semestralmente triplique o seu valor? 
16) Um capital de R$ 100.000,00 foi depositado por um prazo de 4 trimestres, à taxa dejuro composto de 10% ao trimestre, com correção monetária trimestral, igual a inflação. Admitamos que as taxas de inflação trimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25%, respectivamente. Nessas condições, qual será a disponibilidade do depositante ao final do 3º. trimestre?
A unidade de tempo para a resolução
é dada pelo período financeiro a que
se refere.
_998376035.unknown