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Outubro de 2012
Eletricidade Básica — Parte I: Eletrostática
Abstract
Lei de Coulomb; carga elétrica; produção do campo elétrico por cargas; potencial elétrico; dipolo elétrico;
condutores e dielétricos; circuito com corrente contínua.
Dirceu Portes Jr.
Centro Federal de Educação Tecnológica -CEFET/RJ
Contents
I Eletrostática 2
1 Interação elétrica 2
1.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 O Campo Elétrico 6
2.1 Campo produzido por corpos extensos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Potencial elétrico 11
3.1 Dipolo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Circuitos de corrente contínua 20
4.1 Corrente elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Resistividade, resistores e resistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1 Potência em um resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.2 Potência transmitida por um …o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Força eletromotriz (fem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.1 Potência em uma fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Regras de Kirchho¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4.1 Regra da malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4.2 Regra do nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Problemas 26
5.1 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
Part I
Eletrostática
Na primeira parte do curso, vamos nos dedicar exclusivamente ao estudo do campo elétrico estático
— eletrostática. Dentro do eletromagnetismo, a eletrostática constitui-se em uma subdivisão
relativamente simples. Porém, é na eletrostática que se aprende algumas noções básicas e que se
inicia a construção do formalismo matemático da teoria.
1 Interação elétrica
Se alguém pentear o cabelo em um dia seco e aproximar o pente de pequenos pedaços de papel,
notará que eles serão atraídos pelo pente — o efeito será maior se os cabelos forem secos. Trata-se
de uma manifestação da interação elétrica, uma das interações fundamentais da natureza.
Observe que antes de ser friccionado o pente não atraía o papel, portanto alguma propriedade
dele mudou. Diz-se que o pente …cou eletri…cado devido à fricção. Note que, em um mesmo corpo,
a eletri…cação pode se manifestar em diferentes graus de intensidade ou até inexistir. A carga
elétrica, ou simplesmente carga, é justamente a grandeza física correspondente à eletri…cação, seu
valor numérico traduz a intensidade da eletri…cação de um corpo.
É claro que experiências de eletrização, semelhantes ao nosso modesto pente friccionado com
o cabelo humano, podem ser feitas com outros materiais, como o âmbar com a lã ou o vidro com
a seda, etc. Aliás, a palavra elektron vem do grego e signi…ca âmbar. Não é de se surpreender
que os gregos conhecessem a interação elétrica, visto que o fenômeno é muito simples, podendo
ser descoberto até por acaso.
Uma análise do fenômeno da eletrização com diferentes tipos de materiais revela de imediato
que existem dois tipos de carga e que o equilíbrio entre os dois tipos resulta em um corpo inerte
eletricamente. Daí, convencionar-se chamar um tipo de carga de positiva e a outro tipo de negativa,
pois se anulam quando justapostas em quantidades iguais. Na realidade, a carga de um corpo
eletri…cado será a carga líquida: balanço entre a carga total positiva e a carga total negativa.
2
A experiência também revela que cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinal opostos
se atraem. É muito signi…cativo o fato de a interação elétrica possibilitar a existência de forças re-
pulsivas na natureza. A força da gravidade é sempre atrativa. Se todas as interações fundamentais
fossem atrativas, não haveria como a matéria se manter estável.
1.1 Lei de Coulomb
Suponha duas partículas separadas por uma distância d e portadoras de carga q1 e q2. É razoável
que a força eletrostática produzida pela interação entre elas seja proporcional ao valor das cargas:
quanto maiores as cargas maior a força. Também é razoável que a força diminua com a distância
d: quanto maior à distância r menor a força. A lei de Coulomb (1725) obtida empiricamente,
a…rma que a magnitude da força eletrostática entre as cargas q1 e q2 será dada por
F = k
jq1j jq2j
d2
; (1)
sendo k uma constante, chamada constante de Coulomb ou constante eletrostática, cujo valor
dependerá do sistema de unidades adotado. No Sistema Internacional de Unidades (SI), que elege
o Coulomb como unidade de carga, o metro como unidade de distância e o newton como unidade
de força, tem-se que no vácuo
k = 8; 987� 109 Nm2=C2 ' 9; 0� 109 Nm2C�2:
Por razões que vão se revelar mais adiante, é conveniente expressar k em termos de outra
constante, "0; a partir da relação
k =
1
4�"0
: (2)
A constante "0 é chamada de permissividade elétrica no vácuo;
"0 = 8; 854� 10�12 N�1m�2C2:
A lei de Coulomb acima, eq.(1), determina apenas o módulo da força (usamos a notação F =���~F ���). Para se obter uma expressão matemática que forneça o vetor correspondente à força, é
conveniente de…nir-se o vetor unitário
r^1!2 =
~r2 � ~r1
j~r2 � ~r1j ;
3
onde ~r1 e ~r2 são as posições das cargas q1 e q2 respectivamente. Note que o vetor ~r2 � ~r1 tem
módulo igual a distância entre as cargas
j~r2 � ~r1j = d;
direção da reta que liga as cargas e sentido orientado da carga q1 para a carga q2. De fato, ele
corresponde a posição da carga q2 em relação a carga q1 e r^1!2 é o seu unitário correspondente.
Denotando-se por ~F1!2 a força que a carga q1 exerce sobre a carga q2, tem-se
~F1!2 =
1
4�"0
q1q2
j~r2 � ~r1j2
r^1!2 : (3)
Ressaltamos que jr^1!2j = 1, logo ele não altera a intensidade da força, apenas lhe atribui direção
e sentido. Note que, se as cargas q1 e q2 tiverem o mesmo sinal, a força tenderá a afastar q2 de q1
(sentido de r^1!2); caso contrário, se as cargas tiverem sinais opostos, a força tenderá a aproximar
q2 de q1 (sentido de �r^1!2): A equação (3) incorpora, portanto, um importante resultado: cargas
de mesmo sinal se repelem e cargas de sinal contrário se atraem. De forma análoga, a força que a
carga q2 exerce sobre a carga q1 será dada por
~F2!1 =
1
4�"0
q1q2
j~r1 � ~r2j2
r^2!1:
É claro que j~r1 � ~r2j = j~r2 � ~r1j e que o vetor unitário r^2!1 terá orientação contrária ao unitário
r^1!2 (r^2!1 = �r^1!2) : Ficando imediato que
~F2!1 = �~F1!2;
o que está compatível com a lei da ação e reação de Newton.
1.2 Carga elétrica
A carga elétrica juntamente com a massa são propriedades básicas das partículas fundamentais
que constituem a matéria. No átomo, o próton tem carga positiva e o elétron tem carga negativa
de mesmo módulo. Por conseguinte, a carga líquida de um átomo será nula, pois ele é formado
por igual número de prótons e de elétron. Como a matéria é formada por átomos, os corpos em
geral têm carga líquida nula também. A neutralidade de matéria explica porque não percebemos
4
a interação eletrostática no dia a dia. Na realidade, a interação eletrostática é muito mais intensa
que a gravitacional, mas sua resultante tende a ser nula, porque vivemos cercados por igual número
de cargas positivas e negativas.Entretanto a neutralidade da matéria só se manifesta globalmente, em escalas macroscópicas.
Nas distâncias interatômicas, quebrada a simetria entre cargas positivas e negativas, a interação
elétrica e magnética são preponderantes, sendo a força gravitacional totalmente desprezível. O
olho humano não vê o que acontece em escalas interatômicas, razão pela qual a interação eletro-
magnética …ca meio que “escondida”, porém manifesta-se o tempo todo. Na colisão entre dois
corpos rígidos, por exemplo, é a interação eletromagnética que produz a ilusão do contato. Na
realidade, os corpos nunca se tocam. Enormes forças repulsivas de origem eletromagnética impe-
dem que os dois corpos venham a ocupar o mesmo lugar no espaço. A pancada é, portanto, um
fenômeno eletromagnético microscópico que ocorre em escalas interatômicas, o que percebemos é
o seu resultado global macroscópico. Curioso é que estamos “tocando”no campo eletromagnético
o tempo todo, através do sentido do tato. E há ainda aqueles que acham o campo eletromagnético
algo abstrato e distante do mundo real.
Não podemos, contudo, incorrer no erro de achar que a interação eletromagnética só se mani-
festa em escalas interatômicas. Existem vários fenômenos perceptíveis em escalas macroscópicas,
como o exemplo inicial do pente atraindo os pequenos pedaços de papel. Boa parte de tais fenô-
menos estão relacionados à mobilidade dos elétrons. Quando elétrons migram de um corpo para
outro, o doador …ca com prevalência de cargas positiva e o receptor com prevalência de cargas
negativas — supondo, é claro, que os dois corpos estivessem inicialmente com carga líquida nula.
Como a interação eletrostática é muito potente, qualquer pequeno desequilíbrio entre as cargas
positivas e negativas pode provocar fenômenos físicos signi…cativos. Ao longo do curso serão vis-
tos outros fenômenos relacionados com o movimento dos elétrons, como a corrente elétrica e o
magnetismo.
Por último, não podemos encerrar esta seção sem mencionarmos a conservação e a quantização
da carga.
O princípio da conservação da carga a…rma que a carga líquida não varia em um sistema isolado.
5
Em outras palavras, a carga não pode ser criada ou destruída, pode apenas ser transferida.
A quantização refere-se ao fato da carga aparecer sempre como múltiplo de uma quantidade
fundamental, denominada carga elementar e;
e = 1; 6021� 10�19C :
A carga do próton é justamente igual a e; e a carga do elétron igual a �e: De modo mais geral, para
qualquer carga q, sempre se terá q = m�e com m inteiro: Contudo, para problemas macroscópicos
quando q � e, pode-se ignorar a quantização e considerar q como um número real.
2 O Campo Elétrico
O campo elétrico e o campo magnético são os dois grandes protagonistas do eletromagnetismo,
mas por ora vamos nos concentrar no campo elétrico.
Começamos com a noção de campo em física. Com freqüência, estudantes lidam com grandezas
físicas cujo valor está associado a um sistema em particular, como a massa de um bloco ou a
velocidade de um projétil. Nestes exemplos, o valor da massa é especí…co daquele bloco e o valor
da velocidade especí…co daquele projétil. No entanto, se alguém mencionasse que a aceleração
da gravidade em certo local é tanto, esse valor não estaria associado a um corpo em particular,
mas a um local. A aceleração da gravidade é um exemplo de campo: seu valor está associado a
cada ponto do espaço, podendo ter valores distintos para pontos distintos. A aceleração é uma
grandeza vetorial, logo o campo gravitacional é um campo vetorial. O campo elétrico, semelhante
ao campo gravitacional, também é vetorial.
Em termos matemáticos, o campo elétrico é uma função que associa a cada ponto ~r do espaço
tridimensional um vetor ~E. Usa-se a notação ~E (~r) para se referir a tal função. Como são
necessárias três coordenadas para se designar um ponto no espaço e outras três para se designar
as componentes de um vetor, o campo elétrico será uma função com domínio em R3e imagem em
R3— em linguagem matemática, ~E (~r) : R3 ! R3.
A questão agora é o signi…cado físico do campo elétrico. Voltemos à analogia com o campo
gravitacional.
6
Na superfície da Terra o campo gravitacional está presente em todos os pontos, vivemos imersos
nele, e o percebemos através do peso. É bastante conhecido que a força peso ~F é dada por
~Fsobre um corpo de massa m = m ~gproduzido pela Terra
O subscrito está enfatizando que a aceleração da gravidade ~g em um dado local não tem nada a
ver com o corpo, é determinada pela Terra, sua massa e sua forma, elementos externos ao corpo
que sofre a força. Já a massa é uma característica intrínseca do corpo, não tem nada a ver com a
Terra. O peso, portanto, é produzido pela interação de um corpo ("representado" por m) com o
campo gravitacional da Terra ("representado" por ~g).
De forma semelhante, ao invés de pensarmos que a carga q1 exerce uma força sobre a carga q2,
devemos pensar que a carga q1 gera um campo elétrico em torno de si e esse campo interage com
a carga q2, ou seja, a interação é mediada pelo campo elétrico. De acordo com esta abordagem,
devemos ter
~Fsobre q2 = q2
~Eproduzido por q1 :
Olhando a eq.(3) …ca claro que o campo elétrico produzido por q1 no ponto em que está localizada
a carga q2 é dado por
~E1!2 =
1
4�"0
q1
j~r2 � ~r1j2
r^1!2:
A partir da última equação, pode-se obter a expressão geral para o campo elétrico em ponto
genérico ~r (~r2 ! ~r) produzido por uma carga q qualquer (q1 ! q) posicionada em ~rq(~r1 ! ~rq),
~E (~r) =
1
4�"0
q
j~r � ~rqj2
r^q: (4)
Na qual o vetor unitário r^ tem a mesma direção e o mesmo sentido de ~r � ~rq; isto é
r^q =
~r � ~rq
j~r � ~rqj :
Sempre que se tiver apenas uma carga produzindo campo elétrico, pode-se escolher a origem do
sistema de referência como a posição dessa carga (~rq = ~0) Nesse caso, a equação (4) simpli…ca-se
para a forma
~E (~r) =
1
4�"0
q
r2
r^: (5)
7
Conhecida a expressão para o campo elétrico produzido por uma carga q, facilmente calcula-se
a força que o campo produz sobre qualquer outra carga q0 imersa nele,
~F = q0 ~E: (6)
Observe que uma carga não interage com o campo que ela mesma gera, ela interage com o campo
exterior a ela, gerado por outras cargas.
Alguém poderia dizer que a eq.(4) combinada com a eq.(6) é totalmente equivalente à lei de
Coulomb e que o campo elétrico seria uma abstração dispensável. Na realidade, o eletromag-
netismo é muito maior que a lei de Coulomb, inclusive será visto que o campo eletromagnético
tem "vida própria" (existe independente da existência de cargas).
A …gura (1) ilustra as linhas de força de um campo elétrico formado por cargas pontuais
(monopolo), conforme descrito na equação (4). Vemos que as linhas de força são radiais, divergem
quando a carga é positiva e convergem quando a carga é negativa.
As linhas de força, conforme ilustrado nas …guras (1) e (2), constituem-se no melhor recurso
visual possível para se representar um campo vetorial. Não seria possível se fazer um grá…co, tão
pouco seria possível se desenhar um vetor em cada ponto. O traçado das linhas de força obedece
três regras:
� Os vetores do campo são tangentes às linhas de campo.
� O sentido dos vetores do campo é o mesmo das linhas.
� A intensidade do campo em uma região é proporcional à densidade de linhas nesta região.
A …gura (1) deixa claro a simetria esférica do campo. Imagine uma esfera centrada no
monopolo. Em qualquer ponto dessa esfera o campo terá o mesmo módulo e será sempre perpen-
dicular à superfície.
Entretanto o campo perde a simetria esférica quando produzido por várias cargas. Podemos ter
sistemas mais complexos, com N cargas pontuais qi (i = 1; :::; N) de diferentes valores; distribuídas
das mais diversas formas.Seja qual for a con…guração, sempre pode-se calcular o campo elétrico
através do princípio da superposição, que consiste em obter o campo elétrico resultante somando
8
Figure 1: Campo elétrico produzido por monopolo
o campo gerado por cada uma das cargas individualmente. Em linguagem matemática,
~E = ~E1 + :::+ ~Ei + :::+ ~EN ;
sendo que ~Ei corresponde ao campo gerado pelo monopolo de carga qi: Denotando por ~ri a posição
da carga qi; a expressão geral para o campo elétrico em um ponto arbitrário ~r será
~Ei(~r) =
1
4�"0
NX
i=1
qi
j~r � ~rij2
r^i; (7)
onde
r^i =
~r � ~ri
j~r � ~rij :
Em suma, o campo produzido por qualquer distribuição discreta de cargas pode ser calculado
como uma soma de monopolos.
A unidade de campo elétrico no SI é newton por Coulomb N C�1ou volt por metro V m�1:
O N C�1 é evidente pela eq.(6), já o V m�1 …cará claro quando estudarmos o potencial elétrico.
2.1 Campo produzido por corpos extensos
Até momento só falamos de campo elétrico produzido por monopolos, o que equivale a tratar o
portador da carga elétrica como um ponto matemático, sem dimensões e sem forma. Tal abor-
dagem será correta sempre que as dimensões internas de um corpo carregado eletricamente forem
desprezíveis quando comparadas com a distância r presente na eq.(5). Caso contrário, se as
dimensões internas do corpo não forem desprezíveis, sua forma e extensão serão relevantes.
9
Em um corpo extenso, a carga líquida está distribuída em seu volume. É o que chamamos
de uma distribuição contínua de cargas, representada pela densidade volumétrica de carga �. Em
uma distribuição uniforme � será constante, igual à carga total dividida pelo volume total. Se a
distribuição não for uniforme, � será uma função de…nida na região do volume V ocupado pelo
corpo.
A abordagem matemática neste contexto consiste em idealizar a corpo dividido em partes
in…nitesimais de volume dV: Cada in…nitésimo dV contém uma carga in…nitesimal dq, dada por
dq = �dV: (8)
Cada elemento in…nitesimal pode ser considerado um monopolo e, por conseguinte, irá con-
tribuir com um campo d ~E dado por
d ~E (~r) =
1
4�"0
� (~r0)
j~r � ~r0j2 r^
0dV; (9)
onde ~r0 é a posição elemento in…nitesimal e
r^0 =
~r � ~r0
j~r � ~r0j :
O campo elétrico será obtido pela soma de todas as contribuições d ~E (~r) :A soma continua de
in…nitésimos resulta na integral,
~E (~r) =
Z
d ~E (~r) : (10)
Usando eqs(9-10), tem-se
~E (~r) =
1
4�"0
ZZZ
V
� (~r0)
j~r � ~r0j2 r^
0dV: (11)
A integral acima ainda não está na forma …nal. É necessário tratar adequadamente o vetor
r^0, que deverá ser projetado nos eixos do sistema de referência a ser adotado. Tal sistema de
referência estará associado a um conjunto de coordenadas, e todas as variáveis, � (~r0) ; j~r � ~r0j
e r^0; além do limite de integração V e da diferencial dV; devem ser expressos em função dessas
coordenadas. Não existe um procedimento geral para a escolha do sistema de referência e das
respectivas coordenadas associadas a ele, isso vai depender do problema a ser resolvido.
10
O resultado acima foi obtido para o cálculo do campo elétrico gerado por um objeto sólido
carregado. Se estivermos tratando de um sistema bidimensional, uma chapa, um disco, etc, obter-
emos o campo pelo cálculo de uma integral de superfície e devemos usar a densidade super…cial
de carga � ao invés da densidade volumétríca �;
~E (~r) =
1
4�"0
ZZ
S
� (~r0)
j~r � ~r0j2 r^
0dS:
De forma análoga, se o sistema corresponder a uma linha, uma barra, um anel, etc, obteremos o
campo pela integral ao longo de uma linha
~E (~r) =
1
4�"0
Z
C
� (~r0)
j~r � ~r0j2 r^
0dl:
onde � é a densidade linear de cargas.
Na realidade, o cálculo do campo elétrico a partir da eq.(11) é, quase sempre, uma tarefa
bastante árida. Na próxima seção, veremos que com o auxilio do potencial elétrico também é
possível calcularmos o campo elétrico por um outro caminho, geralmente um pouco mais fácil.
3 Potencial elétrico
Suponha um monopolo de carga q imerso em um campo ~E(~r). O trabalho exercido por uma força
externa ~F para deslocar a partícula por um caminho C;de um ponto inicial ~ri até um ponto …nal
~rf ; será calculado pela integral de linha
Wi!f =
Z
C
~F :d~l:
Suponha também que a velocidade …nal da partícula seja igual a sua velocidade inicial, de modo
que não haja variação de energia cinética. Nesse caso, o trabalho exercido pela força externa será
o simétrico do trabalho exercido pela força eletrostática q ~E, isto é
Wi!f = �q
Z
C
~E:d~l: (12)
O cálculo da integral de linha presente na última equação pode ser trabalhoso dependendo
do campo E(~r). Não seria prático se ter que calcular uma integral de linha sempre que fosse
11
necessário se conhecer o trabalho. Para contornar essa di…culdade, de…ne-se o potencial elétrico.
Por de…nição, a diferença de potencial elétrico (ddp) entre os pontos ~ri e ~rf é dada por
�V = V (~rf )� V (~ri) � �
Z
C
~E � d~l: (13)
Agora, com o uso do potencial elétrico, …ca fácil calcular o trabalho e, conseqüentemente, a
variação de energia e a potencia. Combinando as equações e (12) (13), obtém-se
W
i!f = q�V: (14)
Nesse ponto, fazem-se necessárias algumas observações de natureza matemática.
A de…nição de ddp dada na equação (13) não especi…ca o caminho percorrido pela partícula
para ir de ~ri até ~rf . A rigor, existem in…nitos caminhos ligando dois pontos e, para um campo
vetorial qualquer, o valor da integral de linha poderia ser diferente para caminhos diferentes. De
sorte que o campo elétrico não é um campo qualquer, na eletrostática a integral de linha do campo
elétrico resulta no mesmo valor numérico independente do caminho escolhido, ou seja, só depende
do ponto inicial e do ponto …nal. Campos com esta propriedade são chamados de conservativos.
Outro ponto importante é que a equação (13) só de…ne a ddp sem especi…car o potencial
absoluto; na verdade, é a ddp que pode ser medida e tem signi…cado físico. Para se ter um valor
absoluto do potencial, arbitra-se um ponto de referência ~rref onde V (~rref ) = 0, normalmente ~rref
é o ponto onde o campo elétrico é nulo, ~E(~rref ) = 0. Resulta que o potencial …ca determinado
por
V (~r) = V (~r)� V (~rref ): (15)
Em outras palavras, o potencial absoluto V (~r) corresponde a ddp em relação o um ponto de
referência. Note que V (~r) forma um campo escalar.
Continuando um pouco mais com a matemática...
Até agora foi visto como o potencial pode ser obtido a partir do campo elétrico (eq. (13)), mas
o contrário — o campo elétrico obtido a partir do potencial — é igualmente fundamental. Para
deduzir essa relação, considere um deslocamento in…nitesimal
d~l = dx {^+ dy |^+ dz k^
12
Aplicando a eq. (13) para esse deslocamento in…nitesimal, obtém-se
dV = � ~E � d~l : (16)
Por outro lado,
dV =
@V
@x
dx+
@V
@y
dy +
@V
@z
dz
=
�
@V
@x
{^+
@V
@y
|^+
@V
@z
k^
�
�
�
dx {^+ dy |^+ dz k^
�
=
�
~rV
�
� d~l : (17)
Comparando as eqs. (16) e (17), de imediato conclui-se que
~E = �~rV = �
�
@V
@x
{^+
@V
@y
|^+
@V
@z
k^
�
: (18)
Com essa última equação, a relação matemática entre o campo elétrico e o potencial elétrico
…cou completa. Vamos resumi-la:
Associado ao campo vetorial ~E(~r) existe o campo escalar V (~r). Conhecendo-se ~E(~r), obtém-se
V (~r) pelas eqs.(13) e (15); em contrário, conhecendo-se V (~r), obtém-se ~E(~r) pela eq.(18). O campo
elétrico está relacionado diretamente com a força, enquanto o potencial elétrico está relacionado
diretamente com o trabalho e a energia. Na prática do dia a dia, o potencial elétrico é muito mais
usado que o campo elétrico, pois é mais simples devido aofato de ser um campo escalar.
Em particular, para um campo elétrico uniforme ~E(~r) = ~E …ca trivial a integral de linha para
um caminho retilíneo l de mesma direção e sentido de ~E;Z
~E:d~l = El :
Nesse caso a eq(13) …ca simplesmente
�V = �El ; (19)
o que resulta em uma enorme simpli…cação da teoria. Felizmente, boa parte das aplicações que
serão analisadas envolvem campo elétrico uniforme. A última equação deixa claro porque é muito
utilizada a unidade V=m para o campo elétrico. A propósito, a unidade de potencial no SI é o
volt (V ).
13
Não tão simples, mas igualmente importante, é o cálculo do potencial produzido por um
monopolo de carga q:
Antes de partirmos para a conta, é importante destacar o conceito de superfície equipotencial.
Como o nome já diz, em uma superfície equipotencial o potencial será o mesmo para dois pontos
quaisquer dessa superfície. Por conseguinte, �V = 0 para qualquer caminho contido em uma
superfície equipotencial. Pela equação (13), conclui-se que �V = 0 sempre que ~E for perpen-
dicular à d~l ( ~E � d~l = 0), o que implica no fato do campo elétrico ser perpendicular à superfície
equipontencial em todos os seus pontos. A recíproca também é verdadeira: se ~E for perpendicular
a uma superfície, então essa superfície necessariamente será uma equipotencial. Resumindo:
S é equipotencial, ~E é perpendicular à S:
No caso do monopolo, o campo elétrico é perpendicular a qualquer esfera centrada no monopolo
(veja …gura (1)), o que permite concluir que a esfera é uma superfície equipotencial. Assim, o
potencial elétrico produzido por um monopolo só irá depender da distância entre a carga e o ponto.
Agora vamos à conta. Aplicando a de…nição de potencial eq.(13) ao campo elétrico do
monopolo, eq.(5), tem-se
�V = � q
4�"0
Z
C
r^
r2
� d~l :
Fazendo a integração em um caminho retilíneo e radial de ri até rf , obtém-se
V (rf )� V (ri) = � q
4�"0
Z rf
ri
dr
r2
pois r^ � d~l = dr: A integral de…nida acima pode ser calculada sem maiores di…culdades e tem por
resultado
V (rf )� V (ri) = q
4�"0
�
1
rf
� 1
ri
�
:
Aplicando a eq.(15),
V (r) =
q
4�"0
�
1
r
� 1
rref
�
:
Deseja-se ter limr!1 V (r) = 0, pois o campo elétrico tende a zero no in…nito e não seria razoável
que a mesma coisa não acontecesse com o potencial elétrico. Fazendo rref tender a in…nito, é
14
imediato que
V (r) =
1
4�"0
q
r
: (20)
Para um conjunto de N cargas qi, o potencial será a superposição do efeito de cada uma das
cargas,
V (~r) =
1
4�"0
NX
i=1
qi
j~r � ~rij ; (21)
onde ~ri é a posição de cada carga qi:Em coordenadas cartesianas, ~r = x{^ + y|^ + zk^ e ~ri =
xi {^+ yi|^+ zik^; logo
V (x; y; z) =
1
4�"0
NX
i=1
qiq
(x� xi)2 + (y � yi)2 + (z � zi)2
: (22)
Semelhante ao que foi feito quando se deduziu a eq.(11), obtém-se
V (~r) =
1
4�"0
ZZZ
V
� (~r0)
j~r � ~r0jdV: (23)
para corpos extensos — distribuição contínua de cargas. Sobre essa última integral vale o mesmo
comentário feito após a equação (11).
Eventualmente o volume pode reduzir-se a uma superfície (uma chapa, por exemplo),
V (~r) =
1
4�"0
ZZ
S
� (~r0)
j~r � ~r0jdS
ou a uma linha (um anel, por exemplo),
V (~r) =
1
4�"0
Z
C
� (~r0)
j~r � ~r0jdl:
Conhecido o potencial V (~r) ; o campo elétrico ~E(~r) pode ser obtido com relativa facilidade
pela eq.(18). Portanto existem duas formas de se obter o campo elétrico: resolver diretamente
integral (11), ou calcular o potencial pela integral (23) e depois determinar o campo elétrico pelo
gradiente do potencial. A segunda alternativa geralmente é a melhor escolha, porque não envolve
vetores no integrando.
3.1 Dipolo elétrico
O dipolo elétrico é constituído por duas cargas de mesmo módulo e sinais contrários (q;�q)
separadas por uma distância d: Está presente em uma variedade enorme de aplicações práticas,
desde a geração de sinais em antenas até a polarização das moléculas.
15
Figure 2: Campo elétrico produzido por um dipolo
Para o dipolo elétrico é útil de…nirmos o vetor momento de dipolo elétrico ,
~p = q~d ;
onde ~d é o vetor deslocamento que vai da carga negativa para a positiva.
Veja a representação de ~p na …gura (2), juntamente com as linhas de força para o campo
elétrico produzido pelo dipolo, que é mais complexo que o campo do monopolo. Note que linhas
"surgem" na carga positiva e "terminam" nas cargas negativas, uma característica geral do campo
eletrostático.
Considere um ponto P distante r(+)da carga positiva e r(�) da carga negativa, veja …gura (3).
Usando a eq.(21), o potencial elétrico em P será dado por
V =
1
4�"0
�
q
r(+)
� q
r(�)
�
=
1
4�"0
q
�
r(�) � r(+)
�
r(+)r(�)
:
Se a distância d for muito pequena comparada com r, pode-se escrever,
r(+)r(�) = r2
e
r(�) � r(+) = d cos �;
o que resulta em
V =
p
4�"0
cos �
r2
: (24)
16
Figure 3: Aproximação para d� r
Lembramos que o resultado acima só é válido no limite r � d. Deixamos como exercício a forma
geral do potencial e do campo elétrico produzido por um dipolo em coordenadas retangulares
(exercício 1.3).
O resultado obtido em eq.(24) está em coordenadas polares (r; �), sendo que foi tomado o
ponto médio entre as duas cargas como origem do sistema de referência. Para se obter o campo
elétrico precisamos calcular o gradiente em coordenadas polares também,
~E = �@V
@r
r^ � 1
r
@V
@�
�^ (25)
onde r^ é o vetor unitário radial (mesma direção de r e sentido de r crescente) e �^ é o vetor unitário
axial (direção perpendicular à ~r e sentido de � crescente):Combinando eq.(24) e eq.(25), é imediato
que
~E =
cos �
2�"0
p
r3
r^ +
sin �
4�"0
p
r3
�^: (26)
É um fato bastante comentado na literatura especializada sobre o assunto que o campo elétrico
produzido por um dipolo decresce proporcional ao cubo da distância (1=r3 na eq.(26)); enquanto
que no monopolo o campo decresce proporcional ao quadrado da distância (1=r2 na eq.(4)), resul-
tado que pode ser generalizado para multipolos de ordem superior, mas pararemos por aqui.
17
3.2 Dielétricos
Diferentes materiais possuem diferentes propriedades elétricas. Entretanto, em uma primeira
abordagem, podemos separar os materiais em dois grupos: condutores e dielétrico (ou isolantes).
Em um dielétrico os elétrons estão presos aos átomos e não tem liberdade de se movimentar
através do meio. No entanto, na presença de um campo elétrico externo, a matéria …ca polarizada,
isto é, suas moléculas, ou átomos, tornam-se dipolos elétricos orientados na direção do campo
aplicado, veja …gura (4). Como resultado o dielétrico torna-se um grande dipolo e produz um
campo elétrico que tende a diminuir o campo aplicado. Outra propriedade do dielétrico é que ele
tende a se movimentar na direção em que o campo cresce. Foi justamente isso que aconteceu na
interação entre o pente e os pedaços de papel exempli…cado na primeira seção.
A discussão sobre os dielétricos é longa. Vamos economizar algumas páginas, pulando logo
para a conclusão.
O fato é que o efeito produzido pela polarização do dielétrico …ca incorporado no valor da
permissividade do meio. Desse modo, cada diferente material dielétrico possuirá um respectivo
valor de permissividade, que pode depender da temperatura e outros fatores. De forma mais
esquemática,
dielétricos: "0 ! ":
Também se de…ne a constante dielétrica, que tem a vantagem de ser adimensional,
� =
"
"0
: (27)
Figure 4: Polarização da matéria
18
Por exemplo, o campo elétrico produzido por um monopolo no interior de um dielétrico será dado
por
~Ediel�etrico =
1
4�"
q
r2
r^ =
~Ev�acuo
�
:
Como " � "0 (ou � � 1), o campono dielétrico …cará menos intenso do que no vácuo.
3.3 Condutores
Nos condutores, como o nome sugere, as cargas elétricas podem se movimentar através do meio.
No equilíbrio eletrostático, devido às forças repulsivas, a carga livre em excesso distribui-se na
superfície do condutor de maneira a anular o campo elétrico em seu interior. O mesmo efeito
acontece quando o condutor é polarizado na presença de um campo externo, veja …gura (5). Por-
tanto o campo elétrico é nulo no interior de um condutor, quer ele esteja carregado eletricamente
ou não, quer ele esteja na presença de um campo externo ou não. Esse efeito é chamado de
"gaiola de Faraday ". É importante destacar que tal fenômeno ocorre somente no equilíbrio elet-
rostático. Em um …o transportando corrente elétrica existe campo elétrico em seu interior, pois
há movimento de cargas.
Como o campo é nulo no interior do condutor, o seu potencial elétrico tem que ser uniforme,
não pode haver ddp entre dois pontos do condutor, veja eq.(13) ou eq.(18). Também temos que o
campo elétrico (externo) na superfície do condutor é perpendicular à mesma. Se assim não fosse,
haveria componente tangencial da força elétrica e as cargas não poderiam estar em equilíbrio.
Figure 5: Gaiola de Faraday
19
Resumindo, para um condutor em equilíbrio eletrostático:
1) Toda carga líquida, ou polarizada, …ca distribuída ao longo da superfície de contorno do
condutor.
2) O campo elétrico é nulo no interior do condutor.
3) O potencial elétrico é uniforme no interior do condutor.
4) O campo elétrico é perpendicular a superfície externa do condutor.
4 Circuitos de corrente contínua
4.1 Corrente elétrica
O movimento das cargas …ca perfeitamente descrito por um campo vetorial chamado densidade
de corrente elétrica, ~j. Temos que
~j = densidade de carga livre � velocidade média das cargas.
A corrente elétrica é de…nida como o ‡uxo de ~j; isto é,
i =
Z
s
~j � d~S: (28)
Repare que a corrente elétrica não é uma grandeza vetorial, é um ‡uxo. Está sempre associada a
uma superfície e seu valor numérico corresponde à quantidade de carga pelo tempo que atravessa
a referida superfície, ou seja,
i =
dq
dt
. (29)
O sinal negativo da corrente irá acontecer quando o sentido ~j for contrário ao sentido de d~S:
Nos …os condutores usados no dia a dia, subentende-se que a corrente se refere à área da seção
reta transversa do …o, o que resulta na corrente transmitida na dimensão longitudinal. Nesse caso,
~j, que normalmente pode ser considerado uniforme, será perpendicular à seção transversal A do
…o condutor, o que reduz a eq.(28) para
i = jA: (30)
No SI, a unidade de corrente elétrica é o Ampère (A).
20
4.2 Resistividade, resistores e resistência
No interior de um …o com corrente elétrica necessariamente existirá campo elétrico, pois deve haver
uma força para manter as cargas em movimento, vencendo as forças que oferecem resistência ao
movimento. Tem-se que
~E = � ~j ; (31)
onde � é a resistividade elétrica. A resistividade corresponde a ”oposição" que o meio apresenta
ao deslocamento das cargas; quanto maior a resistividade, maior deverá ser o campo elétrico
para produzir a mesma densidade de corrente ~j: Cada diferente material (cobre, alumínio, etc.)
possui sua própria resistividade. Um condutor ideal teria resistividade nula (supercondutor),
um isolante ideal teria resistividade in…nita. A resistividade pode variar com o próprio campo
aplicado, � = �
�
~E
�
; nesse caso o material será dito não-ôhmico. Evidentemente, se � não variar
com ~E; o material será dito ôhmico.
Em um circuito, resistores são colocados a …m de limitar ou controlar a corrente através de
sua resistência. A resistência é de…nida como a razão entre a ddp aplicada ao resistor e a corrente
produzida por esta ddp,
R �
�����Vi
���� : (32)
É comum na literatura a diferença de potencial �V ser denotada simplesmente por V; resultando
na conhecida equação V = Ri: Por razões que a própria razão desconhece, tal equação costuma
ser chamada erroneamente de "lei de ohm". Na realidade a lei de ohm não é a equação V = Ri;
mas o fato da resistência permanecer com seu valor inalterado independente da ddp aplicada, o
que é verdadeiro apenas para materiais ôhmicos. A equação V = Ri, que está longe de ser uma
lei da natureza, é a própria de…nição de resistência, que independe do material ser ôhmico ou
não-ôhmico.
Considere agora um condutor de comprimento l e seção transversal A, multiplicando ambos
os lados da eq.(31) por lA;
ElA = �jlA ;
21
e usando as equações (19) e (30), obtém-se
��V =
�
� l
A
�
i : (33)
Pela eq.(32),
R =
� l
A
: (34)
Esta equação deixa claro a diferença entre resistência e resistividade, a resistividade é uma car-
acterística do material, já a resistência é uma propriedade do resistor, depende de sua forma, de
seu tamanho, e da resistividade do material utilizado.
Combinando-se as eqs.(33) e (34), é imediato que
�Vresistor = �Ri : (35)
Note que, em um resistor, a ddp �V tem sinal contrário ao da corrente, o que signi…ca que o
potencial decresce no sentido da corrente.
A resistência equivalente de uma combinação de resistores é a resistência de um único resistor
que, usado no lugar da combinação, transportaria a mesma corrente que a combinação de resistores
para uma mesma ddp.
Para N resistores Ri colocados em série, teremos
�V = �V1 + :::+�VN
= R1i+ :::+RN i
= (R1 + :::+RN ) i
= Reqi :
Logo
Req =
NX
i=1
Ri :
Para N resistores Ri colocados em paralelo, teremos
�V = �V1 = ::: = �VN
22
e
i = i1 + :::+ iN
=
�V1
R1
+ :::+
�VN
RN
=
�
1
R1
+ :::+
1
RN
�
�V
=
1
Req
�V :
Logo
Req =
1P
1=Ri
: (36)
No SI, a unidade de resistência é o ohm (
) e de resistividade é o ohm vezes metro (
m).
4.2.1 Potência em um resistor
A energia dissipada em um resistor é equivalente ao trabalho exercido pelas forças de resistência
contra o movimento das cargas. Para a potência, temos que
P =
dW
dt
;
o que, pela equações (14) e (29), resulta em
Presistor = �Vresistor i : (37)
Na equação acima, obrigatoriamente �V será negativo, se i for positivo; ou �V será positivo, se
i for negativo, porque o potencial sempre decresce no sentido da corrente em um resistor. Desse
modo, a potencia dissipada em um resistor será sempre negativa. De fato, em um resistor, a
energia eletromagnética é transformada em calor e o circuito perde energia (efeito Joule).
Podemos substituir a equação (35) e obter outras fórmulas equivalentes para a potência,
Presistor = �V i = �Ri2 = � (�V )
2
R
: (38)
4.2.2 Potência transmitida por um …o
Um segmento de …o condutor não deixa de ser um resistor com uma resistência muito baixa.
No entanto, não devemos confundir a potência dissipada pelo …o devido sua resistência, com a
23
potência que ele transmite entre os dispositivos que liga. A energia transmitida pelo …o é dada
por
Ptransmitida = V i:
Ocorre é que V vai diminuindo ao longo de um …o e, portanto, a potência transmitida por ele
também vai decrescendo. Essa perda de energia corresponde, justamente, à potência dissipada
pelo …o devido seu efeito resistivo.
4.3 Força eletromotriz (fem)
Uma fonte de fem, como pilhas e baterias, pode fornecer energia positiva a um circuito, ao con-
trário dos resistores que sempre dissipam a energia. Uma fem é representada por traços paralelos
assimétricos a …m de indicar a polaridade. O traço maior representa o terminal de maior potencial
V+; enquanto o traço menor representa o terminal de menor potencial V�: O sentido de atuação
de uma fem, ou simplesmente sentido da fem, é aquele que vai do menor potencial para o de maior
potencial no interior da fem, veja …gura (6).Temos que
V+ = V� + E ; (39)
onde E é a ddp fornecida pela fonte de corrente contínua. É fácil ver que a ddp �V será positiva
no sentido da fem
�V = V+ � V� = E :
O sentido natural da corrente é sempre do potencial maior para o menor, semelhante à água,
que sempre corre do ponto mais alto para o mais baixo. Mas a fonte fem atua de forma a fazer com
Figure 6: Símbolo da FEM
24
que no seu interior a corrente percorra um caminho antinatural, indo do menor potencial para o
maior potencial. Na comparação com a água, a fem seria o análogo a uma bomba hidráulica que
leva a água do ponto mais baixo para o mais alto, o contrário do seu curso normal.
4.3.1 Potência em uma fem
Uma fonte fem fornecerá potência positiva a um circuito, quando for percorrida por uma corrente,
cujo sentido coincide com o sentido da fem. De modo inverso, a potência será negativa quando a
corrente tiver sentido contrário ao sentido da fem. Pode parecer estranho uma fonte "fornecer"
potência negativa, mas é justamente isto que ocorre quando carregamos uma bateria, por exemplo.
Para uma fem podemos calcular a potência fornecida ao circuito pela mesma relação (37),
Pfem = �V i = Ei: (40)
Observe que, pela fórmula acima, a potência será positiva sempre que �V e i tiverem o mesmo
sinal (a corrente está no mesmo sentido da fem).
4.4 Regras de Kirchho¤
As regras de Kirchho¤ permitem estabelecermos um conjunto de equações acopladas para a res-
olução de circuitos CC.
4.4.1 Regra da malha
A soma dos �V ao longo de qualquer malha fechada é zero
É muito simples aplicar esta regra, basta lembrar que:
para resistores: �V = �Ri no sentido da corrente e �V = Ri no sentido contrário ao da
corrente;
para as fontes fem: �V = E no sentido da fem e �V = �E no sentido contrário ao da fem.
4.4.2 Regra do nó
"A soma das correntes que se dirigem para um ponto de rami…cação é igual a soma das correntes
que partem do mesmo ponto de rami…cação".
25
Observação: Em muitos problemas o sentido das correntes não são conhecidos a priore.
Nesses casos, atribuímos sentidos arbitrários para as correntes e aplicamos as regras de Kirch-
ho¤. Se, eventualmente, os cálculos fornecerem um valor negativo para alguma corrente; devemos
interpretar que aquela corrente está, de fato, no sentido contrário ao atribuído inicialmente.
5 Problemas
1.1) Três cargas puntiformes estão …xas sobre o eixo x, conforme a …gura abaixo. A carga positiva
Q encontra-se na origem e as duas cargas negativas �Q estão situadas em x = L e em x = �L.
Uma outra carga q0, positiva, é colocada sobre o eixo dos y a uma distância h da origem (h > 0).
Em função dos dados do problema, calcule a força resultante sobre a carga q0.
1.2) Considere um sistema semelhante ao dipolo, porém formado por duas cargas positivas
idênticas, ao invés de uma positiva e outra negativa.
a) Calcule o campo elétrico no plano bissetor.
b) O valor do campo no limite a << r:
1.3) Considere um dipolo elétrico. Em coordenadas retangulares, a carga negativa está no
ponto(0; 0;�d=2) enquanto a positiva está no ponto (0; 0; d=2).
a) Obtenha o potencial elétrico V (x; y; z).
b) Obtenha o campo elétrico sobre o eixo z (z > d=2):
c) Faça o limite d � z para o resultado obtido no item anterior, compare a resposta com a
eq.(26).
26
1.4) Um bastão de comprimento 2L tem cargas Q e �Q (Q > 0) uniformemente distribuídas
em cada metade do seu comprimento, conforme mostra a …gura abaixo.
a) Obtenha a expressão para o campo elétrico num ponto P1 sobre o eixo y a uma distância
R do centro do bastão, (R > L).
b) Obtenha a expressão para o campo elétrico num ponto P2 sobre o eixo x a uma distância
R do centro do bastão.
1.5) Considere um anel de raio R com uma carga Q uniformemente distribuída em seu aro. O
anel está no plano no plano xy; de modo que o eixo z coincide com eixo de simetria perpendicular
ao plano do anel.
a) Calcule o potencial elétrico para um ponto no eixo z:
b) Sem utilizar o potencial, calcule o campo elétrico para um ponto no eixo z:
c) A partir do potencial elétrico, calcule o campo elétrico para um ponto no eixo z:
1.6) Considere um disco delgado de raio R com uma densidade super…cial de carga � uniforme-
mente distribuída. O disco está no plano no plano xy; de modo que o eixo z coincide com eixo de
simetria perpendicular ao plano do disco.
a) Calcule o potencial elétrico para um ponto no eixo z (z > 0):
b) Calcule o campo elétrico para um ponto no eixo z (z > 0):
c) Faça o limite R� z para o resultado obtido no item anterior, interprete o resultado.
1.7) Uma esfera condutora de raio ra e densidade de super…cial de carga �a está ligada por
um …o condutor a outra esfera de raio rb e densidade super…cial de carga �b. Determine a razão
�a=�b.
27
1.8) Duas esferas condutoras, isoladas, de raios 30 cm e 60 cm; são carregas eletricamente com
a mesma densidade super…cial de carga, � = 8:85 � 10�9C=m2. Depois, com um …o de cobre é
estabelecida uma ligação entre as esferas, …cando ambas com o mesmo potencial elétrico.
a) Na con…guração inicial, com as esferas ainda isoladas, qual o potenial elétrico de cada uma
das esferas?
b) Na con…guração …nal, depois de estabelecido o contato, qual o potencial das esferas?
1.9) Nos cabos de alta tensão, a transmissão de energia é feita com tensões da ordem de centena
de milhares de volts. Projetos mais modernos estudam a possibilidade de serem usadas tensões
ainda mais elevadas, da ordem de MV . Suponha que um cabo em uma linha de transmissão
opere em corrente contínua a uma tensão de 240 kV e que seja percorrido por uma corrente
de 300 A. Dados: cabo com bitola de 300 mm2 (área de seção reta), resistividade do cobre
� = 1:67� 10�8 
m:
a) Calcule a potência transmitida pelo cabo.
b) Para um comprimento de 100 km de cabo, calcule a taxa de perda de energia devido ao
efeito Joule, ou seja, calcule a razão
Pdissipada
Ptransmitida
:
c) Para estes 100 km de cabo, qual será a perda de tensão?
d) Um transformador altera a tensão para 480 kV e a corrente para 150 A, mantendo inalterada
a potência transmitida. Para esta nova con…guração, calcule a taxa de perda de energia em 100 km
de cabo.
1.10) No inverno, um estudante de CEFET/RJ toma um banho demorado de 20 mim com o
chuveiro na potencia máxima 5500 W . Ligado a esse chuveiro está um …o de 4:0mm2 de área de
seção reta. Determine:
a) a corrente elétrica no …o, sabendo que a ddp é de 127V ;
b) a densidade de corrente no …o;
c) o campo elétrico no interior do …o;
d) a energia dissipada a cada metro de …o durante o banho.
28
(Observação 1: A rigor, deveríamos falar em corrente e…caz, tensão e…caz, etc., pois a corrente
em uma residência é alternada)
(Observação 2: O resultado do item d mostra que a possibilidade de super-aquecimento na
…ação elétrica, mesmo em uma residência, não pode ser desprezada. Por esse motivo, os disjuntores
são termomagnéticos. Além de desligarem quando a corrente ultrapassa certo valor, também
desligam quando o …o atinge uma certa temperatura.)
1.11) A velocidade média dos elétrons condutores em um …o é muito menor do que grande
parte das pessoas supõem. Calcule esta velocidade para uma corrente de 15A em um …o de cobre
de 2:5mm2 de área de seção reta. Dado: a densidade de carga livre no cobre é aproximadamente
1:4� 1010C=m3:
1.12) Doze resistores de mesma resistência R estão dispostos ao longo das arrestas de um cubo.
Calcule a resistência equivalente entre dois vértices opostos.
1.13) Para o circuito da …gura abaixo, calcule a potência em cada um dos resistores e em cada
uma das fontes.
1.14) Para o circuito da …gura abaixo, determine o valor de E tal que exista uma corrente de
0:5 A no resistor de 8 
, com o sentido de a para b.
1.15) Duas bateriascom fems E1 e E2; e resistência internas r1 e r2, estão ligadas em paralelo.
a) Calcule a fem equivalente desta combinação.
b) Calcule a resistência interna equivalente desta combinação.
29
5.1 Respostas
1:1) ~F =
q0
4�"0
�
Q
h2
� 2Qh
(h2 + L2)3=2
�
|^
1:2a) ~E =
q
2�"0
r
(r2 + a2)
3=2
r^
1:2b) ~E =
1
2�"0
q
r2
r^
1:3a) V (x; y; z) =
q
4�"0
0@ 1q
x2 + y2 + (z � d=2)2
� 1q
x2 + y2 + (z + d=2)
2
1A
1:3b) ~E(0; 0; z) =
~p
4�"0d
"�
z � d
2
��2
�
�
z +
d
2
��2#
1:3c) lim
d=z!0
~E(0; 0; z) =
1
2�"0
~p
z3
1:4a) ~E =
Q
4�"0L
�
1
R+ L
+
1
R� L �
2
R
�
|^
1:4b) ~E =
Q
2�"0L
�
1p
R2 + L2
� 1
R
�
|^
1:5a) V =
Q
4�"0
1p
z2 +R2
1:5b) = 1:5c) ~E =
Q
4�"0
z
(z2 +R2)
3=2
k^
1:6a) V (0; 0; z) =
�
2"0
�p
R2 + z2 � z
�
1:6b) ~E(0; 0; z) =
�
2"0
�
1� zp
R2 + z2
�
k^
1:6c) lim
R=z!0
~E(0; 0; z) =
�
4"0
R
z2
2
k^
1:7) �a=�b = rb=ra
30
1:8: a) 300V e 600V ; b) 500V
1:9: a) 72 MW ; b) 0; 696 %; c) 1; 67 kV ; d) 0; 174 %
1:10: a) 43A; b) 1:1� 107A=m2; c)0:18 V=m; d)9:4 kJ
1:11) v = 0:43 mm=s
1:12) Req = 5R=6
1.13) 3:0 W na fonte de 3V ; 1:0 W na fonte de 2V ; 0:5 W na fonte de 1V ; �3:0W no resistor
de 3
; �1:0W no resistor de 4
;�0:5 W no resitor de 2
:
1:14) 3 V
1:15: a) E12 = r1E2 + r2E1
r1 + r2
; b) r12 =
r1r2
r1 + r2
31

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