Apostila de Integral Dupla

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5 – Integral Dupla 
 
5.1 – Definição 
 
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida numa região fechada e limitada 
R do plano xy. 
 
 
 
 
Traçando retas paralelas aos eixos x e y, respectivamente, recobrimos a região R por 
pequenos retângulos. Considerando os retângulos que estão inteiramente contidos em R e 
numerando-os de 1 a n, a área de um destes corresponde a ∆Ak = ∆xk . ∆yk. 
 
Multiplicando pela função teremos o volume dos n retângulos considerando a base xy 
e a superfície z = f(x,y) teremos: 
 
∑
=
∆
n
k
kkk Ayxf
1
),( 
 
Se aumentar n a um número muito elevado , o volume tenderá a se aproximar do volume 
delimitado pela região R tendo como base o plano xy e como superfície z = f(x,y), ou seja: 
 
∑
=
∞→
∆
n
k
kkk
n
Ayxf
1
),(lim 
 
que equivale a integral dupla de f(x, y) sobre a região R: 
 
 
 ∫∫
R
dAyxf ),( ou ∫∫
R
dxdyyxf ),( 
 
correspondente ao volume do sólido delimitado superiormente por z = f(x,y) > 0 e 
inferiormente pela região R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de 
R. 
 
 
 
 
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5.2 – Propriedades 
 
Considerando que a região R é constituída por um número finito de curvas e arcos suaves, 
sem pontos angulosos, e que f(x) e g(x) são contínuas sobre a região R temos: 
a) ∫∫∫∫ =
RR
dAyxfkdAyxkf ),(),( , para todo k real 
b) ∫∫∫∫ ∫∫ +=+
RR R
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([ 
c) Se f(x,y) > g(x,y) para todo Ryx ∈),( , então ∫∫∫∫ ≥
RR
dAyxgdAyxf ),(),( 
d) Se f(x,y) > 0) para todo Ryx ∈),( , então 0),( ≥∫∫
R
dAyxf 
e) Se a região é composta por duas sub-regiões R1 e R2 que não tem pontos em comum, 
exceto possivelmente os pontos de suas fronteiras, então 
 ∫∫∫∫ ∫∫ +=
21
),(),(),(
RR R
dAyxfdAyxfdAyxf 
 
 
5.3 – Cálculo de Integrais Duplas 
 
Tipo I: A região R do plano xy é conforme a figura 
 
Nesse caso, a integral dupla 
 
∫∫
R
dxdyyxf ),( é calculada através da seguinte 
integral, dita iterada: 
 
 dxdyyxf
b
a
xf
xf
∫ ∫







 )(
)(
2
1
),( 
 
que representa o volume com base na região R. 
 
 
Tipo II: A região R do plano xy é conforme a figura 
 
 
 
 
 
Nesse caso, a integral dupla 
 
 
∫∫
R
dxdyyxf ),( = dydxyxf
d
c
yg
yg
∫ ∫







 )(
)(
2
1
),( 
 
 
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5.4 – Exercícios 
 
1) Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 – x – y , 
inferiormente pela região R delimitada pro x = 0, x = 2, y = 0 e 
2
1
4
1
+= xy e lateralmente 
pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. 
 
2) Calcular a integral ∫∫ +
R
dAyx )( , onde R é a região delimitada por y = x2 e y = 2x 
2) Calcular ∫∫=
R
xydxdyyI sen , onde R é o retângulo de vértices 





2
,0 pi , 





2
,1 pi , ( )pi,1 e 
( )pi,0 . 
 
3) Calcular integral: ∫ ∫ −=
1
0
4
4
2
x
y dydxeI 
 
4) Calcular ∫∫
R
xydA , onde R é o triângulo OAB ao lado: 
 
 
 
 
5) Calcule o volume do sólido determinado acima pelo gráfico de 21 xz −= , abaixo pelo 
plano 0=z e lateralmente pelos planos 0=y e 5=y . 
 
6) Calcule o volume do sólido determinado acima pelo gráfico de 21 yz −= , abaixo pelo 
plano 0=z e lateralmente pelos planos 0=x e 5=x . 
 
7) Calcule o volume do sólido determinado pelos planos 0=x , 0=y , 0=z e 1=++ zyx 
 
8) Determine: 
a) ∫∫
R
dxdyyxf ),( , sendo yxyxf −=),( e 



≤≤
≤≤
=
30
50
y
x
R 
b) ∫∫
R
dxdyyxf ),( , sendo 2)(),( yxyxf += e 



≤≤
≤≤
=
30
50
y
x
R 
c) Dê um valor aproximado para o volume do sólido dado pelas desigualdades 





≤≤
≤≤
+≤≤
30
50
)(0 2
y
x
yxz
 
 
 
 
9) Calcular ∫∫ +
R
dxdyx )4( , onde R é o retângulo 0 < x < 2, 0 < y < 6. Interpretar 
geometricamente. 
 29 
 
10) Calcular ∫∫ −−
R
dxdyyx )8( , onde R é a região delimitada por y = x2 e y = 4. 
11) Calcular ∫∫ +
R
dxdyyx )2( , onde R é região delimitada por x = y2- 1, x = 5, y = -1 e y= 2 
12) Calcule e interprete o resultado obtido: ∫∫
R
dxdy , onde 



≤≤
≤≤
=
yx
y
R
0
40
. 
13) Calcule ∫∫
R
dxdyxy3 , onde 



≤≤
≤≤
=
xy
x
R
20
21
 
14) Calcule ∫∫
R
dxdyxy2 , onde 



≤≤
≤≤
=
yxy
y
R
10
 
15) Calcule ∫∫ +
R
dxdyxy )( 3 , onde 



≤≤
≤≤
=
xyx
x
R
10
 
 
Respostas:1) 15/4 2)
2
1 pi+ 3) 1/8[1 - e-16] 4) 13/18 5) 20/3 
6) 20/3 7) 1/6 8) 15; 289,25; 280 9) 60 10) 896/15 11) 1533/20 
12) 8 , é a área de R 13) 42 14) 1/40 15) 19/180