CAL G2 Mat1158 20111o gabarito - Prova de Cálculo

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Gabarito - G2 de MAT1158 – Cálculo B – 5 de Maio de 2011 
1. (0,4 cada) Seja para 
a. A função é inversível pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 para 
 . Logo é um a um e é inversível. 
b. pois 
 
 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é 
 
e. A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é 
2= 12 0 
2. Estude a função seguindo o roteiro abaixo: 
a. (0,3) Verifique graficamente que as curvas e só possuem um 
ponto de interseção, um ponto onde . (Podemos supor 
 ) 
 
b. (0,3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. (0,3) Domínio de : ou seja . Observando o gráfico do 
item a) podemos afirmar que Domínio de 
d. (0,3) Ache os máximos e mínimos locais de , se existirem. 
 
 
 
 que é sempre positiva no domínio, logo f cresce em 
todo seu domínio e não possui máximo nem mínimo local. 
e. (0,6) Ache os limites de nos extremos dos intervalos que formam o domínio 
de : 
 
 e 
 
pois 
 (observe pelo item a) que logo 
 
f. (0,6) Ache as assíntotas do gráfico. Vertical: como 
 
 logo é assíntota vertical da curva . Horizontal: não há pois 
 . Mas pode haver assíntota inclinada. 
 
 
 
 
 
 (usando l´Hospital duas vezes) Pelo item b), 
 Logo a reta ou seja, é 
assíntota inclinada da curva . 
g. (0,3) verifique que se então , ou seja queremos mostrar que 
 
 
 
 
 
 
 
h. (0,3) Faça um esboço do gráfico de desenhando também a reta . 
 
3. (1,0 cada) Calcule os limites justificando adequadamente cada etapa: 
a. 
 
 
 usando L´Hospital pois tanto os limites do numerador e do 
denominador vão ambos para 0, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
 neste produto, x vai a 
infinito e a diferença no parênteses vai a zero: forma indeterminada 
“arrumando” o limite temos, 
 
 
 
 
 
 
 
usando L´Hospital pois tanto numerador quanto denominador vão a zero.