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23 4 – Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 4.1 – Ponto de máximo de uma função Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x0, y0) є D(f) é ponto de máximo absoluto ou global de f se, para todo (x, y) є D(f), f(x,y) < f (x0, y0) Dizemos que f (x0, y0) é o valor máximo de f. Exemplo: A função f(x,y) = 4 – x2 - y2 tem o ponto (0,0) como um ponto de máximo absoluto ou global de f, pois para todo (x, y) є D(f) 4 – x2 - y2 < f (0,0) 4 – x2 - y2 < 4, para todo (x, y) є R2. O valor máximo de f(x,y) = 4 – x2 - y2 é f (0,0) = 4. 4.2 – Ponto de mínimo de uma função Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x0, y0) є D(f) é ponto de mínimo absoluto ou global de f se, para todo (x, y) є D(f), f(x,y) > f (x0, y0) Dizemos que f (x0, y0) é o valor mínimo de f. Exemplo: A função f(x,y) = 1 + x2 + y2 tem o ponto (0,0) como um ponto de mínimo absoluto ou global de f, pois para todo (x, y) є D(f) 1 + x2 + y2 > f (0,0) 1 + x2 + y2 > 1, para todo (x, y) є R2. O valor mínimo de f(x,y) = 1 + x2 + y2 é f (0,0) = 1. 24 É usual denominar os pontos de máximo e de mínimo de uma função de pontos extremantes (locais ou globais). 4.3 – Ponto crítico de uma função de duas variáveis Seja z = f(x,y) definida num conjunto aberto U є R2. Um ponto (x0, y0) є U é um ponto crítico de f se as derivadas ),( 00 yx x f ∂ ∂ e ),( 00 yxy f ∂ ∂ são iguais a zero ou se f não é diferenciável em (x0, y0) є U. Geometricamente podemos pensar nos pontos críticos de uma função z = f(x,y) como os pontos em que o seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal. Os pontos extremantes (máximo e mínimo) de z = f(x,y) estão entre seus pontos críticos. No entanto um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante. Um ponto crítico que não é um ponto extremante é um ponto de sela. 4.4 – Proposição Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de 1a e 2a ordem são contínuas num conjunto aberto que contém (x0, y0) e suponhamos que (x0, y0) seja um ponto crítico de f. Seja o determinante: ),(),( ),(),( ),( 2 22 2 2 2 yx y fyx yx f yx xy fyx x f yxH ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = . Temos a) Se H(x0, y0) > 0 e ),( 002 2 yx x f ∂ ∂ > 0, então (x0, y0) é um ponto de mínimo local de f. b) Se H(x0, y0) > 0 e ),( 002 2 yx x f ∂ ∂ < 0, então (x0, y0) é um ponto de máximo local de f. c) Se H(x0, y0) < 0, então (x0, y0) não é um ponto extremante local. Nesse caso, (x0, y0) é um ponto de sela. d) a) Se H(x0, y0) = 0, nada se pode afirmar. 25 Aplicações: A maximização e minimização de funções de várias variáveis é utilizada em problemas geométricos, físicos, econômicos, e outros. 1.Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 m3 e com menor área de superfície possível? 2.Sejam (1, 1), (2, 3) e (3, -1) os vértices de um triângulo. Qual é o ponto (x, y) tal que a soma dos quadrados de suas distâncias aos vértices é a menor possível? 3.Encontrar, se existirem os pontos de máximo e mínimo global das funções: a) z = 4 – x2 – y2 b) z = x2 + y2 – 5 c) z = x + y + 4 4. Uma lata de azeite deve ter a forma de um paralelepípedo e um volume de 700 cm3. Quais devem ser as dimensões da base de modo a ser mínimo o material utilizado na confecção da lata. 5. Determinar os ponto críticos, classificando-os quando possível: a) z = 10 – x2 – y2 b) z = 2x2 + y2 – 5 c) z = 4 - 2x2 - 3y2 d) z = x2 + y2 – 6x – 2y + 7 6. Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima. 7. Uma fábrica de embalagens precisa fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa epara o fundo da caixa, determinar as dimensões da caixa que minimizam o custo. 8. Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as partes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque. Respostas: 1) 2, 2, 1 2) (2, 1) 3) a) (0, 0) máx b) (0, 0) mín c)não existem 5) a) (0, 0) máx b) (0, 0) min c) (0, 0) máx d) (3, 1) mín 6) 3 100 , 3 100 , 3 100 7) 3 32 , 3 32 , 3 32 8) 3 103 , 3 103 , 3 103
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