CFVV - 6 Mudança variável integral dupla

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6 – Mudança de variável em integrais duplas 
 
 
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida numa região fechada e 
limitada R do plano xy. Através de uma mudança de variáveis 
 x = x (u, v) y = y (u, v) 
a integral dupla sobre uma região R do plano xy pode ser transformada numa integral 
dupla sobre uma região R’ no plano uv. 
 
A integral pode então ser escrita como: 
 
 ∫∫∫∫ ∂
∂
=
RR
dudv
vu
yx
vuyvuxfdxdyyxf ),(
),()),(),,((),( 
 
onde ),(
),(
vu
yx
∂
∂
 é o chamado determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por 
 
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
),(
),(
. 
 
O número jacobiano acima pode ser interpretado como uma medida de quanto a 
mudança de variáveis modifica a área da região. 
 
 
6.1 – Coordenadas Polares 
 
 As equações θcosrx = e θsenry = , são as coordenadas polares das 
coordenadas cartesianas (x, y). 
 O determinante jacobiano neste caso, é dado por: 
 r
r
r
r
yx
=
−
=
∂
∂
θθ
θθ
θ cossen
sencos
),(
),(
 
 
e a integral dupla sobre a região como 
∫∫∫∫ =
RR
rdrdrrfdxdyyxf θθθ )sen,cos(),( 
 
 
 
6.2 – Exemplos e Exercícios: 
 
1) Calcular ∫∫ +=
R
dxdyyxI 22 , sendo R o círculo de centro na origem e raio 2. 
2) Calcular ∫∫ +=
R
yx dxdyeI
22
, sendo R é a região do plano xy delimitada por 
x
2
 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9 
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3) Calcular ∫∫ +
R
dxdyyx 222 )( , onde R é a região da figura 1. 
4) Calcular ∫∫ +
R
dxdyyx )sen( 22 , onde R é a região da figura 2. 
5) Calcular ∫∫ ++R yx
dxdy
221
, onde R é a região da figura 3. 
6) Calcular ∫∫
++R yx
dxdy
2
3
22 )1(
, onde R é a região da figura 4. 
 
 
 
7) Calcular ∫∫ +=
R
dxdyyxI 22 , sendo R a região delimitada por x2 + y2 = 1 e 
x
2
 + y2 = 9. 
 
8) Calcular ∫∫ +
R
yx dxdye )(2
22
, sendo R o círculo x2 + y2 < 4. 
 
 
9) Calcular ∫∫ −−=
R
dxdyyxI )8( , sendo R delimitada por x2 + y2 = 1. Interpretar 
geometricamente. 
 
 
Respostas: 3) 
3
32pi
 4) )4cos1(
2
−
pi
 5) 5ln
8
5pi
 6) )
1
11(
2 2a+
−
pi
 7) 
3
52pi
 8) )1(
2
8
−e
pi
 9) pi8 
 
 
 32 
 
 
 
6.2 – Aplicações 
 
Conforme já discutido, a integral dupla nos permite o cálculo do volume de um sólido. 
Além disso pode ser utilizada para calcular áreas de regiões planas e massas de 
superfícies, entre outras aplicações. 
 
Se na expressão ∫∫
R
dxdyyxf ),( , fazemos f(x,y) = 1, obtemos ∫∫
R
dA
 
que nos dá a área da região de integração R. 
 
 
6.3 – Exemplo 
 
1) Calcular a área da região R delimitada por x = y 2 + 1 
e x + y = 3. 
 
2) Calcular o volume do sólido do tetraedro dado na 
figura ao lado: 
 
3) Calcular a massa da chapa delimitada por 



≤≤
≤≤
=
30
50
y
x
R sabendo que a 
densidade de um ponto qualquer ),( yx dessa região, é dado por 
1),( ++= yxyxf . 
 
 
6.4 – Exercícios 
 
1) Expresse através de uma integral dupla a área da região do primeiro quadrante 
do plano xy delimitada por 2xy = e 4=y . Calcule-a. 
 
2) Seja A a região limitada pelas curvas y = x, y = 4x e xy = 36. 
a) indique como você calcularia A usando integral simples 
b) indique como você calcularia A usando integral dupla 
c) calcule A 
 
3) Seja V o volume de um sólido delimitado por x = 0, x = 8, z = 8 – 2y2, z=0 
a) indique como você calcularia V usando integral simples 
b) indique como você calcularia V usando integral dupla 
c) calcule V 
 
4) Calcular os volumes dos sólidos delimitados pelas superfícies abaixo: 
a) y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4 
 
b) x2 + y2 = 1, z = 0 e z = x2 + y2 
 
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c) x2 + y2 = 4, y + z = 8 e z = 0 
 
5) Calcular o volume do sólido com uma base triangular no plano xy de vértices 
O(0, 0), A(1, 1), e B(0, 2); limitado superiormente por z = 2x e lateralmente 
pelo contorno da base dada. 
 
6) Calcular o volume do sólido obtido no 1º octante, delimitado por z = 1 – 2x – 3y 
e os planos coordenados. 
 
7) Determinar a área da região plana R delimitada pelas curvas y = x3, x + y = 2 e 
y = 0. 
 
8) Calcule a massa da chapa indicada na figura abaixo sabendo que a densidade 
superficial de um ponto ),( yx é 1),( 22 ++= yxyxf . 
 
 
 
 
Respostas: 1) 16/3 2) 36 ln2 3)96 4) a) 
3
128
 b) 
2
pi
 c) pi32 
 5) 
3
2
 6) 
36
1
 7) 
4
3
 8) 
26
24 aa
+